Études de cas pratique

EGC

Dimensionnement d’un Plancher en Bois (Solive)

Dimensionnement d'un Plancher en Bois (Solive)

Dimensionnement d'un Plancher en Bois (Solive)

Comprendre le Dimensionnement d'un Plancher en Bois

Le dimensionnement d'un plancher en bois consiste à vérifier qu'une solive (poutre supportant le plancher) est capable de résister aux charges appliquées sans dépasser les limites de résistance (flexion, cisaillement) et de déformation (flèche) admissibles, conformément aux règles de l'Eurocode 5. On vérifie ces critères à l'État Limite Ultime (ELU) pour la résistance et à l'État Limite de Service (ELS) pour la déformation.

Données

On étudie une solive d'un plancher d'habitation courant.

Géométrie :

  • Section de la solive (bois massif) : \(b = 75 \, \text{mm}\), \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • Portée de la solive (entre appuis) : \(L = 4.50 \, \text{m}\)
  • Entraxe des solives : \(E = 450 \, \text{mm}\)

Charges (sur le plancher) :

  • Charges permanentes \(G_k\) (structure + plancher + plafond + isolation, hors poids propre solive) : \(1.2 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation \(Q_k\) (habitation) : \(1.5 \, \text{kN/m}^2\)

Matériau (Bois Massif Résineux) :

  • Classe de résistance : C24
  • Caractéristiques (EC5 - Tableau 3.1) :
    • Résistance en flexion : \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
    • Résistance en cisaillement : \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\)
    • Module d'élasticité moyen parallèle au fil : \(E_{0,mean} = 11 \, 000 \, \text{MPa}\)
    • Masse volumique caractéristique : \(\rho_k = 350 \, \text{kg/m}^3\)
    • Masse volumique moyenne : \(\rho_{mean} = 420 \, \text{kg/m}^3\)

Conditions d'utilisation :

  • Classe de service : 1 (intérieur chauffé, humidité \( \le 65\% \))
  • Classe de durée des charges d'exploitation : Moyenne durée (ex: habitation)
  • Coefficient de modification \(k_{mod}\) (EC5 - Tableau 3.1) :
    • Pour charge permanente (Classe de service 1) : \(k_{mod,perm} = 0.6\)
    • Pour charge d'exploitation moyenne durée (Classe de service 1) : \(k_{mod,moy} = 0.8\)
  • Coefficient partiel pour le matériau : \(\gamma_M = 1.3\) (bois massif)
  • Coefficient de fluage \(k_{def}\) (EC5 - Tableau 3.2) pour C24 en Classe de service 1 : \(k_{def} = 0.6\)
  • Coefficients pour combinaisons ELS (EC0 - Tableau A1.1) : \(\psi_0 = 0.7\), \(\psi_1 = 0.5\), \(\psi_2 = 0.3\)
Schéma : Solive et Charges
Charges Gk, Qk L = 4.50 m Section b=75 h=225

Questions

  1. Calculer le poids propre linéique de la solive (\(g_{k,solive}\)).
  2. Calculer la charge linéique totale sur une solive à l'ELU (\(p_{Ed}\)) et à l'ELS (combinaison caractéristique : \(p_{ser,car}\) et quasi-permanente : \(p_{ser,qp}\)).
  3. Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal (\(V_{Ed}\)) à l'ELU.
  4. Vérifier la résistance de la solive à la flexion à l'ELU.
  5. Vérifier la résistance de la solive au cisaillement à l'ELU.
  6. Calculer la flèche instantanée (\(w_{inst}\)) et la flèche finale (\(w_{fin}\)) sous la combinaison quasi-permanente.
  7. Vérifier les critères de flèche (par exemple, \(w_{inst} \le L/300\) et \(w_{fin} \le L/250\)). Conclure sur le dimensionnement de la solive.

Correction : Dimensionnement d'un Plancher en Bois (Solive)

Question 1 : Calcul du Poids Propre Linéique de la Solive (\(g_{k,solive}\))

Principe :

Le poids propre linéique est la masse volumique moyenne multipliée par la section transversale de la solive, puis par l'accélération de la pesanteur (g \(\approx 9.81 \, m/s^2\)). On utilise la masse volumique moyenne \(\rho_{mean}\) pour le poids propre.

Formule :
\[g_{k,solive} = \rho_{mean} \times b \times h \times g\]

Attention aux unités : convertir b et h en mètres.

Données :
  • \(\rho_{mean} = 420 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(b = 75 \, \text{mm} = 0.075 \, \text{m}\)
  • \(h = 225 \, \text{mm} = 0.225 \, \text{m}\)
  • \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[g_{k,solive} = 420 \times 0.075 \times 0.225 \times 9.81 \] \[g_{k,solive} \approx 69.5 \, \text{N/m}\] \[g_{k,solive} \approx 0.07 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 1 : Le poids propre linéique de la solive est \(g_{k,solive} \approx 0.07 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Calcul des Charges Linéiques sur une Solive (ELU et ELS)

Principe :

Les charges surfaciques du plancher (Gk, Qk) sont multipliées par l'entraxe (E) des solives pour obtenir les charges linéiques correspondantes sur une solive. On ajoute ensuite le poids propre de la solive.

Calcul des charges linéiques caractéristiques :

Charge permanente (hors solive) :

\[g_{k,plancher} = G_k \times E \] \[g_{k,plancher} = 1.2 \, \text{kN/m}^2 \times 0.45 \, \text{m} \] \[g_{k,plancher} = 0.54 \, \text{kN/m}\]

Charge permanente totale :

\[g_{k,tot} = g_{k,plancher} + g_{k,solive} \] \[g_{k,tot} = 0.54 + 0.07 \] \[g_{k,tot} = 0.61 \, \text{kN/m}\]

Charge d'exploitation :

\[q_k = Q_k \times E \] \[q_k = 1.5 \, \text{kN/m}^2 \times 0.45 \, \text{m} \] \[q_k = 0.675 \, \text{kN/m}\]
Calcul de la charge ELU (\(p_{Ed}\)) :
\[p_{Ed} = 1.35 g_{k,tot} + 1.5 q_k\] \[p_{Ed} = 1.35 \times 0.61 + 1.5 \times 0.675 \] \[p_{Ed} \approx 0.8235 + 1.0125 \] \[p_{Ed} = 1.836 \, \text{kN/m}\]
Calcul de la charge ELS Caractéristique (\(p_{ser,car}\)) :
\[p_{ser,car} = g_{k,tot} + q_k \] \[p_{ser,car} = 0.61 + 0.675 \] \[p_{ser,car} = 1.285 \, \text{kN/m}\]
Calcul de la charge ELS Quasi-Permanente (\(p_{ser,qp}\)) :
\[p_{ser,qp} = g_{k,tot} + \psi_2 q_k\] \[p_{ser,qp} = 0.61 + 0.3 \times 0.675 \] \[p_{ser,qp} = 0.61 + 0.2025 \] \[p_{ser,qp} = 0.8125 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 2 : Les charges linéiques sur une solive sont :
  • ELU : \(p_{Ed} \approx 1.84 \, \text{kN/m}\)
  • ELS Caractéristique : \(p_{ser,car} \approx 1.29 \, \text{kN/m}\)
  • ELS Quasi-Permanente : \(p_{ser,qp} \approx 0.81 \, \text{kN/m}\)

Question 3 : Calcul du Moment (\(M_{Ed}\)) et de l'Effort Tranchant (\(V_{Ed}\)) Maxima à l'ELU

Principe :

Pour une poutre sur deux appuis de portée L soumise à une charge uniformément répartie \(p_{Ed}\) :

  • Le moment maximal se produit à mi-portée (\(x=L/2\)).
  • L'effort tranchant maximal se produit aux appuis (\(x=0\) et \(x=L\)).
Formules :
\[M_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} L}{2}\]
Données :
  • \(p_{Ed} = 1.836 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 4.50 \, \text{m}\)
Calcul :

Moment maximal :

\[M_{Ed} = \frac{1.836 \times (4.50)^2}{8} \] \[M_{Ed} = \frac{1.836 \times 20.25}{8} \] \[M_{Ed} \approx 4.646 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

Effort tranchant maximal :

\[V_{Ed} = \frac{1.836 \times 4.50}{2} \approx 4.131 \, \text{kN}\]
Résultat Question 3 : Les sollicitations maximales à l'ELU sont :
  • Moment fléchissant : \(M_{Ed} \approx 4.65 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Effort tranchant : \(V_{Ed} \approx 4.13 \, \text{kN}\)

Question 4 : Vérification de la Résistance à la Flexion (ELU)

Principe (EC5 - 6.1.6) :

La contrainte de flexion de calcul \(\sigma_{m,d}\) doit être inférieure ou égale à la résistance en flexion de calcul \(f_{m,d}\).

Formules :

Résistance de calcul en flexion :

\[f_{m,d} = k_{mod} \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\]

\(k_{mod}\) est déterminé par la classe de service et la classe de durée de l'action prépondérante dans la combinaison ELU. Ici, la charge d'exploitation (\(1.5 q_k = 1.01 \, kN/m\)) est plus importante que la charge permanente (\(1.35 g_{k,tot} = 0.82 \, kN/m\)). L'action prépondérante est donc de moyenne durée.

Contrainte de flexion de calcul :

\[\sigma_{m,d} = \frac{M_{Ed}}{W_y}\]

Module d'inertie (section rectangulaire) :

\[W_y = \frac{b h^2}{6}\]

Condition de vérification :

\[\sigma_{m,d} \le f_{m,d}\]
Données :
  • \(M_{Ed} = 4.65 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{mod} = k_{mod,moy} = 0.8\) (action Q prépondérante, moyenne durée, classe service 1)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :

Module d'inertie :

\[W_y = \frac{75 \times (225)^2}{6} = 632812.5 \, \text{mm}^3\]

Contrainte de calcul :

\[\sigma_{m,d} = \frac{4.65 \times 10^6}{632812.5} \approx 7.35 \, \text{MPa}\]

Résistance de calcul :

\[f_{m,d} = 0.8 \times \frac{24}{1.3} \approx 14.77 \, \text{MPa}\]

Vérification :

\[\sigma_{m,d} = 7.35 \, \text{MPa} \le f_{m,d} = 14.77 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})\]

Taux de travail : \(\frac{7.35}{14.77} \approx 50\%\)

Résultat Question 4 : La solive vérifie la condition de résistance à la flexion (\(7.35 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa}\)).

Question 5 : Vérification de la Résistance au Cisaillement (ELU)

Principe (EC5 - 6.1.7) :

La contrainte de cisaillement de calcul \(\tau_d\) doit être inférieure ou égale à la résistance au cisaillement de calcul \(f_{v,d}\).

Formules :

Résistance de calcul au cisaillement :

\[f_{v,d} = k_{mod} \frac{f_{v,k}}{\gamma_M}\]

On utilise le même \(k_{mod}=0.8\).

Contrainte de cisaillement de calcul (section rectangulaire) :

\[\tau_d = \frac{3}{2} \frac{V_{Ed}}{A_{eff}}\]

Où \(A_{eff} = b \times h\) est l'aire de la section. L'EC5 permet d'utiliser une largeur efficace \(b_{ef} = k_{cr} b\) pour tenir compte de la fissuration, mais pour le bois massif, on prend souvent \(k_{cr}=1\).

Condition de vérification :

\[\tau_d \le f_{v,d}\]
Données :
  • \(V_{Ed} = 4.13 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{mod} = 0.8\)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :

Aire de la section :

\[A = b \times h \] \[A = 75 \times 225 \] \[A = 16875 \, \text{mm}^2\]

Contrainte de calcul :

\[\tau_d = \frac{3}{2} \frac{4.13 \times 10^3}{16875} \approx 0.367 \, \text{MPa}\]

Résistance de calcul :

\[f_{v,d} = 0.8 \times \frac{4.0}{1.3} \approx 2.46 \, \text{MPa}\]

Vérification :

\[\tau_d = 0.37 \, \text{MPa} \le f_{v,d} = 2.46 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})\]

Taux de travail : \(\frac{0.37}{2.46} \approx 15\%\)

Résultat Question 5 : La solive vérifie la condition de résistance au cisaillement (\(0.37 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa}\)).

Question 6 : Calcul des Flèches (ELS Quasi-Permanente)

Principe (EC5 - 7.2) :

On calcule la flèche due aux charges sous la combinaison ELS appropriée. Pour la vérification de l'aspect et du confort, on utilise souvent la combinaison quasi-permanente.

La flèche instantanée (\(w_{inst}\)) est calculée avec le module d'élasticité moyen \(E_{0,mean}\).

La flèche finale (\(w_{fin}\)) tient compte du fluage du bois, via le coefficient \(k_{def}\).

Formules (Poutre sur 2 appuis, charge répartie p) :

Flèche instantanée maximale (à mi-portée) :

\[w_{inst} = \frac{5 p L^4}{384 E I}\]

Moment d'inertie (section rectangulaire) :

\[I_y = \frac{b h^3}{12}\]

Flèche finale :

\[w_{fin} = w_{g,inst}(1+k_{def}) + w_{q,inst}(1+\psi_2 k_{def})\]

Où \(w_{g,inst}\) est la flèche instantanée due à \(g_{k,tot}\) et \(w_{q,inst}\) est la flèche instantanée due à \(q_k\). Pour la combinaison quasi-permanente, on calcule directement :

\[w_{inst,qp} = \frac{5 p_{ser,qp} L^4}{384 E_{0,mean} I_y}\] \[w_{fin,qp} = w_{inst,qp} (1 + k_{def})\] (simplification courante si G prépondérant ou si on applique kdef à toute la charge qp)

Calcul plus précis de \(w_{fin}\) sous charge qp : La charge qp est \(g_k + \psi_2 q_k\). La part permanente est \(g_k\), la part variable est \(\psi_2 q_k\).

\[w_{fin,qp} = w_{g,inst}(1+k_{def}) + w_{q,inst,qp}(1+\psi_2 k_{def})\]

Où \(w_{g,inst}\) est la flèche due à \(g_{k,tot}\) et \(w_{q,inst,qp}\) est la flèche due à \(\psi_2 q_k\).

\[w_{fin,qp} = \frac{5 g_{k,tot} L^4}{384 E I} (1+k_{def}) + \frac{5 (\psi_2 q_k) L^4}{384 E I} (1+\psi_2 k_{def})\]

Utilisons la formule plus précise.

Données :
  • \(g_{k,tot} = 0.61 \, \text{kN/m} = 0.61 \, \text{N/mm}\)
  • \(q_k = 0.675 \, \text{kN/m} = 0.675 \, \text{N/mm}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\)
  • \(L = 4.50 \, \text{m} = 4500 \, \text{mm}\)
  • \(E_{0,mean} = 11000 \, \text{MPa} = 11000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\), \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • \(k_{def} = 0.6\) (Classe service 1)
Calcul :

Moment d'inertie :

\[I_y = \frac{75 \times (225)^3}{12} \] \[I_y \approx 7.119 \times 10^7 \, \text{mm}^4\]

Flèche instantanée due à \(g_{k,tot}\) :

\[w_{g,inst} = \frac{5 \times 0.61 \times (4500)^4}{384 \times 11000 \times 7.119 \times 10^7} \] \[w_{g,inst} \approx \frac{1.25 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{14}} \] \[w_{g,inst} \approx 4.17 \, \text{mm}\]

Flèche instantanée due à \(q_k\) :

\[w_{q,inst} = \frac{5 \times 0.675 \times (4500)^4}{384 \times 11000 \times 7.119 \times 10^7} \] \[w_{q,inst} \approx \frac{1.38 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{14}} \] \[w_{q,inst} \approx 4.60 \, \text{mm}\]

Flèche finale sous combinaison quasi-permanente :

\[w_{fin,qp} = w_{g,inst}(1+k_{def}) + w_{q,inst}(\psi_2 (1+k_{def})) \] ( Formule EC5 2.10, plus simple ) \[w_{fin,qp} = 4.17 \times (1+0.6) + 4.60 \times (0.3 \times (1+0.6)) \quad (\text{Non, c'est ψ2 kdef})\]

Utilisons la formule de l'EC5 (Eq. 2.24) : \(w_{fin}\) \(= w_{inst,G} (1+k_{def}) + w_{inst,Q1}\) \((1+\psi_{2,1}k_{def}) + \sum w_{inst,Qi}\) \((\psi_{0,i}+\psi_{2,i}k_{def})\)

Pour la combinaison QP : \(w_{fin,qp}\) \(= w_{inst,G} (1+k_{def}) + w_{inst,Q1}\) \((\psi_{2,1} (1+k_{def}))\)? Non.

Flèche finale nette : \[w_{net,fin} = w_{G,fin} + w_{Q,fin} \] \[w_{net,fin} = w_{G,inst}(1+k_{def}) + w_{Q,inst}(1+\psi_{2,1}k_{def})\]

Calculons la flèche instantanée sous charge qp :

\[p_{ser,qp} = 0.8125 \, \text{N/mm}\] \[w_{inst,qp} = \frac{5 \times 0.8125 \times (4500)^4}{384 \times 11000 \times 7.119 \times 10^7} \] \[w_{inst,qp} \approx \frac{1.67 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{14}} \] \[w_{inst,qp} \approx 5.57 \, \text{mm}\]

Calculons la flèche finale (fluage) sous charge qp :

\[w_{creep,qp} = k_{def} \times w_{inst,qp} \] \[w_{creep,qp} = 0.6 \times 5.57 \] \[w_{creep,qp} \approx 3.34 \, \text{mm} \quad (\text{Approximation})\]

Calcul précis :

\[w_{fin,qp} = w_{g,inst}(1+k_{def}) + \psi_2 w_{q,inst}(1+k_{def}) \quad (\text{Non, EC5 est différent})\] \[w_{fin,qp} = w_{inst,G} + w_{creep,G} + w_{inst,Q,qp} + w_{creep,Q,qp}\] \[w_{inst,G} = 4.17 mm\] \[w_{creep,G} = k_{def} w_{inst,G} \] \[w_{creep,G} = 0.6 \times 4.17 = 2.50 mm\] \[w_{inst,Q,qp} = \psi_2 w_{q,inst} \] \[w_{inst,Q,qp} = 0.3 \times 4.60 = 1.38 mm\] \[w_{creep,Q,qp} = k_{def} \psi_2 w_{q,inst} \] \[w_{creep,Q,qp} = 0.6 \times 1.38 = 0.83 mm\] \[w_{fin,qp} = 4.17 + 2.50 + 1.38 + 0.83 \] \[w_{fin,qp} = 8.88 \, \text{mm}\]
Résultat Question 6 : Les flèches sous combinaison quasi-permanente sont :
  • Flèche instantanée : \(w_{inst,qp} \approx 5.6 \, \text{mm}\)
  • Flèche finale (avec fluage) : \(w_{fin,qp} \approx 8.9 \, \text{mm}\)

Question 7 : Vérification des Critères de Flèche

Critères Limites (Courants pour planchers) :
  • Flèche instantanée (sous charge totale caractéristique ou variable seule) : \(w_{inst} \le L/300\)
  • Flèche finale (ou nette finale) : \(w_{fin} \le L/250\)

On vérifie ici la flèche finale sous combinaison quasi-permanente par rapport à L/250.

Calcul des Limites :
\[L/300 = 4500 / 300 = 15 \, \text{mm}\] \[L/250 = 4500 / 250 = 18 \, \text{mm}\]
Vérification :

Flèche instantanée qp :

\[w_{inst,qp} = 5.6 \, \text{mm} \le L/300 = 15 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]

(Note: le critère L/300 s'applique plutôt à la flèche instantanée due aux charges variables seules, ou à la flèche totale instantanée sous combinaison caractéristique. La vérification ici est indicative).

Flèche finale qp :

\[w_{fin,qp} = 8.9 \, \text{mm} \le L/250 = 18 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 7 : La flèche finale calculée (\(w_{fin,qp} \approx 8.9 \, \text{mm}\)) est inférieure à la limite usuelle de \(L/250 = 18 \, \text{mm}\). La solive est correctement dimensionnée vis-à-vis de la flèche à l'ELS.

Conclusion Générale : La solive de section 75x225 mm en bois C24 est correctement dimensionnée pour la portée de 4.50 m et les charges considérées, tant à l'ELU (flexion, cisaillement) qu'à l'ELS (flèche).

Dimensionnement d'un Plancher en Bois (Solive)

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