Études de cas pratique

EGC

Connexion boulonnée pour charpente bois

Calcul d’une Connexion Boulonnée pour Charpente Bois

Comprendre le Calcul d’une Connexion Boulonnée pour Charpente Bois

Les connexions boulonnées sont fréquemment utilisées dans les charpentes en bois pour assembler différents éléments. La capacité portante d'un tel assemblage dépend de nombreux facteurs, notamment les propriétés du bois, le diamètre et la résistance du boulon, l'épaisseur des pièces de bois, et la configuration de l'assemblage (simple ou double cisaillement). La vérification à l'État Limite Ultime (ELU) se base sur les formules de Johansen, qui considèrent différents modes de ruine possibles impliquant la plastification du bois sous le boulon et/ou la plastification du boulon lui-même.

Données de l'étude

On étudie un assemblage bois-bois à simple cisaillement, constitué de deux pièces de bois de même épaisseur, assemblées par un seul boulon.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Épaisseur de chaque pièce de bois (\(t_1 = t_2 = t\)) : \(45 \, \text{mm}\)
  • Diamètre du boulon (\(d\)) : \(12 \, \text{mm}\)
  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{h,k} = 24.8 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique à l'écrasement perpendiculaire aux fibres, \(f_{h,0,k} = 24.8 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique à l'écrasement parallèle aux fibres. On supposera un angle de 0° par rapport aux fibres pour simplifier et utiliser \(f_{h,0,k}\)).
  • Acier du boulon : Classe 4.6 (\(f_{ub} = 400 \, \text{MPa}\) - résistance à la rupture du boulon)
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.9\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour les assemblages (\(\gamma_{M,conn}\)) : \(1.3\) (souvent égal à \(\gamma_M\))

Hypothèse : Le trou du boulon est standard (non pré-percé avec précision). On néglige les effets de groupe et les distances aux bords pour ce calcul simplifié de la capacité d'un seul boulon.

Schéma : Connexion Boulonnée à Simple Cisaillement
t1 = 45mm t2 = 45mm d=12mm Plan de cisaillement F F Assemblage Bois-Bois Simple Cisaillement

Assemblage de deux pièces de bois par un boulon.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance caractéristique à l'écrasement du bois (\(f_{h,0,k}\)) et le moment de plastification caractéristique du boulon (\(M_{y,Rk}\)). Utiliser \(M_{y,Rk} = 0.3 f_{ub} d^{2.6}\) pour les boulons.
  2. Calculer la capacité portante caractéristique par plan de cisaillement (\(F_{v,Rk}\)) pour les différents modes de ruine de Johansen applicables à un assemblage bois-bois à simple cisaillement (on se limitera aux modes les plus courants pour un boulon standard, sans considérer l'effet de corde). Les formules simplifiées pour \(t_1=t_2=t\) sont :
    • Mode (f) : \(F_{v,Rk,f} = f_{h,0,k} \cdot t \cdot d\)
    • Mode (g) : \(F_{v,Rk,g} = f_{h,0,k} \cdot t \cdot d \left[ \sqrt{2 + \frac{4 M_{y,Rk}}{f_{h,0,k} d t^2}} - 1 \right]\)
    • Mode (h) : \(F_{v,Rk,h} = 2.3 \sqrt{M_{y,Rk} f_{h,0,k} d}\)
  3. Déterminer la capacité portante caractéristique minimale (\(F_{v,Rk,min}\)) parmi les modes calculés.
  4. Calculer la capacité portante de calcul par plan de cisaillement (\(F_{v,Rd}\)).

Correction : Calcul d’une Connexion Boulonnée

Question 1 : Résistance à l'Écrasement (\(f_{h,0,k}\)) et Moment de Plastification (\(M_{y,Rk}\))

Principe :

La résistance à l'écrasement du bois (\(f_{h,0,k}\)) est une propriété du matériau donnée par sa classe de résistance. Elle représente la capacité du bois à résister à une pression localisée, comme celle exercée par un boulon. Le moment de plastification du boulon (\(M_{y,Rk}\)) caractérise sa capacité à résister à la flexion avant de subir une déformation plastique permanente ; il dépend de la résistance à la rupture de l'acier du boulon et de son diamètre.

Formule(s) utilisée(s) :

Moment de plastification caractéristique du boulon :

\[M_{y,Rk} = 0.3 \cdot f_{ub} \cdot d^{2.6}\]

Attention aux unités : \(f_{ub}\) en MPa (N/mm²), \(d\) en mm, pour obtenir \(M_{y,Rk}\) en N·mm.

Données spécifiques :
  • \(f_{h,0,k} = 24.8 \, \text{MPa}\) (pour C24, angle 0°)
  • \(f_{ub} = 400 \, \text{MPa}\) (pour acier classe 4.6)
  • Diamètre du boulon (\(d\)) : \(12 \, \text{mm}\)
Calcul :

La résistance \(f_{h,0,k}\) est une donnée de l'énoncé : \(f_{h,0,k} = 24.8 \, \text{MPa}\).

Calcul du moment de plastification du boulon :

\[ \begin{aligned} M_{y,Rk} &= 0.3 \times 400 \, \text{N/mm}^2 \times (12 \, \text{mm})^{2.6} \\ &= 120 \times 12^{2.6} \\ &\approx 120 \times 516.417 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 61969.98 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

On arrondit : \(M_{y,Rk} \approx 61970 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

Résultat Question 1 : \(f_{h,0,k} = 24.8 \, \text{MPa}\) et \(M_{y,Rk} \approx 61970 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

Question 2 : Capacité Portante Caractéristique (\(F_{v,Rk}\)) par Mode de Ruine

Principe :

La théorie de Johansen décrit plusieurs façons dont un assemblage boulonné peut céder. Pour un assemblage simple comme celui-ci (deux pièces de bois de même épaisseur \(t\) assemblées par un boulon), on calcule la capacité pour les modes de ruine les plus probables :

  • Mode (f) : Le bois s'écrase sous le boulon dans les deux pièces, sans que le boulon ne plie de manière significative.
  • Mode (g) : Le bois s'écrase dans une des pièces et le boulon se plie (forme une "rotule plastique").
  • Mode (h) : Le boulon se plie de manière significative, formant deux "rotules plastiques", avant que le bois ne s'écrase complètement.
La capacité réelle de l'assemblage sera la plus faible de ces valeurs calculées.

Formule(s) utilisée(s) (pour \(t_1 = t_2 = t\)) :
\[F_{v,Rk,f} = f_{h,0,k} \cdot t \cdot d\]
\[F_{v,Rk,g} = f_{h,0,k} \cdot t \cdot d \left[ \sqrt{2 + \frac{4 M_{y,Rk}}{f_{h,0,k} d t^2}} - 1 \right]\]
\[F_{v,Rk,h} = 2.3 \sqrt{M_{y,Rk} f_{h,0,k} d}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(f_{h,0,k} = 24.8 \, \text{N/mm}^2\)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(45 \, \text{mm}\)
  • Diamètre boulon (\(d\)) : \(12 \, \text{mm}\)
  • \(M_{y,Rk} \approx 61970 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
Calcul :

Mode (f) : Écrasement du bois dans les deux pièces.

\[ \begin{aligned} F_{v,Rk,f} &= 24.8 \times 45 \times 12 \\ &= 13392 \, \text{N} \end{aligned} \]

Mode (g) : Écrasement du bois et une rotule plastique dans le boulon.

Calculons d'abord le terme sous la racine carrée :

\[ \begin{aligned} \text{Terme } \beta &= \frac{4 M_{y,Rk}}{f_{h,0,k} d t^2} \\ &= \frac{4 \times 61970}{24.8 \times 12 \times (45)^2} \\ &= \frac{247880}{24.8 \times 12 \times 2025} \\ &= \frac{247880}{601560} \\ &\approx 0.4120 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F_{v,Rk,g} &= f_{h,0,k} \cdot t \cdot d \left[ \sqrt{2 + \beta} - 1 \right] \\ &= 13392 \left[ \sqrt{2 + 0.4120} - 1 \right] \\ &= 13392 \left[ \sqrt{2.4120} - 1 \right] \\ &\approx 13392 \left[ 1.55306 - 1 \right] \\ &= 13392 \times 0.55306 \\ &\approx 7406.6 \, \text{N} \end{aligned} \]

Mode (h) : Deux rotules plastiques dans le boulon.

\[ \begin{aligned} F_{v,Rk,h} &= 2.3 \sqrt{M_{y,Rk} f_{h,0,k} d} \\ &= 2.3 \sqrt{61970 \times 24.8 \times 12} \\ &= 2.3 \sqrt{18445152} \\ &\approx 2.3 \times 4294.78 \\ &\approx 9878.0 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les capacités caractéristiques sont : \(F_{v,Rk,f} = 13392 \, \text{N}\), \(F_{v,Rk,g} \approx 7407 \, \text{N}\), \(F_{v,Rk,h} \approx 9878 \, \text{N}\).

Question 3 : Capacité Portante Caractéristique Minimale (\(F_{v,Rk,min}\))

Principe :

La capacité portante caractéristique réelle de l'assemblage pour un plan de cisaillement est la plus petite des valeurs calculées pour les différents modes de ruine. C'est ce mode le plus faible qui gouvernera la résistance de l'assemblage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{v,Rk,min} = \min(F_{v,Rk,f}, F_{v,Rk,g}, F_{v,Rk,h})\]
Données spécifiques :
  • \(F_{v,Rk,f} = 13392 \, \text{N}\)
  • \(F_{v,Rk,g} \approx 7407 \, \text{N}\)
  • \(F_{v,Rk,h} \approx 9878 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ F_{v,Rk,min} = \min(13392, 7407, 9878) = 7407 \, \text{N} \]

Le mode de ruine (g) est donc le plus critique pour cet assemblage.

Résultat Question 3 : La capacité portante caractéristique minimale est \(F_{v,Rk,min} \approx 7407 \, \text{N}\).

Question 4 : Capacité Portante de Calcul (\(F_{v,Rd}\))

Principe :

La capacité portante de calcul (\(F_{v,Rd}\)) est la valeur utilisée pour les vérifications de sécurité à l'ELU. Elle est obtenue en divisant la capacité portante caractéristique minimale (\(F_{v,Rk,min}\)) par le coefficient partiel de sécurité pour les assemblages en bois (\(\gamma_{M,conn}\)) et en la multipliant par le coefficient de modification (\(k_{mod}\)) qui tient compte de la durée de la charge et des conditions d'humidité.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[F_{v,Rd} = k_{mod} \frac{F_{v,Rk,min}}{\gamma_{M,conn}}\]
Données spécifiques :
  • \(F_{v,Rk,min} \approx 7407 \, \text{N}\)
  • \(k_{mod} = 0.9\)
  • \(\gamma_{M,conn} = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{v,Rd} &= 0.9 \times \frac{7407 \, \text{N}}{1.3} \\ &\approx 0.9 \times 5697.69 \, \text{N} \\ &\approx 5127.9 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ F_{v,Rd} \approx 5.13 \, \text{kN} \]
Résultat Question 4 : La capacité portante de calcul par plan de cisaillement pour un boulon est \(F_{v,Rd} \approx 5.13 \, \text{kN}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que la résistance caractéristique à l'écrasement du bois (\(f_{h,k}\)) ?

2. Le moment de plastification caractéristique du boulon (\(M_{y,Rk}\)) dépend principalement :

3. La capacité portante de calcul d'un assemblage boulonné (\(F_{v,Rd}\)) est :

Glossaire

Connexion Boulonnée
Assemblage de pièces de bois (ou bois-métal) utilisant des boulons comme organes d'assemblage.
Simple Cisaillement
Configuration d'assemblage où le boulon est soumis à un seul plan de cisaillement (ex: deux pièces de bois assemblées).
Résistance Caractéristique à l'Écrasement (\(f_{h,k}\))
Résistance du bois à la pression localisée sous un connecteur. \(f_{h,\alpha,k}\) dépend de l'angle \(\alpha\) entre la force et la direction des fibres du bois.
Moment de Plastification Caractéristique du Boulon (\(M_{y,Rk}\))
Moment fléchissant caractéristique qu'un boulon peut supporter avant de subir une déformation plastique permanente.
Formules de Johansen
Ensemble de formules permettant de calculer la capacité portante caractéristique d'un assemblage à tige (boulon, broche, clou) en considérant différents modes de ruine possibles (plastification du bois et/ou de la tige).
Capacité Portante Caractéristique (\(F_{v,Rk}\))
Résistance caractéristique d'un assemblage au cisaillement, déterminée comme la plus faible des capacités des différents modes de ruine.
Capacité Portante de Calcul (\(F_{v,Rd}\))
Résistance de calcul de l'assemblage au cisaillement, utilisée pour les vérifications à l'ELU. \(F_{v,Rd} = k_{mod} F_{v,Rk} / \gamma_M\).
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient tenant compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service (humidité) sur la résistance du bois et des assemblages.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient minorant la résistance caractéristique du matériau ou de l'assemblage pour obtenir la résistance de calcul.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Calcul d’une Connexion Boulonnée - Exercice d'Application

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