EGC

Cercle de Mohr : Exercice – Corrigé

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr en RdM

Cercle de Mohr

Contexte : Pourquoi visualiser les contraintes ?

En un point donné d'une structure (comme une poutre en béton ou un massif de sol), les contraintes normales et de cisaillement varient en fonction de l'orientation de la facette que l'on étudie. Le cercle de MohrReprésentation graphique, dans un plan (σ, τ), de l'état de contrainte en un point. Il permet de visualiser comment les contraintes se transforment avec la rotation du système de coordonnées., développé par l'ingénieur allemand Christian Otto Mohr, est un outil graphique puissant qui permet de visualiser cette variation. Il nous aide à déterminer rapidement les valeurs critiques : les contraintes principales (normales maximale et minimale) et la contrainte de cisaillement maximale, qui sont essentielles pour vérifier la sécurité d'un matériau selon les critères de rupture.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la construction et l'interprétation complètes du cercle de Mohr pour un état de contraintes planes donné. Nous passerons de l'analyse numérique à la construction graphique pour bien maîtriser cet outil indispensable en Résistance des Matériaux.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les paramètres du cercle de Mohr (centre et rayon) à partir d'un état de contrainte connu.
  • Déterminer analytiquement les contraintes principales et leur orientation.
  • Trouver la contrainte de cisaillement maximale et l'orientation de sa facette.
  • Construire le cercle de Mohr graphiquement.
  • Utiliser le cercle pour trouver les contraintes sur une facette orientée quelconque.

Données de l'étude

On considère un point dans un matériau soumis à un état de contraintes planes, défini dans le repère (x, y) par les valeurs suivantes :

État de contrainte sur un élément infinitésimal
σ_x σ_y τ_xy τ_yx τ_xy τ_yx
  • Contrainte normale selon x : \(\sigma_x = +80 \, \text{MPa}\) (Traction)
  • Contrainte normale selon y : \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\) (Compression)
  • Contrainte de cisaillement : \(\tau_{xy} = +30 \, \text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées du centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr.
  2. Déterminer les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) et l'orientation \(\theta_p\) de leurs facettes.
  3. Déterminer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et l'orientation \(\theta_s\) de sa facette.
  4. Construire graphiquement le cercle de Mohr et y représenter les points importants.
  5. Calculer les contraintes \(\sigma_{x'}\) et \(\tau_{x'y'}\) sur une facette inclinée de \(\alpha = 30^\circ\) (sens anti-horaire).

Correction : Cercle de Mohr

Question 1 : Calculer le centre (C) et le rayon (R) du cercle

Principe (le concept physique)

Le cercle de Mohr est tracé dans un repère où l'axe horizontal représente les contraintes normales (\(\sigma\)) et l'axe vertical les contraintes de cisaillement (\(\tau\)). Le centre du cercle se situe toujours sur l'axe horizontal des contraintes normales, à une valeur correspondant à la moyenne des contraintes normales \(\sigma_x\) et \(\sigma_y\). Le rayon du cercle représente l'amplitude de la variation des contraintes et est calculé à l'aide du théorème de Pythagore à partir des demi-différences des contraintes normales et de la contrainte de cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les équations du cercle de Mohr sont une transformation paramétrique des équations de changement de base pour le tenseur des contraintes. Le centre du cercle, \(C = (\sigma_x+\sigma_y)/2\), est un invariant : c'est la trace du tenseur des contraintes divisée par deux. Peu importe l'orientation de la facette, la somme des contraintes normales sur deux plans perpendiculaires reste constante et égale à \(2C\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La première étape est toujours de calculer le centre et le rayon. Ces deux valeurs sont la clé pour débloquer toutes les autres informations : contraintes principales, cisaillement maximal, etc. Une erreur ici se répercutera sur toute la suite.

Normes (la référence réglementaire)

Le cercle de Mohr n'est pas une norme en soi, mais c'est l'outil fondamental utilisé par les normes (comme les Eurocodes) pour appliquer les critères de résistance des matériaux (par exemple, Tresca ou von Mises) qui dépendent des contraintes principales et du cisaillement maximal.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans le cadre des contraintes planes (\(\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0\)). Le matériau est supposé continu, homogène et isotrope.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coordonnée du centre du cercle :

\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]

Rayon du cercle :

\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_x = +80 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = +30 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du centre C :

\[ \begin{aligned} C &= \frac{80 + (-40)}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul du rayon R :

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{\left(\frac{80 - (-40)}{2}\right)^2 + (30)^2} \\ &= \sqrt{\left(\frac{120}{2}\right)^2 + 30^2} \\ &= \sqrt{60^2 + 30^2} \\ &= \sqrt{3600 + 900} \\ &= \sqrt{4500} \\ &= 67.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma du Centre et du Rayon
σ τ X(80, 30) Y(-40, -30) C(20, 0) R=67.08
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le centre est à +20 MPa, ce qui indique que l'état de contrainte moyen est une traction. Le rayon de 67.08 MPa est significatif, indiquant une grande variation des contraintes lorsque l'on change l'orientation de la facette.

Point à retenir : Le centre du cercle de Mohr est la contrainte normale moyenne, et le rayon dépend de l'écart entre les contraintes normales et du cisaillement.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination de C et R est l'étape fondamentale qui définit entièrement le cercle de Mohr. Une fois le cercle défini, toutes les autres grandeurs (contraintes principales, etc.) peuvent en être déduites géométriquement ou par calcul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreurs de signe : Faites très attention aux signes des contraintes. Une contrainte de compression est négative. Une erreur de signe sur \(\sigma_y\) changerait complètement la position du centre et le rayon.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le cercle de Mohr s'applique aussi en 3D ! L'état de contrainte tridimensionnel peut être représenté par trois cercles dans le plan (\(\sigma, \tau\)). L'aire comprise entre ces trois cercles représente tous les états de contrainte possibles sur n'importe quelle facette.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la convention de signe pour le cisaillement \(\tau\) sur le cercle ?

Il existe deux conventions. La plus courante en génie civil est : un cisaillement qui tend à faire tourner l'élément dans le sens anti-horaire est positif sur l'axe vertical du cercle. C'est pourquoi le point Y a pour ordonnée \(-\tau_{xy}\).

Résultat Final : Le centre du cercle est \(C = 20 \, \text{MPa}\) et son rayon est \(R = 67.08 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Quel serait le rayon R (en MPa) si \(\tau_{xy}\) était nul ?

Question 2 : Déterminer les contraintes principales \(\sigma_1, \sigma_2\) et leur orientation \(\theta_p\)

Principe (le concept physique)

Les contraintes principales sont les contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_2\)) qui existent en un point. Elles agissent sur des facettes où la contrainte de cisaillement est nulle. Sur le cercle de Mohr, ces points correspondent aux intersections du cercle avec l'axe horizontal (\(\sigma\)). L'angle \(2\theta_p\) sur le cercle nous donne l'angle \(\theta_p\) dont il faut tourner l'élément physique pour trouver ces facettes principales.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, les contraintes principales sont les valeurs propres du tenseur des contraintes. Les directions principales (les normales aux facettes où elles s'appliquent) sont les vecteurs propres associés. Le cercle de Mohr est une méthode graphique pour résoudre ce problème de valeurs propres pour un tenseur 2x2.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Rappelez-vous toujours qu'un angle \(\theta\) dans le monde réel (l'élément de matière) correspond à un angle \(2\theta\) sur le cercle de Mohr. C'est la source d'erreur la plus fréquente.

Normes (la référence réglementaire)

Les critères de rupture des matériaux (par exemple, le critère de Rankine pour les matériaux fragiles) sont souvent exprimés en fonction de la contrainte principale maximale \(\sigma_1\). La détermination de cette valeur est donc une exigence fondamentale des Eurocodes pour la vérification des structures.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs sont basés sur les valeurs de C et R déterminées à la question précédente. On utilise les conventions trigonométriques standards.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte principale maximale :

\[ \sigma_1 = C + R \]

Contrainte principale minimale :

\[ \sigma_2 = C - R \]

Orientation des facettes principales :

\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(C = 20 \, \text{MPa}\)
  • \(R = 67.08 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_x - \sigma_y = 120 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\sigma_1\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= 20 + 67.08 \\ &= 87.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de \(\sigma_2\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= 20 - 67.08 \\ &= -47.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de \(\theta_p\) :

\[ \begin{aligned} \tan(2\theta_p) &= \frac{2 \times 30}{80 - (-40)} \\ &= \frac{60}{120} = 0.5 \\ \Rightarrow 2\theta_p &= \arctan(0.5) \\ &= 26.57^\circ \\ \Rightarrow \theta_p &= 13.28^\circ \end{aligned} \]
Schéma des Contraintes Principales
σ τ X C σ₁=87.08 σ₂=-47.08 2θp=26.57°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Même si la contrainte de traction maximale appliquée était de 80 MPa, la contrainte de traction maximale réelle dans le matériau est de 87.08 MPa, sur une facette tournée de 13.28°. C'est cette valeur qu'il faut comparer à la résistance en traction du matériau. De même, la compression maximale est de -47.08 MPa.

Point à retenir : Les contraintes principales sont les contraintes normales extrêmes et se trouvent en ajoutant et soustrayant le rayon au centre du cercle.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Les matériaux se rompent souvent à cause des contraintes maximales, qu'elles soient normales ou de cisaillement. L'identification des contraintes principales et de leur direction est donc une étape cruciale de la conception et de la vérification de la sécurité d'une pièce ou d'une structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier de diviser par 2 : L'angle calculé à partir de la tangente est \(2\theta_p\). Il faut impérativement le diviser par deux pour obtenir l'orientation physique de la facette par rapport à l'axe x.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En mécanique des sols, l'analyse des contraintes principales est fondamentale. La rupture d'un sol se produit souvent par cisaillement le long d'un plan. Le cercle de Mohr permet de comparer l'état de contrainte au critère de rupture de Mohr-Coulomb, qui définit la résistance au cisaillement du sol.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment savoir si \(\theta_p\) correspond à \(\sigma_1\) ou \(\sigma_2\) ?

L'angle \(2\theta_p\) calculé est l'angle entre le diamètre de référence (le segment XY) et l'axe horizontal (\(\sigma\)). Il mesure la rotation nécessaire pour amener le point X (représentant la facette x) vers le point \(\sigma_1\). \(\theta_p\) est donc l'angle de la facette où s'applique \(\sigma_1\).

Résultat Final : Les contraintes principales sont \(\sigma_1 = 87.08 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_2 = -47.08 \, \text{MPa}\), avec une orientation de \(\theta_p = 13.28^\circ\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(\sigma_1\) (en MPa) si le centre C était à 30 MPa et le rayon R à 50 MPa ?

Question 3 : Déterminer le cisaillement maximal \(\tau_{\text{max}}\) et son orientation \(\theta_s\)

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) correspond à la valeur maximale atteinte par \(\tau\) sur n'importe quelle facette. Sur le cercle de Mohr, cela correspond géométriquement aux points les plus hauts et les plus bas du cercle. La valeur de \(\tau_{\text{max}}\) est donc simplement égale au rayon R du cercle. Les facettes où ce cisaillement maximal se produit sont orientées à 45° par rapport aux facettes principales.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les matériaux ductiles (comme l'acier) sont souvent plus sensibles au cisaillement qu'à la traction. Le critère de rupture de Tresca, par exemple, stipule que la plastification commence lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique. La détermination de \(\tau_{\text{max}}\) est donc cruciale pour la conception des structures métalliques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Contrairement aux plans principaux où le cisaillement est nul, les plans de cisaillement maximal ne sont généralement pas exempts de contrainte normale. La contrainte normale sur ces plans est toujours égale à la valeur du centre du cercle, C.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier) base ses vérifications de résistance plastique sur des critères liés au cisaillement, comme le critère de von Mises, qui est une généralisation du critère de Tresca et qui dépend directement de \(\tau_{\text{max}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul se base sur la géométrie du cercle de Mohr déjà établie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de cisaillement maximale :

\[ \tau_{\text{max}} = R \]

Orientation des facettes de cisaillement maximal :

\[ \theta_s = \theta_p \pm 45^\circ \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(R = 67.08 \, \text{MPa}\)
  • \(\theta_p = 13.28^\circ\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\tau_{\text{max}}\) :

\[ \tau_{\text{max}} = R = 67.08 \, \text{MPa} \]

Calcul de \(\theta_s\) :

\[ \begin{aligned} \theta_{s1} &= \theta_p + 45^\circ \\ &= 13.28^\circ + 45^\circ \\ &= 58.28^\circ \\ \theta_{s2} &= \theta_p - 45^\circ \\ &= 13.28^\circ - 45^\circ \\ &= -31.72^\circ \end{aligned} \]
Schéma du Cisaillement Maximal
σ τ C(20,0) τ_max=67.08
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement maximale dans le matériau est de 67.08 MPa. C'est cette valeur qui doit être comparée à la résistance au cisaillement du matériau. Elle se produit sur des plans inclinés de 58.28° et -31.72°.

Point à retenir : Le cisaillement maximal est simplement égal au rayon du cercle, et ses plans sont toujours à 45° des plans principaux.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Pour de nombreux matériaux, la rupture est initiée par le cisaillement. Connaître la valeur et la direction du cisaillement maximal est donc aussi important, sinon plus, que de connaître les contraintes principales.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre \(\tau_{\text{max}}\) et \(\tau_{xy}\) : \(\tau_{xy}\) est la contrainte de cisaillement dans le repère de départ. \(\tau_{\text{max}}\) est la valeur maximale absolue, qui est presque toujours supérieure à \(|\tau_{xy}|\) (sauf si \(\sigma_x = \sigma_y\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lorsqu'on tord une craie, elle ne se casse pas perpendiculairement à l'axe, mais selon une hélice à 45°. C'est parce que la torsion pure est un état de cisaillement pur. La craie, étant fragile, se rompt en traction selon le plan principal, qui est orienté à 45° du plan de cisaillement maximal.

FAQ (pour lever les doutes)
Y a-t-il une contrainte normale sur les plans de cisaillement maximal ?

Oui. La contrainte normale sur ces deux plans est la même et correspond à l'abscisse du "sommet" et du "bas" du cercle, c'est-à-dire la coordonnée du centre C. Dans notre cas, elle vaut 20 MPa.

Résultat Final : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{\text{max}} = 67.08 \, \text{MPa}\), sur des facettes orientées à \(\theta_s = 58.28^\circ\) et \(-31.72^\circ\).

À vous de jouer : Si un état de contrainte a pour contraintes principales \(\sigma_1=100\) MPa et \(\sigma_2=0\), quelle est la valeur de \(\tau_{\text{max}}\) (en MPa) ?

Question 4 : Construire graphiquement le cercle de Mohr

Principe (le concept physique)

La construction graphique est l'essence même de la méthode. Elle consiste à représenter l'état de contrainte par deux points diamétralement opposés dans le plan (\(\sigma, \tau\)). Le point X représente la facette x (coordonnées \((\sigma_x, \tau_{xy})\)) et le point Y représente la facette y (coordonnées \((\sigma_y, -\tau_{xy})\)). Le segment XY est un diamètre du cercle, son milieu est le centre C, et la moitié de sa longueur est le rayon R.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque point sur la circonférence du cercle de Mohr représente les contraintes (\(\sigma, \tau\)) sur une facette physique unique. Le pôle du cercle est un point spécial qui permet de trouver graphiquement l'orientation de n'importe quelle facette. Une ligne tracée depuis le pôle jusqu'à un point sur le cercle a la même orientation que la facette physique correspondante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La construction graphique est un excellent moyen de vérifier vos calculs. Si les points \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) et \(\tau_{\text{max}}\) que vous avez calculés ne correspondent pas à votre dessin, il y a probablement une erreur quelque part.

Normes (la référence réglementaire)

Avant l'avènement des calculatrices et des ordinateurs, la construction graphique du cercle de Mohr était la méthode principale et réglementaire pour l'analyse des contraintes. Elle reste aujourd'hui un outil pédagogique et de vérification inégalé.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une échelle appropriée pour les axes \(\sigma\) et \(\tau\). La convention de signe pour \(\tau\) doit être respectée (positif vers le bas pour le point X, ou sens anti-horaire positif).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coordonnées du point de référence X :

\[ X(\sigma_x, \tau_{xy}) \]

Coordonnées du point de référence Y :

\[ Y(\sigma_y, -\tau_{xy}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Point X : \((80, 30)\)
  • Point Y : \((-40, -30)\)
  • Centre C : \((20, 0)\)
  • Rayon R : \(67.08\)
  • \(\sigma_1 = 87.08\), \(\sigma_2 = -47.08\), \(\tau_{\text{max}} = 67.08\)
Calcul(s) (l'application numérique)

La construction est purement graphique. On place les points X et Y, on trace le diamètre XY, on trouve son milieu C, et on trace le cercle de centre C passant par X et Y. Les intersections avec les axes et les points extrêmes confirment les valeurs calculées.

Construction Graphique du Cercle de Mohr
σ τ O X(80, 30) Y(-40, -30) C(20) R=67.08 σ₁=87.08 σ₂=-47.08 τ_max=67.08
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le graphique confirme toutes nos valeurs calculées. On voit clairement que \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sont sur l'axe horizontal, et que \(\tau_{\text{max}}\) correspond à la "hauteur" du cercle par rapport à l'axe \(\sigma\).

Point à retenir : La construction graphique du cercle de Mohr est une méthode visuelle et intuitive pour comprendre et vérifier l'analyse des contraintes.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape permet de développer une intuition sur le comportement des contraintes. Voir le cercle permet de mieux comprendre les relations entre \(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\) et les contraintes principales.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Inverser les signes de \(\tau\) : L'erreur la plus commune est de mal placer les points X et Y. Rappelez-vous que si \(\tau_{xy}\) est positif, il est tracé vers le bas pour le point X (facette x) et vers le haut pour le point Y (facette y) dans la convention de l'ingénieur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le cercle de Mohr peut aussi être utilisé pour représenter les déformations (avec \(\epsilon\) et \(\gamma/2\) sur les axes) et les moments d'inertie d'une section (avec \(I_x\) et \(I_{xy}\) sur les axes).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le cisaillement est-il inversé sur l'axe vertical du graphique ?

C'est une convention de construction pour que la relation "un angle \(\theta\) dans la réalité égale \(2\theta\) sur le cercle" fonctionne avec le même sens de rotation (par exemple, anti-horaire). Si on ne l'inversait pas, une rotation anti-horaire sur l'élément correspondrait à une rotation horaire sur le cercle.

Résultat Final : La construction graphique du cercle est achevée et confirme les valeurs calculées.

À vous de jouer : Si \(\sigma_x = 50\) et \(\sigma_y = 50\), à quoi ressemble le cercle de Mohr ?

Question 5 : Calculer les contraintes sur une facette inclinée à 30°

Principe (le concept physique)

Pour trouver les contraintes sur une facette tournée d'un angle \(\alpha\) dans le sens anti-horaire, on part du point X sur le cercle de Mohr (qui représente la facette initiale non tournée) et on tourne d'un angle \(2\alpha\) dans le même sens (anti-horaire) sur le cercle. Les coordonnées du nouveau point sur le cercle nous donnent les contraintes \(\sigma_{x'}\) et \(\tau_{x'y'}\) sur la facette inclinée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette opération est l'application des équations de transformation des contraintes. Ces équations sont dérivées de l'équilibre d'un élément triangulaire infinitésimal et permettent de calculer \(\sigma_{x'}\) et \(\tau_{x'y'}\) en fonction de \(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\) et de l'angle de rotation \(\alpha\). Le cercle de Mohr est la solution graphique de ce système d'équations.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Soyez très attentif aux angles. L'angle de départ est \(2\theta_p\), qui positionne les axes principaux. On y ajoute (ou soustrait) l'angle \(2\alpha\) pour trouver la position du nouveau point sur le cercle.

Normes (la référence réglementaire)

Cette analyse est cruciale pour le calcul des assemblages soudés ou boulonnés qui ne sont pas alignés avec les axes principaux de la structure, comme requis par l'Eurocode 3. Il faut connaître les contraintes normales et de cisaillement dans le plan de la soudure ou des boulons.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'angle \(\alpha = 30^\circ\) est mesuré dans le sens anti-horaire à partir de l'axe x. Cela correspond à une rotation de \(2\alpha = 60^\circ\) dans le même sens sur le cercle de Mohr.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte normale sur la facette tournée :

\[ \sigma_{x'} = C + R \cos(2\theta_p - 2\alpha) \]

Contrainte de cisaillement sur la facette tournée :

\[ \tau_{x'y'} = -R \sin(2\theta_p - 2\alpha) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(C = 20 \, \text{MPa}\)
  • \(R = 67.08 \, \text{MPa}\)
  • \(2\theta_p = 26.57^\circ\)
  • \(\alpha = 30^\circ \Rightarrow 2\alpha = 60^\circ\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\sigma_{x'}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{x'} &= 20 + 67.08 \cos(26.57^\circ - 60^\circ) \\ &= 20 + 67.08 \cos(-33.43^\circ) \\ &= 20 + 67.08 \times 0.834 \\ &= 20 + 55.95 \\ &= 75.95 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de \(\tau_{x'y'}\) :

\[ \begin{aligned} \tau_{x'y'} &= -67.08 \sin(26.57^\circ - 60^\circ) \\ &= -67.08 \sin(-33.43^\circ) \\ &= -67.08 \times (-0.551) \\ &= 36.96 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma de la Rotation sur le Cercle de Mohr
σ τ X C X'(75.95, 36.96) 2α=60°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sur une facette inclinée à 30°, la contrainte normale est une traction de 75.95 MPa et le cisaillement est de 36.96 MPa. Ces valeurs sont différentes des contraintes initiales et des contraintes principales, ce qui illustre bien la nature tensorielle des contraintes.

Point à retenir : Une rotation de \(\alpha\) sur l'élément physique correspond à une rotation de \(2\alpha\) dans le même sens sur le cercle de Mohr.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette compétence est essentielle pour analyser des éléments qui ne sont pas alignés avec les axes principaux, comme des soudures en biais, des fibres dans un matériau composite, ou des plans de faiblesse dans une roche ou un sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Sens de rotation : Un angle \(\alpha\) anti-horaire sur l'élément correspond à un angle \(2\alpha\) anti-horaire sur le cercle. Inversement pour le sens horaire. Ne mélangez pas les sens de rotation.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les jauges de déformation, de petits capteurs collés sur les structures, sont souvent arrangées en "rosette" à 0°, 45° et 90°. En mesurant les déformations dans ces trois directions, on peut utiliser des formules similaires à celles de la transformation des contraintes (le cercle de Mohr des déformations) pour reconstituer l'état de déformation complet en ce point.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser les équations de transformation directement ?

Oui, absolument. Les équations \(\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\alpha) + \tau_{xy}\sin(2\alpha)\) et \(\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\alpha) + \tau_{xy}\cos(2\alpha)\) donnent le même résultat. Le cercle de Mohr est simplement la méthode graphique pour résoudre ces équations.

Résultat Final : Sur une facette à 30°, les contraintes sont \(\sigma_{x'} = 75.95 \, \text{MPa}\) et \(\tau_{x'y'} = 36.96 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Sur le cercle, si on tourne de 180° à partir du point X, sur quel point arrive-t-on ?

Mini Fiche Mémo : Cercle de Mohr

ÉtapeFormule CléObjectif
1. Centre & Rayon \(C = (\sigma_x+\sigma_y)/2\)
\(R = \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}\)		 Définir géométriquement le cercle.
2. Contraintes Principales \(\sigma_{1,2} = C \pm R\) Trouver les contraintes normales max/min.
3. Cisaillement Max \(\tau_{\text{max}} = R\) Trouver la contrainte de cisaillement max.
4. Orientation \(\tan(2\theta_p) = 2\tau_{xy}/(\sigma_x-\sigma_y)\) Trouver l'orientation des plans principaux.

Outil Interactif : Simulateur de Cercle de Mohr

Modifiez les contraintes initiales pour voir comment le cercle de Mohr et les valeurs principales évoluent en temps réel.

Paramètres d'Entrée
80 MPa
-40 MPa
30 MPa

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "tenseur", qui généralise les vecteurs et les scalaires, a été développé au 19ème siècle. Le tenseur des contraintes est un objet mathématique qui contient les 9 composantes de contrainte en 3D. Le cercle de Mohr est une astucieuse simplification visuelle de ce tenseur complexe pour les cas en 2D.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le cercle de Mohr fonctionne-t-il pour les poutres en flexion ?

Oui, parfaitement. En un point d'une poutre fléchie, il y a une contrainte normale due à la flexion (\(\sigma_x\)) et une contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant (\(\tau_{xy}\)). Le cercle de Mohr permet de trouver les contraintes principales en ce point, ce qui est crucial pour vérifier la résistance du matériau, notamment pour le béton armé.

Que se passe-t-il si l'état de contrainte est une traction ou compression pure ?

Si \(\sigma_y = \tau_{xy} = 0\) (traction pure), le cercle a son centre en \(\sigma_x/2\) et un rayon de \(\sigma_x/2\). Il est tangent à l'origine. Dans ce cas, \(\sigma_1 = \sigma_x\) et \(\sigma_2 = 0\), et le cisaillement maximal est \(\tau_{\text{max}} = R = \sigma_x/2\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur le cercle de Mohr, les contraintes principales se trouvent toujours :

2. Un état de cisaillement pur (\(\sigma_x = \sigma_y = 0\)) correspond à un cercle de Mohr :

État de Contraintes Planes
Un état où les contraintes agissant dans une direction sont nulles. C'est une simplification utilisée pour les plaques minces ou la surface des pièces massives.
Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2\))
Les contraintes normales maximale et minimale en un point. Elles agissent sur des plans où le cisaillement est nul.
Facette
Plan imaginaire coupant un matériau, sur lequel on étudie les contraintes.
Fondamentaux du Génie Civil : Analyse des Contraintes

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