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Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre en RdM

Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Contexte : Au cœur de la matière.

Après avoir déterminé les efforts internes (moment fléchissant et effort tranchant), l'étape suivante pour un ingénieur est de vérifier si la poutre peut y résister. Cela nous amène à la notion de contrainteMesure d'une force interne agissant sur une surface interne. En flexion, la contrainte normale (σ) décrit la tendance à l'étirement ou à la compression des fibres du matériau., qui représente la force que les fibres du matériau subissent à l'intérieur de la poutre. Cet exercice se concentre sur le calcul de la contrainte due à la flexion, qui est souvent le facteur décisif dans le dimensionnement des poutres.

Remarque Pédagogique : Nous allons "zoomer" sur une seule tranche (section transversale) de la poutre. En connaissant le moment fléchissant à cet endroit et la géométrie de la section, nous pouvons calculer la contrainte en n'importe quel point de cette section. C'est un passage crucial de la mécanique des structures (vision globale) à la résistance des matériaux (vision locale).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la formule de la contrainte de flexion \(\sigma = -My/I\).
  • Identifier la position de la fibre neutreLigne à l'intérieur d'une section de poutre où la contrainte de flexion est nulle. Pour une section symétrique, elle passe par le centre de gravité..
  • Calculer le moment d'inertiePropriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. Plus I est grand, plus la section est rigide. Se mesure en m⁴ ou mm⁴. d'une section simple.
  • Déterminer les contraintes maximales de traction et de compression.
  • Tracer et interpréter le diagramme de distribution des contraintes dans une section.

Données de l'étude

On considère une section transversale d'une poutre soumise à un moment fléchissant positif \(M = +80 \, \text{kN.m}\). La section est un profilé en "I" symétrique (type IPE) dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous. Le matériau est de l'acier.

Schéma de la section transversale (IPE 200)
h = 200 mm b = 100 mm t_f = 8.5 mm t_w = 5.6 mm F.N. (y=0)

Questions à traiter

  1. Déterminer la position de la fibre neutre (l'axe passant par le centre de gravité).
  2. Calculer le moment d'inertie \(I_z\) de la section par rapport à la fibre neutre.
  3. Calculer la contrainte normale maximale en compression (\(\sigma_{\text{comp}}\)) et en traction (\(\sigma_{\text{trac}}\)).
  4. Calculer la contrainte normale au point A, situé à la jonction entre l'âme et la semelle supérieure.

Les bases de la Contrainte de Flexion

Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser la formule fondamentale qui relie la contrainte à la géométrie de la poutre et au chargement qu'elle subit.

1. La Formule de Navier :
Au cœur de cet exercice se trouve la formule de Navier, qui donne la contrainte normale \(\sigma\) en un point d'une section soumise à un moment de flexion \(M\):

Formule de Navier pour la contrainte de flexion :

\[ \sigma(y) = - \frac{M_z \cdot y}{I_z} \]
  • \(\sigma(y)\) est la contrainte à une distance \(y\) de la fibre neutre.
  • \(M_z\) est le moment fléchissant agissant sur la section.
  • \(y\) est la distance verticale du point considéré à la fibre neutre.
  • \(I_z\) est le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe de flexion (z).

2. La Fibre Neutre (ou Axe Neutre) :
Quand une poutre fléchit, certaines fibres sont étirées (en traction) et d'autres sont comprimées. Entre les deux, il existe une ligne de fibres qui ne changent pas de longueur : c'est la fibre neutre. La contrainte y est nulle. Pour une section homogène, la fibre neutre passe toujours par le centre de gravité (centroïde) de la section.

3. Le Moment d'Inertie (ou Moment Quadratique) :
Le moment d'inertie \(I\) est une propriété purement géométrique qui mesure la "rigidité de forme" d'une section vis-à-vis de la flexion. Plus \(I\) est grand, plus la section résiste à la flexion pour un même moment appliqué. C'est pourquoi les poutres en I sont si efficaces : elles maximisent \(I\) en plaçant le plus de matière possible loin de la fibre neutre.

Correction : Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Question 1 : Position de la Fibre Neutre

Principe (le concept physique)

La fibre neutre est l'axe où les contraintes de flexion s'annulent. Pour un matériau homogène, cet axe coïncide avec le centre de gravité (ou centroïde) de la section. Trouver la fibre neutre revient donc à trouver le centre de gravité de la forme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité. Pour une section plane, c'est un point géométrique appelé centroïde. Pour toute flexion simple, la fibre neutre passe par le centroïde de la section, à condition que le matériau suive la loi de Hooke (comportement élastique linéaire).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant tout calcul complexe, cherchez toujours les axes de symétrie. Un axe de symétrie contient forcément le centre de gravité. Si vous en avez deux, leur intersection vous donne le point exact sans aucun calcul, ce qui est un gain de temps et une source d'erreur en moins.

Astuces (Pour aller plus vite)

Profitez de la symétrie ! Notre section est symétrique par rapport à l'axe horizontal et à l'axe vertical. Le centre de gravité se trouve donc à l'intersection de ces deux axes de symétrie.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul, comme l'Eurocode 3 pour les structures en acier, ne spécifient pas comment calculer un centre de gravité, mais elles fournissent les positions pour tous les profilés standardisés, confirmant que pour un IPE, il se situe au centre géométrique.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est constituée d'un matériau homogène et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du centre de gravité pour une section symétrique :

\[ y_G = \frac{h}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : IPE 200, symétrique
  • Hauteur totale, \(h = 200 \, \text{mm}\)
Schéma (Avant les calculs)
Section avec axes de symétrie
G
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la position du centre de gravité :

\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{200 \, \text{mm}}{2} \\ &= 100 \, \text{mm} \quad \text{(par rapport à la base)} \end{aligned} \]

On place l'origine du repère (y=0) sur cette fibre neutre pour les calculs suivants.

Schéma (Apres les calculs)
Fibre Neutre identifiée
Fibre Neutre (y=0)
Justifications (le pourquoi de cette étape)

La localisation de la fibre neutre est la première étape indispensable de tout calcul de contrainte de flexion. C'est l'axe de référence (y=0) à partir duquel toutes les distances sont mesurées dans la formule de Navier. Une erreur sur sa position fausse tous les résultats suivants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Pour une section non symétrique (comme un profilé en "T" ou en "L"), un calcul complet du centre de gravité via les moments statiques est obligatoire. Ne jamais supposer qu'il est au milieu de la hauteur si la section n'est pas symétrique !

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fibre neutre est l'axe de symétrie horizontal de la section, situé à 100 mm de la base (ou du sommet) du profilé.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une section rectangulaire pleine de 300mm de haut, où se situe la fibre neutre par rapport à sa base ?

Question 2 : Calcul du Moment d'Inertie \(I_z\)

Principe (le concept physique)

Le moment d'inertie \(I_z\) quantifie la manière dont la matière est répartie autour de l'axe de flexion z (la fibre neutre). Il représente la rigidité "de forme" de la section. Plus la matière est éloignée de l'axe de flexion, plus le moment d'inertie est grand, et plus la poutre est rigide.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le théorème de Huygens (ou des axes parallèles) est fondamental pour les sections composées. Il stipule que le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe quelconque est égal à son moment d'inertie par rapport à son propre axe centroïdal, plus le produit de son aire par le carré de la distance entre les deux axes. C'est ce qui permet d'additionner les inerties de plusieurs formes simples.

Astuces (Pour aller plus vite)

La méthode du "négatif" : Une technique très rapide pour un profilé en I est de calculer le moment d'inertie du grand rectangle extérieur (200x100) et de lui soustraire les moments d'inertie des deux rectangles "vides" de chaque côté de l'âme. Comme tous ces rectangles sont centrés sur la fibre neutre, on n'a même pas besoin d'utiliser Huygens !

Normes (la référence réglementaire)

Pour les profilés standardisés comme les IPE, les valeurs des caractéristiques géométriques (aire, moment d'inertie, etc.) sont tabulées dans les annexes des normes de construction (ex: Eurocode 3). En pratique, un ingénieur ne recalcule pas cette valeur mais la lit dans un tableau. L'exercice vise à comprendre d'où vient cette valeur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à son centre :

\[ I_0 = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Méthode du négatif :

\[ I_{\text{total}} = I_{\text{rectangle plein}} - I_{\text{zones vides}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur totale, \(h = 200 \, \text{mm}\)
  • Largeur totale, \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur des semelles, \(t_f = 8.5 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme, \(t_w = 5.6 \, \text{mm}\)
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la section (méthode du négatif)
I_total = I_grand_rectangle - I_zones_vides
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment d'inertie du rectangle extérieur :

\[ I_{\text{ext}} = \frac{b_{\text{ext}} \cdot h_{\text{ext}}^3}{12} \]

Cette formule calcule la rigidité du grand rectangle comme s'il était plein.

\[ \begin{aligned} I_{\text{ext}} &= \frac{100 \cdot 200^3}{12} \\ &= 66.67 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul du moment d'inertie des zones vides combinées :

\[ I_{\text{vide}} = \frac{b_{\text{vide}} \cdot h_{\text{vide}}^3}{12} \]

On fait le même calcul, mais cette fois pour les deux rectangles 'vides' qui se trouvent de chaque côté de la partie verticale (l'âme).

\[ \begin{aligned} I_{\text{vide}} &= \frac{(100 - 5.6) \cdot (200 - 2 \cdot 8.5)^3}{12} \\ &= \frac{94.4 \cdot 183^3}{12} \\ &= 48.20 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

3. Calcul du moment d'inertie total de la section :

\[ I_z = I_{\text{ext}} - I_{\text{vide}} \]

C'est l'étape finale : on soustrait la 'rigidité' des parties vides de la 'rigidité' de la partie pleine pour obtenir la rigidité réelle de notre profilé en I.

\[ \begin{aligned} I_z &= (66.67 - 48.20) \times 10^6 \\ &= 18.47 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Convertissons en mètres pour la suite : \(I_z = 1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Schéma (Apres les calculs)
Section avec son moment d'inertie
I_z = 18.47 x 10^6 mm^4
Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le moment d'inertie est un paramètre critique de la formule de la contrainte (\(\sigma = -My/I\)). Il est au dénominateur, ce qui signifie qu'une grande inertie (une forme bien conçue) réduit considérablement les contraintes pour un même moment fléchissant. Le calculer est donc essentiel pour évaluer la performance de la section.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Les unités ! C'est l'erreur n°1. Les moments d'inertie sont souvent très grands en mm⁴ ou très petits en m⁴. Assurez-vous d'être cohérent dans vos calculs. Si le moment \(M\) est en kN.m, il faut utiliser \(I\) en m⁴ pour obtenir une contrainte en kPa (kN/m²).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment d'inertie de la section est \(I_z = 18.47 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) (ou \(1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est le moment d'inertie (en cm⁴) d'une section carrée de 10 cm de côté par rapport à son axe de gravité ?

Question 3 : Contraintes Normales Maximales

Principe (le concept physique)

La contrainte n'est pas uniforme dans la section : elle est nulle à la fibre neutre et augmente de façon linéaire à mesure qu'on s'en éloigne. Les contraintes maximales se trouvent donc sur les fibres les plus éloignées de la fibre neutre (les "fibres extrêmes"), c'est-à-dire au sommet et à la base de la poutre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 stipule que la contrainte de calcul (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) ne doit pas dépasser la résistance de calcul du matériau. Pour la flexion, on vérifie que \(\sigma_{\text{max}} \le f_{\text{yd}}\), où \(f_{\text{yd}}\) est la limite d'élasticité de l'acier divisée par un coefficient de sécurité.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau a un comportement élastique linéaire (la loi de Hooke s'applique) et que les sections planes restent planes après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la contrainte maximale :

\[ \sigma_{\text{max}} = - \frac{M_z \cdot y_{\text{max}}}{I_z} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment fléchissant, \(M_z = +80 \, \text{kN.m} = +80000 \, \text{N.m}\)
  • Moment d'inertie, \(I_z = 1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
  • Distance extrême, \(y_{\text{max}} = h/2 = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Identification des fibres extrêmes
y=0y_maxy_max
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la contrainte à la fibre supérieure (compression) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{sup}} &= - \frac{(80000 \, \text{N.m}) \cdot (+0.1 \, \text{m})}{1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \\ &= -4.33 \times 10^8 \, \text{Pa} \\ &\approx -433 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte à la fibre inférieure (traction) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{inf}} &= - \frac{(80000 \, \text{N.m}) \cdot (-0.1 \, \text{m})}{1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \\ &= +4.33 \times 10^8 \, \text{Pa} \\ &\approx +433 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Diagramme de Distribution des Contraintes
\(\sigma\)-433 MPa+433 MPa0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un moment positif (qui fait "sourire" la poutre) comprime les fibres du haut (contrainte négative) et étire les fibres du bas (contrainte positive). Les valeurs sont de même amplitude car la section est symétrique. Une valeur de 433 MPa est une contrainte très élevée, qui dépasserait la limite élastique de nombreux aciers de construction (ex: S235, S355), signifiant que la poutre serait en danger.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est la vérification ultime pour l'ingénieur. Le but de tous les calculs précédents est de trouver cette valeur \(\sigma_{\text{max}}\) pour la comparer à la résistance admissible du matériau. C'est cette comparaison qui détermine si la poutre est suffisamment grande et solide pour son usage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Un moment positif et un y positif (au-dessus de la FN) donnent une contrainte négative (compression). Un moment positif et un y négatif (en dessous de la FN) donnent une contrainte positive (traction). Une erreur de signe peut conduire à croire qu'une fibre est en traction alors qu'elle est comprimée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte maximale en compression est \(\sigma_{\text{comp}} = -433 \, \text{MPa}\) (fibre supérieure) et la contrainte maximale en traction est \(\sigma_{\text{trac}} = +433 \, \text{MPa}\) (fibre inférieure).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le matériau était de l'aluminium (trois fois moins rigide mais même géométrie), la contrainte maximale changerait-elle ?

Question 4 : Contrainte au Point A

Principe (le concept physique)

La beauté de la formule de Navier est qu'elle fonctionne pour n'importe quel point de la section, pas seulement les extrêmes. La contrainte varie linéairement avec la distance à la fibre neutre. Il suffit donc de connaître la coordonnée \(y\) de ce point et d'appliquer la formule.

Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez \(\sigma_{\text{max}}\), vous pouvez trouver n'importe quelle autre contrainte par une simple règle de trois, car la distribution est linéaire : \(\sigma(y) = \sigma_{\text{max}} \cdot (y / y_{\text{max}})\). C'est souvent plus rapide que de réappliquer toute la formule.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la contrainte au point A :

\[ \sigma_{A} = - \frac{M_z \cdot y_A}{I_z} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment fléchissant, \(M_z = +80 \, \text{kN.m}\)
  • Moment d'inertie, \(I_z = 1.847 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
  • Hauteur totale, \(h = 200 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur des semelles, \(t_f = 8.5 \, \text{mm}\)
Schéma (Avant les calculs)
Localisation du Point A
y=0Ay_A = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la position du point A par rapport à la fibre neutre :

\[ y_A = \frac{h}{2} - t_f \]

Avant d'appliquer la formule, nous devons trouver la coordonnée exacte du point A. Il se trouve à la base de la semelle supérieure, donc sa distance à la fibre neutre est la mi-hauteur moins l'épaisseur de cette semelle.

\[ \begin{aligned} y_A &= 100 - 8.5 \\ &= 91.5 \, \text{mm} = 0.0915 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte au point A :

\[ \sigma_{A} = - \frac{M_z \cdot y_A}{I_z} \]

Maintenant que nous avons la position y_A, nous pouvons l'injecter dans la formule de Navier pour trouver la contrainte précise à cet endroit.

\[ \begin{aligned} \sigma_{A} &= - \frac{80000 \cdot 0.0915}{1.847 \times 10^{-5}} \\ &= -3.96 \times 10^8 \, \text{Pa} \\ &\approx -396 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Distribution des Contraintes
\(\sigma\)-433 MPa+433 MPa0-396 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On remarque que la contrainte au point A (-396 MPa) est légèrement inférieure à la contrainte maximale à la fibre extrême (-433 MPa), ce qui est logique car le point A est plus proche de la fibre neutre. Cela montre que la majorité de la semelle travaille à une contrainte très proche du maximum, ce qui confirme l'efficacité de la forme en I.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de contraintes en des points spécifiques est crucial pour analyser des détails de conception, comme la résistance d'une soudure entre l'âme et la semelle, ou pour vérifier les contraintes autour d'un trou de boulon qui pourrait créer une concentration de contraintes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Aux jonctions vives comme entre l'âme et la semelle, des concentrations de contraintes peuvent apparaître. Les profilés laminés à chaud ont des "congés" (arrondis) à ces jonctions pour réduire ces pics de contrainte et améliorer la résistance à la fatigue.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte normale au point A est \(\sigma_A = -396 \, \text{MPa}\) (compression).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait (approximativement) la contrainte au centre de la semelle supérieure (à y = 100 - 8.5/2 mm) ?

Outil Interactif : Explorez les Contraintes

Modifiez le moment appliqué ou la position du point pour voir l'évolution de la contrainte en temps réel.

Paramètres d'Entrée
80 kN.m
100 mm
Contrainte \(\sigma\) (MPa) -
y=0 - -

Le Saviez-Vous ?

La forme en "I" des poutres en acier n'est pas un hasard. Elle est conçue pour être extrêmement efficace en termes de résistance par rapport à son poids. La majorité du matériau se trouve dans les "semelles" (les barres horizontales), loin de la fibre neutre. C'est précisément là où les contraintes de flexion sont maximales, donc là où le matériau est le plus utile. L'"âme" (la partie verticale) sert principalement à maintenir les semelles écartées et à reprendre l'effort tranchant.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi y a-t-il un signe "moins" dans la formule \(\sigma = -My/I\)?

C'est une convention. En génie civil, un moment fléchissant est dit "positif" lorsqu'il tend à courber la poutre avec la concavité vers le haut (comme un sourire), ce qui met les fibres supérieures en compression (contrainte négative) et les fibres inférieures en traction (contrainte positive). Le signe "moins" dans la formule assure que cette convention est respectée : si M est positif et y est positif (partie supérieure), \(\sigma\) est bien négative.

Que se passe-t-il si le moment est appliqué selon l'autre axe (flexion déviée) ?

Si un moment \(M_y\) est appliqué, il provoque une flexion autour de l'axe y. La formule devient \(\sigma = +M_y \cdot z / I_y\), où \(z\) est la coordonnée horizontale et \(I_y\) le moment d'inertie par rapport à l'axe vertical. Si les deux moments sont présents, on additionne les contraintes : \(\sigma = -M_z y / I_z + M_y z / I_y\). C'est le principe de superposition.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une poutre en flexion, où la contrainte normale est-elle toujours nulle ?

2. Si on double le moment fléchissant M appliqué à une section, la contrainte maximale...

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section. En flexion, elle représente l'effort d'étirement (traction, \(\sigma > 0\)) ou de raccourcissement (compression, \(\sigma < 0\)) des fibres du matériau.
Fibre Neutre (FN)
L'axe à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte normale est nulle. Pour un matériau homogène, elle passe par le centre de gravité de la section.
Moment d'Inertie (\(I\))
Aussi appelé moment quadratique, c'est une propriété géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Une valeur élevée de I indique une grande rigidité de forme.
Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

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