EGC

Cisaillement dans une poutre

Calcul du Cisaillement dans une Poutre en RdM

Calcul du Cisaillement dans une Poutre

Contexte : L'effort "tranchant" dans les structures.

Alors que la flexion fait plier une poutre, le cisaillement tend à la "couper" en deux, comme une paire de ciseaux. Cet effort, appelé effort tranchantNoté V ou T, c'est un effort interne qui représente la tendance des forces externes à faire glisser une section de la poutre par rapport à la section adjacente., génère des contraintes de cisaillement (\(\tau\)) à l'intérieur du matériau. La vérification de ces contraintes est fondamentale en génie civil, notamment près des appuis ou des charges concentrées où l'effort tranchant est maximal. Une mauvaise estimation peut conduire à des ruptures brutales, particulièrement dans les poutres en bois ou en béton armé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur le calcul de la contrainte de cisaillement maximale dans une section de poutre. Nous allons d'abord déterminer l'effort tranchant, puis utiliser la formule de Jourawski, qui fait intervenir des notions géométriques clés comme le moment statique. C'est une compétence essentielle pour tout ingénieur structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort tranchant maximal dans une poutre simplement appuyée.
  • Calculer le moment statique d'une demi-section par rapport à l'axe neutre.
  • Appliquer la formule de Jourawski pour trouver la contrainte de cisaillement maximale.
  • Comprendre la répartition parabolique des contraintes de cisaillement dans une section rectangulaire.
  • Comparer la contrainte maximale à une limite admissible.

Données de l'étude

Une poutre en bois de section rectangulaire est posée sur deux appuis simples. Elle est soumise à une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur. On cherche à vérifier la sécurité de la poutre vis-à-vis du cisaillement.

Schéma de la Poutre et de la Section
q L = 4000 mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4000 \(\text{mm}\)
Largeur de la section \(b\) 100 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 300 \(\text{mm}\)
Charge uniformément répartie \(q\) 10 \(\text{N/mm}\)
Contrainte de cisaillement admissible \(\tau_{\text{adm}}\) 2 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort tranchant maximal \(V_{\text{max}}\) dans la poutre.
  2. Calculer le moment statique \(S_{\text{Gz}}\) de la demi-section supérieure par rapport à l'axe neutre.
  3. Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) au niveau de l'axe neutre.
  4. Vérifier la sécurité de la poutre au cisaillement.

Les bases du Cisaillement dans les Poutres

Avant de résoudre l'exercice, familiarisons-nous avec les concepts clés.

1. L'Effort Tranchant (V) :
C'est l'effort interne résultant des forces extérieures qui tendent à faire glisser verticalement les sections les unes par rapport aux autres. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge répartie \(q\), l'effort tranchant est maximal aux appuis et vaut : \[ V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2} \]

2. Le Moment Statique (S) :
Le moment statique, noté \(S\), est une propriété géométrique d'une portion d'aire par rapport à un axe. Pour calculer la contrainte de cisaillement en un point, on a besoin du moment statique de l'aire *au-delà* de ce point. Pour la contrainte maximale (à l'axe neutre), on calcule le moment statique de la demi-section. Pour un rectangle, c'est l'aire de la demi-section multipliée par la distance de son centroïde à l'axe neutre.

3. La Formule de Jourawski :
Cette formule fondamentale relie la contrainte de cisaillement \(\tau\) en un point d'une section à l'effort tranchant \(V\) et aux propriétés géométriques de la section : \[ \tau = \frac{V \cdot S}{I \cdot b} \] Où \(V\) est l'effort tranchant, \(S\) le moment statique, \(I\) le moment quadratique de la section entière, et \(b\) la largeur de la section au point considéré.

Correction : Calcul du Cisaillement dans une Poutre

Question 1 : Calculer l'effort tranchant maximal \(V_{\text{max}}\)

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant représente l'intensité avec laquelle les forces verticales "tendent à couper" la poutre. Dans le cas d'une charge répartie sur une poutre simple, cette tendance à la coupure est la plus forte juste à côté des supports, qui doivent réagir avec une force égale à la moitié de la charge totale pour maintenir l'équilibre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant \(V(x)\) pour une charge répartie \(q\) est linéaire. Il part de \(+qL/2\) à l'appui de gauche, décroît linéairement, passe par zéro au milieu de la poutre (où le moment fléchissant est maximal), et atteint \(-qL/2\) à l'appui de droite. La valeur maximale en termes absolus est donc \(qL/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous et un ami portez une planche lourde et longue. Vous sentez la plus grande force "vers le bas" sur vos mains, aux extrémités. C'est là que l'effort tranchant est maximal. Au milieu exact de la planche, l'effort tranchant est nul, la planche n'a aucune tendance à se "casser" verticalement à cet endroit précis.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes (effort tranchant, moment fléchissant) est la première étape de tout dimensionnement de structure, conformément aux normes de construction comme l'Eurocode. Ces normes fournissent les méthodes et les combinaisons de charges pour déterminer les efforts de calcul à utiliser.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples avec une charge uniformément répartie \(q\) :

\[ V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les appuis sont parfaits (un appui simple, un appui à rouleau) et que la charge est parfaitement uniforme sur toute la longueur de la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 10 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La charge totale sur la poutre est \(q \times L\). Chaque appui reprend la moitié de cette charge. La réaction d'appui est donc \((q \cdot L)/2\). L'effort tranchant maximal (juste à côté de l'appui) est égal à cette réaction. C'est un moyen rapide de retrouver la formule.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (Forme Attendue)
+V_max = ?-V_max = ?0
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités N et mm, le résultat sera en N.

\[ \begin{aligned} V_{\text{max}} &= \frac{q \cdot L}{2} \\ &= \frac{10 \, \text{N/mm} \cdot 4000 \, \text{mm}}{2} \\ &= \frac{40000 \, \text{N}}{2} \\ &= 20000 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (Valeurs Calculées)
+20 000 N-20 000 N
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort tranchant maximal est de 20 000 N (ou 20 kN). C'est cette valeur d'effort interne que la section de la poutre doit être capable de supporter sans se "cisailler". C'est la valeur de V que nous utiliserons dans la formule de Jourawski.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre charge répartie (\(q\), en N/m ou N/mm) et charge ponctuelle (\(F\), en N). Les formules pour l'effort tranchant sont différentes. Pour une charge ponctuelle \(F\) au centre, \(V_{\text{max}}\) serait \(F/2\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant est maximal aux appuis pour une charge répartie.
  • La formule pour ce cas est \(V_{\text{max}} = qL/2\).
  • Le diagramme de V est linéaire et décroissant pour une charge \(q\) constante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts en béton précontraint, on ajoute parfois des câbles de précontrainte relevés près des appuis. En plus de contrer la flexion, ces câbles créent une force verticale vers le haut qui s'oppose à l'effort tranchant dû aux charges, réduisant ainsi l'effort tranchant net que le béton doit supporter.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'effort tranchant est-il nul au milieu ?

Au milieu de la poutre, la moitié gauche de la charge pousse vers le bas, et la réaction de l'appui gauche pousse vers le haut. Ces deux forces se compensent exactement à mi-portée. Il n'y a donc plus de force verticale nette à cet endroit, l'effort tranchant est nul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant maximal \(V_{\text{max}}\) dans la poutre est de 20 000 N.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(q\) était de 15 N/mm, quel serait le nouvel effort tranchant maximal en N ?

Question 2 : Calculer le moment statique \(S_{\text{Gz}}\)

Principe (le concept physique)

Le moment statique représente la "quantité d'aire" d'une section multipliée par sa distance à un axe. Pour le cisaillement, il mesure la capacité de la partie de la section située au-dessus (ou au-dessous) du point étudié à "s'accrocher" au reste de la section pour résister au glissement. Cette capacité est maximale pour la demi-section (au niveau de l'axe neutre).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le moment statique d'une aire A par rapport à un axe z est \(S_z = \int_A y \cdot dA\). Pour des formes simples, cela se simplifie en \(S_z = A' \cdot \bar{y}'\), où \(A'\) est l'aire de la portion de section considérée et \(\bar{y}'\) est la distance entre le centroïde de cette portion d'aire et l'axe de référence (ici, l'axe neutre Gz).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas le moment statique (\(S\), en mm³) avec le moment quadratique (\(I\), en mm⁴). Le moment statique est utilisé pour le cisaillement, tandis que le moment quadratique est utilisé pour la flexion. Le moment statique est toujours calculé pour une *partie* de la section par rapport à un axe, alors que le moment quadratique est généralement calculé pour la section *entière*.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des propriétés géométriques des sections, y compris le moment statique, est une étape de base en mécanique des matériaux. Les formulaires et les logiciels de calcul de structures intègrent ces calculs selon les définitions standards.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire, le moment statique de la demi-section (aire \(A'\)) par rapport à l'axe neutre Gz est :

\[ S_{\text{Gz}} = A' \cdot \bar{y}' = (b \cdot \frac{h}{2}) \cdot (\frac{h}{4}) = \frac{b \cdot h^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement rectangulaire et que l'axe neutre passe par son centre de gravité, ce qui est le cas pour une flexion simple d'un matériau homogène.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 300 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Décomposez le calcul : 1. Aire de la demi-section : \(A' = 100 \times (300/2) = 15000 \, \text{mm}^2\). 2. Distance du centre de ce demi-rectangle à l'axe neutre : \(\bar{y}' = (300/2)/2 = 300/4 = 75 \, \text{mm}\). 3. Multipliez les deux : \(S = 15000 \times 75\). Cela évite les erreurs dans l'application directe de la formule \(bh^2/8\).

Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Moment Statique
Gzȳ' = ?A'
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mm. L'unité sera des mm³.

\[ \begin{aligned} S_{\text{Gz}} &= \frac{b \cdot h^2}{8} \\ &= \frac{100 \, \text{mm} \cdot (300 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{100 \cdot 90000}{8} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{9000000}{8} \, \text{mm}^3 \\ &= 1125000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Statique Calculé
S_Gz = 1.125 x 10⁶ mm³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 1 125 000 mm³ représente la "force" géométrique avec laquelle la moitié supérieure de la section résiste au glissement par rapport à la moitié inférieure au niveau de l'axe neutre. C'est la valeur maximale possible du moment statique pour cette section, ce qui explique pourquoi la contrainte de cisaillement sera également maximale à cet endroit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien calculer la distance \(\bar{y}'\) à partir de l'axe neutre global (Gz), et non à partir du bas de la demi-section. Une erreur fréquente est de prendre \(h/2\) au lieu de \(h/4\) pour cette distance, ce qui doublerait le résultat final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment statique \(S\) est nécessaire pour calculer la contrainte de cisaillement.
  • Il se calcule pour la partie de la section au-delà du point d'intérêt.
  • Pour une section rectangulaire, \(S_{\text{max}} = bh^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans une rivière, le concept de moment statique est analogue à la force exercée par l'eau sur une moitié de la section du lit. Plus la section est profonde et large (grand moment statique), plus la force de l'eau capable de "cisailler" et d'éroder le fond est importante.

FAQ (pour lever les doutes)
Le moment statique peut-il être négatif ?

Oui. Par convention, si l'aire considérée est en dessous de l'axe de référence, son centroïde \(\bar{y}'\) est négatif, et le moment statique sera donc négatif. Cependant, pour le calcul de la contrainte de cisaillement, on utilise généralement sa valeur absolue.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment statique \(S_{\text{Gz}}\) de la demi-section est de 1 125 000 mm³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une section carrée de 200 mm de côté, quel serait le moment statique maximal en mm³ ?

Question 3 : Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\)

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement est la force de cisaillement (effort tranchant) répartie sur la section. Cependant, cette répartition n'est pas uniforme. Elle est nulle sur les bords supérieur et inférieur de la poutre et maximale au centre (sur l'axe neutre). La formule de Jourawski nous permet de calculer précisément cette contrainte en tout point.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distribution de la contrainte de cisaillement dans une section rectangulaire est parabolique. La formule \(\tau = VS/Ib\) montre que comme le moment statique \(S\) varie de manière parabolique (il est nul en haut et en bas, et maximal au centre), la contrainte \(\tau\) suit la même distribution.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un jeu de cartes à jouer. Si vous le pliez, les cartes glissent les unes sur les autres. La contrainte de cisaillement est la "friction" interne qui s'oppose à ce glissement. Cette friction est la plus forte au milieu du paquet de cartes (l'axe neutre), là où le glissement potentiel est le plus important.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (pour le bois) ou l'Eurocode 3 (pour l'acier) définissent les procédures de vérification au cisaillement. Ils spécifient comment calculer la contrainte de cisaillement de calcul et la comparent à la résistance au cisaillement du matériau, en incluant des coefficients de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule de Jourawski pour la contrainte de cisaillement est :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{V_{\text{max}} \cdot S_{\text{Gz}}}{I_{\text{Gz}} \cdot b} \]

Nous devons d'abord calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) de la section rectangulaire :

\[ I_{\text{Gz}} = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte de cisaillement est uniformément répartie sur la largeur \(b\) de la poutre, ce qui est une approximation raisonnable pour les sections rectangulaires mais moins précise pour des sections plus complexes comme les profilés en I.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant max, \(V_{\text{max}} = 20000 \, \text{N}\) (de Q1)
  • Moment statique max, \(S_{\text{Gz}} = 1125000 \, \text{mm}^3\) (de Q2)
  • Largeur de la section, \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 300 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une section rectangulaire, il existe une formule simplifiée bien connue : \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{V}{A}\), où \(A\) est l'aire totale de la section. C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul complet. Aire \(A = 100 \times 300 = 30000 \, \text{mm}^2\). \(\tau_{\text{moy}} = 20000 / 30000 \approx 0.667 \, \text{MPa}\). \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \times 0.667 = 1.0 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution Parabolique des Contraintes de Cisaillement
τ=0τ=0τ_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{100 \, \text{mm} \cdot (300 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 27000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 225000000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) (en N et mm, le résultat est en MPa) :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &= \frac{V_{\text{max}} \cdot S_{\text{Gz}}}{I_{\text{Gz}} \cdot b} \\ &= \frac{20000 \, \text{N} \cdot 1125000 \, \text{mm}^3}{225000000 \, \text{mm}^4 \cdot 100 \, \text{mm}} \\ &= \frac{2.25 \times 10^{10}}{2.25 \times 10^{10}} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &= 1.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale Calculée
τ_max = 1.0 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement maximale au cœur de la poutre est de 1.0 MPa. C'est cette valeur qui doit être comparée à la capacité du matériau à résister au cisaillement. On note que cette valeur est bien plus faible que les contraintes de flexion typiques dans une poutre, mais elle peut devenir critique pour des poutres courtes et hautes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande source d'erreur est la confusion entre les différentes propriétés géométriques (\(S\), \(I\)). Assurez-vous d'utiliser la bonne formule pour chacune et de ne pas les intervertir. De plus, la largeur \(b\) dans la formule est la largeur au point de calcul. Pour une section en I, cette largeur change radicalement entre l'âme et les semelles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement est calculée avec la formule de Jourawski : \(\tau = VS/Ib\).
  • Elle est maximale à l'axe neutre pour les sections pleines comme les rectangles.
  • Sa distribution est parabolique dans une section rectangulaire.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les profilés en I métalliques, c'est l'âme (la partie verticale fine) qui reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant. Les semelles (les parties horizontales larges) travaillent très peu en cisaillement mais reprennent l'essentiel du moment de flexion. C'est une optimisation parfaite de la matière !

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle nulle en haut et en bas ?

À la surface supérieure et inférieure de la poutre, il n'y a pas de matière "au-dessus" ou "en-dessous" pour créer un glissement. Le moment statique \(S\) y est donc nul, ce qui, d'après la formule de Jourawski, annule la contrainte de cisaillement \(\tau\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) est de 1.0 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort tranchant était de 30 000 N, quelle serait la contrainte de cisaillement maximale en MPa ?

Question 4 : Vérifier la sécurité de la poutre au cisaillement

Principe (le concept physique)

La vérification de la sécurité est l'étape finale et cruciale du dimensionnement. Elle consiste à comparer la sollicitation maximale (la contrainte calculée dans la structure) à la résistance du matériau (sa contrainte admissible). Si la sollicitation est inférieure à la résistance, la structure est considérée comme sûre pour cette charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte admissible (\(\tau_{\text{adm}}\)) n'est pas la contrainte de rupture du matériau. C'est la contrainte de rupture (ou la limite élastique) divisée par un coefficient de sécurité. Ce coefficient tient compte des incertitudes sur les charges, la qualité du matériau, les imperfections de construction, et les conséquences d'une rupture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme vérifier la charge d'un ascenseur. La charge maximale calculée (le poids des personnes) doit être inférieure à la charge admissible affichée. Cette charge admissible est elle-même bien inférieure à la charge qui ferait réellement casser les câbles. C'est le principe du coefficient de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

La condition de vérification est au cœur des normes de calcul (Eurocodes, etc.). Elle s'exprime généralement sous la forme : \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (la contrainte calculée) et \(R_d\) est la valeur de calcul de la résistance du matériau (la contrainte admissible).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de sécurité à vérifier est :

\[ \tau_{\text{max}} \le \tau_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte admissible fournie est pertinente pour le type de bois utilisé, la durée de la charge et les conditions environnementales (humidité, température), car ces facteurs peuvent influencer la résistance du bois.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de cisaillement max, \(\tau_{\text{max}} = 1.0 \, \text{MPa}\) (de Q3)
  • Contrainte de cisaillement admissible, \(\tau_{\text{adm}} = 2.0 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi calculer un "taux de travail" ou "ratio de sécurité" : \(\text{Ratio} = \tau_{\text{max}} / \tau_{\text{adm}}\). Tant que ce ratio est inférieur à 1, la structure est sûre. Ici, \(1.0 / 2.0 = 0.5\). Cela signifie que la poutre n'utilise que 50% de sa capacité de résistance au cisaillement.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
τ_max = ?Limite Admissible τ_adm = 2.0 MPa
Calcul(s) (l'application numérique)

Il s'agit d'une simple comparaison.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &\le \tau_{\text{adm}} \\ 1.0 \, \text{MPa} &\le 2.0 \, \text{MPa} \quad (\text{Vérifié}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité
τ_max = 1.0Limite Admissible τ_adm = 2.0 MPaSÉCURITÉ CONFIRMÉE ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de sécurité est respectée. La contrainte de cisaillement maximale dans la poutre (1.0 MPa) est inférieure à la contrainte que le matériau peut supporter (2.0 MPa). La poutre ne rompra pas par cisaillement sous cette charge. Le coefficient de sécurité est de \(2.0 / 1.0 = 2\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais comparer directement l'effort tranchant (\(V\), en N) à la contrainte admissible (\(\tau_{\text{adm}}\), en MPa). Ce sont deux grandeurs différentes. Il faut impérativement passer par le calcul de la contrainte (\(\tau_{\text{max}}\)) pour faire une comparaison valide.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La sécurité est assurée si la contrainte maximale est inférieure ou égale à la contrainte admissible.
  • \(\tau_{\text{max}} \le \tau_{\text{adm}}\).
  • Le coefficient de sécurité est le rapport \(\tau_{\text{adm}} / \tau_{\text{max}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans le dimensionnement des boulons ou des rivets, la vérification au cisaillement est souvent l'élément le plus critique. Un boulon reliant deux plaques d'acier est soumis à un effort tranchant pur, et sa section doit être suffisante pour que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas la limite admissible.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si \(\tau_{\text{max}} > \tau_{\text{adm}}\) ?

Si la contrainte calculée dépasse la contrainte admissible, la poutre n'est pas considérée comme sûre selon les normes. L'ingénieur doit alors la redimensionner : augmenter sa hauteur (\(h\)) ou sa largeur (\(b\)), choisir un matériau plus résistant, ou modifier la conception pour réduire l'effort tranchant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La condition \(1.0 \, \text{MPa} \le 2.0 \, \text{MPa}\) est vérifiée. La poutre est sécuritaire vis-à-vis du cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la contrainte admissible du bois était de seulement 0.8 MPa, la poutre serait-elle toujours sécuritaire ?

Outil Interactif : Paramètres de Cisaillement

Modifiez les paramètres de la poutre pour voir leur influence sur la contrainte de cisaillement.

Paramètres d'Entrée
10 N/mm
300 mm
Résultats Clés
Effort Tranchant Max (N) -
Contrainte de Cisaillement Max (MPa) -
Ratio de Sécurité (\(\tau_{\text{max}} / \tau_{\text{adm}}\)) -

Le Saviez-Vous ?

La formule de calcul du cisaillement a été développée par l'ingénieur et mathématicien franco-russe Dmitri Jourawski en 1855. Il travaillait sur la conception de ponts ferroviaires en bois et a été le premier à expliquer pourquoi les poutres composites en bois se rompaient horizontalement sous l'effet du cisaillement, un phénomène qui déconcertait les ingénieurs de l'époque.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le cisaillement est-il toujours maximal à l'axe neutre ?

Pour les sections pleines et symétriques comme les rectangles, les cercles ou les I, oui. Cependant, pour des sections asymétriques comme un T, l'axe neutre ne correspond pas au milieu de la hauteur, mais la contrainte de cisaillement y est toujours maximale.

Quand le cisaillement est-il plus dangereux que la flexion ?

Le cisaillement devient le mode de rupture prédominant par rapport à la flexion dans les poutres courtes et hautes. Pour une poutre très longue et fine, la rupture se produira presque toujours par flexion. Pour un élément court et trapu (comme un corbeau en béton), la rupture par cisaillement est beaucoup plus probable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une section rectangulaire, où la contrainte de cisaillement est-elle nulle ?

2. Si on double la hauteur (\(h\)) d'une poutre rectangulaire, comment évolue la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) ?

Effort Tranchant (V)
Force interne à une poutre qui mesure la tendance au glissement vertical entre deux sections adjacentes. Unité : Newton (N).
Moment Statique (S)
Propriété géométrique d'une aire par rapport à un axe, représentant le produit de l'aire par la distance de son centroïde à l'axe. Unité : m³ ou mm³.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant parallèlement à la section d'un matériau. Unité : Pascal (Pa) ou Mégapascal (MPa).
Calcul du Cisaillement dans une Poutre

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