Dimensionnement d’un Tirant en Béton Armé
Contexte : Pourquoi dimensionner un tirant ?
Un tirantÉlément de structure conçu pour résister à un effort de traction pur. est un élément de structure qui, par définition, ne travaille qu'en traction. On le retrouve comme membrure inférieure de poutres-treillis ou comme suspente. Dans cet élément, le béton joue un rôle particulier : contrairement à un poteau ou une poutre fléchie où il reprend la compression, ici sa résistance mécanique en traction est considérée comme négligeable.
Son rôle se limite donc à :
- Protéger les armatures de la corrosion (rôle d'enrobage).
- Assurer l'adhérence avec l'acier pour transmettre les efforts.
- Limiter l'ouverture des fissures pour l'esthétique et la durabilité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le cas le plus pur du béton armé : la dissociation totale des rôles. L'acier reprend 100% de l'effort mécanique, le béton assure la pérennité. C'est l'application directe du principe du "béton tendu négligé".
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul de section d'acier à l'État Limite Ultime (ELU) en traction simple.
- Comprendre et vérifier la condition de non-fragilité pour éviter la rupture brutale.
- Vérifier la contrainte des aciers à l'État Limite de Service (ELS) pour maîtriser la fissuration.
- Effectuer un choix concret d'armatures (plan de ferraillage) respectant les règles constructives.
Énoncé du Projet
Projet : Dimensionnement de la membrure inférieure (tirant) d'une structure en béton armé.
Environnement : L'ouvrage est situé en extérieur, soumis aux intempéries (alternance humidité/séchage). La classe d'exposition retenue est XC4 selon l'Eurocode 2, impliquant une fissuration préjudiciable.
1. Caractéristiques Géométriques et Matériaux
| Paramètre | Valeur / Description | Note Technique |
|---|---|---|
| Section du tirant | \( b = 25 \text{ cm} \), \( h = 40 \text{ cm} \) | Aire brute \( A_{\text{c}} = 1000 \text{ cm}^2 \). |
| Béton | Classe C25/30 | \(f_{\text{ck}} = 25 \text{ MPa}\) (Compression), \(f_{\text{ctm}} = 2.6 \text{ MPa}\) (Traction moyenne). |
| Acier | Nuance S 500 B (Haute Adhérence) | \(f_{\text{yk}} = 500 \text{ MPa}\) (Limite élastique), \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\) (Coeff. sécurité). |
| Enrobage | \(c_{\text{nom}} = 40 \text{ mm}\) | Protection requise pour classe XC4. |
2. Sollicitations (Calculées après descente de charges)
Les combinaisons d'actions réglementaires (ELU : \(1.35G + 1.5Q\) et ELS : \(G + Q\)) ont été effectuées en amont. Nous utiliserons les résultats suivants :
- Effort normal de traction à l'ELU : \( N_{\text{Ed}} = 500 \text{ kN} \) (0.50 MN).
- Effort normal de traction à l'ELS (Caractéristique) : \( N_{\text{ser}} = 350 \text{ kN} \) (0.35 MN).
3. Exigences de Dimensionnement
- ELU (État Limite Ultime) : Assurer la résistance mécanique de la section. Le béton ne participe pas à la résistance.
- Condition de Non-Fragilité : Vérification impérative pour éviter une rupture brutale à l'apparition de la première fissure.
- ELS (État Limite de Service) : La fissuration est considérée comme préjudiciable. Pour simplifier, on vérifiera que la contrainte dans l'acier ne dépasse pas \(\sigma_{\text{s,lim}} = 0.8 f_{\text{yk}}\).
Schéma Mécanique
Travail Demandé
- Déterminer la section d'aciers longitudinaux théorique \(A_{\text{s}}\) requise à l'ELU.
- Vérifier si cette section satisfait la condition de non-fragilité.
- Contrôler la contrainte de l'acier à l'ELS vis-à-vis de l'ouverture des fissures.
- Proposer un ferraillage pratique (choix du diamètre et nombre de barres).
Les bases théoriques
Le dimensionnement d'un tirant repose sur trois piliers du béton armé :
1. Le Pivot A (Traction Pure)
Dans le diagramme des déformations limites (Pivots), le tirant se situe dans la zone A. Toute la section est tendue uniformément. On considère que l'allongement de l'acier atteint sa limite conventionnelle (\(\varepsilon_{\text{uk}} = 10\)‰) tandis que le béton est totalement fissuré.
2. L'adhérence Acier-Béton
Bien que le béton ne reprenne pas d'effort de traction direct dans le calcul, il doit adhérer parfaitement à l'acier pour répartir les fissures. C'est pourquoi on utilise des aciers à Haute Adhérence (HA) avec des reliefs.
3. La Durabilité (Enrobage)
L'enrobage \(c_{\text{nom}}\) est la distance entre la surface du béton et l'armature la plus proche. Il protège l'acier de la carbonatation et des chlorures. Pour XC4, 40mm est un standard robuste.
Correction : Dimensionnement d’un Tirant en Béton Armé
Question 1 : Section d'armatures à l'ELU
Principe
À l'État Limite Ultime (ELU), la sécurité est primordiale. On suppose le pire scénario : le béton tendu est fissuré sur toute sa hauteur et n'offre aucune résistance (Hypothèse du béton tendu négligé). L'effort de traction \(N_{\text{Ed}}\) doit donc être intégralement équilibré par la résistance des aciers.
Mini-Cours : La Sécurité
Pour garantir la sécurité, on divise la résistance caractéristique de l'acier (\(f_{\text{yk}}\)) par un coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{\text{s}}\).
Pourquoi 1.15 ? Ce chiffre couvre les écarts possibles sur la section réelle des barres, la qualité de l'acier et les défauts locaux.
Normes
Eurocode 2, Art. 6.1 (Traction simple) et 2.4.2.4 (Coefficients partiels matériaux).
Formule(s)
1. Résistance de calcul de l'acier
2. Section d'acier requise
Hypothèses
- Traction centrée parfaite.
- Contrainte dans l'acier uniforme dans toute la section.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort ELU | \(N_{\text{Ed}}\) | 500 | kN |
| Limite élastique | \(f_{\text{yk}}\) | 500 | MPa |
| Coeff. sécurité | \(\gamma_{\text{s}}\) | 1.15 | - |
Astuces
Pensez à tout convertir en Newtons (N) et mm pour obtenir un résultat en mm² (ou MPa). 1 kN = 1000 N. 1 MPa = 1 N/mm².
Mécanisme à l'ELU
Calcul(s)
Étape 1 : Contrainte de calcul
On calcule d'abord la contrainte maximale que l'acier peut supporter en toute sécurité. On prend la limite élastique (\(500 \text{ MPa}\)) et on la divise par le coefficient de sécurité réglementaire (\(1.15\)).
On applique le coefficient de sécurité :
\[ \begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{500 \text{ MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \text{ MPa} \end{aligned} \]L'acier de calcul résiste donc à 434.78 N par mm² de section.
Étape 2 : Section requise
On cherche la surface d'acier nécessaire pour équilibrer l'effort de traction. Attention, l'effort est donné en kN, il faut le convertir en Newtons (\(\times 1000\)) pour être cohérent avec les MPa (N/mm²).
On divise l'effort par la contrainte admissible :
\[ \begin{aligned} A_{\text{s}} &\ge \frac{500\,000 \text{ N}}{434.78 \text{ N/mm}^2} \\ &\ge 1149.98 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]Le résultat est en mm². Pour une meilleure lisibilité et correspondre aux abaques commerciaux, on le convertit en cm² en divisant par 100.
Conversion finale en cm² (diviser par 100) :
Nous avons donc besoin d'au moins 11.50 cm² d'acier.
Réflexions
11.5 cm² est une section conséquente (équivalent à une barre pleine de 3.8 cm de diamètre). Cela reflète l'intensité de l'effort de traction (50 tonnes !).
Points de vigilance
Ne jamais utiliser \(f_{\text{yk}}\) directement pour le dimensionnement ELU. Toujours diviser par 1.15.
Le saviez-vous ?
Dans les zones sismiques, on utilise parfois des aciers à ductilité améliorée (Classe C) pour garantir que l'acier s'allonge beaucoup avant de rompre, absorbant ainsi l'énergie du séisme.
A vous de jouer
Si l'effort ultime \(N_{\text{Ed}}\) était de 600 kN, quelle serait la section d'acier \(A_{\text{s}}\) requise (en cm²) ?
Question 2 : Condition de Non-Fragilité
Principe
Cette étape est une vérification de sécurité critique. Le béton possède une faible résistance à la traction (\(f_{\text{ctm}}\)). Tant qu'il n'est pas fissuré, il participe à la reprise de l'effort. Au moment précis où la fissure apparaît, le béton "relâche" brutalement cet effort. Si la section d'acier prévue est trop faible pour reprendre instantanément cet effort relâché, la barre casse net. C'est la rupture fragile.
Mini-Cours : Ductilité vs Fragilité
En génie civil, on veut des ruptures ductiles (qui préviennent par de grandes déformations et des fissures visibles) et non fragiles (rupture soudaine type verre). La condition de non-fragilité impose une section minimale d'acier \(A_{\text{min}}\) telle que la force de rupture de l'acier soit supérieure à la force de fissuration du béton.
Normes
Eurocode 2, Art. 9.2.1.1 (Armatures minimales). Pour une section tendue, la formule simplifiée ci-dessous est dérivée de \(A_{\text{s}} f_{\text{yk}} \ge k_{\text{c}} k f_{\text{ctm}} A_{\text{ct}}\).
Formule(s)
Section minimale de non-fragilité
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(A_{\text{c}}\) | Section brute du béton (\(b \times h\)) | \(250 \times 400 \text{ mm}^2\) |
| \(f_{\text{ctm}}\) | Résistance moyenne en traction | 2.6 MPa |
| \(f_{\text{yk}}\) | Limite élastique de l'acier | 500 MPa |
Calcul(s)
Étape 1 : Aire du béton
On calcule d'abord l'aire de la section brute de béton \( A_{\text{c}} \) en multipliant la largeur \( b \) par la hauteur \( h \). Attention aux unités (mm).
Calcul de la section brute en mm² :
\[ \begin{aligned} A_{\text{c}} &= 250 \text{ mm} \times 400 \text{ mm} \\ &= 100\,000 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]La section totale de béton est de 100 000 mm².
Étape 2 : Section minimale
On applique ensuite la formule de non-fragilité. Le numérateur (\(A_{\text{c}} \times f_{\text{ctm}}\)) représente la force de traction que le béton peut reprendre juste avant de fissurer.
Application de la formule :
\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min}} &= \frac{100\,000 \text{ mm}^2 \times 2.6 \text{ MPa}}{500 \text{ MPa}} \\ &= \frac{260\,000 \text{ N}}{500 \text{ N/mm}^2} \\ &= 520 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]On obtient une section en mm² qu'il faut convertir en cm² pour faciliter la comparaison.
Conversion en cm² :
\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min}} &= \frac{520}{100} \\ &= 5.20 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]La section minimale absolue pour éviter la rupture fragile est de 5.20 cm².
Étape 3 : Comparaison
On compare la section calculée à l'ELU (11.50 cm²) avec ce minimum (5.20 cm²).
La section calculée à l'ELU est supérieure au minimum requis, donc nous conservons 11.50 cm².
Réflexions
Dans ce cas, l'effort ELU est très important, donc la section calculée est bien au-dessus du minimum. Mais pour un tirant très peu chargé (ex: élément décoratif), le calcul ELU pourrait donner 1 cm², et on serait obligé de mettre 5.20 cm² pour respecter la non-fragilité.
Points de vigilance
Si vous changez la classe de béton (ex: C50/60), \(f_{\text{ctm}}\) augmente, donc la section minimale augmente ! Un béton plus résistant nécessite paradoxalement plus d'acier minimum pour éviter la fragilité.
FAQ
Pourquoi utilise-t-on \(f_{\text{yk}}\) et non \(f_{\text{yd}}\) ici ?
La condition de non-fragilité est une comparaison physique à l'instant t de la fissuration, sans les coefficients de sécurité pondérés de l'ELU. On cherche l'équilibre des forces réelles.
A vous de jouer
Si le béton était un C20/25 (\(f_{\text{ctm}} = 2.2\) MPa), quelle serait la nouvelle valeur de \(A_{\text{s,min}}\) (en cm²) ?
Question 3 : Vérification à l'ELS (Fissuration)
Principe
À l'État Limite de Service (ELS), la structure ne doit pas rompre, mais elle doit rester "saine". Une fissuration excessive permettrait aux agents agressifs (eau, sel, CO2) d'atteindre l'acier et de le corroder. Pour limiter l'ouverture des fissures, on limite l'allongement de l'acier, et donc sa contrainte (\(\sigma_{\text{s}}\)).
Mini-Cours : Classes d'exposition
L'Eurocode définit des classes d'environnement :
XC1 : Sec (Intérieur) -> Fissuration peu préjudiciable (pas de vérification ELS stricte).
XC2 à XC4 : Humide/Extérieur -> Fissuration préjudiciable -> Vérification requise.
Notre cas (XC4) impose une maîtrise de la fissuration.
Formule(s)
1. Contrainte de service dans l'acier
On utilise ici \(A_{\text{s}}\) théorique (11.50 cm²) pour vérifier si elle suffit. Dans un calcul de projet final, on utiliserait la section réelle mise en place.
2. Contrainte limite (Simplifiée)
L'Eurocode propose des tables complexes reliant diamètre, espacement et contrainte. La valeur \(0.8 f_{\text{yk}}\) (soit 400 MPa) est une approximation sécuritaire couramment admise pour la pré-étude en fissuration préjudiciable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Effort ELS | \(N_{\text{ser}}\) | 350 kN |
| Section Acier (Q1) | \(A_{\text{s}}\) | 1150 mm² |
| Limite élastique | \(f_{\text{yk}}\) | 500 MPa |
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte réelle
On utilise l'effort de service \( N_{\text{ser}} \) (350 kN) et non l'effort ultime. On le divise par la section d'acier théorique calculée précédemment.
Conversion de 350 kN en N :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{s}} &= \frac{350\,000 \text{ N}}{1150 \text{ mm}^2} \\ &\approx 304.35 \text{ MPa} \end{aligned} \]L'acier travaille à environ 304 MPa sous les charges de service.
Étape 2 : Calcul de la limite admissible
La contrainte limite simplifiée est fixée à 80% de la limite élastique caractéristique.
Application de la règle simplifiée :
\[ \begin{aligned} \overline{\sigma}_{\text{s}} &= 0.8 \times 500 \text{ MPa} \\ &= 400 \text{ MPa} \end{aligned} \]On ne doit pas dépasser 400 MPa pour limiter l'ouverture des fissures.
Étape 3 : Vérification
On compare la contrainte calculée à la contrainte limite.
La contrainte réelle est inférieure à la limite, la vérification est satisfaisante.
Schéma (Jauge de Contrainte)
Réflexions
La condition est largement vérifiée. Cela signifie que le dimensionnement est gouverné par l'ELU (résistance) et non par l'ELS (fissuration). C'est souvent le cas pour des aciers S500 avec des charges variables modérées.
Points de vigilance
Ne pas confondre les efforts ! À l'ELS, on utilise \(N_{\text{ser}}\) (non pondéré), pas \(N_{\text{Ed}}\).
A vous de jouer
Si l'effort de service était de 480 kN, quelle serait la contrainte \(\sigma_{\text{s}}\) (en MPa) avec nos 11.50 cm² d'acier ?
Question 4 : Choix d'armatures commerciales
Principe
Le calcul théorique donne 11.50 cm². Sur le chantier, on ne peut pas commander "11.50 cm² d'acier". Il faut spécifier un nombre de barres d'un diamètre standardisé (ex: 10, 12, 14, 16, 20, 25 mm). L'objectif est de trouver une combinaison qui soit supérieure à 11.50 cm² tout en étant facile à mettre en place (symétrie, espacement).
Mini-Cours : Dispositions Constructives
Pour un tirant, on cherche à :
1. Symétriser le ferraillage pour que le centre de gravité des aciers coïncide avec le centre du béton (évite la flexion parasite).
2. Répartir les barres sur le périmètre pour contrôler la fissuration de surface.
3. Respecter les espacements pour que le béton puisse couler entre les barres (vibration).
Donnée(s) : Tableaux des Sections
| Diamètre | Section (1 barre) | Poids approx. |
|---|---|---|
| HA 12 | 1.13 cm² | 0.89 kg/m |
| HA 14 | 1.54 cm² | 1.21 kg/m |
| HA 16 | 2.01 cm² | 1.58 kg/m |
| HA 20 | 3.14 cm² | 2.47 kg/m |
Recherche de solutions
Option A : Barres de gros diamètre (HA 20)
On divise la section nécessaire (11.50 cm²) par la section d'une barre de 20 mm (3.14 cm²).
Nombre théorique :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{11.50}{3.14} \\ &\approx 3.66 \Rightarrow \text{On prend } 4 \text{ barres} \end{aligned} \]Vérification de la section réelle :
\[ \begin{aligned} A_{\text{prov}} &= 4 \times 3.14 \text{ cm}^2 \\ &= 12.56 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]Avec 4 barres, on couvre 12.56 cm², ce qui est supérieur aux 11.50 cm² requis.
Avantage : Peu de barres à manipuler.
Inconvénient : Moins bonne répartition pour la fissuration.
Option B : Barres de diamètre moyen (HA 16) - RECOMMANDÉE
On divise la section nécessaire (11.50 cm²) par la section d'une barre de 16 mm (2.01 cm²).
Nombre théorique :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{11.50}{2.01} \\ &\approx 5.72 \Rightarrow \text{On prend } 6 \text{ barres} \end{aligned} \]Vérification de la section réelle :
\[ \begin{aligned} A_{\text{prov}} &= 6 \times 2.01 \text{ cm}^2 \\ &= 12.06 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]Avec 6 barres, on couvre 12.06 cm², ce qui est supérieur aux 11.50 cm² requis.
Avantage : Très proche du besoin théorique (économique) et excellente répartition sur les faces du tirant (3 par face ou répartition périmétrique).
Schéma Bilan (Plan de Ferraillage)
Coupe Transversale du Tirant (25x40 cm)
Points de vigilance
Vérifiez que les barres rentrent dans la largeur de 25cm !
Largeur dispo = 250 - 2x40 (enrobage) - 2x6 (cadres) = 158 mm.
2 barres de 16mm occupent 32mm. Espace restant = 126mm. C'est largement suffisant pour vibrer le béton.
A vous de jouer
Quelle est la section totale de 5 barres HA 10 ? (Rappel : 1 HA 10 = 0.785 cm²)
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Pour réussir le dimensionnement d'un tirant :
-
🔑
Hypothèse ELU : Le béton tendu ne compte pas. L'acier fait tout le travail (\(N = A_{\text{s}} f_{\text{yd}}\)).
-
🛡️
Non-fragilité : Toujours vérifier que \(A_{\text{s}} > A_{\text{s,min}}\) pour éviter la rupture "sans préavis".
-
🔍
Fissuration ELS : Vérifier la contrainte de l'acier (\(\sigma_{\text{s}} < \overline{\sigma}_{\text{s}}\)) pour garantir la durabilité en milieu agressif.
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur la section d'acier requise.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Dans le calcul à l'ELU d'un tirant, quel matériau reprend l'effort de traction ?
2. La condition de non-fragilité sert à :
📚 Glossaire
- Tirant
- Élément de structure travaillant en traction pure.
- ELU
- État Limite Ultime (sécurité, rupture).
- ELS
- État Limite de Service (fissuration, déformation).
- Non-fragilité
- Condition minimale d'armature pour éviter la rupture sèche du béton.
Le Saviez-vous ?
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