Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
Contexte : L'ossature des grandes structures.
Si le mot "poutre" évoque souvent la flexion, de nombreuses poutres dans les grandes structures métalliques, comme les ponts en treillis ou les charpentes de toiture, ne travaillent quasiment qu'en traction ou en compression axiale. Ces éléments, appelés "barres", forment l'ossature de l'ouvrage. Comprendre comment une poutre-barreÉlément de structure, généralement droit et élancé, conçu pour ne reprendre que des efforts axiaux de traction ou de compression, sans flexion significative. se comporte sous un effort de compression est essentiel pour garantir la stabilité de l'ensemble. Cet exercice se focalise sur le calcul de la contrainte et du raccourcissement d'une telle poutre, une membrure inférieure de pont en acier.
Remarque Pédagogique : Cet exercice applique les mêmes principes fondamentaux que pour un poteau vertical (contrainte = force/aire), mais dans un contexte horizontal. Cela permet de renforcer la compréhension que la nature de la sollicitation (compression axiale) est plus importante que l'orientation de la pièce. Nous allons utiliser un profilé en acier, commun dans ce type de construction, et vérifier sa résistance et sa déformation.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'aire d'un profilé creux en acier.
- Déterminer la contrainte de compression dans l'acier.
- Appliquer la loi de Hooke pour l'acier afin de trouver la déformation unitaire.
- Calculer le raccourcissement total d'une poutre en treillis.
- Comparer la contrainte de service à la limite d'élasticité de l'acier.
Données de l'étude
Schéma de la poutre en compression
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la poutre | \(L\) | 4000 | \(\text{mm}\) |
| Section (profilé creux carré) | - | 150x150x8 | \(\text{mm}\) |
| Force axiale de compression | \(N\) | 900 | \(\text{kN}\) |
| Module d'élasticité de l'acier | \(E_{\text{acier}}\) | 210 | \(\text{GPa}\) |
| Limite d'élasticité de l'acier | \(f_y\) | 235 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du profilé creux.
- Calculer la contrainte normale de compression \(\sigma\) dans la poutre.
- Vérifier si la contrainte de service est inférieure à la limite d'élasticité de l'acier.
- Calculer le raccourcissement total \(\Delta L\) de la poutre.
Les bases de la Résistance des Matériaux
Pour la compression axiale, que l'élément soit vertical ou horizontal, les relations fondamentales restent les mêmes. Elles découlent de la définition de la contrainte et de la loi de Hooke.
1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est la force interne par unité de surface. Pour une force axiale \(N\) appliquée sur une aire \(A\), la contrainte est :
\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Si N est en Newtons (N) et A en mm², \(\sigma\) est en Mégapascals (MPa).
2. La Déformation Relative (\(\epsilon\)) et la Loi de Hooke :
La loi de Hooke énonce que, dans le domaine élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation relative. Le facteur de proportionnalité est le module de Young \(E\).
\[ \sigma = E \cdot \epsilon \quad \Rightarrow \quad \epsilon = \frac{\sigma}{E} \]
3. Le Raccourcissement Total (\(\Delta L\)) :
Le raccourcissement total est la déformation relative multipliée par la longueur initiale de l'élément.
\[ \Delta L = \epsilon \cdot L \]
En combinant les formules, on obtient la relation directe :
\[ \Delta L = \frac{N \cdot L}{A \cdot E} \]
Correction : Contrainte et Raccourcissement d'une Poutre
Question 1 : Calculer l'aire de la section (\(A\))
Principe (le concept physique)
L'aire de la section est la quantité de matière qui travaille pour résister à la force. Pour un profilé creux, il est essentiel de ne comptabiliser que l'aire réelle de l'acier, en soustrayant la partie vide au centre. C'est cette aire qui déterminera la contrainte subie par le matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les profilés creux sont très efficaces en compression car ils répartissent la matière loin du centre de gravité. Cela leur confère une grande rigidité, non seulement en compression, mais aussi en flexion et en torsion. De plus, à aire égale, un profilé creux est plus résistant au flambement qu'un profilé plein.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode la plus simple pour calculer l'aire d'une forme creuse est de calculer l'aire du grand rectangle extérieur et de lui soustraire l'aire du rectangle vide à l'intérieur. C'est une technique simple et robuste qui évite les erreurs.
Normes (la référence réglementaire)
Les dimensions et propriétés des profilés en acier (y compris leur aire) sont standardisées et répertoriées dans des catalogues de produits, conformément à des normes comme la norme EN 10219 pour les profilés creux formés à froid.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un profilé creux carré de côté extérieur \(c_{\text{ext}}\) et d'épaisseur \(t\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le profilé a des dimensions parfaites, conformes aux données, avec des coins à angle droit (en réalité, il y a de légers arrondis que l'on néglige ici pour simplifier).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Côté extérieur, \(c_{\text{ext}} = 150 \, \text{mm}\)
- Épaisseur, \(t = 8 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de faire le calcul, vérifiez la valeur du côté intérieur : \(150 - 2 \times 8 = 150 - 16 = 134\) mm. C'est une étape intermédiaire simple qui sécurise le calcul principal.
Schéma (Avant les calculs)
Section d'un Profilé Creux Carré
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le côté intérieur :
2. Calculer l'aire :
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'aire résistante de notre poutre est de 4544 mm². Bien que la section soit grande (150x150), l'aire réelle de matière est bien plus faible. C'est cette valeur qui doit être utilisée pour calculer la contrainte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de soustraire deux fois l'épaisseur pour calculer la dimension intérieure. On enlève l'épaisseur d'un côté et de l'autre !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'aire d'un profilé creux est l'aire extérieure moins l'aire intérieure.
- La dimension intérieure se calcule en retirant deux fois l'épaisseur à la dimension extérieure.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La Tour Eiffel est un chef-d'œuvre d'optimisation structurelle. Gustave Eiffel a utilisé des poutres en treillis et des profilés en fer puddlé (un ancêtre de l'acier) pour créer une structure incroyablement légère et résistante, en ne plaçant la matière que là où elle était strictement nécessaire pour reprendre les efforts.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait l'aire (en mm²) pour un profilé de 200x200x10 mm ?
Question 2 : Calculer la contrainte normale de compression (\(\sigma\))
Principe (le concept physique)
La contrainte \(\sigma\) est la pression interne subie par l'acier. Calculer cette valeur nous permet de quantifier l'intensité de la sollicitation. C'est le principal indicateur pour juger si la section choisie est adéquate pour la force qu'elle doit reprendre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte est une notion fondamentale qui permet de comparer la sollicitation d'éléments de tailles différentes. Un fil et une colonne massive peuvent tous deux être soumis à une contrainte de 100 MPa, même si les forces sont radicalement différentes. C'est ce qui permet d'établir des règles de dimensionnement universelles basées sur la résistance des matériaux.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne soyez pas intimidé par les grandes valeurs des forces en génie civil (kilonewtons ou méganewtons). Le concept de contrainte ramène tout à une échelle plus parlante. Que ce soit un petit boulon ou une immense poutre de pont, si la contrainte dans l'acier approche les 235 MPa, l'ingénieur sait qu'il est proche de la limite.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 3 (norme pour les structures en acier) définit les méthodes de calcul des contraintes et les vérifications de résistance. Pour la compression, il faut non seulement vérifier la contrainte mais aussi le risque de flambement, un phénomène d'instabilité non étudié dans cet exercice.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule reste la même :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose une compression parfaitement centrée, ce qui assure une répartition uniforme de la contrainte sur toute la section en acier.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force axiale, \(N = 900 \, \text{kN}\)
- Aire de la section, \(A = 4544 \, \text{mm}^2\) (de la Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
La conversion 1 kN = 1000 N doit devenir un réflexe. Le calcul \(900 \, 000 / 4544\) donnera directement le résultat en MPa (N/mm²).
Schéma (Avant les calculs)
Force se Répartissant sur l'Aire de l'Acier
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir la force en Newtons :
2. Calculer la contrainte :
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Compression dans l'Acier
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte dans la poutre en acier est d'environ 198 MPa. C'est une valeur élevée, qui commence à se rapprocher de la limite de résistance du matériau. La prochaine question est donc cruciale pour la sécurité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre la force \(N\) (en N ou kN) et la contrainte \(\sigma\) (en Pa ou MPa). La force est une action extérieure, la contrainte est une conséquence intérieure au matériau.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte est la force divisée par l'aire : \(\sigma = N/A\).
- Le couple d'unités (N, mm²) donne directement des MPa.
- Cette contrainte doit toujours être comparée à la résistance du matériau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les aciers à Haute Limite d'Élasticité (HLE) peuvent avoir des limites d'élasticité de 355 MPa, 460 MPa ou même plus. Ils permettent, à section égale, de reprendre des efforts beaucoup plus importants, ou de réduire le poids des structures en utilisant des profilés plus petits.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte (en MPa) si la force était de 1200 kN ?
Question 3 : Vérifier la contrainte par rapport à la limite d'élasticité
Principe (le concept physique)
C'est la vérification de résistance la plus élémentaire. On compare la contrainte à laquelle le matériau est soumis (\(\sigma\)) à la contrainte maximale qu'il peut endurer sans subir de déformation permanente (\(f_y\)). Si \(\sigma < f_y\), le comportement est élastique et la structure est considérée comme sûre du point de vue de la résistance du matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La limite d'élasticité \(f_y\) (yield strength) est une propriété intrinsèque du matériau, déterminée par un essai de traction en laboratoire. Au-delà de ce point, le matériau entre dans le domaine plastique : il se déforme de manière permanente. Pour l'acier de construction, cette transition est très nette, ce qui en fait un matériau très prévisible et sûr.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à un trombone. Vous pouvez le tordre légèrement, il reprend sa forme (domaine élastique). Si vous le tordez trop fort (vous dépassez la limite d'élasticité), il reste plié (déformation plastique). Notre calcul vérifie que la poutre du pont se comporte comme un trombone que l'on tord légèrement, et non comme celui que l'on a déplié.
Normes (la référence réglementaire)
Cette vérification est au cœur des Eurocodes 3. La condition de résistance s'écrit \(\sigma_{Ed} \le f_{yd}\), où \(\sigma_{Ed}\) est la contrainte de calcul à l'ELU (incluant les charges majorées) et \(f_{yd}\) est la limite d'élasticité de calcul (la valeur caractéristique \(f_y\) divisée par un coefficient de sécurité \(\gamma_{M0}\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il s'agit d'une simple comparaison :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour cette question, nous faisons une vérification simplifiée en comparant directement la contrainte de service à la limite d'élasticité caractéristique, sans appliquer les coefficients de sécurité réglementaires. C'est une première approche pour juger de l'ordre de grandeur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte calculée, \(\sigma \approx 198.1 \, \text{MPa}\) (de la Q2)
- Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le "taux de travail" est un indicateur très parlant : \(\text{Taux} = \sigma / f_y = 198.1 / 235 \approx 0.84\). Cela signifie que l'on utilise 84% de la capacité élastique du matériau, ce qui laisse une marge de sécurité de 16%.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de la Contrainte et de la Limite
Calcul(s) (l'application numérique)
On effectue la comparaison des deux valeurs.
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de service (198.1 MPa) est inférieure à la limite d'élasticité (235 MPa). La poutre ne subira donc pas de déformation permanente sous cette charge. Il existe une marge de sécurité, ce qui est rassurant. La conception est donc acceptable de ce point de vue.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais oublier que ce calcul ne suffit pas. Pour une poutre comprimée, la vérification la plus importante est souvent celle du flambement, surtout si la poutre est longue et mince. Une poutre peut flamber bien avant que la contrainte n'atteigne la limite d'élasticité.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La sécurité d'un élément est assurée si la contrainte de calcul est inférieure à la résistance de calcul.
- La limite d'élasticité (\(f_y\)) est la frontière entre le comportement élastique (réversible) et plastique (permanent).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Après la plastification, l'acier possède encore une grande capacité de déformation avant la rupture : c'est la ductilité. Cette propriété est très recherchée en génie parasismique, car elle permet à la structure de se déformer et de dissiper l'énergie du séisme sans s'effondrer brutalement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la force maximale (en kN) que cette poutre peut supporter avant d'atteindre exactement sa limite d'élasticité ?
Question 4 : Calculer le raccourcissement total (\(\Delta L\))
Principe (le concept physique)
Le raccourcissement total est le déplacement physique, la réduction de longueur, que subit la poutre sous l'effet de la compression. Bien que souvent faible, cette valeur est cruciale. Dans un treillis, les variations de longueur des barres, même minimes, modifient la géométrie de l'ensemble et peuvent induire des déformations globales (comme la flèche d'un pont).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\Delta L = \frac{NL}{AE}\) est valable pour la traction comme pour la compression. En traction, \(\Delta L\) est un allongement (positif), en compression, c'est un raccourcissement (négatif). Cette formule est la base du calcul des déplacements dans les structures en treillis par des méthodes comme le théorème de Castigliano ou la méthode des forces.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul du raccourcissement est l'aboutissement de tout ce qui précède. On part d'une action extérieure (N), on la traduit en une sollicitation interne via la géométrie (\(\sigma = N/A\)), puis on traduit cette sollicitation en une déformation grâce à la propriété du matériau (\(\epsilon = \sigma/E\)), et enfin on applique cette déformation à la dimension initiale (\(\Delta L = \epsilon L\)).
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction n'imposent généralement pas de limites directes sur le raccourcissement axial d'une seule barre, mais plutôt sur ses conséquences globales, comme la flèche ou la déformation d'ensemble d'un ouvrage, qui résultent de la somme des déformations de toutes ses barres.
Formule(s) (l'outil mathématique)
1. Calculer la déformation relative \(\epsilon\) :
2. Calculer le raccourcissement \(\Delta L\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le module d'élasticité de l'acier est constant sur toute la longueur de la poutre et que le comportement reste parfaitement élastique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte normale, \(\sigma \approx 198.1 \, \text{MPa}\) (de la Q2)
- Module d'élasticité, \(E_{\text{acier}} = 210 \, \text{GPa}\)
- Longueur initiale, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Utilisez la formule combinée \(\Delta L = NL/(AE)\) pour un calcul direct si vous n'avez pas besoin des valeurs intermédiaires de \(\sigma\) et \(\epsilon\). C'est souvent plus rapide et limite les erreurs d'arrondi.
Schéma (Avant les calculs)
Raccourcissement de la Poutre
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir le module d'élasticité en MPa :
2. Calculer la déformation relative :
3. Calculer le raccourcissement total :
Schéma (Après les calculs)
Poutre Avant et Après Raccourcissement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La poutre de 4 mètres se raccourcit d'environ 3.77 mm sous l'effet de la charge. Cette valeur, bien que faible, est significative. Si toutes les barres comprimées d'un pont en treillis se raccourcissent et toutes les barres tendues s'allongent, la combinaison de ces petites déformations individuelles entraîne la flèche globale du pont.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Veillez à la cohérence des unités. Si L est en mm, \(\Delta L\) sera en mm. Si vous utilisez la formule combinée \(NL/AE\), assurez-vous que N est en N, L en mm, A en mm² et E en N/mm² (MPa) pour que le résultat soit en mm.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le raccourcissement (ou l'allongement) total est \(\Delta L = \epsilon \cdot L\).
- Il dépend de la force, de la longueur, de l'aire et du matériau : \(\Delta L = NL/(AE)\).
- Cette déformation est la base du calcul des déplacements dans les structures.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les extensomètres sont des capteurs très précis (souvent des jauges de contrainte) que l'on colle sur les structures pour mesurer directement la déformation \(\epsilon\). En connaissant le module E du matériau, on peut en déduire la contrainte \(\sigma\) réelle dans l'élément. C'est une technique courante pour surveiller la santé des ouvrages d'art.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le raccourcissement (en mm) si la poutre était en aluminium (E = 70 GPa) ?
Outil Interactif : Paramètres de Compression
Modifiez les paramètres de la poutre pour observer leur influence sur la contrainte et le raccourcissement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le phénomène inverse du raccourcissement est l'allongement dû à la chaleur, appelé dilatation thermique. Les ingénieurs doivent en tenir compte. Un pont métallique de 1 km de long peut s'allonger de plus de 50 cm entre l'hiver et l'été ! C'est pour cela que l'on crée des joints de dilatation pour permettre ces mouvements sans générer de contraintes excessives.
Que se passe-t-il si la poutre est très élancée ?
Si une poutre comprimée est très longue et fine, un nouveau phénomène apparaît : le flambement. Au lieu de s'écraser proprement, elle aura tendance à se déformer brutalement sur le côté, comme une règle que l'on comprime par ses deux extrémités. Le calcul du flambement est une discipline plus complexe de la RDM, cruciale pour les éléments élancés.
Pourquoi utiliser un profilé creux plutôt que plein ?
Pour une même quantité d'acier (même aire), un profilé creux est beaucoup plus résistant au flambement qu'un profilé plein, car sa matière est répartie plus loin de l'axe central. Il est donc structurellement plus efficace pour les éléments comprimés.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente l'épaisseur d'un profilé creux (de 8 à 10 mm), gardant le côté extérieur constant, la contrainte sous la même force N va...
2. Si on remplace l'acier (E=210 GPa) par de l'aluminium (E=70 GPa) sans changer la géométrie ni la force, le raccourcissement total sera...
- Contrainte Normale (\(\sigma\))
- Mesure de la force axiale par unité de surface. En compression, elle tend à écraser la matière. En traction, elle tend à l'étirer. Unité : Pascal (Pa) ou Mégapascal (MPa).
- Déformation Relative (\(\epsilon\))
- Rapport entre le changement de longueur et la longueur initiale (\(\Delta L / L\)). C'est une grandeur sans dimension qui quantifie l'intensité de la déformation.
- Profilé Creux
- Élément de construction en acier, de section transversale creuse (carrée, rectangulaire ou circulaire), utilisé pour sa grande efficacité en compression et en torsion.
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