Études de cas pratique

EGC

Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Calcul de la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Calcul de la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Comprendre la Contrainte Tangentielle dans les Poutres

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges transversales, elle développe non seulement un moment fléchissant mais aussi un effort tranchant interne. Cet effort tranchant induit des contraintes tangentielles (ou de cisaillement) dans les sections transversales de la poutre. La distribution de ces contraintes n'est généralement pas uniforme ; elle varie sur la hauteur de la section. La formule générale pour calculer la contrainte de cisaillement \(\tau\) à un niveau donné d'une section est \(\tau = \frac{VQ}{It}\), où \(V\) est l'effort tranchant à la section, \(Q\) est le premier moment d'aire de la portion de section au-delà du niveau considéré par rapport à l'axe neutre, \(I\) est le moment d'inertie de la section totale par rapport à l'axe neutre, et \(t\) est l'épaisseur de la section au niveau considéré.

Données de l'étude

Une poutre en bois de section rectangulaire est simplement appuyée sur une portée de \(L = 3 \, \text{m}\). Elle est soumise à une charge uniformément répartie \(w = 8 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur.

Dimensions de la section rectangulaire :

  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)

Propriétés du matériau (Bois) :

  • Contrainte de cisaillement admissible parallèlement aux fibres (\(\tau_{adm}\)) : \(1.5 \, \text{MPa}\)
Schéma : Poutre Rectangulaire avec Charge Répartie
A B RA RB w = 8 kN/m L = 3 m
Section Transversale Rectangulaire
A.N. b=100mm h=200mm y1

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer l'effort tranchant maximal (\(V_{max}\)) dans la poutre et sa localisation.
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe neutre.
  4. Calculer le premier moment d'aire (\(Q\)) de la section au-dessus de l'axe neutre.
  5. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans la poutre. À quel niveau de la section se produit-elle ?
  6. Calculer la contrainte de cisaillement (\(\tau_{y1}\)) à une distance \(y_1 = 50 \, \text{mm}\) au-dessus de l'axe neutre, au niveau de la section où l'effort tranchant est maximal.
  7. Vérifier si la poutre résiste au cisaillement.

Correction : Calcul de la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, les réactions aux appuis sont égales et valent la moitié de la charge totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_A = R_B = \frac{wL}{2} \]
Données spécifiques :
  • Charge répartie (\(w\)) : \(8 \, \text{kN/m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{(8 \, \text{kN/m}) \cdot (3 \, \text{m})}{2} \\ &= \frac{24 \, \text{kN}}{2} \\ &= 12 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 12 \, \text{kN}\) et \(R_B = 12 \, \text{kN}\).

Question 2 : Effort Tranchant Maximal (\(V_{max}\)) et Localisation

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, l'effort tranchant varie linéairement de \(+R_A\) à l'appui A, à \(-R_B\) à l'appui B, en passant par zéro au milieu de la travée. L'effort tranchant maximal en valeur absolue se produit aux appuis.

Calcul :
\[ V_{max} = R_A = R_B = 12 \, \text{kN} \]

L'effort tranchant est de \(+12 \, \text{kN}\) juste à droite de l'appui A et de \(-12 \, \text{kN}\) juste à gauche de l'appui B.

Résultat Question 2 : L'effort tranchant maximal est \(V_{max} = 12 \, \text{kN}\), et il se produit aux appuis A et B.

Question 3 : Moment d'Inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son axe neutre (passant par son centre de gravité et parallèle à la base) est \(I = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
Données spécifiques (en mm pour obtenir mm\(^4\)) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{(100 \, \text{mm}) \cdot (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66666666.67 \, \text{mm}^4 \\ &= 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en m\(^4\) : \(I = 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \times (10^{-3} \, \text{m/mm})^4 = 6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Résultat Question 3 : Le moment d'inertie est \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\) (ou \(6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)).

Question 4 : Premier Moment d'Aire (\(Q\)) au-dessus de l'Axe Neutre

Principe :

Le premier moment d'aire (\(Q\)) d'une surface par rapport à un axe est le produit de l'aire de cette surface par la distance de son centroïde à cet axe. Pour calculer la contrainte de cisaillement maximale (qui se produit à l'axe neutre), nous avons besoin de \(Q_{max}\), qui est le premier moment d'aire de la section située d'un côté de l'axe neutre, par rapport à l'axe neutre.

Pour une section rectangulaire, l'aire au-dessus de l'axe neutre est \(A' = b \cdot (h/2)\). Le centroïde de cette aire est à une distance \(\bar{y}' = h/4\) de l'axe neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{max} = A' \cdot \bar{y}' = \left(b \cdot \frac{h}{2}\right) \cdot \left(\frac{h}{4}\right) = \frac{bh^2}{8} \]
Données spécifiques (en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{max} &= \frac{(100 \, \text{mm}) \cdot (200 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{100 \cdot 40000}{8} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{4000000}{8} \, \text{mm}^3 \\ &= 500000 \, \text{mm}^3 \\ &= 5 \times 10^5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en m\(^3\) : \(Q_{max} = 5 \times 10^5 \, \text{mm}^3 \times (10^{-3} \, \text{m/mm})^3 = 5 \times 10^5 \times 10^{-9} \, \text{m}^3 = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Résultat Question 4 : Le premier moment d'aire maximal est \(Q_{max} = 5 \times 10^5 \, \text{mm}^3\) (ou \(5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)).

Question 5 : Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement maximale dans une section rectangulaire se produit à l'axe neutre et est donnée par \(\tau_{max} = \frac{V_{max} Q_{max}}{It}\), où \(t\) est l'épaisseur de la section à l'axe neutre (ici, \(t=b\)). Pour une section rectangulaire, cela se simplifie à \(\tau_{max} = \frac{3V_{max}}{2A}\), où \(A=bh\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_{max} = \frac{V_{max} Q_{max}}{I b} \quad \text{ou} \quad \tau_{max} = \frac{3V_{max}}{2A} \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(V_{max} = 12 \, \text{kN} = 12000 \, \text{N}\)
  • \(Q_{max} = 5 \times 10^5 \, \text{mm}^3\)
  • \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Aire totale (\(A\)) : \(100 \text{ mm} \times 200 \text{ mm} = 20000 \, \text{mm}^2\)
Calcul (Méthode 1 : VQ/Ib) :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{(12000 \, \text{N}) \cdot (5 \times 10^5 \, \text{mm}^3)}{(6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4) \cdot (100 \, \text{mm})} \\ &= \frac{6 \times 10^9}{6.667 \times 10^9} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.89995 \, \text{MPa} \approx 0.90 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 : 3V/2A) :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{3 \cdot (12000 \, \text{N})}{2 \cdot (20000 \, \text{mm}^2)} \\ &= \frac{36000}{40000} \, \text{N/mm}^2 \\ &= 0.9 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

La contrainte de cisaillement maximale se produit à l'axe neutre de la section, là où l'effort tranchant est maximal (c'est-à-dire aux appuis).

Résultat Question 5 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} = 0.9 \, \text{MPa}\), et elle se produit à l'axe neutre au niveau des appuis.

Question 6 : Contrainte de Cisaillement (\(\tau_{y1}\)) à \(y_1 = 50 \, \text{mm}\)

Principe :

Pour calculer \(\tau\) à une distance \(y_1\) de l'axe neutre, nous devons calculer \(Q\) pour l'aire au-delà de \(y_1\). L'aire \(A'\) est un rectangle de base \(b\) et de hauteur \( (h/2) - y_1 \). Son centroïde est à \(\bar{y}' = y_1 + \frac{(h/2) - y_1}{2} = \frac{y_1 + h/2}{2}\) de l'axe neutre.

\[ Q_{y1} = A' \cdot \bar{y}' = b \left(\frac{h}{2} - y_1\right) \left( \frac{y_1 + \frac{h}{2}}{2} \right) = \frac{b}{2} \left( \left(\frac{h}{2}\right)^2 - y_1^2 \right) \]

Puis \(\tau_{y1} = \frac{V_{max} Q_{y1}}{Ib}\).

Données spécifiques (en mm) :
  • \(y_1 = 50 \, \text{mm}\)
  • \(h = 200 \, \text{mm} \Rightarrow h/2 = 100 \, \text{mm}\)
  • \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • \(V_{max} = 12000 \, \text{N}\)
  • \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Calcul de \(Q_{y1}\) :
\[ \begin{aligned} Q_{y1} &= \frac{100 \, \text{mm}}{2} \left( (100 \, \text{mm})^2 - (50 \, \text{mm})^2 \right) \\ &= 50 \cdot (10000 - 2500) \, \text{mm}^3 \\ &= 50 \cdot 7500 \, \text{mm}^3 \\ &= 375000 \, \text{mm}^3 = 3.75 \times 10^5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Calcul de \(\tau_{y1}\) :
\[ \begin{aligned} \tau_{y1} &= \frac{(12000 \, \text{N}) \cdot (3.75 \times 10^5 \, \text{mm}^3)}{(6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4) \cdot (100 \, \text{mm})} \\ &= \frac{4.5 \times 10^9}{6.667 \times 10^9} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.67496 \, \text{MPa} \approx 0.675 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La contrainte de cisaillement à \(y_1 = 50 \, \text{mm}\) de l'axe neutre (aux appuis) est \(\tau_{y1} \approx 0.675 \, \text{MPa}\).

Question 7 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Principe :

La poutre résiste au cisaillement si la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) qu'elle subit est inférieure ou égale à la contrainte de cisaillement admissible du matériau (\(\tau_{adm}\)).

Condition :
\[ \tau_{max} \leq \tau_{adm} \]
Données spécifiques :
  • \(\tau_{max} = 0.9 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{adm} = 1.5 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 0.9 \, \text{MPa} \leq 1.5 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 7 : La poutre résiste au cisaillement car la contrainte de cisaillement maximale calculée (\(0.9 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte de cisaillement admissible (\(1.5 \, \text{MPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement est nulle :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La formule \(\tau = \frac{VQ}{It}\) est utilisée pour calculer :

2. Dans la formule \(\tau = \frac{VQ}{It}\), \(Q\) représente :

Glossaire

Contrainte Tangentielle (de Cisaillement, \(\tau\))
Contrainte interne agissant parallèlement à la section d'un corps, résultant d'un effort tranchant ou d'un moment de torsion.
Effort Tranchant (\(V\))
Force interne résultante agissant tangentiellement à la section transversale d'une poutre, due aux charges externes transversales.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion par rapport à un axe donné (généralement l'axe neutre).
Premier Moment d'Aire (\(Q\))
Aussi appelé moment statique. Pour une portion d'aire \(A'\) d'une section, c'est le produit de cette aire \(A'\) par la distance \(\bar{y}'\) de son centroïde à l'axe neutre de la section totale. \(Q = A' \bar{y}'\).
Épaisseur (\(t\))
Dans la formule de cisaillement \(\tau = VQ/(It)\), \(t\) est la largeur de la section au niveau où la contrainte de cisaillement est calculée.
Axe Neutre
Ligne dans la section transversale d'une poutre où la contrainte normale due à la flexion est nulle. Pour une section symétrique, il passe par le centre de gravité.
Calcul de la Contrainte Tangentielle dans une Poutre - Exercice d'Application

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