Études de cas pratique

EGC

Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

Calcul de la Contrainte et du Raccourcissement d'une Poutre

Calcul de la Contrainte et du Raccourcissement d'une Poutre

Comprendre la Contrainte et le Raccourcissement dus à un Effort Axial de Compression

Lorsqu'une poutre ou une barre est soumise à un effort axial de compression, sa longueur diminue. Ce phénomène est appelé raccourcissement. Si la contrainte de compression résultante reste dans le domaine élastique du matériau, cette variation de longueur est proportionnelle à la contrainte et à la longueur initiale, et inversement proportionnelle au module d'Young du matériau. La contrainte de compression est calculée comme l'effort de compression divisé par l'aire de la section. Il est crucial de s'assurer que cette contrainte ne dépasse pas la limite de résistance en compression du matériau et que le raccourcissement reste dans des limites acceptables pour la fonctionnalité de la structure.

Données de l'étude

Un poteau court en béton armé, de section carrée, est soumis à une charge de compression axiale centrée \(N = 500 \, \text{kN}\).

Caractéristiques du poteau et du matériau (béton seul considéré pour ce calcul simplifié de raccourcissement) :

  • Hauteur initiale du poteau (\(L_0\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Côté de la section carrée (\(c\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young du béton (\(E_b\)) : \(30 \, \text{GPa}\)

Objectif : Déterminer la contrainte de compression dans le béton et le raccourcissement total (\(\Delta L\)) du poteau sous l'effet de la charge.

Schéma : Poteau en Compression et Raccourcissement
État initial N N L0 = 3 m c=250mm État déformé (raccourci) ΔL

Poteau carré soumis à une compression axiale N, montrant le raccourcissement \(\Delta L\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale du poteau.
  2. Calculer la contrainte de compression (\(\sigma\)) dans le béton.
  3. Calculer la déformation axiale (ou raccourcissement relatif, \(\epsilon\)) du poteau.
  4. Déterminer le raccourcissement total (\(\Delta L\)) du poteau.

Correction : Calcul de la Contrainte et du Raccourcissement

Question 1 : Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section carrée de côté \(c\) est donnée par la formule \(A = c^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = c^2\]
Données spécifiques :
  • Côté de la section carrée (\(c\)) : \(250 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (250 \, \text{mm})^2 \\ &= 62500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A = 62500 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte de Compression (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte de compression (\(\sigma\)) est le rapport de l'effort axial de compression (\(N\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle il s'applique. Par convention, une contrainte de compression est souvent considérée comme négative, mais ici nous calculerons sa valeur absolue pour ensuite déterminer un raccourcissement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(500 \, \text{kN} = 500000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(62500 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{500000 \, \text{N}}{62500 \, \text{mm}^2} \\ &= 8 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de compression dans le béton est \(\sigma = 8 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou raccourcissement relatif, est reliée à la contrainte axiale (\(\sigma\)) par le module d'Young (\(E_b\)) selon la loi de Hooke : \(\sigma = E_b \epsilon\). Pour une compression, la déformation sera négative (raccourcissement).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E_b}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte de compression (\(\sigma\)) : \(8 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young du béton (\(E_b\)) : \(30 \, \text{GPa} = 30 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{8 \, \text{MPa}}{30 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{8}{30000} \\ &\approx 0.00026667 \end{aligned} \]

Comme il s'agit d'une compression, la déformation est un raccourcissement, donc \(\epsilon \approx -0.000267\).

Résultat Question 3 : La déformation axiale (raccourcissement relatif) est \(\epsilon \approx 0.000267\) (ou \(-0.000267\)).

Question 4 : Raccourcissement Total (\(\Delta L\))

Principe :

Le raccourcissement total (\(\Delta L\)) est le produit de la déformation axiale (\(\epsilon\)) et de la longueur initiale (\(L_0\)). \(\Delta L = \epsilon \cdot L_0\). Un \(\epsilon\) négatif donnera un \(\Delta L\) négatif, indiquant un raccourcissement.

Alternativement, \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE_b}\). Si \(N\) est pris comme une force de compression (positive dans ce contexte de calcul de magnitude), \(\Delta L\) sera un raccourcissement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E_b}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(0.00026667\) (en valeur absolue pour calculer la magnitude du raccourcissement)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(3.0 \, \text{m} = 3000 \, \text{mm}\)
  • Ou : \(N=500000 \, \text{N}\), \(A=62500 \, \text{mm}^2\), \(E_b=30000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= 0.00026667 \cdot 3000 \, \text{mm} \\ &\approx 0.80001 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2, plus précise) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N L_0}{A E_b} \\ &= \frac{500000 \, \text{N} \cdot 3000 \, \text{mm}}{(62500 \, \text{mm}^2) \cdot (30000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{1500 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{1875 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}} \\ &= \frac{1500}{1875} \, \text{mm} \\ &= 0.8 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Le poteau se raccourcit de \(0.8 \, \text{mm}\).

Résultat Question 4 : Le raccourcissement total du poteau est \(\Delta L = 0.8 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la section du poteau était doublée (par exemple, \(c = 500 \, \text{mm}\)) tout en gardant la même charge N et le même matériau, le raccourcissement \(\Delta L\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Une contrainte de compression dans un matériau tend à :

6. Le raccourcissement d'une barre sous compression est inversement proportionnel à :

7. Si la contrainte de compression dans un matériau est \(\sigma\) et son module d'Young est \(E\), la déformation (raccourcissement relatif) \(\epsilon\) est :

Glossaire

Contrainte de Compression (\(\sigma\))
Force normale interne agissant par unité de surface d'une section transversale d'un corps, tendant à le raccourcir (\(\sigma = N/A\)).
Déformation Axiale (ou Longitudinale, \(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale. Pour la compression, on parle de raccourcissement relatif.
Raccourcissement (\(\Delta L\))
Diminution de la longueur d'un objet due à une sollicitation de compression. C'est une valeur négative si \(\Delta L = L_f - L_0\), ou positive si on parle de la magnitude du changement.
Loi de Hooke
Principe de l'élasticité linéaire stipulant que, pour de petites déformations, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation (\(\sigma = E \epsilon\)).
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il caractérise la rigidité d'un matériau. Il représente le rapport entre la contrainte axiale et la déformation axiale dans le domaine élastique.
Compression
Sollicitation qui tend à écraser ou raccourcir un corps.
Calcul de la Contrainte et du Raccourcissement - Exercice d'Application

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