EGC

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre en Béton Armé

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre en Béton Armé

Contexte : Pourquoi contrôler la fissuration d'une poutre ?

La fissuration du béton armé en zone tendue est un phénomène inévitable et même nécessaire à la mobilisation des armatures. Cependant, une ouverture de fissure excessive peut avoir des conséquences néfastes : elle peut nuire à l'aspect de l'ouvrage, mais surtout, elle peut compromettre sa durabilité en créant un chemin d'accès pour les agents agressifs (eau, CO2, chlorures) jusqu'aux armatures, provoquant leur corrosion. Le contrôle de la fissuration à l'État Limite de Service (ELS)État relatif aux conditions normales d'utilisation. On vérifie que les déformations et les fissures restent dans des limites acceptables pour garantir le confort et la durabilité. est donc une étape cruciale du dimensionnement, aussi importante que la vérification de la résistance à l'ELU.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur la méthode de calcul direct de l'ouverture des fissures selon l'Eurocode 2. Nous allons d'abord déterminer les contraintes dans l'acier sous charges de service, puis calculer l'espacement moyen des fissures pour enfin évaluer leur ouverture caractéristique (\(w_k\)) et la comparer à la limite admissible.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment de flexion à l'ELS en combinaison quasi-permanente.
  • Déterminer les propriétés d'une section fissurée (position de l'axe neutre, inertie).
  • Calculer la contrainte dans les armatures tendues sous charges de service.
  • Calculer l'espacement maximal des fissures \(S_{r,max}\).
  • Évaluer l'ouverture caractéristique des fissures \(w_k\) et la comparer à la limite réglementaire.

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton armé sur deux appuis simples, de portée \(L = 8.0 \, \text{m}\). La poutre est déjà dimensionnée à l'ELU et on souhaite vérifier son comportement à l'ELS vis-à-vis de la fissuration. Elle est située en milieu agressif (classe d'exposition XC4), ce qui impose une ouverture de fissure maximale \(w_{\text{max}} = 0.3 \, \text{mm}\).

Schéma de la poutre et de sa section
Portée L = 8.0 m Mser Section A-A h=50cm b=30cm As = 3 HA 20

Caractéristiques des charges et matériaux :

  • Charges permanentes (poids propre inclus) : \(G = 15 \, \text{kN/m}\).
  • Charges d'exploitation (bureaux) : \(Q = 10 \, \text{kN/m}\).
  • Coefficient pour la valeur quasi-permanente de l'action variable : \(\psi_2 = 0.3\).
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\), \(f_{ctm} = 2.9 \, \text{MPa}\)).
  • Module d'élasticité de l'acier : \(E_s = 200 \, 000 \, \text{MPa}\).
  • Module d'élasticité sécant du béton : \(E_{cm} = 33 \, 000 \, \text{MPa}\).
  • Ferraillage en zone tendue (issu du calcul ELU) : 3 HA 20 (\(A_s = 9.42 \, \text{cm}^2\)).
  • Enrobage : \(c = 3.5 \, \text{cm}\). Diamètre des cadres : \(\phi_t = 8 \, \text{mm}\).
  • Hauteur utile : \(d = h - c - \phi_t - \phi/2 = 50 - 3.5 - 0.8 - 2.0/2 = 44.7 \, \text{cm}\).

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant de service sous la combinaison quasi-permanente.
  2. Déterminer la position de l'axe neutre (\(y\)) et l'inertie de la section fissurée (\(I_{fiss}\)).
  3. Calculer la contrainte dans les armatures tendues (\(\sigma_s\)).
  4. Calculer l'ouverture caractéristique des fissures (\(w_k\)) et conclure.

Correction : Contrôle de la Fissuration d’une Poutre en Béton Armé

Question 1 : Calculer le moment fléchissant de service (\(M_{\text{ser}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Combinaison de charges quasi-permanente G (100%) ψ2 * Q (30%)

La vérification de la fissuration se fait à l'ELS, sous une combinaison de charges dite "quasi-permanente". Cette combinaison représente les charges qui sont présentes la plupart du temps sur la structure. Elle inclut la totalité des charges permanentes (G) et une fraction (\(\psi_2\)) des charges d'exploitation (Q), car il est peu probable que la charge maximale d'exploitation soit appliquée en permanence.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'Eurocode définit plusieurs combinaisons à l'ELS : caractéristique (rare), fréquente et quasi-permanente. La combinaison quasi-permanente est la plus utilisée pour les effets à long terme comme le fluage et la fissuration, car elle représente l'état de chargement le plus probable sur la durée de vie de l'ouvrage. Le coefficient \(\psi_2\) dépend de l'usage du bâtiment (ex: 0.3 pour des bureaux, 0.6 pour des zones de stockage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne confondez pas la combinaison ELS quasi-permanente (\(G + \psi_2 Q\)) avec la combinaison ELU (\(1.35G + 1.5Q\)). Les objectifs sont différents : l'ELS vérifie le confort et la durabilité, l'ELU vérifie la résistance ultime. Utiliser la mauvaise combinaison est une erreur majeure.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 0 (NF EN 1990) § 6.5.3 : Définit les combinaisons d'actions pour les états limites de service. La combinaison quasi-permanente est donnée par l'expression \(\sum_{j \ge 1} G_{k,j} + \sum_{i \ge 1} \psi_{2,i} Q_{k,i}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère une poutre isostatique sur deux appuis simples. Le moment maximal se situe donc à mi-portée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de calcul quasi-permanente :

\[ p_{\text{ser,qp}} = G + \psi_2 \times Q \]

Moment fléchissant maximal à mi-portée :

\[ M_{\text{ser}} = \frac{p_{\text{ser,qp}} \times L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes : \(G = 15 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation : \(Q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Coefficient quasi-permanent : \(\psi_2 = 0.3\)
  • Portée de la poutre : \(L = 8.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge de service :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser,qp}} &= 15 \, \text{kN/m} + 0.3 \times 10 \, \text{kN/m} \\ &= 15 + 3 \\ &= 18 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul du moment de service :

\[ \begin{aligned} M_{\text{ser}} &= \frac{18 \, \text{kN/m} \times (8.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{18 \times 64}{8} \\ &= 144 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment de 144 kN.m est la sollicitation sous laquelle nous devons vérifier que les fissures ne sont pas excessives. Il est significativement plus faible que le moment à l'ELU qui a servi à dimensionner les aciers, ce qui est normal car les coefficients de sécurité ne sont pas appliqués.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le point de départ de toute vérification à l'ELS. Il est impératif de déterminer correctement la sollicitation agissant sur la section avant de pouvoir calculer les contraintes et les déformations qui en résultent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Mauvais coefficient \(\psi_2\) : Utiliser un mauvais coefficient \(\psi\) peut mener à une sous-estimation ou sur-estimation de la sollicitation de service. Il faut toujours vérifier la valeur de \(\psi_2\) dans l'Eurocode 0 en fonction de l'usage du bâtiment.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les ponts, les combinaisons de charges sont beaucoup plus complexes. Elles incluent non seulement le poids propre et le trafic routier, mais aussi les effets du vent, de la température, du freinage des véhicules et parfois même des chocs de bateaux sur les piles.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on toujours utiliser la combinaison quasi-permanente pour la fissuration ?

En général, oui. C'est la combinaison de référence pour la fissuration due aux charges. Cependant, pour des cas spécifiques comme la fissuration due à des déformations imposées (retrait, température), d'autres combinaisons peuvent être plus pertinentes.

Point à retenir : La vérification de la fissuration se fait à l'ELS avec la combinaison quasi-permanente (\(G + \psi_2 Q\)) pour représenter les charges de longue durée.

Résultat Final : Le moment de service quasi-permanent est \(M_{\text{ser}} = 144 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer !

Question 2 : Déterminer la position de l'axe neutre et l'inertie de la section fissurée

Principe avec image animée (le concept physique)
Béton comprimé Béton tendu (négligé) Axe Neutre y d-y

Sous l'effet du moment fléchissant, la partie inférieure de la poutre est tendue. Comme le béton résiste très mal à la traction, il se fissure. Pour les calculs à l'ELS, on considère une section "homogénéisée" où le béton tendu est ignoré et où la section d'acier est remplacée par une section équivalente de béton. La première étape est de trouver la position de l'axe neutre, qui est l'axe séparant la zone de béton comprimé de la zone tendue. Cet axe se trouve en écrivant que le moment statique de la section comprimée par rapport à l'axe neutre est égal au moment statique de la section d'acier transformée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La "transformation" de l'acier en béton équivalent se fait à l'aide du coefficient d'équivalence \(\alpha_e\), qui est le rapport des modules d'élasticité de l'acier et du béton (\(\alpha_e = E_s / E_{cm}\)). Ce coefficient exprime le fait que l'acier est beaucoup plus rigide que le béton. Une section d'acier \(A_s\) se comporte donc comme une section de béton \(\alpha_e \times A_s\) située à la même position.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul de la position de l'axe neutre (\(y\)) aboutit à une équation du second degré. C'est une étape purement mathématique mais fondamentale. Une erreur sur \(y\) faussera tous les calculs suivants (inertie, contraintes, etc.). Soyez méthodique dans la résolution.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 7.2 (2) : "Pour l'analyse des contraintes et des déformations, on peut admettre que le béton et l'acier se comportent de manière élastique linéaire". Cette phrase justifie l'utilisation de la méthode de la section homogénéisée et du coefficient d'équivalence \(\alpha_e\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section reste plane après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli). On néglige la résistance du béton en traction. On ne prend pas en compte les armatures comprimées (s'il y en avait).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient d'équivalence :

\[ \alpha_e = \frac{E_s}{E_{cm}} \]

Équation de l'axe neutre (moment statique) :

\[ b \times \frac{y^2}{2} = \alpha_e \times A_s \times (d-y) \]

Inertie de la section fissurée homogénéisée :

\[ I_{fiss} = \frac{b \times y^3}{3} + \alpha_e \times A_s \times (d-y)^2 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\) ; \(E_{cm} = 33000 \, \text{MPa}\)
  • \(b = 30 \, \text{cm}\) ; \(d = 44.7 \, \text{cm}\)
  • \(A_s = 9.42 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du coefficient d'équivalence :

\[ \begin{aligned} \alpha_e &= \frac{200000}{33000} \\ &\approx 6.06 \end{aligned} \]

Résolution de l'équation de l'axe neutre :

\[ \begin{aligned} 30 \times \frac{y^2}{2} &= 6.06 \times 9.42 \times (44.7-y) \\ 15y^2 &= 57.0972 \times (44.7-y) \\ 15y^2 &= 2552.24 - 57.0972y \\ 15y^2 + 57.0972y - 2552.24 &= 0 \end{aligned} \]

La solution positive de cette équation du second degré est \(y \approx 11.35 \, \text{cm}\).

Calcul de l'inertie de la section fissurée :

\[ \begin{aligned} I_{fiss} &= \frac{30 \times (11.35)^3}{3} + 6.06 \times 9.42 \times (44.7-11.35)^2 \\ &= 14593 + 57.0972 \times (33.35)^2 \\ &= 14593 + 63524 \\ &= 78117 \, \text{cm}^4 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'axe neutre se situe à 11.35 cm de la fibre la plus comprimée. C'est une petite fraction de la hauteur totale (50 cm), ce qui est typique d'une section en béton armé où une grande partie du béton est fissurée en zone tendue. L'inertie de 78117 cm⁴ sera utilisée pour calculer les contraintes.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination des propriétés géométriques de la section fissurée (y et \(I_{fiss}\)) est indispensable pour pouvoir appliquer les formules de la résistance des matériaux et calculer les contraintes réelles dans le béton et l'acier sous les charges de service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités cohérentes : L'erreur la plus fréquente ici est de ne pas utiliser des unités cohérentes. Si vous commencez le calcul en cm, toutes les dimensions (b, d, y) et les sections (As) doivent être en cm et cm². Le résultat pour l'inertie sera alors en cm⁴.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'inertie d'une section en béton armé n'est pas constante. Elle est maximale avant fissuration (section brute) et diminue considérablement après fissuration. Cette variation de l'inertie le long de la poutre est la raison pour laquelle le calcul des flèches en béton armé est beaucoup plus complexe que pour une poutre en acier.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on prendre en compte le fluage du béton ?

Pour un calcul précis des contraintes à long terme, il faudrait utiliser un module d'élasticité effectif du béton qui prend en compte le fluage. Cela revient à utiliser un coefficient d'équivalence \(\alpha_e\) plus grand, ce qui augmente la contrainte calculée dans l'acier.

Point à retenir : Pour analyser une section fissurée, on doit trouver la position de l'axe neutre en égalant les moments statiques de la zone de béton comprimé et de la zone d'acier "transformée" (\(\alpha_e A_s\)).

Résultat Final : La position de l'axe neutre est \(y = 11.35 \, \text{cm}\) et l'inertie de la section fissurée est \(I_{fiss} = 78117 \, \text{cm}^4\).

Question 3 : Calculer la contrainte dans les armatures tendues (\(\sigma_s\))

Principe avec image animée (le concept physique)
σ_bc σs / αe

Une fois l'inertie de la section fissurée connue, on peut utiliser la formule classique de la résistance des matériaux pour la flexion. La contrainte en un point est proportionnelle à sa distance à l'axe neutre. On calcule donc la contrainte dans l'acier (situé à une distance \(d-y\) de l'axe neutre) en utilisant le moment de service \(M_{ser}\) et l'inertie \(I_{fiss}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = M y / I\) est le pilier de la flexion élastique. Dans le cas du béton armé, on l'applique à la section homogénéisée. Pour obtenir la contrainte réelle dans l'acier, il faut multiplier la contrainte calculée sur la section de béton équivalente par le coefficient d'équivalence \(\alpha_e\). C'est ce qui mène directement à la formule utilisée ici.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La contrainte dans l'acier est le paramètre le plus influent sur l'ouverture des fissures. Plus l'acier est sollicité (contrainte élevée), plus il s'allonge, et plus les fissures s'ouvrent. C'est pourquoi la maîtrise de cette contrainte est au cœur de la vérification.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 7.3.4 (1) : "L'ouverture des fissures, \(w_k\), peut être calculée à partir de l'expression : \(w_k = S_{r,max} (\epsilon_{sm} - \epsilon_{cm})\)". Le calcul de la déformation moyenne de l'acier \(\epsilon_{sm}\) dépend directement de la contrainte \(\sigma_s\), ce qui montre le lien direct entre contrainte et fissuration.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On reste dans le domaine élastique linéaire pour l'acier et le béton. On utilise les propriétés de la section calculées à l'étape précédente.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte dans les armatures tendues :

\[ \sigma_s = \alpha_e \frac{M_{\text{ser}}}{I_{fiss}} (d-y) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\alpha_e = 6.06\)
  • \(M_{\text{ser}} = 144 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 144 \times 10^4 \, \text{N} \cdot \text{cm}\)
  • \(I_{fiss} = 78117 \, \text{cm}^4\)
  • \(d = 44.7 \, \text{cm}\) ; \(y = 11.35 \, \text{cm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la contrainte dans l'acier :

\[ \begin{aligned} \sigma_s &= 6.06 \times \frac{144 \times 10^4 \, \text{N} \cdot \text{cm}}{78117 \, \text{cm}^4} \times (44.7 - 11.35) \, \text{cm} \\ &= 6.06 \times 18.43 \, \text{N/cm}^2 \times 33.35 \, \text{cm} \\ &= 3724.8 \, \text{N/cm}^2 \\ &= 37.25 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte calculée dans l'acier est de 37.25 MPa. C'est une valeur relativement faible par rapport à la limite élastique de l'acier (500 MPa), ce qui est un bon indicateur pour le contrôle de la fissuration. Cela suggère que la section d'acier, dimensionnée pour l'ELU, est assez confortable pour l'ELS.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La valeur de \(\sigma_s\) est une donnée d'entrée essentielle pour le calcul final de l'ouverture de fissure. Sans cette valeur, il est impossible de quantifier l'allongement de l'acier entre les fissures, qui est le principal moteur de leur ouverture.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le coefficient \(\alpha_e\) : Une erreur fréquente est d'oublier de multiplier par le coefficient d'équivalence \(\alpha_e\). La formule \(My/I\) donne la contrainte dans le béton homogénéisé équivalent, pas dans l'acier réel.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de "tension stiffening" (participation du béton tendu entre les fissures) fait que la rigidité réelle d'une poutre fissurée est légèrement supérieure à celle calculée avec la section fissurée seule. L'Eurocode 2 en tient compte dans ses formules de calcul de flèche, mais le néglige pour le calcul des contraintes, ce qui est une simplification sécuritaire.

FAQ (pour lever les doutes)
La contrainte est-elle la même sur toute la longueur de la poutre ?

Non, la contrainte \(\sigma_s\) est directement proportionnelle au moment fléchissant \(M_{ser}\). Elle est donc maximale à mi-portée (là où le moment est maximal) et nulle sur les appuis. La vérification de la fissuration se fait toujours à l'endroit le plus sollicité.

Point à retenir : La contrainte dans l'acier \(\sigma_s\) se calcule avec la formule de la flexion appliquée à la section homogénéisée fissurée, en utilisant le moment de service \(M_{ser}\).

Résultat Final : La contrainte dans les armatures à l'ELS est \(\sigma_s = 37.25 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Calculer l'ouverture caractéristique des fissures (\(w_k\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Sr,max wk ≈ Sr,max * εs

L'ouverture d'une fissure (\(w_k\)) est le produit de deux termes : l'espacement moyen des fissures (\(S_{r,max}\)) et l'allongement relatif moyen de l'acier entre ces fissures (\(\epsilon_{sm} - \epsilon_{cm}\)). L'espacement des fissures dépend principalement du diamètre des barres et de leur enrobage. L'allongement de l'acier dépend de la contrainte \(\sigma_s\) que nous venons de calculer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le terme \((\epsilon_{sm} - \epsilon_{cm})\) représente la différence d'allongement entre l'acier (\(\epsilon_{sm}\)) et le béton tendu qui l'entoure (\(\epsilon_{cm}\)). C'est cette différence qui "ouvre" la fissure. Le calcul de ce terme prend en compte l'effet de "tension stiffening", c'est-à-dire la petite contribution du béton tendu entre les fissures, qui a tendance à réduire légèrement l'allongement moyen de l'acier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La formule de \(w_k\) montre bien les leviers pour réduire la fissuration : utiliser des barres de plus petit diamètre, bien réparties (ce qui réduit \(S_{r,max}\)), ou augmenter la section d'acier (ce qui réduit \(\sigma_s\) et donc l'allongement).

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 7.3.4 : Fournit les formules détaillées pour calculer \(S_{r,max}\) (Eq. 7.11) et \(w_k\) (Eq. 7.8). Les coefficients \(k_1, k_2, k_3, k_4\) dépendent des propriétés d'adhérence des barres et du type de chargement.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise des barres à haute adhérence (\(k_1=0.8\)). Le chargement est de longue durée (\(k_t=0.4\)). On néglige la contribution du béton tendu dans le calcul de la déformation (\(\epsilon_{cm} \approx 0\)), ce qui est une simplification sécuritaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire effective de béton en traction :

\[ A_{c,eff} = b \times \min(2.5(h-d); (h-y)/3; h/2) \]

Ratio d'armatures effectif :

\[ \rho_{p,eff} = \frac{A_s}{A_{c,eff}} \]

Espacement maximal des fissures :

\[ S_{r,max} = k_3 c + k_1 k_2 k_4 \frac{\phi}{\rho_{p,eff}} \]

Ouverture caractéristique des fissures :

\[ w_k = S_{r,max} \times \frac{\sigma_s}{E_s} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(h=50\,\text{cm}\), \(b=30\,\text{cm}\), \(d=44.7\,\text{cm}\), \(y=11.35\,\text{cm}\), \(c=3.5\,\text{cm}\)
  • \(A_s = 9.42\,\text{cm}^2\), \(\phi=20\,\text{mm}\)
  • \(\sigma_s = 37.25 \, \text{MPa}\), \(f_{ctm}=2.9\,\text{MPa}\)
  • \(k_1=0.8\), \(k_2=0.5\), \(k_3=3.4\), \(k_4=0.425\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire effective de béton :

\[ \begin{aligned} A_{c,eff} &= 30 \times \min(2.5(50-44.7); (50-11.35)/3; 50/2) \\ &= 30 \times \min(13.25; 12.88; 25) \\ &= 30 \times 12.88 = 386.4 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du ratio d'armatures effectif :

\[ \rho_{p,eff} = \frac{9.42}{386.4} = 0.0244 \]

Calcul de l'espacement maximal des fissures :

\[ \begin{aligned} S_{r,max} &= 3.4 \times 35 + 0.8 \times 0.5 \times 0.425 \times \frac{20}{0.0244} \\ &= 119 + 139.3 \\ &= 258.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul de l'ouverture des fissures :

\[ \begin{aligned} w_k &= 258.3 \, \text{mm} \times \frac{37.25 \, \text{MPa}}{200000 \, \text{MPa}} \\ &= 0.048 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Vérification finale :

\[ w_k = 0.048 \, \text{mm} \le w_{max} = 0.3 \, \text{mm} \quad (\text{OK}) \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'ouverture de fissure calculée (0.048 mm) est très inférieure à la limite admissible (0.3 mm). Cela confirme que la poutre est très bien dimensionnée vis-à-vis de la fissuration. La faible contrainte dans l'acier à l'ELS est la principale raison de ce bon résultat.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape de vérification finale qui permet de valider ou d'invalider le dimensionnement de la poutre à l'ELS. Elle synthétise tous les calculs précédents pour donner une valeur quantifiable et comparable à une exigence réglementaire directement liée à la durabilité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités dans la formule de \(S_{r,max}\) : La formule de l'espacement des fissures est hétérogène en termes d'unités. Il faut être très vigilant : \(c\) et \(\phi\) doivent être en mm, tandis que \(\rho_{p,eff}\) est sans dimension. Le résultat est en mm.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les bétons fibrés à ultra-hautes performances (BFUP) ont un comportement très différent. Les fibres métalliques réparties dans la masse permettent de "coudre" les micro-fissures, ce qui donne au matériau une ductilité en traction et permet la conception d'éléments très fins sans armatures traditionnelles, avec une fissuration très finement répartie.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si \(w_k > w_{max}\) ?

Si la vérification n'est pas satisfaite, l'ingénieur a plusieurs options : augmenter la section d'acier \(A_s\) (ce qui diminue \(\sigma_s\)), utiliser des barres de plus petit diamètre mais plus nombreuses pour une même section d'acier (ce qui diminue \(S_{r,max}\)), ou, si possible, augmenter les dimensions de la section de béton.

Point à retenir : L'ouverture finale des fissures \(w_k\) est le produit de l'espacement des fissures et de l'allongement de l'acier. Elle doit être inférieure à la limite \(w_{max}\) pour assurer la durabilité.

Proposition : L'ouverture de fissure \(w_k = 0.048 \, \text{mm}\) est inférieure à la limite de \(0.3 \, \text{mm}\). La poutre est conforme à l'ELS.

Outil Interactif : Calculateur d'armatures pour tirant

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Projet
Résultats
Section d'acier requise (cm²) -
Proposition : -

Pour Aller Plus Loin : Longueur d'ancrage

Ancrage des armatures : Calculer la section d'acier ne suffit pas. Il faut s'assurer que les barres sont suffisamment "ancrées" dans le béton aux extrémités du tirant pour ne pas glisser. L'Eurocode 2 définit une "longueur d'ancrage de référence" \(l_{\text{b,rqd}}\) qui dépend du diamètre de la barre, de la contrainte dans l'acier et de l'adhérence acier-béton. Si la géométrie ne permet pas un ancrage droit, on utilise des crochets ou des coudes.

Le Saviez-Vous ?

Le béton précontraint est une technique ingénieuse pour améliorer le comportement des éléments tendus. Avant la mise en service, on tend des câbles d'acier à haute résistance à l'intérieur du béton. En se relâchant, ces câbles compriment le béton. Ainsi, lorsque l'effort de traction extérieur est appliqué, il doit d'abord "vaincre" cette pré-compression avant que le béton ne soit réellement mis en traction. Cela permet d'éviter ou de limiter fortement la fissuration.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser la résistance du béton en traction dans les calculs ?

La résistance du béton en traction est très faible (environ 10% de sa résistance en compression) et peu fiable. Surtout, le béton est un matériau fragile en traction : il se fissure brutalement. En négligeant sa contribution, on se place du côté de la sécurité et on conçoit un élément dont le comportement est ductile (dû à l'acier), ce qui est une exigence fondamentale en génie civil.

Que se passe-t-il si on met trop d'acier ?

L'Eurocode 2 limite également la section maximale d'armatures (généralement à 4% de la section de béton, \(A_{\text{s,max}} = 0.04 A_c\)) pour garantir un bon enrobage des barres et un bétonnage correct. Un pourcentage trop élevé peut créer des difficultés de mise en œuvre et nuire à la durabilité.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans le calcul à l'ELU d'un tirant, quel matériau reprend l'effort de traction ?

2. La condition de non-fragilité sert à :

Tirant
Élément de structure, généralement allongé, conçu pour résister à des efforts de traction axiale. Le béton sert principalement à la protection des aciers et au contrôle de la fissuration.
État Limite Ultime (ELU)
Correspond à la capacité portante maximale de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité et à prévenir l'effondrement en appliquant des coefficients de sécurité sur les charges et les résistances des matériaux.
État Limite de Service (ELS)
Relatif aux conditions normales d'utilisation. Les vérifications à l'ELS garantissent le confort des usagers et la durabilité de l'ouvrage, en limitant des phénomènes comme les déformations excessives ou la fissuration.
Non-fragilité
Condition de dimensionnement qui impose une section minimale d'armatures pour qu'au moment de la fissuration du béton, l'acier soit capable de reprendre l'effort sans rupture brutale, assurant un comportement ductile.
Fondamentaux du Béton Armé : Dimensionnement d'un Tirant

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