Dimensionnement d’une Longrine

Contexte : Liaison des fondations et support des murs.

Une LongrinePoutre en béton armé reposant sur le sol ou portée par des plots, reliant les fondations. est un élément de structure horizontal qui relie les semelles de fondation entre elles. Elle a un double rôle : supporter le poids des murs de remplissage (maçonnerie) et s'opposer aux déplacements relatifs (tassements différentiels) entre les points d'appui. Dans cet exercice, nous allons dimensionner une longrine de redressement reliant deux semelles isolées.

Remarque Pédagogique : Contrairement à une poutre classique, la longrine peut subir des efforts de traction importants si le sol bouge. Cependant, pour ce calcul de base, nous la traiterons comme une poutre isostatique soumise à de la flexion simple sous charges gravitaires.

Objectifs Pédagogiques

Évaluer les charges linéaires (poids propre + mur) à l'ELU.
Calculer les sollicitations maximales (Moment fléchissant et Effort Tranchant).
Dimensionner les armatures longitudinales (Flexion) et transversales (Cisaillement).
Vérifier la condition de non-fragilité du béton armé.

Données de l'étude

On considère une longrine de section rectangulaire reliant deux massifs de fondation. Elle supporte un mur en maçonnerie de blocs creux.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Portée libre (\(L\))	5,00 \(\text{ m}\)
Section de la longrine (\(b \times h\))	30 \(\times\) 40 \(\text{ cm}\)
Charge linéaire du mur (\(g_{\text{mur}}\))	12 \(\text{ kN/m}\)
Matériaux	Béton C25/30, Acier B500B
Enrobage (\(c_{\text{nom}}\))	3 \(\text{ cm}\)

Schéma Mécanique et Chargement

Questions à traiter

Calculer la charge linéaire totale à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)).
Déterminer le Moment Fléchissant max (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'Effort Tranchant max (\(V_{\text{Ed}}\)).
Calculer la section d'aciers longitudinaux nécessaire (\(A_s\)).
Vérifier la contrainte de cisaillement du béton.
Vérifier la condition de non-fragilité (armatures minimales).

Les bases théoriques (Eurocode 2)

Le dimensionnement d'une longrine suit les mêmes règles que celui d'une poutre en flexion simple.

Combinaison d'actions (ELU)
Pour des charges permanentes \(G\) et d'exploitation \(Q\), la charge de calcul est :

p_{\text{Ed}} = 1,35 G + 1,5 Q

Sollicitations (Poutre sur 2 appuis)
Pour une charge uniformément répartie \(p\) sur une portée \(L\) :

M_{\text{max}} = \frac{p L^2}{8} \quad ; \quad V_{\text{max}} = \frac{p L}{2}

Section d'acier (Flexion)
On utilise la méthode du moment réduit \(\mu_{bu}\).

\mu_{bu} = \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}} \quad \rightarrow \quad A_s = \frac{M_{\text{Ed}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}

Correction : Dimensionnement d'une Longrine en Béton Armé

Question 1 : Charge linéaire totale à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\))

Principe

Il faut d'abord évaluer toutes les charges permanentes (Poids propre de la poutre + Poids du mur) et les combiner selon les coefficients de sécurité de l'Eurocode. Ici, il n'y a pas de charge d'exploitation mentionnée, donc \(Q=0\).

Mini-Cours : Charges Permanentes vs Variables

Charges Permanentes (\(G\)) : Ce sont les poids constants dans le temps. Ici : le poids propre de la poutre en béton armé et le poids du mur de maçonnerie qu'elle supporte.
Charges d'Exploitation (\(Q\)) : Ce sont les charges liées à l'usage (personnes, meubles, véhicules). Dans cet exercice simplifié, aucune charge \(Q\) n'est mentionnée, donc \(Q=0\).

Remarque Pédagogique

La masse volumique du béton armé est une constante fondamentale à connaître : \(\rho_{\text{béton}} = 25 \text{ kN/m}^3\). Si on vous donne une section de poutre sans donner son poids au mètre linéaire, c'est à vous de le calculer avec cette valeur !

Normes

Référence : Eurocode 0 (EN 1990) pour les combinaisons d'actions et Eurocode 1 (EN 1991-1-1) pour les poids volumiques.

Formule(s)

Combinaison Fondamentale ELU

p_{\text{Ed}} = 1,35 G + 1,5 Q

Hypothèses

Le mur est centré sur la longrine.
La longrine a une section constante sur toute sa longueur.
On néglige le poids de l'enduit éventuel pour simplifier.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur Longrine	\(b\)	0,30	\(\text{ m}\)
Hauteur Longrine	\(h\)	0,40	\(\text{ m}\)
Charge linéique Mur	\(g_{\text{mur}}\)	12,00	\(\text{ kN/m}\)

Astuces

Ordre de grandeur : Le poids propre d'une poutre en béton représente souvent entre 10% et 30% de la charge totale qu'elle porte. Si vous trouvez une valeur négligeable (ex: 1%) ou prépondérante (ex: 90%), vérifiez vos unités !

Coupe Transversale (Charges G)

Calcul(s)

1. Calcul du poids propre de la longrine (\(g_{\text{poutre}}\))

On calcule le volume d'un mètre linéaire de poutre (\(b \times h \times 1\)) et on le multiplie par la densité du béton :

\begin{aligned} g_{\text{poutre}} &= b \times h \times \rho_{\text{béton}} \\ &= 0,30 \text{ [m]} \times 0,40 \text{ [m]} \times 25 \text{ [kN/m}^3] \\ &= 0,12 \text{ [m}^2] \times 25 \text{ [kN/m}^3] \\ &= 3,00 \text{ kN/m} \end{aligned}

2. Calcul de la charge permanente totale (\(G\))

On additionne le poids du mur (donné) et le poids de la poutre (calculé) :

\begin{aligned} G &= g_{\text{mur}} + g_{\text{poutre}} \\ &= 12,00 + 3,00 \\ &= 15,00 \text{ kN/m} \end{aligned}

3. Calcul de la charge ultime (\(p_{\text{Ed}}\))

On majore cette charge par le coefficient de sécurité \(\gamma_G = 1,35\) :

\begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1,35 \times G + 1,5 \times Q \\ &= 1,35 \times 15,00 + 1,5 \times 0 \\ &= 20,25 \text{ kN/m} \end{aligned}

Charge ELU Finale

Réflexions

La charge de calcul est de 20,25 kN par mètre linéaire. Cela signifie que chaque mètre de poutre doit être capable de supporter l'équivalent de 2 tonnes de charge ultime. Le poids propre représente \(3/15 = 20\%\) de la charge permanente totale, ce qui est une proportion standard.

Points de vigilance

Si la poutre supportait aussi un plancher, il faudrait ajouter la réaction d'appui du plancher aux charges linéaires. Ici, la longrine ne porte que le mur.

Points à Retenir

Poids propre : Ne jamais l'oublier (\(25 \text{ kN/m}^3\)).
Coefficients : 1,35 pour le "mort" (G), 1,5 pour le "vivant" (Q).

FAQ

Pourquoi le coefficient est-il de 1,35 ?

C'est une valeur statistique définie par les Eurocodes pour couvrir les incertitudes sur l'évaluation des charges permanentes (variations d'épaisseur, densité des matériaux...).

p_Ed = 20,25 kN/m

A vous de jouer
Si la hauteur de la poutre passe à 50 cm, quelle est la nouvelle charge ELU ?

📝 Mémo
Toujours commencer un calcul de structure par une descente de charges rigoureuse. C'est la base de tout.

Question 2 : Sollicitations maximales (\(M_{\text{Ed}}, V_{\text{Ed}}\))

Principe

Une fois la charge connue, nous devons déterminer les efforts internes maximaux que la poutre subit. La longrine est modélisée comme une "poutre simple sur appuis libres", c'est-à-dire une barre posée sur deux supports (les fondations). Cette configuration génère de la flexion (courbure) et du cisaillement.

Mini-Cours : RDM Poutre Isostatique

Pour une charge uniforme \(p\) sur une portée \(L\) :

Moment Fléchissant (\(M\)) : Il est nul aux appuis et maximal à mi-travée. Il tend à tendre la fibre inférieure ("le ventre") de la poutre.
Effort Tranchant (\(V\)) : Il est nul au milieu et maximal au droit des appuis. Il tend à cisaille la poutre verticalement.

Remarque Pédagogique

Si la longrine était continue sur 3 appuis ou encastrée dans les fondations, le moment en travée diminuerait (car une partie serait reprise en "moment sur appui"). Ici, on se place dans le cas sécuritaire d'appuis simples (isostatique).

Normes

Théorie des poutres (RDM) appliquée conformément à l'Eurocode 2.

Formule(s)

Formules Canoniques

M_{\text{max}} = \frac{p L^2}{8} \quad ; \quad V_{\text{max}} = \frac{p L}{2}

Hypothèses

Modèle de calcul : Poutre isostatique (simplement appuyée).
Charge uniformément répartie \(p_{\text{Ed}}\) sur toute la longueur \(L\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge ELU	\(p_{\text{Ed}}\)	20,25	\(\text{ kN/m}\)
Portée libre	\(L\)	5,00	\(\text{ m}\)

Astuces

Vérification des unités :
Moment = Force x Distance = (kN/m) x m² = kN.m
Effort Tranchant = Force = (kN/m) x m = kN.

Diagrammes Théoriques (M et V)

Calcul(s)

1. Moment Fléchissant Max (\(M_{\text{Ed}}\))

On applique la formule du moment parabolique :

\begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{20,25 \times 5,00^2}{8} \\ &= \frac{20,25 \times 25}{8} \\ &\approx 63,28 \text{ kNm} \end{aligned}

Pour les calculs de ferraillage (Q3), il est souvent pratique de convertir en MN.m : \(M_{\text{Ed}} = 0,0633 \text{ MN.m}\).

2. Effort Tranchant Max (\(V_{\text{Ed}}\))

C'est la réaction d'appui totale divisée par 2 (symétrie) :

\begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \\ &= \frac{20,25 \times 5,00}{2} \\ &= \frac{101,25}{2} \\ &\approx 50,63 \text{ kN} \end{aligned}

Conversion pour Q4 : \(V_{\text{Ed}} = 0,0506 \text{ MN}\).

Résultats Clés

Réflexions

Le moment de 63 kNm est modéré pour une poutre de 40 cm de haut. Cela suggère que la section de béton est confortable et que le ferraillage ne sera pas excessif. L'effort tranchant de 50 kN est également faible.

Points de vigilance

Attention à l'unité de la portée \(L\). Si vous la mettez en cm, le résultat sera énorme et faux. Toujours utiliser des mètres.

Points à Retenir

Dépendance en L : Le moment dépend du carré de la portée. Doubler la portée multiplie le moment (et le coût) par 4 !
Localisation : Il faut renforcer le bas de la poutre au milieu (flexion) et renforcer l'âme près des appuis (cisaillement).

FAQ

Pourquoi diviser par 8 pour le moment ?

C'est le résultat de la double intégration de la charge constante sur une poutre isostatique. C'est une constante mathématique de la RDM.

M_Ed = 63,28 kNm | V_Ed = 50,63 kN

A vous de jouer
Si la portée passe à 6m, quel est le nouveau moment (approx) ?

📝 Mémo
PL²/8 est la formule reine du béton armé. À graver dans sa mémoire.

Question 3 : Armatures longitudinales (\(A_s\))

Principe

Le béton résiste très bien à la compression mais très mal à la traction. Le moment fléchissant \(M_{\text{Ed}}\) comprime le haut de la poutre et tend le bas. Nous devons calculer la quantité d'acier (\(A_s\)) à placer en bas pour reprendre intégralement cet effort de traction.

Mini-Cours : Flexion Simple ELU

Pour éviter des calculs itératifs, on utilise des paramètres sans dimension :

Le moment réduit \(\mu_{bu}\) : Il compare le moment appliqué à la capacité maximale du béton comprimé.
Le pivot : Si \(\mu_{bu} < 0,186\) (Pivot A), l'acier travaille à son plein potentiel (grande déformation) et le béton est peu sollicité. C'est le cas idéal (économique).
Le bras de levier \(z\) : C'est la distance efficace entre la force de compression et la force de traction.

Normes

Eurocode 2 - Dimensionnement des sections en Flexion Simple à l'ELU.

Formule(s)

\mu_{bu} = \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}}

A_s = \frac{M_{\text{Ed}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}

Hypothèses

Diagramme Rectangulaire Simplifié (DRS) pour le comportement du béton.
Acier B500B (limite élastique 500 MPa).
Pas d'acier comprimé nécessaire (vérifié par le calcul).

Donnée(s) Matériaux

Matériau	Résistance carac.	Coef. Sécurité	Résistance calcul
Béton	\(f_{\text{ck}} = 25 \text{ MPa}\)	\(\gamma_c = 1,5\)	\(f_{\text{cd}} = 16,67 \text{ MPa}\)
Acier	\(f_{\text{yk}} = 500 \text{ MPa}\)	\(\gamma_s = 1,15\)	\(f_{\text{yd}} = 434,78 \text{ MPa}\)

Astuces

Hauteur utile \(d\) : C'est la valeur la plus sensible du calcul ! Pour une poutre courante, on prend \(d \approx 0,9h\). Si vous surestimez \(d\), vous sous-estimez dangereusement l'acier nécessaire.

Définition de d

Calcul(s)

1. Hauteur utile réelle (\(d\))

On déduit l'enrobage (3cm) et le rayon estimé des barres (~0.7cm) et des cadres (~0.6cm) :

\begin{aligned} d &\approx h - c_{\text{nom}} - \phi_{\text{cadre}} - \phi_L/2 \\ d &\approx 40 - 3 - 0,6 - 0,7 \\ d &\approx 35,7 \text{ cm} \rightarrow \text{On prend } 0,36 \text{ m par sécurité} \end{aligned}

2. Moment réduit (\(\mu_{bu}\))

On calcule ce ratio adimensionnel. Attention aux unités : \(M\) en MN.m, \(b\) et \(d\) en m, \(f_{cd}\) en MPa.

\begin{aligned} \mu_{bu} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}} \\ &= \frac{0,0633 \text{ [MNm]}}{0,30 \times 0,36^2 \times 16,67} \\ &= \frac{0,0633}{0,648} \\ &\approx 0,098 \end{aligned}

Conclusion : \(\mu_{bu} = 0,098 < 0,186\) (Pivot A). Nous sommes bien en Pivot A (domaine 1). Pas besoin d'aciers comprimés. Le dimensionnement est économique.

3. Bras de levier (\(z\))

On calcule d'abord le paramètre de hauteur de la zone comprimée \(\alpha\), puis \(z\) :

\begin{aligned} \alpha &= 1,25 (1 - \sqrt{1 - 2\mu_{bu}}) \\ &= 1,25 (1 - \sqrt{1 - 0,196}) \\ &\approx 0,129 \\ z &= d (1 - 0,4 \alpha) \\ z &= 0,36 (1 - 0,4 \times 0,129) \\ z &\approx 0,341 \text{ m} \end{aligned}

4. Section d'acier théorique (\(A_s\))

On divise le moment par le bras de levier et la résistance de l'acier :

\begin{aligned} A_s &= \frac{M_{\text{Ed}}}{z \cdot f_{\text{yd}}} \\ &= \frac{0,0633 \text{ [MNm]}}{0,341 \text{ [m]} \times 434,78 \text{ [MPa]}} \\ &\approx 0,000427 \text{ m}^2 \\ &= 4,27 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Choix du ferraillage réel

Nous devons trouver une combinaison de barres commerciales dont la section totale est supérieure à 4,27 cm². Les diamètres standards sont 10, 12, 14, 16 mm.

Option A : 4 HA 12 = \(4 \times 1,13 = 4,52 \text{ cm}^2\) (Un peu encombrant sur 30cm de large).
Option B : 3 HA 14 = \(3 \times 1,54 = 4,62 \text{ cm}^2\) (Idéal, bon espacement).

Plan de Ferraillage Retenu

Réflexions

Le ferraillage est très raisonnable. Le ratio d'acier est d'environ \(4,62 / (30 \times 40) \approx 0,38\%\), ce qui est économique et facile à mettre en œuvre.

Points de vigilance

Ne pas oublier les 2 barres de montage en partie supérieure (ex: 2 HA 10) pour tenir les cadres, même si le calcul ne les impose pas.

A_s = 4,27 cm² -> Choix : 3 HA 14

A vous de jouer
Si le moment double (126 kNm), quelle section d'acier faut-il (approx) ?

📝 Mémo
Calculer mu -> Trouver alpha -> Trouver z -> Trouver As. C'est la routine sacrée du béton armé.

Question 4 : Vérification du Cisaillement (\(V_{\text{Rd,c}}\))

Principe

L'effort tranchant génère des fissures obliques à 45° près des appuis. Nous devons vérifier deux choses : 1. Que le béton ne s'écrase pas sous la compression (Vérification des bielles). 2. Calculer les armatures transversales (cadres) nécessaires pour "coudre" ces fissures.

Mini-Cours : Effort Tranchant

Vérification des bielles : On vérifie que \(\tau_{Ed} \le \tau_{Rd,max}\). C'est la limite absolue pour éviter l'explosion du béton comprimé.

Armatures transversales : Si \(V_{Ed} > V_{Rd,c}\) (résistance béton pur), alors des armatures d'âme sont nécessaires. En pratique, on met TOUJOURS un minimum de cadres.

Normes

Eurocode 2 - Vérification à l'effort tranchant.

Formule(s)

Contrainte de cisaillement conventionnelle

\tau_{\text{Ed}} = \frac{V_{\text{Ed}}}{b \cdot z}

Hypothèses

Inclinaison des bielles \(\theta = 45^\circ\) (simplification standard).
Pas de reprise de bétonnage (coulage monolithique).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Effort Tranchant V_Ed	0,0506 MN
Largeur b	0,30 m
Bras de levier z	0,341 m

Astuces

Pour le calcul des cadres, la formule de l'espacement est \(s_t = \frac{A_{sw} \cdot z \cdot f_{ywd}}{V_{Ed}}\). Plus \(V_{Ed}\) est grand, plus l'espacement est petit (cadres serrés).

Calcul(s)

1. Contrainte tangente de calcul (\(\tau_{\text{Ed}}\))

On calcule la contrainte moyenne dans l'âme de la poutre :

\begin{aligned} \tau_{\text{Ed}} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{b \cdot z} \\ &= \frac{0,0506 \text{ [MN]}}{0,30 \text{ [m]} \times 0,341 \text{ [m]}} \\ &= \frac{0,0506}{0,1023} \\ &\approx 0,495 \text{ MPa} \end{aligned}

2. Vérification de la bielle de béton

La contrainte limite pour éviter l'écrasement des bielles (\(\nu f_{cd}\)) est d'environ 3 à 4 MPa pour un béton C25.

Comparaison : \(0,495 \text{ MPa} \ll 3,0 \text{ MPa}\). Le béton ne risque absolument pas de s'écraser. La section est largement suffisante.

3. Conclusion sur les armatures

Puisque le cisaillement est faible, on disposera un ferraillage transversal minimal (pourcentage minimum réglementaire). Généralement, on utilise des cadres HA 6 tous les 15 ou 20 cm.

Disposition des Cadres (Vue Longitudinale)

Réflexions

C'est un cas très courant : le béton est surdimensionné pour le cisaillement (dicté par la flexion ou l'architecture). Les cadres servent surtout à maintenir la cage d'armature et à assurer une sécurité minimale.

Points de vigilance

Ne jamais dépasser l'espacement maximal réglementaire \(s_{max} = 0,75d\) (environ 25-30 cm ici), sinon une fissure pourrait passer entre deux cadres sans être "cousue".

Vérification OK. Cadres HA6 espacés de 20cm.

A vous de jouer
Quelle est la contrainte de cisaillement limite (approx) pour un béton C25 ? (Indice : 0.2 fcd / gamma_c n'est pas la bonne formule exacte, mais disons ordre de grandeur 3 MPa).

📝 Mémo
Le cisaillement, c'est l'affaire des cadres !

Question 5 : Vérification de la Condition de Non-Fragilité

Principe

Le béton armé doit être "ductile", c'est-à-dire qu'il doit prévenir avant de casser. Si l'on met très peu d'acier, la poutre pourrait casser brutalement dès que le béton fissure, car l'acier serait trop faible pour reprendre l'effort que le béton relâcherait. La condition de non-fragilité impose une section minimale d'acier \(A_{\text{s,min}}\).

Mini-Cours : Ductilité vs Fragilité

Critère : Le moment résistant de la section armée doit être supérieur au moment de fissuration du béton seul (\(M_{\text{cr}}\)).

En pratique, l'Eurocode traduit cela par une formule simple dépendant de la résistance à la traction du béton (\(f_{\text{ctm}}\)).

Normes

Eurocode 2, Section 9.2.1.1 - Armatures minimales.

Formule(s)

A_{\text{s,min}} = 0,26 \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} b_t d \ge 0,0013 b_t d

Le terme \(0.0013 b d\) est le plancher absolu (pourcentages géométriques).

Hypothèses

Résistance moyenne à la traction du béton C25/30 : \(f_{\text{ctm}} = 0,30 \times f_{\text{ck}}^{2/3}\).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(f_{\text{ck}}\)	25 \(\text{ MPa}\)
\(f_{\text{yk}}\)	500 \(\text{ MPa}\)
Largeur \(b\)	0,30 \(\text{ m}\)
Hauteur utile \(d\)	0,36 \(\text{ m}\)

Astuces

Pour un béton courant (C25) et de l'acier standard (HA500), le ratio minimal est d'environ 0.15% de la section utile (\(b \times d\)).

Situation : Zone de Béton Tendu

Calcul(s)

1. Résistance à la traction du béton (\(f_{\text{ctm}}\))

On calcule la résistance moyenne à la traction pour un béton C25 :

\begin{aligned} f_{\text{ctm}} &= 0,30 \times (25)^{2/3} \\ &= 0,30 \times 8,55 \\ &\approx 2,56 \text{ MPa} \end{aligned}

2. Section minimale théorique (\(A_{\text{s,min}}\))

On applique la formule réglementaire en veillant aux unités (mètres pour b et d) :

\begin{aligned} A_{\text{s,min}} &= 0,26 \times \frac{2,56}{500} \times 0,30 \times 0,36 \\ &= 0,26 \times 0,00512 \times 0,108 \\ &\approx 0,000144 \text{ m}^2 = 1,44 \text{ cm}^2 \end{aligned}

3. Vérification du plancher géométrique

On vérifie le seuil de 0,13% :

\begin{aligned} A_{\text{s,geo}} &= 0,0013 \times b \times d \\ &= 0,0013 \times 0,30 \times 0,36 \\ &\approx 0,000140 \text{ m}^2 = 1,40 \text{ cm}^2 \end{aligned}

On retient le maximum des deux : \(A_{\text{s,min}} = 1,44 \text{ cm}^2\).

4. Comparaison finale

Nous avons prévu \(A_s = 4,62 \text{ cm}^2\) (3 HA 14) à la question 3.

4,62 \text{ cm}^2 > 1,44 \text{ cm}^2 \rightarrow \text{Condition vérifiée !}

Comparaison : Sécurité Non-Fragilité

Réflexions

La section d'acier calculée pour la flexion est plus de 3 fois supérieure au minimum requis. La poutre est donc largement "non-fragile". Si le moment fléchissant avait été très faible, il aurait fallu mettre au moins ces 1,44 cm² (ex: 2 HA 10).

Points de vigilance

Si vous utilisez un béton à haute performance (ex: C50/60), \(f_{\text{ctm}}\) augmente, donc le minimum d'acier augmente aussi ! Un béton plus fort demande plus d'acier minimum pour éviter la fragilité.

Non-fragilité OK (4,62 > 1,44 cm²)

📝 Mémo
Toujours vérifier que \(A_s > A_{\text{s,min}}\). C'est le "parachute" du calculateur.

Schéma Bilan de l'Exercice

Résumé du ferraillage final retenu pour la longrine (Section 30x40 cm).

📝 Grand Mémo : Dimensionnement

⚖️
1. Descente de charges
Ne jamais oublier le poids propre (\(25 \text{ kN/m}^3\)) et les coefficients de sécurité (1.35/1.5).
📉
2. Sollicitations
\(M = pL^2/8\). Le moment explose avec la portée.
🏗️
3. Ferraillage Flexion
Calculer \(d\) (hauteur utile) avec précision. C'est le bras de levier qui fait la force.
🛡️
4. Vérifications
Toujours vérifier le cisaillement (cadres) et la non-fragilité (acier minimum).

🎛️ Simulateur : Dimensionnement Longrine

Modifiez la portée de la poutre ou la charge du mur pour voir l'impact sur le moment fléchissant et la section d'acier nécessaire.

Paramètres

Portée libre (\(L\)) en m : 5.0

Charge Mur (\(g_{\text{mur}}\)) en kN/m : 12

Moment ELU (\(M_{\text{Ed}}\)) : - kNm

Acier Requis (\(A_s\)) : - cm²

📝 Quiz final : Avez-vous tout compris ?

1. Quelle est la combinaison de charges à l'ELU pour une charge permanente G dominante ?

1,35 G + 1,5 Q
G + Q
1,5 G + 1,35 Q

2. Où se trouve le moment fléchissant maximal sur une poutre simple sur 2 appuis ?

Sur les appuis
À mi-travée (au centre)
Au quart de la portée

📚 Glossaire

ELU: État Limite Ultime. Vérification de la résistance avant rupture de la structure.
Longrine: Poutre de fondation reliant des semelles pour rigidifier l'infrastructure.
\(A_s\): Section d'acier (Area of Steel). Quantité d'armatures requise pour reprendre la traction.
\(d\) (Hauteur utile): Distance de la fibre comprimée au centre de gravité des aciers tendus.
Tassement différentiel: Enfoncement inégal des fondations pouvant fissurer la structure, que la longrine aide à prévenir.

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BOÎTE À OUTILS

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma Mécanique et Chargement

Questions à traiter

Les bases théoriques (Eurocode 2)

Correction : Dimensionnement d'une Longrine en Béton Armé

Question 1 : Charge linéaire totale à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\))

Principe

Mini-Cours : Charges Permanentes vs Variables

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Coupe Transversale (Charges G)

Calcul(s)

1. Calcul du poids propre de la longrine (\(g_{\text{poutre}}\))

2. Calcul de la charge permanente totale (\(G\))

3. Calcul de la charge ultime (\(p_{\text{Ed}}\))

Charge ELU Finale

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

FAQ

Question 2 : Sollicitations maximales (\(M_{\text{Ed}}, V_{\text{Ed}}\))

Principe

Mini-Cours : RDM Poutre Isostatique

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Diagrammes Théoriques (M et V)

Calcul(s)

1. Moment Fléchissant Max (\(M_{\text{Ed}}\))

2. Effort Tranchant Max (\(V_{\text{Ed}}\))

Résultats Clés

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

FAQ

Question 3 : Armatures longitudinales (\(A_s\))

Principe

Mini-Cours : Flexion Simple ELU

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s) Matériaux

Astuces

Définition de d

Calcul(s)

1. Hauteur utile réelle (\(d\))

2. Moment réduit (\(\mu_{bu}\))

3. Bras de levier (\(z\))

4. Section d'acier théorique (\(A_s\))

Choix du ferraillage réel

Plan de Ferraillage Retenu

Réflexions

Points de vigilance

Question 4 : Vérification du Cisaillement (\(V_{\text{Rd,c}}\))

Principe

Mini-Cours : Effort Tranchant

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

1. Contrainte tangente de calcul (\(\tau_{\text{Ed}}\))

2. Vérification de la bielle de béton

3. Conclusion sur les armatures

Disposition des Cadres (Vue Longitudinale)

Réflexions