Calcul de la Résistance au Cisaillement d'une Section Rectangulaire en Bois
Comprendre la Vérification au Cisaillement d'une Poutre en Bois
Le cisaillement dans une poutre est un effort interne qui tend à faire glisser les sections transversales les unes par rapport aux autres. Dans les poutres en bois, la vérification au cisaillement est cruciale, notamment près des appuis où l'effort tranchant est généralement maximal. Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale se produit au niveau de l'axe neutre. La vérification consiste à s'assurer que cette contrainte de cisaillement de calcul (\(\tau_d\)) ne dépasse pas la résistance au cisaillement de calcul du bois (\(f_{v,d}\)).
Données de l'étude
- Type de bois : Bois massif C18
- Section (largeur \(b \times\) hauteur \(h\)) : \(100 \, \text{mm} \times 200 \, \text{mm}\)
- Portée (longueur entre appuis \(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
- Conditions d'appui : Simplement appuyée.
- Classe de résistance : C18
- Résistance caractéristique au cisaillement (\(f_{\text{v,k}}\)) : \(4.0 \, \text{MPa}\) (valeur typique pour C18 selon EN338, peut varier légèrement)
- Classe de service : 2 (extérieur, abrité)
- Classe de durée de chargement : Courte durée (ex: vent, neige)
- Coefficient de modification (\(k_{\text{mod}}\)) pour courte durée, classe de service 2 : \(0.9\)
- Coefficient partiel de sécurité pour le matériau (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
- Coefficient de réduction pour l'aire de cisaillement (\(k_{\text{cr}}\)) : \(0.67\) (pour bois massif sans fentes susceptibles d'affecter la résistance au cisaillement)
- Charge uniformément répartie de calcul (\(q_d\)) : \(10.0 \, \text{kN/m}\) (cette charge inclut déjà les coefficients \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\))
Schéma : Poutre en Bois et Effort Tranchant
Poutre sur appuis simples avec effort tranchant \(V_d\) aux appuis.
Questions à traiter
- Calculer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_d\)) dans la poutre.
- Déterminer l'aire de la section (\(A\)) et la largeur (\(b\)).
- Calculer la contrainte de cisaillement de calcul (\(\tau_d\)) pour une section rectangulaire.
- Calculer la résistance au cisaillement de calcul du bois (\(f_{\text{v,d}}\)).
- Vérifier la condition de résistance au cisaillement : \(\tau_d \leq f_{\text{v,d}}\). Conclure sur la validité de la section.
Correction : Calcul de la Résistance au Cisaillement
Question 1 : Effort Tranchant Maximal de Calcul (\(V_d\))
Principe :
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, l'effort tranchant maximal se produit aux appuis et est égal à la réaction d'appui.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Charge répartie de calcul (\(q_d\)) : \(10.0 \, \text{kN/m}\)
- Portée (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
Question 2 : Aire de la Section (\(A\)) et Largeur (\(b\))
Principe :
L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa largeur et de sa hauteur.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Largeur (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
- Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
La largeur \(b\) est directement donnée : \(b = 100 \, \text{mm}\).
Question 3 : Contrainte de Cisaillement de Calcul (\(\tau_d\))
Principe :
Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale de calcul est donnée par la formule suivante, où \(k_{\text{cr}}\) est un coefficient tenant compte de la fissuration potentielle du bois (pour le bois massif, \(k_{\text{cr}}=0.67\) est souvent utilisé en l'absence de fentes importantes).
L'Eurocode 5 spécifie que la contrainte de cisaillement de calcul \(\tau_d\) est calculée avec une aire efficace \(A_{\text{ef}} = k_{\text{cr}} \cdot A\). Cependant, il est plus courant d'utiliser la formule \(\tau_d = 1.5 \frac{V_d}{A}\) pour une section rectangulaire et de comparer cela à une résistance de calcul \(f_{v,d}\) qui intègre \(k_{\text{cr}}\) ou d'appliquer \(k_{\text{cr}}\) à la largeur efficace \(b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}} \cdot b\). Pour cet exercice, nous utiliserons la formule de la contrainte maximale de cisaillement pour une section rectangulaire, en considérant une largeur efficace \(b_{\text{ef}}\) ou une aire efficace.
Selon l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1, éq. 6.13), la contrainte de cisaillement de calcul est : \(\tau_{d} = \frac{1.5 \cdot V_d}{b \cdot h}\) si l'on ne considère pas la réduction due à \(k_{cr}\) directement dans la contrainte mais dans la résistance (ou une aire efficace). Une approche commune est de calculer \(\tau_{d} = \frac{1.5 \cdot V_d}{A}\) et de la comparer à \(f_{v,d}\) qui, elle, est affectée par \(k_{cr}\) dans sa définition (ou \(k_{cr}\) affecte \(f_{v,k}\) pour donner \(f_{v,ef,k}\)).
Pour simplifier et suivre une pratique courante, on utilise la formule de la contrainte de cisaillement maximale pour une section rectangulaire: \(\tau_{max} = 1.5 \frac{V_d}{A}\). On la notera \(\tau_d\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_d = 15000 \, \text{N}\)
- \(A = 20000 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
Question 4 : Résistance au Cisaillement de Calcul (\(f_{\text{v,d}}\))
Principe :
La résistance au cisaillement de calcul du bois est obtenue à partir de sa résistance caractéristique au cisaillement, en appliquant le coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) et le coefficient de réduction \(k_{\text{cr}}\), puis en divisant par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_M\).
Note: L'application de \(k_{cr}\) peut se faire sur \(f_{v,k}\) pour obtenir \(f_{v,ef,k}\) ou directement dans la formule de \(f_{v,d}\). L'Eurocode 5 (6.1.7(2)) indique que \(k_{cr}\) modifie la largeur pour le calcul de la contrainte, ou la résistance. Nous l'appliquerons ici à la résistance caractéristique.
Formule(s) utilisée(s) :
Alternativement, si \(k_{cr}\) est appliqué à la largeur efficace \(b_{ef} = k_{cr} \cdot b\), alors \(\tau_d = \frac{1.5 \cdot V_d}{b_{ef} \cdot h}\) et \(f_{v,d} = k_{mod} \frac{f_{v,k}}{\gamma_M}\). Pour cet exercice, nous suivons la première approche pour \(f_{v,d}\).
Données spécifiques :
- \(f_{\text{v,k}} = 4.0 \, \text{MPa}\)
- \(k_{\text{mod}} = 0.9\)
- \(k_{\text{cr}} = 0.67\)
- \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si \(k_{\text{cr}}\) était de 1.0 (par exemple pour du lamellé-collé), la résistance \(f_{\text{v,d}}\) serait :
Question 5 : Vérification de la Résistance au Cisaillement
Principe :
La condition de résistance au cisaillement est satisfaite si la contrainte de cisaillement de calcul est inférieure ou égale à la résistance au cisaillement de calcul du matériau.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\tau_d = 1.125 \, \text{MPa}\)
- \(f_{\text{v,d}} \approx 1.855 \, \text{MPa}\)
Vérification :
La condition est vérifiée. Le taux de travail est \(\frac{1.125}{1.855} \approx 0.606\) (soit 60.6%).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La contrainte de cisaillement maximale dans une section rectangulaire sous effort tranchant est :
2. Le coefficient \(k_{\text{cr}}\) est utilisé dans la vérification au cisaillement du bois massif pour :
3. Si \(\tau_d > f_{\text{v,d}}\), cela signifie que :
Glossaire
- Cisaillement (Effort Tranchant)
- Effort interne à une poutre, perpendiculaire à son axe longitudinal, qui tend à faire glisser les sections transversales l'une par rapport à l'autre.
- \(\tau_d\) (Contrainte de cisaillement de calcul)
- Contrainte de cisaillement maximale dans la section, calculée à partir de l'effort tranchant de calcul.
- \(f_{\text{v,k}}\) (Résistance caractéristique au cisaillement)
- Valeur de la résistance au cisaillement du bois, déterminée statistiquement.
- \(f_{\text{v,d}}\) (Résistance au cisaillement de calcul)
- Résistance au cisaillement du bois utilisée pour les vérifications à l'ELU, obtenue en appliquant les coefficients \(k_{\text{mod}}\), \(k_{\text{cr}}\) et \(\gamma_M\) à \(f_{\text{v,k}}\).
- \(k_{\text{cr}}\) (Coefficient de réduction pour l'aire de cisaillement)
- Coefficient qui tient compte de la réduction de la résistance au cisaillement due à la fissuration du bois massif. Pour le bois lamellé-collé, \(k_{\text{cr}} = 1.0\).
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