EGC

Contrainte et Raccourcissement du Poteau

Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre en RdM

Contrainte et Raccourcissement d'un Poteau en Béton

Contexte : La Stabilité des Éléments Verticaux en Génie Civil.

Les poteaux en béton armé sont les éléments porteurs verticaux fondamentaux de la plupart des structures modernes, des bâtiments aux ponts. Idéalement, les charges qu'ils supportent sont centrées. Cependant, en pratique, des imperfections de construction ou des exigences de conception entraînent souvent une charge excentréeUne charge qui n'est pas appliquée au centre de gravité de la section. Elle crée à la fois un effort de compression (N) et un moment de flexion (M = N * excentricité).. Cette excentricité, même faible, génère un moment de flexion qui se combine à l'effort de compression. Comprendre et calculer cette "flexion composée" est crucial pour assurer la sécurité et la durabilité de la structure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le principe de superposition. Nous allons décomposer un problème complexe (flexion composée) en deux problèmes plus simples : une compression centrée et une flexion pure. Nous calculerons les contraintes pour chaque cas, puis nous les additionnerons pour obtenir la contrainte réelle dans le poteau.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les propriétés géométriques d'une section (Aire et Moment Quadratique).
  • Décomposer une charge excentrée en un effort normal et un moment fléchissant.
  • Appliquer la formule de la flexion composée pour déterminer les contraintes extrêmes.
  • Calculer la déformation (raccourcissement) d'un poteau sous charge.
  • Vérifier la validité du calcul en comparant la contrainte maximale à la résistance du matériau.

Données de l'étude

Un poteau court en béton armé de section rectangulaire est soumis à une charge de compression permanente \(F\), appliquée avec une excentricité \(e\) par rapport à son centre de gravité. On négligera l'effet des aciers dans ce calcul préliminaire et on considérera le béton comme un matériau homogène.

Schéma du Poteau et de la Charge Excentrée
F L = 3.0 m e Section h b e
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du poteau \(L\) 3.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 250 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 400 \(\text{mm}\)
Force de compression \(F\) 800 \(\text{kN}\)
Excentricité de la charge \(e\) 50 \(\text{mm}\)
Module de Young du béton \(E\) 31 \(\text{GPa}\)
Résistance à la compression du béton \(f_{ck}\) 25 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A\) et le moment quadratique \(I\) de la section du poteau.
  2. Déterminer l'effort normal \(N\) et le moment fléchissant \(M\) agissant sur la section.
  3. Calculer les contraintes extrêmes (\(\sigma_{\text{max}}\) et \(\sigma_{\text{min}}\)) dans le béton.
  4. Calculer la déformation relative \(\epsilon\) et le raccourcissement total \(\Delta L\) du poteau au centre de gravité.

Rappels sur la Flexion Composée

Ce cas combine deux sollicitations simples : la compression et la flexion.

1. Le Principe de Superposition :
Pour un matériau élastique, les effets (contraintes, déformations) de plusieurs charges peuvent être calculés séparément puis additionnés. Une charge excentrée \(F\) à une distance \(e\) est équivalente à une charge centrée \(N=F\) et un moment \(M = F \cdot e\).

2. Contrainte de Compression :
Une charge centrée \(N\) sur une section d'aire \(A\) crée une contrainte de compression uniforme : \[ \sigma_{\text{compression}} = -\frac{N}{A} \] (Le signe négatif indique une compression).

3. Contrainte de Flexion :
Un moment \(M\) crée une contrainte qui varie linéairement à travers la section : \[ \sigma_{\text{flexion}} = \pm \frac{M \cdot y}{I} \] où \(y\) est la distance à l'axe neutre. La contrainte est maximale aux fibres extrêmes (\(y = h/2\)).

4. Formule de la Flexion Composée :
En superposant les deux, on obtient la contrainte totale : \[ \sigma_{\text{totale}} = \sigma_{\text{compression}} + \sigma_{\text{flexion}} = -\frac{N}{A} \pm \frac{M \cdot y}{I} \]

Correction : Contrainte et Raccourcissement du Poteau

Question 1 : Calculer l'aire (A) et le moment quadratique (I)

Principe (le concept physique)

Avant tout calcul de contrainte, il est indispensable de connaître les caractéristiques géométriques de la section qui travaille. L'aire \(A\) est liée à la résistance à la compression simple, tandis que le moment quadratique \(I\) est lié à la résistance à la flexion. Ce sont les deux piliers géométriques de notre calcul.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'aire est une mesure de la surface totale qui reprend la charge. Le moment quadratique mesure la "répartition efficace" de cette surface pour résister à un moment. Pour une même aire, une section plus haute sera beaucoup plus efficace en flexion, car son moment quadratique sera plus grand.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ces calculs sont la première étape de presque tous les problèmes de RdM. Prenez l'habitude de les faire soigneusement et de vérifier les unités. Une erreur ici se propagera à toutes les questions suivantes.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction, comme l'Eurocode 2 pour le béton, définissent les formules de base pour les propriétés géométriques des sections standards. Ces calculs sont universels et ne dépendent pas du matériau à ce stade.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\):

\[ A = b \cdot h \quad \text{et} \quad I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose une section rectangulaire parfaite, sans défauts géométriques.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 250 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 400 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Travaillez avec des unités cohérentes dès le départ. Le couple Newton (N) et millimètre (mm) est très pratique en génie civil, car il mène directement à des contraintes en MégaPascals (MPa), l'unité la plus courante pour la résistance des matériaux.

Schéma (Avant les calculs)
Section Rectangulaire du Poteau
b = 250 mmh = 400 mmGz
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire \(A\):

\[ \begin{aligned} A &= b \cdot h \\ &= 250 \, \text{mm} \cdot 400 \, \text{mm} \\ &= 100000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du moment quadratique \(I\):

\[ \begin{aligned} I &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{250 \, \text{mm} \cdot (400 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{250 \cdot 64000000 \, \text{mm}^4}{12} \\ &\approx 1.333 \times 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Propriétés de la Section
A = 100 000 mm²I ≈ 1.333e9 mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les deux valeurs géométriques clés qui définissent comment notre poteau réagira aux charges. L'aire de 100 000 mm² (ou 0.1 m²) et le moment quadratique de 1.333 x 10⁹ mm⁴ sont les fondations de tous les calculs qui vont suivre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux puissances de 10. Les valeurs du moment quadratique sont souvent très grandes. Il est facile de faire une erreur d'un facteur 10 ou 1000. L'utilisation de la notation scientifique (ex: 1.333e9) est recommandée pour éviter les erreurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'aire \(A\) résiste à l'effort normal.
  • Le moment quadratique \(I\) résiste au moment de flexion.
  • Les deux dépendent uniquement de la géométrie de la section.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser les structures, les ingénieurs cherchent à maximiser le moment quadratique pour une aire (et donc un poids) donnée. C'est la raison d'être des profilés en I ou en H en acier : ils placent la majorité de la matière le plus loin possible de l'axe neutre, là où elle est la plus efficace contre la flexion.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi calcule-t-on I par rapport à cet axe ?

L'excentricité se fait selon l'axe fort du poteau (le plus rigide). La flexion se produit donc autour de l'axe faible, qui est l'axe horizontal passant par le centre de gravité dans notre schéma. C'est pourquoi on calcule I par rapport à cet axe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section est de 100 000 mm² et le moment quadratique est d'environ 1.333 x 10⁹ mm⁴.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était carré avec la même aire (environ 316x316 mm), quel serait le moment quadratique en mm⁴ ?

Question 2 : Déterminer l'effort normal (N) et le moment fléchissant (M)

Principe (le concept physique)

Le principe de superposition nous permet de remplacer un problème complexe (charge excentrée) par deux problèmes simples. On "déplace" la force excentrée vers le centre de gravité, ce qui crée un effort de compression pur. Pour que le système reste équivalent, on doit ajouter un moment qui compense ce déplacement. Ce moment est simplement la force multipliée par le bras de levier (l'excentricité).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ceci est une application directe du concept de torseur en mécanique. Le torseur de la force excentrée en son point d'application est équivalent au torseur au centre de gravité, qui a pour résultante la même force (N=F) et pour moment le "moment de transport" (M = F * e).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une étape conceptuelle cruciale. Une fois que vous avez remplacé la charge excentrée par un effort normal \(N\) et un moment \(M\), vous pouvez oublier la charge d'origine et traiter le poteau comme s'il était soumis simultanément à une compression centrée et à une flexion pure.

Normes (la référence réglementaire)

Toutes les réglementations de calcul de structures (béton, acier, bois) sont basées sur la décomposition des sollicitations en efforts simples : effort normal, effort tranchant, moment de flexion et moment de torsion. La détermination de ces efforts est la première étape de tout dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge excentrée est équivalente à :

\[ N = F \quad \text{et} \quad M = F \cdot e \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force et l'excentricité sont connues avec précision et sont constantes sur toute la hauteur du poteau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de compression, \(F = 800 \, \text{kN}\)
  • Excentricité de la charge, \(e = 50 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention à la conversion des unités ! La force est donnée en kiloNewtons (kN). Pour être cohérent avec les millimètres, il faut la convertir en Newtons (N) en multipliant par 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Charge Excentrée
=+FNM
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion de la force en Newtons :

\[ \begin{aligned} N &= F \\ &= 800 \, \text{kN} \cdot 1000 \, \frac{\text{N}}{\text{kN}} \\ &= 800000 \, \text{N} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment en N·mm :

\[ \begin{aligned} M &= F \cdot e \\ &= 800000 \, \text{N} \cdot 50 \, \text{mm} \\ &= 40000000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts Internes Résultants
N = 800 kNM = 40 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poteau est donc soumis à une compression de 800 kN et à un moment de flexion de 40 kN·m (ou 40 x 10⁶ N·mm). Ces deux efforts internes sont ceux que nous utiliserons pour calculer les contraintes combinées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune ici est l'oubli de la conversion des kiloNewtons (kN) en Newtons (N). Si vous ne le faites pas, votre contrainte sera 1000 fois trop faible, ce qui est une erreur de dimensionnement majeure et dangereuse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Une charge excentrée se décompose en un effort normal \(N=F\) et un moment \(M=F \cdot e\).
  • L'effort normal comprime la section uniformément.
  • Le moment fléchissant courbe la section et crée des contraintes variables.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures réelles, les poteaux sont presque toujours soumis à des moments, même si les charges sont centrées. Le vent, les séismes, ou simplement la flexion des poutres qu'ils supportent, induisent des moments de flexion qui doivent être pris en compte dans leur calcul.

FAQ (pour lever les doutes)
Dans quel sens le moment est-il appliqué ?

Le moment tend à faire "pivoter" la section dans le sens de l'excentricité. Il va donc augmenter la compression du côté de la charge excentrée et la diminuer (ou même créer de la traction) du côté opposé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal est \(N = 800 \, 000 \, \text{N}\) et le moment fléchissant est \(M = 40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'excentricité était doublée (100 mm), quel serait le nouveau moment en N·mm ?

Question 3 : Calculer les contraintes extrêmes (\(\sigma_{\text{max}}\) et \(\sigma_{\text{min}}\))

Principe (le concept physique)

On applique le principe de superposition. La contrainte totale en un point est la somme de la contrainte de compression (qui est constante sur toute la section) et de la contrainte de flexion (qui varie). Les contraintes seront maximales (en compression) et minimales là où la contrainte de flexion est elle-même maximale, c'est-à-dire sur les bords les plus éloignés de l'axe de flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distribution des contraintes n'est plus uniforme mais trapézoïdale. D'un côté du poteau, les deux contraintes s'ajoutent, donnant la compression maximale. De l'autre côté, la contrainte de flexion (qui est une traction de ce côté) se soustrait à la compression, donnant la compression minimale (ou même une traction si le moment est très grand).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le béton résiste très mal à la traction. Le calcul de \(\sigma_{\text{min}}\) est donc crucial. Si cette valeur devient positive (traction), cela signifie que le béton est fissuré et que les aciers de renfort doivent reprendre cet effort. Notre calcul simplifié vérifie si la section reste entièrement comprimée.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 impose des limites strictes sur les contraintes de compression dans le béton (\(\sigma_{\text{max}}\)) pour éviter l'écrasement, et sur les contraintes de traction (\(\sigma_{\text{min}}\)) pour maîtriser la fissuration. Ces vérifications sont au cœur du dimensionnement des poteaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte combinée est :

\[ \sigma = -\frac{N}{A} \pm \frac{M \cdot v}{I} \quad \text{avec} \quad v = \frac{h}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le béton se comporte de manière élastique et que la distribution des contraintes est linéaire, ce qui est une simplification acceptable à l'état limite de service.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N = 800000 \, \text{N}\)
  • \(M = 40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(A = 100000 \, \text{mm}^2\)
  • \(I = 1.333 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
  • \(h = 400 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez séparément le terme de compression (\(N/A\)) et le terme de flexion (\(Mv/I\)). Ensuite, il suffit de les additionner et de les soustraire. Cela clarifie le calcul et réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des Diagrammes de Contraintes
-N/A-Mv/I+Mv/Iσ_maxσ_min+=
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la contrainte de compression pure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{comp}} &= -\frac{N}{A} \\ &= -\frac{800000 \, \text{N}}{100000 \, \text{mm}^2} \\ &= -8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calculer la contrainte maximale de flexion :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{flex}} &= \frac{M \cdot (h/2)}{I} \\ &= \frac{40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot (400/2 \, \text{mm})}{1.333 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{8 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{mm}^2}{1.333 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \\ &\approx 6 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Superposer les contraintes :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{max}} &= \sigma_{\text{comp}} - \sigma_{\text{flex}} \\ &= -8 \, \text{MPa} - 6 \, \text{MPa} \\ &= -14 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{min}} &= \sigma_{\text{comp}} + \sigma_{\text{flex}} \\ &= -8 \, \text{MPa} + 6 \, \text{MPa} \\ &= -2 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Final des Contraintes
-14 MPa-2 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte varie de -14 MPa (compression maximale) sur le bord le plus chargé à -2 MPa (compression minimale) sur le bord opposé. Comme toutes les contraintes sont négatives, la section est entièrement comprimée, il n'y a pas de risque de traction dans le béton. La contrainte maximale de 14 MPa est bien inférieure à la résistance du béton (\(f_{ck} = 25\) MPa), donc le poteau est correctement dimensionné.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! La compression est négative. Le moment de flexion ajoute une compression (négative) d'un côté et une "traction" (positive) de l'autre. L'erreur de signe est très fréquente et peut mener à des conclusions erronées sur la sécurité de l'élément.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte combinée est la somme d'une contrainte uniforme et d'une contrainte linéaire.
  • \(\sigma_{\text{max}} = -N/A - Mv/I\) (compression max).
  • \(\sigma_{\text{min}} = -N/A + Mv/I\) (compression min ou traction).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si l'excentricité est suffisamment grande, la contrainte minimale peut devenir positive (traction). La limite où la traction apparaît est lorsque \(e = h/6\). C'est la "règle du tiers central" : tant que la charge est appliquée dans le tiers central de la section, celle-ci reste entièrement comprimée.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce calcul est-il suffisant pour dimensionner le poteau ?

Non, c'est une première vérification à l'état limite de service (ELS). Pour un dimensionnement complet à l'état limite ultime (ELU), il faut prendre en compte des coefficients de sécurité sur les charges et les matériaux, le rôle des aciers, et des phénomènes plus complexes comme le flambement pour les poteaux élancés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes extrêmes sont \(\sigma_{\text{max}} = -14 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{\text{min}} = -2 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte maximale (en MPa, valeur absolue) si la force était parfaitement centrée (\(e=0\)) ?

Question 4 : Calculer la déformation (\(\epsilon\)) et le raccourcissement (\(\Delta L\))

Principe (le concept physique)

La loi de Hooke stipule que, dans le domaine élastique, la déformation (\(\epsilon\)) est proportionnelle à la contrainte (\(\sigma\)) via le module de Young (\(E\)). Le raccourcissement total (\(\Delta L\)) est simplement cette déformation relative multipliée par la longueur initiale du poteau (\(L\)). Nous calculons cette valeur au centre de gravité, où seule la contrainte de compression pure s'applique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La déformation relative, \(\epsilon\), est un nombre sans dimension (souvent exprimé en mm/m ou en %). Elle représente le changement de longueur par unité de longueur. La loi de Hooke, \(\sigma = E \cdot \epsilon\), est la relation fondamentale qui lie la mécanique (contrainte) à la déformation du matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du raccourcissement est important en pratique. Dans un bâtiment, tous les poteaux doivent se raccourcir de manière similaire pour éviter des tassements différentiels qui pourraient fissurer les cloisons ou les façades. Ce calcul permet de prédire ces mouvements.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction limitent les déformations et les déplacements des structures pour garantir le confort des usagers et l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, fenêtres). Le calcul de \(\Delta L\) est donc une vérification essentielle à l'état limite de service.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La déformation et le raccourcissement sont donnés par :

\[ \epsilon = \frac{\sigma_{\text{comp}}}{E} \quad \text{et} \quad \Delta L = \epsilon \cdot L \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le module de Young du béton est constant et que le poteau a une section et une charge uniformes sur toute sa hauteur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de compression, \(\sigma_{\text{comp}} = -8 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young, \(E = 31 \, \text{GPa}\)
  • Hauteur du poteau, \(L = 3.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités de \(E\). Il est donné en GigaPascals (GPa). Comme nos contraintes sont en MégaPascals (MPa), il faut convertir \(E\) en MPa en multipliant par 1000. Donc \(E = 31000 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Déformation du Poteau
ΔL?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion du module de Young :

\[ E = 31 \, \text{GPa} = 31000 \, \text{MPa} \]

2. Calcul de la déformation relative :

\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{\sigma_{\text{comp}}}{E} \\ &= \frac{-8 \, \text{MPa}}{31000 \, \text{MPa}} \\ &\approx -0.000258 \end{aligned} \]

3. Calcul du raccourcissement total (en mm) :

\[ \begin{aligned} \Delta L &= \epsilon \cdot L \\ &= -0.000258 \cdot (3.0 \, \text{m} \cdot 1000 \, \frac{\text{mm}}{\text{m}}) \\ &= -0.000258 \cdot 3000 \, \text{mm} \\ &\approx -0.774 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Raccourcissement Calculé
ΔL ≈ 0.77 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poteau se raccourcit de moins d'un millimètre (0.774 mm). C'est une déformation très faible, typique des structures en béton sous charges de service. Cette valeur serait utilisée par l'ingénieur pour vérifier les tassements et s'assurer qu'ils sont admissibles pour le reste de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est, encore une fois, la gestion des unités. Assurez-vous que \(\sigma\) et \(E\) sont dans la même unité (MPa) avant de calculer \(\epsilon\). Assurez-vous également que \(\Delta L\) et \(L\) sont dans la même unité (mm ou m) lors du calcul final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi de Hooke \(\sigma = E \cdot \epsilon\) relie contrainte et déformation.
  • La déformation relative \(\epsilon\) est sans dimension.
  • Le déplacement total est \(\Delta L = \epsilon \cdot L\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le béton subit également un phénomène de "fluage" : sous une charge constante, sa déformation continue d'augmenter lentement au fil des mois et des années. Le raccourcissement à long terme d'un poteau peut être 2 à 3 fois plus important que le raccourcissement instantané que nous venons de calculer.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utiliser la contrainte au centre et non \(\sigma_{max}\) ?

Le raccourcissement global du poteau est gouverné par la déformation de sa ligne moyenne (son axe central). La contrainte le long de cet axe est la contrainte de compression pure, \(\sigma_{comp}\). Les bords se raccourcissent un peu plus ou un peu moins, mais le raccourcissement moyen de l'élément est bien lié à la déformation moyenne.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La déformation est \(\epsilon \approx -0.000258\) et le raccourcissement total est \(\Delta L \approx -0.774 \, \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était en acier (\(E = 210\) GPa), quel serait son raccourcissement en mm ?

Outil Interactif : Flexion Composée d'un Poteau

Variez la force et son excentricité pour observer en direct leur impact sur le diagramme des contraintes et le coefficient de sécurité.

Paramètres d'Entrée
800 kN
50 mm
Contraintes Résultantes
Contrainte Max (MPa) -
Contrainte Min (MPa) -
Section Entièrement Comprimée ? -

Le Saviez-Vous ?

Le Panthéon de Rome, construit il y a près de 2000 ans, possède la plus grande coupole en béton non armé du monde. Les ingénieurs romains ont utilisé un béton de plus en plus léger en montant vers le sommet de la coupole, incorporant de la pierre ponce volcanique. Cette optimisation intuitive des matériaux a permis à la structure de résister aux contraintes et de traverser les siècles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi néglige-t-on les aciers dans ce calcul ?

Pour un calcul de vérification en service (ELS) où la section est entièrement comprimée, le béton est l'acteur principal. Les aciers participent, mais leur contribution est souvent faible par rapport à celle du béton. Les négliger est une simplification conservatrice (on sous-estime légèrement la rigidité). Pour un calcul à la rupture (ELU), leur rôle devient par contre absolument essentiel.

Qu'est-ce que le "noyau central" d'une section ?

C'est la zone autour du centre de gravité où une charge de compression peut être appliquée sans provoquer de traction nulle part dans la section. Pour un rectangle, c'est un losange qui occupe le "tiers central". Tant que la force est dans ce noyau, \(\sigma_{\text{min}}\) reste négatif (compression).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'excentricité d'une charge de compression augmente, le moment de flexion...

2. Dans notre exercice, la contrainte la moins élevée (-2 MPa) se situe...

Flexion Composée
Sollicitation combinée d'un effort normal (compression ou traction) et d'un moment de flexion. La contrainte résultante est la superposition des contraintes dues à chaque effort simple.
Excentricité (e)
Distance entre le point d'application d'une force et le centre de gravité de la section sur laquelle elle s'applique. C'est cette distance qui génère le moment de flexion.
Loi de Hooke
Principe de base de l'élasticité qui énonce que la déformation d'un matériau est proportionnelle à la contrainte appliquée (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)). Valable uniquement en dessous de la limite élastique.
Contrainte et Raccourcissement d'un Poteau en Béton

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *