Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Contexte : L'effort tranchant, une sollicitation à ne pas négliger.
Si la flexion est souvent la première sollicitation étudiée, la contrainte tangentielleAussi appelée contrainte de cisaillement (τ), elle représente les forces de glissement entre les couches de matière. Elle est générée par l'effort tranchant et est maximale au cœur de la section., ou contrainte de cisaillement, est tout aussi critique. Elle provient de l'effort tranchant qui tend à faire "glisser" les sections transversales les unes par rapport aux autres. Si elle est souvent moins dimensionnante que la contrainte normale de flexion dans les poutres longues et fines, elle devient prépondérante près des appuis et dans les poutres courtes. Cet exercice vous montrera comment calculer la contrainte de cisaillement maximale et la vérifier, un calcul essentiel pour la sécurité des assemblages et pour les matériaux comme le bois, sensibles au cisaillement longitudinal.
Remarque Pédagogique : Contrairement à la contrainte de flexion qui est maximale sur les bords de la poutre, la contrainte de cisaillement est maximale au centre (sur l'axe neutre). Nous allons utiliser la célèbre formule de Jourawski, qui fait intervenir une nouvelle notion géométrique : le moment statique. Cet exercice illustre la complémentarité des analyses en flexion et en cisaillement.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'effort tranchant maximal dans une poutre en console.
- Calculer le moment statique maximal d'une section rectangulaire.
- Appliquer la formule de Jourawski pour déterminer la contrainte tangentielle.
- Identifier la localisation de la contrainte tangentielle maximale.
- Vérifier la résistance au cisaillement par rapport à une limite admissible.
Données de l'étude
Schéma de la poutre en console
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée de la console | \(L\) | 1200 | \(\text{mm}\) |
| Largeur de la section | \(b\) | 80 | \(\text{mm}\) |
| Hauteur de la section | \(h\) | 200 | \(\text{mm}\) |
| Force appliquée | \(F\) | 5000 | \(\text{N}\) |
| Contrainte de cisaillement admissible | \(\tau_{\text{adm}}\) | 2.5 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Déterminer l'effort tranchant maximal \(T_{\text{max}}\) dans la poutre.
- Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) de la section.
- Calculer le moment statique maximal \(S_{\text{max}}\) de la section (au niveau de l'axe neutre).
- Calculer la contrainte tangentielle maximale \(\tau_{\text{max}}\) et vérifier la sécurité de la poutre.
Les bases du Cisaillement dans les Poutres
Avant la correction, rafraîchissons notre mémoire sur les concepts clés du cisaillement.
1. L'Effort Tranchant (\(T\)) :
C'est un effort interne qui représente la somme des forces verticales agissant sur un côté d'une section. Il tend à "cisailler" la poutre. Pour une console avec une charge F à l'extrémité, l'effort tranchant est constant et égal à F sur toute la longueur de la poutre.
\[ T(x) = F \]
2. Le Moment Statique (\(S_G\)) :
Le moment statique d'une surface (par rapport à un axe) est le produit de l'aire de cette surface par la distance de son centre de gravité à l'axe. Dans le calcul du cisaillement, on s'intéresse au moment statique de la partie de la section située au-dessus (ou au-dessous) de la fibre où l'on calcule la contrainte. Il est maximal pour la surface située au-dessus de l'axe neutre.
\[ S_G(y) = A' \cdot d' \]
Où A' est l'aire de la section "coupée" et d' la distance de son centroïde à l'axe neutre global.
3. La Formule de Jourawski :
Cette formule fondamentale relie la contrainte de cisaillement \(\tau\) en un point à l'effort tranchant \(T\), au moment statique \(S_G\), au moment quadratique \(I\) et à la largeur \(b\) de la section à ce point :
\[ \tau = \frac{T \cdot S_G}{I \cdot b} \]
Elle montre que la contrainte \(\tau\) n'est pas uniforme sur la section ; elle varie de façon parabolique pour une section rectangulaire.
Correction : Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Question 1 : Déterminer l'effort tranchant maximal (\(T_{\text{max}}\))
Principe (le concept physique)
L'effort tranchant \(T\) est la résultante des forces qui tendent à faire glisser verticalement une section par rapport à sa voisine. Dans une poutre en console, l'encastrement doit reprendre l'intégralité de la charge appliquée à l'extrémité. L'effort tranchant est donc constant tout le long de la poutre et égal, en valeur absolue, à cette charge.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation différentielle \(T = dM/dx\) lie l'effort tranchant à la variation du moment fléchissant. Pour une poutre en console, le moment fléchissant est linéaire (\(M(x) = -F \cdot x\)), sa dérivée est donc une constante, ce qui confirme que l'effort tranchant est constant sur toute la longueur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez tenir un sac de courses lourd au bout de votre bras tendu. La force que ressent votre épaule pour ne pas laisser tomber le bras, c'est l'effort tranchant. Cette force est la même tout le long de votre bras, de l'épaule à la main. C'est exactement le cas de notre poutre en console.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de calcul, comme les Eurocodes, définissent les combinaisons de charges (poids propre, charges d'exploitation, neige, vent) à appliquer pour déterminer l'effort tranchant de calcul ultime, noté \(T_{\text{Ed}}\), qui servira à la vérification.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une poutre en console de longueur L avec une charge F à son extrémité libre :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On néglige le poids propre de la poutre devant la charge appliquée F. On suppose que la charge est parfaitement ponctuelle et appliquée à l'extrémité de la poutre.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force appliquée, \(F = 5000 \, \text{N}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour les poutres en console, l'effort tranchant maximal est presque toujours égal à la somme des charges verticales appliquées sur la poutre. Pas de calcul complexe, juste une simple addition.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Attendu de l'Effort Tranchant
Calcul(s) (l'application numérique)
L'effort tranchant est constant et maximal sur toute la longueur de la poutre.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette valeur constante de 5000 N signifie que chaque section transversale de la poutre, de l'encastrement à l'extrémité libre, subit la même force de "cisaillement". C'est cet effort qui va générer les contraintes tangentielles dans la matière.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas la poutre en console avec la poutre sur deux appuis. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge au centre, l'effort tranchant est de F/2 et change de signe au milieu. Le type d'appuis est fondamental pour déterminer le diagramme des efforts.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Pour une poutre en console, l'effort tranchant est constant (si la seule charge est à l'extrémité).
- Sa valeur maximale est égale à la charge appliquée \(F\).
- L'effort tranchant est maximal dès l'encastrement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans le béton armé, les armatures spécifiques qui reprennent l'effort tranchant sont appelées "cadres", "étriers" ou "épingles". Elles sont essentielles pour éviter une rupture fragile par cisaillement, souvent sous forme d'une fissure diagonale près des appuis.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on ajoutait une deuxième force de 3000 N à mi-portée (L/2), quel serait l'effort tranchant maximal (à l'encastrement) en N ?
Question 2 : Calculer le moment quadratique (\(I_{\text{Gz}}\))
Principe (le concept physique)
Le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) est une propriété géométrique qui quantifie la capacité de la section à résister à la flexion. Bien que notre objectif final soit le calcul du cisaillement, la formule de Jourawski nécessite cette valeur. Il est donc une étape intermédiaire indispensable.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Mathématiquement, le moment quadratique est l'intégrale du carré de la distance à l'axe sur toute la surface de la section : \(I_z = \int_A y^2 dA\). Pour des formes complexes (comme un profilé en I), on décompose la section en formes simples et on utilise le théorème de Huygens pour sommer les moments quadratiques de chaque partie par rapport à l'axe global.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Retenez que la rigidité en flexion est bien plus sensible à la hauteur qu'à la largeur. C'est pourquoi, pour une même quantité de matière, une planche est beaucoup plus rigide si on la pose sur sa tranche (grande hauteur) que si on la pose à plat (grande largeur). C'est l'effet du \(h^3\) dans la formule.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction (Eurocode 3 pour l'acier, Eurocode 5 pour le bois) fournissent des catalogues avec les caractéristiques géométriques, y compris le moment quadratique, pour tous les profilés standardisés du marché.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à son axe de flexion principal \(Gz\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section est parfaitement rectangulaire, pleine et constituée d'un matériau homogène.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur de la section, \(b = 80 \, \text{mm}\)
- Hauteur de la section, \(h = 200 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Lors des calculs manuels, gardez les unités en mm. Le résultat sera en mm⁴. C'est une unité très grande mais parfaitement cohérente avec les N et les mm pour obtenir des contraintes en MPa sans conversion intermédiaire.
Schéma (Avant les calculs)
Section Rectangulaire et Axe de Flexion
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Quadratique Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette valeur élevée représente une bonne rigidité géométrique de la section face à la flexion, principalement due à sa grande hauteur de 200 mm. Cette rigidité est un paramètre clé qui intervient à la fois dans le calcul de la flèche et dans celui de la contrainte de cisaillement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier la puissance 3 sur la hauteur. Une autre erreur est de confondre le moment quadratique \(I\) avec le module de flexion \(W = I/v\). Assurez-vous d'utiliser la bonne grandeur dans chaque formule.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment quadratique \(I\) est une propriété purement géométrique.
- Pour une section rectangulaire, la formule est \(I = bh^3/12\).
- Une grande hauteur est le moyen le plus efficace d'augmenter la rigidité en flexion.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les profilés en I (IPN, IPE) sont conçus pour maximiser le moment quadratique pour une quantité de matière donnée. La matière est concentrée dans les semelles, loin de l'axe neutre, là où elle contribue le plus à la valeur de l'intégrale \(\int y^2 dA\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la poutre était posée à plat (h=80mm, b=200mm), quel serait le nouveau moment quadratique en mm⁴ ?
Question 3 : Calculer le moment statique maximal (\(S_{\text{max}}\))
Principe (le concept physique)
Le moment statique \(S_G\) quantifie la "répartition" de l'aire par rapport à un axe. Pour le cisaillement, il représente la "quantité d'aire" qui "pousse" sur la fibre considérée. Cette "poussée" est maximale sur la fibre centrale (l'axe neutre), car c'est là que toute la demi-section supérieure (ou inférieure) contribue.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le moment statique est le premier moment d'aire. Son intégrale est \(S_z = \int_A y \cdot dA\). Une propriété importante est que le moment statique de l'aire totale d'une section par rapport à un axe passant par son centre de gravité est toujours nul. C'est pourquoi, pour calculer la contrainte de cisaillement, on ne prend que l'aire d'un côté de la "coupure".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous voulez coller deux planches l'une sur l'autre pour faire une poutre plus haute. Quand vous la pliez, les planches voudront glisser l'une sur l'autre. Le moment statique est lié à la force que la colle doit supporter pour empêcher ce glissement. Cette force est maximale au niveau du plan de collage central (l'axe neutre).
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul du moment statique est une étape fondamentale de la vérification au cisaillement qui est décrite dans les chapitres de résistance des sections de toutes les normes de construction (acier, bois, béton).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section rectangulaire, le moment statique maximal (au niveau de l'axe neutre \(Gz\)) est le moment de la demi-section supérieure par rapport à \(Gz\). L'aire de cette demi-section est \(A' = b \cdot (h/2)\), et son centre de gravité est à une distance \(d' = h/4\) de l'axe \(Gz\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul est effectué par rapport à l'axe neutre de la section, qui, pour une section rectangulaire homogène, se situe à mi-hauteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur de la section, \(b = 80 \, \text{mm}\)
- Hauteur de la section, \(h = 200 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La formule \(S_{\text{max}} = bh^2/8\) pour une section rectangulaire est un raccourci très utile à mémoriser. Elle évite de devoir redécomposer le calcul en aire et distance à chaque fois.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment Statique Max
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Statique Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette valeur de 400 000 mm³ n'a pas de sens physique direct, mais elle est le chaînon manquant dans la formule de Jourawski. Elle représente l'influence maximale de la géométrie de la section sur la création de la contrainte de cisaillement à l'axe neutre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention à l'unité : le moment statique est en mm³, à ne pas confondre avec le moment quadratique en mm⁴ ou un volume. L'erreur la plus commune est de mal calculer la distance \(d'\) du centre de gravité de la surface partielle à l'axe neutre global.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment statique \(S_G\) est nécessaire pour calculer la contrainte de cisaillement.
- Il est maximal au niveau de l'axe neutre de la section.
- Pour une section rectangulaire, \(S_{\text{max}} = bh^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans une section de poutre en I, le moment statique varie de manière plus complexe. Il augmente de façon parabolique dans les semelles, puis beaucoup plus rapidement dans l'âme, ce qui explique pourquoi l'âme reprend la majorité de l'effort tranchant.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le moment statique pour une fibre située à y=50mm de l'axe neutre ? (en mm³)
Question 4 : Calculer la contrainte tangentielle maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) et vérifier
Principe (le concept physique)
La formule de Jourawski nous permet de calculer la contrainte de cisaillement à n'importe quelle hauteur de la section. Comme la contrainte est proportionnelle au moment statique \(S_G\), elle est également maximale là où \(S_G\) est maximal, c'est-à-dire sur l'axe neutre. Nous calculons cette valeur maximale pour la comparer à la limite admissible du matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distribution des contraintes de cisaillement est parabolique pour une section rectangulaire. Elle est nulle aux surfaces supérieure et inférieure et atteint son maximum au centre. Cette distribution assure l'équilibre des forces horizontales générées par la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à un sandwich que vous coupez. La force que vous appliquez avec le couteau est l'effort tranchant. La résistance que vous sentez dans le pain et la garniture, c'est la contrainte de cisaillement. Elle est probablement la plus forte au milieu, là où il y a le plus de "matière" à couper.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 5 pour les structures en bois spécifie les valeurs de résistance au cisaillement (\(f_{\text{v,k}}\)) pour différentes essences et classes de bois. La vérification de sécurité consiste à s'assurer que la contrainte de calcul \(\tau_d\) est inférieure à la résistance de calcul \(f_{\text{v,d}}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de Jourawski pour la contrainte maximale :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la contrainte de cisaillement est répartie uniformément sur la largeur \(b\) de la section à une hauteur donnée. C'est une approximation raisonnable pour les sections massives.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort tranchant max, \(T_{\text{max}} = 5000 \, \text{N}\)
- Moment statique max, \(S_{\text{max}} = 400\ 000 \, \text{mm}^3\)
- Moment quadratique, \(I_{\text{Gz}} = 53\ 333\ 333 \, \text{mm}^4\)
- Largeur de la section, \(b = 80 \, \text{mm}\)
- Contrainte admissible, \(\tau_{\text{adm}} = 2.5 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une section rectangulaire, on peut montrer que \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{T}{A}\), où \(A\) est l'aire totale de la section. C'est un excellent moyen de vérifier rapidement son calcul. Ici, \(A = 80 \times 200 = 16000 \, \text{mm}^2\). Donc \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \times \frac{5000}{16000} \approx 0.46875 \, \text{MPa}\). Cela confirme notre calcul détaillé.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Parabolique des Contraintes de Cisaillement
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la contrainte tangentielle maximale (en N et mm, le résultat est en MPa) :
2. Comparer à la limite admissible :
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale vs Limite Admissible
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de cisaillement maximale (0.47 MPa) est bien inférieure à la contrainte admissible pour ce type de bois (2.5 MPa). Le coefficient de sécurité est de 2.5 / 0.47 ≈ 5.3, ce qui est très sécuritaire. La poutre est donc bien dimensionnée vis-à-vis du risque de rupture par cisaillement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais utiliser la contrainte moyenne \(\tau_{\text{moy}} = T/A\) pour une vérification de résistance, car elle sous-estime la contrainte maximale réelle. Pour une section rectangulaire, l'erreur est de 33%, mais pour un profilé en I, elle peut être beaucoup plus grande.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte de cisaillement se calcule avec la formule de Jourawski : \(\tau = TS/(Ib)\).
- Elle est maximale sur l'axe neutre pour les sections usuelles.
- La vérification de sécurité consiste à comparer \(\tau_{\text{max}}\) à la résistance admissible \(\tau_{\text{adm}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Par le principe de réciprocité des contraintes de cisaillement (théorème de Cauchy), la contrainte tangentielle verticale \(\tau_{\text{xy}}\) est égale à la contrainte tangentielle horizontale \(\tau_{\text{yx}}\). C'est cette contrainte horizontale qui peut provoquer le délaminage des poutres en bois lamellé-collé ou la fissuration longitudinale du bois massif.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la force maximale F (en N) que cette poutre pourrait supporter avant d'atteindre la limite de cisaillement de 2.5 MPa ?
Outil Interactif : Paramètres de Cisaillement
Modifiez les paramètres de la poutre pour voir leur influence sur la contrainte de cisaillement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La formule de Jourawski a été développée par l'ingénieur et mécanicien russe Dmitri Jourawski vers 1850. Il travaillait sur la conception de ponts ferroviaires en bois et a été le premier à expliquer et à calculer correctement la manière dont les contraintes de cisaillement se répartissent dans une poutre, une avancée majeure pour l'ingénierie des structures.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle nulle sur les bords supérieur et inférieur ?
À la surface libre de la poutre (le dessus et le dessous), il n'y a pas de matière "au-delà" pour exercer une force de glissement. Le moment statique de l'aire au-delà de ces fibres est nul, et donc, selon la formule de Jourawski, la contrainte de cisaillement est également nulle. Toute la force de "glissement" se produit à l'intérieur de la matière.
Dans quels cas le cisaillement est-il plus critique que la flexion ?
Le cisaillement devient le mode de défaillance prédominant dans les poutres courtes et hautes, car la contrainte de flexion dépend du moment (qui augmente avec la longueur) tandis que le cisaillement dépend de l'effort tranchant (souvent constant). Il est également critique dans les zones de fortes variations de l'effort tranchant, typiquement près des appuis ou des charges concentrées.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans une poutre de section rectangulaire, où la contrainte de cisaillement (\(\tau\)) est-elle maximale ?
2. Si on double la largeur (\(b\)) de la poutre rectangulaire tout en gardant les autres paramètres constants, la contrainte de cisaillement maximale...
- Effort Tranchant (T)
- Effort interne à une poutre qui mesure la tendance au glissement vertical entre deux sections adjacentes. Unité : Newton (N).
- Moment Statique (S)
- Propriété géométrique d'une aire par rapport à un axe, égale au produit de cette aire par la distance de son centroïde à l'axe. Unité : m³ ou mm³.
- Contrainte Tangentielle (\(\tau\))
- Aussi appelée contrainte de cisaillement, c'est une contrainte agissant parallèlement à la surface d'une section, générée par l'effort tranchant. Unité : Pascal (Pa) ou MPa.
D’autres exercices de Rdm:
0 commentaires