Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
📝 Situation du Projet
Vous intégrez le Bureau d'Études Structure "WoodTech Solutions" en charge de la réhabilitation d'un ancien entrepôt industriel en zone logistique (Nord de la France). Le projet consiste à créer une mezzanine de stockage lourd pour des pièces mécaniques (charge d'exploitation élevée de 500 kg/m²). La structure porteuse principale est constituée de portiques en Bois Lamellé-Collé (BLC), un choix dicté par des contraintes esthétiques et une résistance au feu supérieure à l'acier non protégé.
Le bâtiment est classé en Classe de Service 1 (milieu intérieur, chauffé, humidité du bois < 12%). L'étude se concentre spécifiquement sur la poutre porteuse principale P04 (travée centrale de 6.00m). Suite à la descente de charges rigoureuse effectuée par vos collègues, cette poutre subit un effort tranchant critique au niveau des appuis sur les poteaux, généré par les réactions d'appui des solives secondaires entraxées tous les 50 cm.
Contrairement à l'acier (isotrope), le bois est un matériau orthotrope particulièrement sensible au cisaillement longitudinal (glissement des fibres les unes par rapport aux autres). Une rupture par cisaillement dans le bois est souvent soudaine, fragile et se propage le long du fil du bois, pouvant entraîner l'effondrement sans signes précurseurs (comme la plastification en flexion).
En tant qu'Ingénieur Structure Bois, vous devez vérifier la résistance au cisaillement (Effort Tranchant) de la section rectangulaire proposée pour la poutre P04 aux Eurocodes 5. Vous devez déterminer la contrainte tangente maximale \(\tau_{\text{max}}\) générée par le chargement et la comparer à la résistance de calcul \(f_{\text{v,d}}\) du matériau, en tenant compte des coefficients de sécurité réglementaires.
"Attention, pour les sections rectangulaires en bois, la contrainte de cisaillement n'est pas uniforme sur la hauteur. N'utilisez pas V/S, mais bien la formule de Jourawski. Le maximum est à mi-hauteur (axe neutre)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux normes en vigueur (Eurocodes 0, 1 et 5). Toutes les valeurs incluent déjà les pondérations de charges \(1.35G + 1.5Q\) pour l'État Limite Ultime (ELU).
📚 Référentiel Normatif
Le dimensionnement des structures bois est régi par l'Eurocode 5. Ce règlement impose une vérification stricte du cisaillement, car contrairement au béton ou à l'acier, le bois possède une faible résistance au cisaillement longitudinal parallèle aux fibres.
NF EN 1995-1-1 (Eurocode 5) Résistance des MatériauxLe matériau retenu est un Bois Lamellé-Collé de classe GL24h (h = homogène). Cette classe garantit des lamelles de haute qualité sur toute la hauteur. La résistance caractéristique au cisaillement (notée \(f_{\text{v,k}}\)) est issue des essais normés à court terme. Pour le calcul de dimensionnement (valeur "design"), nous devons appliquer deux coefficients correcteurs :
- \(\gamma_{\text{M}}\) : Sécurité liée au matériau (1.25 pour le BLC).
- \(k_{\text{mod}}\) : Effet de la durée de charge et de l'humidité (0.80 pour une charge moyenne en classe 1).
| DONNÉES GL24h | |
| Résistance caract. au cisaillement \(f_{\text{v,k}}\) | 3.5 MPa (N/mm²) |
| Coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{\text{M}}\) | 1.25 (Bois lamellé) |
| Coefficient modificatif \(k_{\text{mod}}\) | 0.80 (Classe service 1, durée moyenne) |
📐 Géométrie de la Section
La section est rectangulaire pleine, optimisée pour une grande inertie verticale afin de limiter la flèche. Le rapport h/b est proche de 3, ce qui est classique pour des poutres principales en bois.
- Largeur de la section \(b\) : 140 mm
- Hauteur de la section \(h\) : 400 mm
- Type de section : Rectangulaire pleine
⚖️ Sollicitations (ELU)
Valeur maximale issue de la combinaison fondamentale \(1.35G + 1.5Q\) au niveau de l'appui gauche.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort Tranchant de calcul | \(V_{\text{Ed}}\) | 45.0 | kN |
| Largeur section | \(b\) | 140 | mm |
| Hauteur section | \(h\) | 400 | mm |
| Résistance cisaillement | \(f_{\text{v,k}}\) | 3.5 | MPa |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour mener à bien cette vérification structurelle, en respectant la logique de la Résistance des Matériaux.
Propriétés Géométriques
Calcul de l'aire (A) de la section, paramètre fondamental pour déterminer la contrainte moyenne.
Résistance de Calcul du Matériau
Passage de la valeur caractéristique (\(f_{\text{v,k}}\)) à la valeur de calcul (\(f_{\text{v,d}}\)) en intégrant les coefficients de sécurité de l'Eurocode 5.
Calcul de la Contrainte Tangente
Détermination de la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) au niveau de l'axe neutre via la formule de Jourawski.
Vérification Réglementaire
Comparaison finale de la contrainte agissante versus la résistance du matériau (Ratio).
Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape fondatrice est de quantifier précisément la surface de matière disponible dans la section transversale pour reprendre les efforts. Il ne s'agit pas d'un simple calcul d'aire d'école primaire, mais de la définition de la section brute qui sera utilisée dans tous les calculs de contraintes ultérieurs. Une erreur à ce stade, aussi minime soit-elle, invaliderait l'intégralité de la note de calcul.
📚 Référentiel
Géométrie EuclidienneEurocode 5 (Sections brutes)Nous sommes face à une section rectangulaire pleine en bois lamellé-collé (BLC). Pour une vérification au cisaillement (Effort Tranchant), la grandeur géométrique critique n'est pas le moment d'inertie (\(I_{\text{y}}\)) ou le module de flexion (\(W_{\text{el}}\)), mais bien l'Aire totale (\(A\)). Pourquoi ? Parce que la formule simplifiée de Jourawski pour les sections rectangulaires utilise directement l'aire pour définir la contrainte moyenne avant de lui appliquer un facteur de forme. Nous travaillerons ici exclusivement en millimètres (mm), l'unité standard en construction bois pour garantir la cohérence avec les contraintes en MPa (N/mm²).
L'aire \(A\) est formellement définie comme l'intégrale double de la surface élémentaire \(dS\) sur le domaine \(S\) de la section. Pour un rectangle de largeur \(b\) et hauteur \(h\) :
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur (\(b\)) | 140 mm |
| Hauteur (\(h\)) | 400 mm |
En construction bois, ne convertissez pas en mètres pour calculer les sections ! Restez en mm². Cela vous évitera de manipuler des chiffres à virgule infinie (0.000...) et vous donnera directement des résultats compatibles avec les Newtons pour obtenir des MégaPascals (1 MPa = 1 N/mm²).
Calcul Détaillé
1. Calcul de l'Aire (A) :Nous appliquons le produit des dimensions transversales.
Le résultat est une surface de 56 000 millimètres carrés. C'est la surface de bois qui va "résister" à l'effort de cisaillement vertical.
Visualisation de la Section Brute
La section de 140x400 mm offre une surface importante. En comparaison, une poutre de plancher domestique standard (ex: 75x225 mm) aurait une surface d'environ 16 000 mm². Nous sommes bien ici sur une poutre maîtresse industrielle capable de reprendre de lourdes charges.
L'ordre de grandeur est cohérent. \(56\,000 \text{ mm}^2\) équivaut à \(0.056 \text{ m}^2\), soit un peu plus qu'une feuille A4 standard (1/16ème de m²). Pour une poutre de 6m de portée, c'est une section élancée typique du BLC (ratio h/b ≈ 2.85).
Attention aux unités lors des conversions mentales. 56 000 mm² n'est PAS égal à 56 m² ni à 5.6 m². Le facteur de conversion est de \(10^{-6}\). Restez toujours en mm² dans les formules de RDM pour le bâtiment.
🎯 Objectif
Cette étape est cruciale pour la sécurité. Nous devons déterminer la valeur maximale de contrainte que le bois peut supporter en conditions réelles de projet. La valeur fournie par le fabricant (\(f_{\text{v,k}}\)) est une valeur idéale statistique. Nous devons la "dégrader" pour obtenir la valeur de calcul (Design Value) qui intègre les marges de sécurité et les effets de l'environnement (durée de charge, humidité).
📚 Référentiel
Eurocode 5 (Art. 2.4.1)Le bois est un matériau vivant, viscoélastique et hygroscopique. Contrairement à l'acier dont la limite élastique est relativement constante, la résistance du bois chute si la charge est appliquée pendant 10 ans ou si l'air est humide. L'Eurocode 5 modélise cette perte de résistance via le coefficient \(k_{\text{mod}}\) (modification factor). De plus, comme le bois est un matériau naturel avec une dispersion de qualité, nous devons appliquer un coefficient de sécurité partiel \(\gamma_{\text{M}}\) ("Gamma Matériau") plus sévère que pour l'acier (1.25 ou 1.3 contre 1.0 ou 1.1).
L'approche probabiliste semi-probabiliste des Eurocodes définit la résistance de calcul \(R_{\text{d}}\) comme une fraction de la résistance caractéristique \(R_{\text{k}}\) (valeur en dessous de laquelle se situent au plus 5% des échantillons), pondérée par un coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{M}}\) :
Formule universelle de l'Eurocode 5 pour toutes les propriétés mécaniques.
Où :
• \(f_{\text{v,k}}\) : Résistance caractéristique au cisaillement (5e centile)
• \(k_{\text{mod}}\) : Facteur de modification (durée/humidité)
• \(\gamma_{\text{M}}\) : Coefficient partiel de sécurité du matériau
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Résistance caractéristique (\(f_{\text{v,k}}\)) | 3.5 MPa (GL24h) |
| Coeff. Modificatif (\(k_{\text{mod}}\)) | 0.80 (Classe 1 / Moyen terme) |
| Coeff. Sécurité (\(\gamma_{\text{M}}\)) | 1.25 (Bois Lamellé) |
Vérifiez toujours votre \(k_{\text{mod}}\). Pour du bois massif en charge permanente, il peut descendre à 0.60 ! Ici, avec 0.80, nous sommes dans un cas favorable (charge d'exploitation dominante, milieu sec).
Calcul Détaillé
1. Application de la formule :On applique les coefficients de pondération à la résistance intrinsèque.
La résistance "utile" pour le calcul n'est plus que de 2.24 MPa. C'est cette valeur seuil qui servira de juge de paix final.
L'application des coefficients de sécurité a réduit la résistance théorique de près de 36% (\(1 - 0.64 = 0.36\)). C'est le prix à payer pour garantir la sécurité absolue de la structure sur 50 ans malgré les variations climatiques et les imperfections du matériau.
Une valeur de \(f_{\text{v,d}}\) autour de 2 à 2.5 MPa est standard pour du BLC. Si vous aviez trouvé 10 MPa, il y aurait une erreur (c'est la résistance de l'acier au cisaillement qui est bien plus haute). Si vous aviez trouvé 0.5 MPa, la poutre serait inutilisable.
Ne jamais utiliser \(f_{\text{v,k}}\) directement pour vérifier une structure ! Ce serait une faute grave conduisant à une ruine potentielle. Vérifiez toujours d'avoir divisé par \(\gamma_{\text{M}}\) et multiplié par \(k_{\text{mod}}\).
🎯 Objectif
C'est le cœur technique de l'exercice. Nous devons calculer la contrainte de cisaillement réelle qui règne au sein de la poutre sous l'effet de l'effort tranchant de 45 kN. Attention, contrairement à la traction simple, la contrainte n'est pas uniforme sur la section. Nous cherchons la valeur maximale (\(\tau_{\text{max}}\)), qui se situe au niveau de l'axe neutre (au centre de la poutre).
📚 Référentiel
Théorie des PoutresFormule de Collignon-JourawskiPourquoi utiliser un facteur 1.5 ? La formule générale du cisaillement pour une section quelconque est \(\tau(y) = \frac{V \cdot S(y)}{I \cdot b}\). Pour une section rectangulaire, si l'on développe cette expression :
1. L'inertie \(I = \frac{bh^3}{12}\).
2. Le moment statique max à l'axe neutre \(S_{\text{max}} = (b \cdot \frac{h}{2}) \cdot \frac{h}{4} = \frac{bh^2}{8}\).
En substituant, on obtient la démonstration complète :
C'est cette manipulation mathématique rigoureuse qui nous donne la formule simplifiée que nous allons utiliser.
Pour une section rectangulaire quelconque soumise à un effort tranchant \(V\), la contrainte maximale \(\tau\) s'écrit :
Facteur de forme 1.5 spécifique aux rectangles.
Conditions d'application :
• \(V_{\text{Ed}}\) en Newtons (N)
• \(A\) en mm²
• Section rectangulaire pleine
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Effort Tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) | 45 kN |
| Aire de la section (\(A\)) | 56 000 mm² |
Le piège absolu ici est l'unité de force. L'effort est donné en kN ("kilo"-Newtons). Pour être compatible avec les mm² et obtenir des MPa (N/mm²), vous DEVEZ convertir les kN en N en multipliant par 1000.
Calculs Détaillés
1. Conversion de l'effort :Passage indispensable en Newtons.
Calcul de la contrainte hypothétique si elle était uniforme sur toute la hauteur.
Application du coefficient de forme parabolique pour obtenir la valeur de crête.
Le bois subit, au cœur de sa section (axe neutre), une contrainte de cisaillement de 1.205 MPa. C'est cette force qui essaie de séparer la poutre en deux horizontalement.
Profil des Contraintes de Cisaillement
Comparaison : Contrainte Moyenne (Bleu) vs Réelle (Rouge)
La contrainte calculée (1.205 MPa) est la valeur maximale physique dans la poutre. Elle est bien supérieure à la contrainte moyenne (0.80 MPa). Cela illustre l'importance du facteur de forme. C'est cette valeur "de pointe" qui va initier la rupture.
1.2 MPa est une valeur très réaliste pour du bois en cisaillement. Les valeurs tournent généralement entre 0.5 et 2.0 MPa. Si vous aviez trouvé 120 MPa, vous auriez probablement oublié de convertir l'aire en mm² (ou converti en m² sans ajuster la force), ce qui aurait donné un résultat aberrant pour du bois.
N'oubliez jamais le coefficient 1.5. Pour une section circulaire, ce coefficient serait de 1.33 (4/3). Pour une section en I, le calcul est plus complexe. La formule simple est valide UNIQUEMENT pour le rectangle plein.
🎯 Objectif
C'est l'étape décisionnelle, le moment de vérité. Nous devons confronter la "demande" (la contrainte \(\tau_{\text{max}}\) calculée à la question 3) à la "capacité" (la résistance \(f_{\text{v,d}}\) calculée à la question 2). Si la demande est inférieure à la capacité, la structure est réputée sûre selon l'Eurocode 5.
📚 Référentiel
Eurocode 5 (ELU - État Limite Ultime)La vérification aux États Limites Ultimes (ELU) est binaire : ça passe ou ça casse. Cependant, l'ingénieur ne se contente pas d'un "oui/non". Il calcule le taux de travail (ou ratio).
- Un ratio > 100% (ou 1.0) signifie la ruine théorique.
- Un ratio proche de 100% (ex: 95%) est économiquement optimisé mais ne laisse aucune marge pour des imprévus.
- Un ratio très faible (ex: 15%) signifie que la poutre est surdimensionnée pour ce critère spécifique.
La condition fondamentale de sécurité s'écrit : La contrainte de calcul doit être inférieure ou égale à la résistance de calcul.
Le critère fondamental ELU.
Ou sous forme de ratio : \(\frac{\tau_{\text{max}}}{f_{\text{v,d}}} \leq 1.0\)
Étape 1 : Données Techniques Comparées
| Type | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Contrainte agissante | \(\tau_{\text{max}}\) | 1.205 MPa |
| Résistance limite | \(f_{\text{v,d}}\) | 2.240 MPa |
Dans vos rapports, exprimez toujours le résultat en pourcentage (%). C'est beaucoup plus parlant pour un client ou un contrôleur technique de lire "Taux de travail : 54%" que "0.54".
Calcul du Taux de Travail
1. Comparaison directe :Vérification de l'inégalité fondamentale.
Quantification de la marge de sécurité disponible.
La poutre utilise 54% de sa capacité de résistance au cisaillement. Elle dispose donc d'une réserve de sécurité de 46% vis-à-vis de ce critère spécifique.
Jauge de Taux de Travail
Le dimensionnement au cisaillement est validé avec une marge confortable. Cela signifie que la section de 140x400 mm a été probablement déterminée par un autre critère plus défavorable (comme la flexion ou la flèche à mi-portée), ce qui est très courant pour les poutres de grande portée.
Un ratio de 54% est sain. Un ratio de 5% indiquerait un gaspillage de matière énorme (poutre trop grosse). Un ratio de 99% serait acceptable réglementairement mais risqué en cas de modification ultérieure des charges.
Attention : Cette validation ne concerne QUE le cisaillement. La poutre pourrait très bien rompre en flexion (au milieu) ou avoir une flèche excessive. Un dimensionnement complet exige de vérifier : Flexion, Cisaillement, Compression de flanc aux appuis, et Déformation (ELS).
5. Bilan Visuel de la Contrainte
Visualisation de la répartition parabolique des contraintes de cisaillement sur la hauteur de la poutre.
6. Livrable Final (Note de Synthèse EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Structure |
- NF EN 1995-1-1 (Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois)
- NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures)
| Matériau | Bois Lamellé-Collé GL24h |
| Dimensions (b x h) | 140 x 400 mm |
| Aire (A) | 56 000 mm² |
Vérification de la contrainte tangentielle sous effort tranchant ELU (\(V_{\text{Ed}} = 45\) kN).
Bureau d'Études
Ingénieur Senior
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