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Dimensionnement d’un Plancher en Bois (Solive)

Dimensionnement d’un Plancher en Bois (Solive) en RdM

Dimensionnement d’un Plancher en Bois (Solive)

Contexte : Le squelette invisible de nos maisons.

Le dimensionnement des solives d'un plancher en bois est une tâche fondamentale pour tout ingénieur en structure bois. Il ne s'agit pas seulement d'éviter l'effondrement, mais aussi de garantir le confort des utilisateurs en limitant la déformation et les vibrations. Cet exercice vous guidera à travers une démarche de vérification complète d'une solive selon les normes Eurocode 5Norme européenne pour la conception et le calcul des structures en bois. Elle définit les méthodes de calcul pour assurer la sécurité et la durabilité des constructions en bois., en abordant les notions d'états limites (ELU et ELS), de combinaisons de charges et des propriétés spécifiques au matériau bois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la dualité du métier d'ingénieur structure : assurer la sécurité (la solive ne doit pas casser, vérification à l'ELU) et le confort (le plancher ne doit pas trop se déformer, vérification à l'ELS). Nous allons voir comment des coefficients de sécurité et des facteurs de comportement du matériau (fluage, humidité) sont intégrés dans un calcul réaliste.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges permanentes (G) et d'exploitation (Q) sur une solive.
  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode à l'ELU et à l'ELS.
  • Déterminer la résistance en flexion d'une section de bois en tenant compte des facteurs d'ajustement (\(k_{\text{mod}}\), \(\gamma_M\)).
  • Vérifier la contrainte de flexion à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer la flèche instantanée et finale (incluant le fluage) et la vérifier à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les solives d'un plancher d'habitation. Le plancher est constitué d'un panneau OSB, des solives en bois résineux, et d'un plafond en plaques de plâtre. Les données du projet sont les suivantes :

Schéma du plancher et de la solive isolée
Panneau OSB Solives Plafond Plâtre Entraxe E p (charge / ml) Portée L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(E\) 0.5 \(\text{m}\)
Section de solive proposée (b x h) - 75 x 225 \(\text{mm}\)
Charges permanentes (hors poids propre) \(g_{\text{plancher}}\) 0.5 \(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation (habitation) \(q_k\) 2.0 \(\text{kN/m}^2\)
Classe du bois - C24 -
Classe de service (milieu intérieur chauffé) - 1 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge totale par mètre linéaire sur une solive à l'ELU (\(p_d\)) et à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)).
  2. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_d\)) à l'ELU.
  3. Vérifier la résistance de la solive à la flexion à l'ELU.
  4. Vérifier la flèche finale de la solive à l'ELS.

Les bases du calcul des structures bois

Avant la correction, revoyons les concepts spécifiques au dimensionnement bois selon l'Eurocode 5.

1. Combinaisons de charges :
On ne calcule pas la structure avec les charges nominales, mais avec des combinaisons majorées pour la sécurité. \[ p_d = 1.35 \cdot G + 1.50 \cdot Q \quad (\text{ELU}) \] \[ p_{\text{ser}} = G + Q \quad (\text{ELS}) \] Où G est la charge permanente et Q la charge d'exploitation.

2. Résistance de calcul en flexion (\(f_{\text{m,d}}\)) :
La résistance du bois n'est pas une valeur fixe. Elle dépend de la durée de la charge et de l'humidité. On part de la résistance caractéristique (\(f_{\text{m,k}}\), donnée pour la classe de bois) et on l'ajuste : \[ f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \] Où \(k_{\text{mod}}\) est le facteur de modification (ex: 0.8 pour une charge de longue durée en classe de service 1) et \(\gamma_M\) est le coefficient de sécurité du matériau (1.3 pour le bois massif).

3. Vérification de la flèche finale (\(w_{\text{net,fin}}\)) :
Le bois flue, c'est-à-dire qu'il se déforme dans le temps sous une charge constante. On doit donc vérifier la flèche à long terme. \[ w_{\text{net,fin}} = w_{\text{inst}, G} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst}, Q} \cdot (1 + \psi_2 \cdot k_{\text{def}}) \] Où \(k_{\text{def}}\) est le coefficient de fluage (ex: 0.6 pour la classe de service 1) et \(\psi_2\) un facteur de combinaison (0.3 pour l'habitation). La flèche totale doit être inférieure à une limite, souvent L/250 ou L/300.

Correction : Dimensionnement d’un Plancher en Bois

Question 1 : Calculer les charges par mètre linéaire

Principe (le concept physique)

Chaque solive supporte une bande de plancher correspondant à son entraxe. Pour obtenir la charge par mètre linéaire (kN/m) sur une solive, on multiplie la charge surfacique (kN/m²) par la largeur de cette bande, c'est-à-dire l'entraxe. Il faut également ajouter le poids propre de la solive elle-même.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La descente de charges est le processus qui consiste à acheminer les charges depuis leur point d'application (le plancher) jusqu'aux fondations. L'étape que nous réalisons ici est la première de ce processus : transformer des charges surfaciques en charges linéiques sur les éléments porteurs (les solives).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que chaque solive est responsable de la moitié du plancher qui la sépare de ses voisines. C'est sa "zone d'influence". En multipliant la charge au m² par cette largeur d'influence (l'entraxe), on trouve combien de kilogrammes pèsent sur chaque mètre de notre solive.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 1 (EN 1991) fournit les valeurs des charges d'exploitation à utiliser pour différents types de bâtiments (habitation, bureaux, stockage...). L'Eurocode 0 (EN 1990) définit les combinaisons de charges et les coefficients de sécurité (\(1.35G + 1.50Q\)) à appliquer pour les vérifications à l'ELU.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge permanente et d'exploitation par mètre linéaire :

\[ G_{\text{lin}} = g_{\text{plancher}} \cdot E + g_{\text{propre}} \]
\[ Q_{\text{lin}} = q_k \cdot E \]

Combinaisons de charges :

\[ p_d = 1.35 \cdot G_{\text{lin}} + 1.50 \cdot Q_{\text{lin}} \quad (\text{ELU}) \]
\[ p_{\text{ser}} = G_{\text{lin}} + Q_{\text{lin}} \quad (\text{ELS}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont uniformément réparties sur le plancher. La masse volumique du bois C24 est prise égale à 3.5 kN/m³.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes \(g_{\text{plancher}} = 0.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation \(q_k = 2.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe \(E = 0.5 \, \text{m}\)
  • Section \(b \times h = 0.075 \, \text{m} \times 0.225 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs d'unités, il est très important de tout convertir dans un système cohérent dès le début. Le plus simple est de travailler en kN et en mètres. N'oubliez pas le poids propre, il est souvent faible mais ne doit pas être omis dans un calcul réglementaire.

Schéma (Avant les calculs)
Transformation de la charge surfacique en charge linéique
Charge surfacique (kN/m²)Charge linéique (kN/m)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids propre de la solive par mètre linéaire :

\[ \begin{aligned} g_{\text{propre}} &= \text{Section} \times \text{Masse volumique} \\ &= (0.075 \, \text{m} \times 0.225 \, \text{m}) \times 3.5 \, \text{kN/m}^3 \\ &\approx 0.059 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul des charges linéiques G et Q :

\[ \begin{aligned} G_{\text{lin}} &= g_{\text{plancher}} \cdot E + g_{\text{propre}} \\ &= (0.5 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.5 \, \text{m}) + 0.059 \, \text{kN/m} \\ &= 0.309 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_{\text{lin}} &= q_k \cdot E \\ &= 2.0 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.5 \, \text{m} \\ &= 1.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Application des combinaisons :

\[ \begin{aligned} p_d &= 1.35 \cdot G_{\text{lin}} + 1.50 \cdot Q_{\text{lin}} \\ &= 1.35 \cdot 0.309 + 1.50 \cdot 1.0 \\ &= 0.417 + 1.50 \\ &= 1.917 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= G_{\text{lin}} + Q_{\text{lin}} \\ &= 0.309 + 1.0 \\ &= 1.309 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges linéiques sur la solive
ELU: p_d = 1.92 kN/mELS: p_ser = 1.31 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On constate que la charge de calcul à l'ELU (1.92 kN/m) est significativement plus élevée que la charge de service à l'ELS (1.31 kN/m). C'est normal, car les coefficients de sécurité majorent les charges pour la vérification de la résistance. On remarque aussi que la charge d'exploitation (Q) est prépondérante par rapport aux charges permanentes (G).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Les erreurs les plus fréquentes à cette étape sont d'oublier le poids propre de la solive ou de se tromper dans les unités entre les charges surfaciques (kN/m²) et linéiques (kN/m). Une double vérification est toujours utile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge linéique sur une solive est la charge surfacique multipliée par l'entraxe.
  • Il faut toujours ajouter le poids propre de l'élément étudié.
  • On utilise des combinaisons de charges différentes pour l'ELU (sécurité) et l'ELS (confort).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les planchers anciens, l'entraxe des solives était souvent irrégulier et dicté par la longueur des planches disponibles. Les calculs modernes avec un entraxe constant permettent une bien meilleure optimisation de la matière et une répartition plus homogène des charges.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients de sécurité sont-ils 1.35 et 1.50 ?

Ces coefficients sont issus d'analyses statistiques et probabilistes. Ils visent à couvrir les incertitudes sur les valeurs des charges (un meuble peut être plus lourd que prévu) et les variations des résistances des matériaux. La charge permanente (G) est mieux connue que la charge d'exploitation (Q), d'où son coefficient plus faible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de calcul par mètre linéaire est de 1.92 kN/m à l'ELU et 1.31 kN/m à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe passait à 0.6 m, quelle serait la nouvelle charge à l'ELU (\(p_d\)) en kN/m ?

Question 2 : Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_d\))

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant est l'effort interne qui provoque la flexion de la solive. Pour une solive sur deux appuis simples soumise à une charge uniformément répartie, cet effort est maximal au centre de la portée. C'est ce moment maximal que la solive doit être capable de supporter sans rompre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme du moment fléchissant pour une charge répartie est une parabole. Sa valeur est nulle aux appuis et maximale au milieu. La formule \(pL^2/8\) est obtenue par la double intégration de la charge, ou plus simplement en calculant le moment au point central (x=L/2) à partir des forces de réaction aux appuis.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez tenir une latte de bois souple par ses deux extrémités et la charger uniformément (avec des livres par exemple). Elle se cintrera le plus au milieu. Le moment fléchissant est la mesure de cette "envie de plier" à l'intérieur du bois. C'est au milieu qu'elle est la plus forte.

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(pL^2/8\) est un résultat fondamental de la statique des poutres. Elle est applicable pour le cas de charge le plus courant des poutres sur deux appuis et se retrouve dans tous les manuels de Résistance des Matériaux et les annexes des normes de calcul comme l'Eurocode 5.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples de longueur L avec une charge uniformément répartie \(p_d\) :

\[ M_d = \frac{p_d \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la solive est parfaitement appuyée à ses deux extrémités (appuis simples, sans encastrement) et que la charge linéique est constante sur toute la longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul ELU, \(p_d = 1.917 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • Portée de la solive, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour retrouver rapidement la formule : la charge totale est \(P = p_d \times L\). Chaque appui reprend la moitié, soit \(R = P/2 = p_d L / 2\). Le moment au centre est le moment de la réaction moins le moment de la demi-charge : \(M_{\text{max}} = R \times (L/2) - (p_d L/2) \times (L/4) = p_d L^2 / 4 - p_d L^2 / 8 = p_d L^2 / 8\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme parabolique)
M_d = ?00
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités kN et m, le résultat sera en kN·m.

\[ \begin{aligned} M_d &= \frac{p_d \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{1.917 \, \text{kN/m} \cdot (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{1.917 \cdot 16}{8} \\ &= 3.834 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)
M_d = 3.83 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment de 3.83 kN·m est la sollicitation maximale que la section de bois devra reprendre. Toute la vérification de résistance qui suit se base sur cette valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la portée L au carré. Une autre erreur est d'utiliser la mauvaise charge (par exemple la charge de service ELS au lieu de la charge de calcul ELU) pour le calcul du moment résistant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du moment maximal pour une charge répartie est \(M_{\text{max}} = pL^2/8\).
  • Le moment est maximal au milieu de la portée pour ce cas de charge.
  • On utilise toujours la charge de calcul ELU (\(p_d\)) pour la vérification de la résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour une poutre continue sur plusieurs appuis, le moment maximal peut être plus faible au milieu des travées (environ \(pL^2/11\)), mais des moments négatifs (qui tendent à courber la poutre vers le haut) apparaissent sur les appuis intermédiaires.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence avec une charge ponctuelle au milieu ?

Une charge ponctuelle F au milieu génère un moment de \(FL/4\). Le diagramme du moment est alors triangulaire et non parabolique. Les charges réparties sont beaucoup plus courantes pour les planchers.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal de calcul à l'ELU est de 3.83 kN·m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 5.0 m, quel serait le nouveau moment maximal \(M_d\) en kN·m ?

Question 3 : Vérifier la résistance à la flexion (ELU)

Principe (le concept physique)

Cette vérification consiste à s'assurer que la contrainte de flexion générée par le moment de calcul (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) est inférieure à la résistance en flexion du matériau (\(f_{\text{m,d}}\)). C'est le critère de non-rupture. Si \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\), la solive est considérée comme sûre vis-à-vis de la flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance du bois C24 est \(f_{\text{m,k}} = 24\) MPa. Pour une classe de service 1 (intérieur chauffé) et une charge de longue durée (plancher), \(k_{\text{mod}} = 0.8\). Le coefficient de sécurité est \(\gamma_M = 1.3\). La résistance de calcul est donc \(f_{\text{m,d}} = 0.8 \times 24 / 1.3 \approx 14.77\) MPa. C'est cette valeur que la contrainte ne doit pas dépasser.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un combat de boxe : la contrainte \(\sigma_{\text{m,d}}\) est le "coup" que la charge envoie à la solive. La résistance \(f_{\text{m,d}}\) est la "capacité d'encaissement" de la solive. Tant que le coup est moins fort que la capacité d'encaissement, tout va bien. Le "taux de travail" (\(\sigma/f\)) indique quel pourcentage de sa capacité est utilisé.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 définit les classes de résistance du bois (C18, C24, GL24h, etc.) et leurs propriétés caractéristiques (\(f_{\text{m,k}}\)). Il spécifie également les valeurs des coefficients \(k_{\text{mod}}\) (selon la durée de charge et la classe de service) et \(\gamma_M\) à utiliser dans les calculs de résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de flexion :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_d}{W_{y}} \]

avec le module de flexion :

\[ W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Critère de vérification :

\[ \frac{\sigma_{\text{m,d}}}{f_{\text{m,d}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la flexion a lieu autour de l'axe fort de la section (la solive est posée "de chant"). On néglige tout risque de déversement (flambement latéral), ce qui est généralement assuré par le panneau de plancher qui maintient la solive.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul \(M_d = 3.834 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (de Q2)
  • Section \(b \times h = 75 \times 225 \, \text{mm}\)
  • Résistance de calcul \(f_{\text{m,d}} = 14.77 \, \text{MPa}\) (ou N/mm²)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule du module de flexion \(W = bh^2/6\) est un classique à connaître par cœur pour les sections rectangulaires. Elle permet de passer directement du moment à la contrainte maximale. Attention à la cohérence des unités : si M est en kN·m, il faut le convertir en N·mm (\(\times 10^6\)) pour obtenir une contrainte en MPa (N/mm²).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution des contraintes dans la section
-σ_max?+σ_max?Axe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de flexion \(W_y\) (en mm³) :

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{b \cdot h^2}{6} \\ &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= 632812.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,d}}\) (moment en N·mm) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{M_d}{W_y} \\ &= \frac{3.834 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{632812.5 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 6.06 \, \text{N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]

3. Vérification du critère :

\[ \frac{\sigma_{\text{m,d}}}{f_{\text{m,d}}} = \frac{6.06 \, \text{MPa}}{14.77 \, \text{MPa}} = 0.41 \le 1.0 \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte
σ_d = 6.1 MPaRésistance f_d = 14.8 MPaOK (41%) ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le taux de travail de la solive est de 0.41, soit 41%. Cela signifie qu'elle utilise moins de la moitié de sa capacité de résistance en flexion. La section 75x225 mm est donc largement suffisante pour la résistance. On pourrait même envisager une section plus petite, mais il faudra d'abord vérifier la déformation (la flèche) qui est souvent le critère le plus contraignant pour les planchers.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre le module de flexion \(W = bh^2/6\) avec le moment quadratique \(I = bh^3/12\). Il est aussi crucial de ne pas utiliser la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) directement, mais bien la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) qui inclut les facteurs de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de flexion se calcule avec \(\sigma = M/W\).
  • La résistance de calcul du bois \(f_{\text{m,d}}\) dépend de la classe du bois, de la durée de la charge et de l'humidité (\(k_{\text{mod}}\)).
  • La vérification de sécurité est \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois lamellé-collé (Glulam) est un bois d'ingénierie fabriqué en collant ensemble des lamelles de bois de plus petite section. Ce procédé permet de fabriquer des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, et d'atteindre des classes de résistance supérieures à celles du bois massif (ex: GL24, GL28, GL32).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la résistance du bois dépend-elle de la durée de la charge ?

Le bois est un matériau viscoélastique. Sous une charge maintenue longtemps, les fibres de bois ont tendance à glisser les unes par rapport aux autres, un phénomène qui peut mener à la rupture par fluage. La résistance du bois est donc plus faible pour une charge permanente (neige, poids propre) que pour une charge de courte durée (vent, choc).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion (6.06 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (14.77 MPa). La section est validée à l'ELU.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une solive de 63x200 mm (\(W_y = 420000 \, \text{mm}^3\)), quel serait le taux de travail en flexion ?

Question 4 : Vérifier la flèche finale (ELS)

Principe (le concept physique)

On vérifie que la déformation du plancher sous les charges de service reste dans des limites acceptables pour le confort et pour éviter des dommages aux cloisons ou revêtements. On calcule la flèche due aux charges et on la compare à une limite réglementaire, généralement une fraction de la portée (L/300).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour le bois C24, le module d'élasticité moyen est \(E_{0,\text{mean}} = 11000\) MPa. En classe de service 1, le coefficient de fluage est \(k_{\text{def}} = 0.6\). La formule de la flèche instantanée pour une charge répartie est \(w_{\text{inst}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}\). On calcule ensuite la flèche finale en tenant compte du fluage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un plancher qui ne casse pas, c'est bien. Un plancher qui ne donne pas l'impression de s'enfoncer quand on marche dessus, c'est mieux ! C'est tout l'enjeu de la vérification à l'ELS. On s'assure que même après des années (en comptant le fluage), la "cuvette" formée par le plancher reste imperceptible.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 spécifie les limites de flèche à respecter. Pour un plancher courant, la flèche finale nette (celle qui se produit après la pose des éléments fragiles comme les cloisons) est souvent limitée à L/300 ou L/350 pour garantir le bon comportement des ouvrages.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche finale nette (simplifiée pour ce cas) :

\[ w_{\text{net,fin}} = \frac{5 \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \left[ G_{\text{lin}} \cdot (1+k_{\text{def}}) + Q_{\text{lin}} \right] \]

Critère de vérification :

\[ w_{\text{net,fin}} \le \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module d'élasticité moyen (\(E_{0,\text{mean}}\)) pour les calculs de déformation, car on s'intéresse au comportement moyen de la structure et non à un cas de rupture. La formule de flèche est celle d'une poutre sur deux appuis simples.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges ELS : \(G_{\text{lin}} = 0.309 \, \text{kN/m}\), \(Q_{\text{lin}} = 1.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • Section \(b \times h = 75 \times 225 \, \text{mm}\)
  • Propriétés C24 : \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\), \(k_{\text{def}} = 0.6\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(L^4\) dans la formule de la flèche est votre plus grand ennemi ! Une petite augmentation de la portée a un effet énorme sur la flèche. C'est pourquoi, pour de grandes portées, il faut très vite augmenter la hauteur des solives (qui influence l'inertie \(I\) en \(h^3\)) pour compenser.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la solive et flèche
w_net,fin = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_y\) (en mm⁴) :

\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{75 \cdot 225^3}{12} \\ &= 71191406 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Conversion des charges en N/mm :

\[ G_{\text{lin}} = 0.309 \, \text{kN/m} = 0.309 \, \text{N/mm} \]
\[ Q_{\text{lin}} = 1.0 \, \text{kN/m} = 1.0 \, \text{N/mm} \]

3. Calcul de la flèche finale (toutes les unités en N et mm) :

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} &= \frac{5 \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \left[ G_{\text{lin}} \cdot (1+k_{\text{def}}) + Q_{\text{lin}} \right] \\ &= \frac{5 \cdot (4000)^4}{384 \cdot 11000 \cdot 71191406} \left[ 0.309 \cdot (1+0.6) + 1.0 \right] \\ &= \left( \frac{1.28 \times 10^{15}}{3.005 \times 10^{17}} \right) \cdot \left[ 0.309 \cdot 1.6 + 1.0 \right] \\ &= (4.258) \cdot (0.4944 + 1.0) \\ &= 4.258 \cdot 1.4944 \\ &\approx 6.36 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Vérification du critère :

\[ \begin{aligned} \text{Limite de flèche} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 6.36 \, \text{mm} \le 13.33 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la flèche
w_fin = 6.4 mmLimite L/300 = 13.3 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche finale (6.36 mm) est bien inférieure à la limite admissible (13.33 mm). La solive est donc également validée vis-à-vis de la déformation. Comme la résistance était déjà validée avec une grande marge, on peut conclure que la section 75x225 mm est un bon choix pour ce plancher.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus grave est d'oublier le fluage (le terme \(k_{\text{def}}\)). Cela sous-estimerait la flèche à long terme de plus de 30% dans ce cas ! Il faut aussi être très vigilant sur la cohérence des unités à cause du terme \(L^4\), où une erreur est vite multipliée par \(1000^4\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS avec les charges de service.
  • La flèche du bois augmente avec le temps à cause du fluage (\(k_{\text{def}}\)).
  • La flèche est très sensible à la portée (\(L^4\)) et à la hauteur de la poutre (\(1/h^3\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers de très grande portée, on utilise parfois des poutres en I à âme bois (I-Joists) ou des poutres treillis (Poutrelles ajourées). Ces solutions d'ingénierie permettent d'obtenir une très grande hauteur (et donc une grande inertie et rigidité) pour un poids propre minimal, optimisant ainsi l'utilisation du matériau.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la limite est-elle L/300 et pas une valeur fixe ?

Une flèche de 10 mm est imperceptible sur une portée de 5 mètres, mais très visible et gênante sur une portée de 2 mètres. La limite est donc proportionnelle à la portée pour garantir un niveau de confort visuel et vibratoire constant, quelle que soit la dimension de la pièce.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale nette (6.36 mm) est inférieure à la flèche admissible (13.33 mm). La section est validée à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée était de 5.0 m, la solive 75x225 mm serait-elle toujours valable pour la flèche (L/300) ?

Outil Interactif : Paramètres du Plancher

Modifiez les paramètres du plancher pour voir leur influence sur le dimensionnement.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
0.5 m
225 mm
Résultats Clés
Taux de travail en flexion (ELU) -
Flèche finale (mm) -
Limite de flèche L/300 (mm) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois est un matériau anisotrope : ses propriétés mécaniques (résistance, rigidité) sont très différentes selon la direction des fibres. Il est extrêmement résistant et rigide dans le sens de la longueur des fibres (ce que l'on utilise pour une solive), mais beaucoup plus faible perpendiculairement. C'est pourquoi l'orientation des pièces de bois est cruciale en construction.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on des coefficients comme 1.35 et 1.50 ?

Ce sont des coefficients de sécurité partiels. Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes (G) est plus faible car ces charges sont généralement bien connues (poids des matériaux). Le coefficient 1.50 sur les charges d'exploitation (Q) est plus élevé car ces charges sont plus variables et incertaines (mobilier, personnes...). Ces coefficients garantissent que la structure reste sûre même en cas de surcharge imprévue.

Qu'est-ce que le fluage du bois ?

Le fluage est une déformation lente et continue d'un matériau sous une charge constante. Pour le bois, cela signifie qu'une solive chargée en permanence continuera de fléchir très lentement au fil des ans, même si la charge n'augmente pas. Le coefficient \(k_{\text{def}}\) permet d'anticiper cette déformation à long terme pour s'assurer que le plancher restera plan.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lequel de ces deux états limites est principalement lié au confort de l'utilisateur ?

2. Si la portée (L) d'une solive double, le moment fléchissant maximal est...

ELU (État Limite Ultime)
État qui correspond à la ruine ou à des déformations excessives de la structure. Les vérifications à l'ELU garantissent la sécurité et la non-rupture.
ELS (État Limite de Service)
État au-delà duquel les critères d'aptitude au service (confort, apparence, fonctionnement) ne sont plus respectés. Les vérifications à l'ELS concernent principalement les déformations (flèche) et les vibrations.
Fluage (Creep)
Déformation différée dans le temps d'un matériau soumis à une contrainte constante. Pour le bois, c'est un phénomène important qui augmente la flèche à long terme.
Dimensionnement d’un Plancher en Bois (Solive)

D’autres exercices de Structure en Bois:

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