Calcul de Cercle de Mohr
📝 Situation du Projet
Bienvenue au sein du bureau d'études "STRUCTURA Alpes", spécialisé dans les ouvrages d'art complexes en montagne. Nous sommes actuellement en phase critique de validation (EXE) pour le Viaduc Trans-Alpin Sud, un ouvrage monumental destiné à fluidifier le trafic transfrontalier. Ce viaduc est un pont mixte bi-poutre à hauteur variable, franchissant une vallée encaissée sur plus de 800 mètres. La complexité réside dans les portées immenses (jusqu'à 120m) qui génèrent des efforts tranchants colossaux aux appuis, couplés à une précontrainte longitudinale intense nécessaire pour reprendre les moments fléchissants.
Votre expertise d'ingénieur structure est requise pour analyser une zone particulièrement sensible : l'âme en béton de la poutre caisson principale, au voisinage immédiat de la pile P4 (l'appui le plus sollicité). À cet endroit précis, la matière subit un état de contrainte triaxial complexe. La précontrainte comprime le béton horizontalement, les réactions d'appui le compriment verticalement, et l'effort tranchant introduit un cisaillement massif. Le risque majeur est l'apparition de fissures de traction diagonales (ou "bielles de rupture") qui pourraient compromettre l'intégrité de l'âme, malgré le fait que le béton soit globalement comprimé dans les directions principales X et Y.
Vous devez effectuer une analyse micro-structurelle locale. En isolant une facette de matière élémentaire dans l'âme, vous utiliserez la méthode du Cercle de Mohr pour déterminer les contraintes principales \(\sigma_I\), \(\sigma_{II}\) et surtout leur orientation. Votre objectif final est de confirmer si le béton risque de fissurer en traction oblique, et de valider que les bielles de compression restent dans les limites admissibles du matériau BHP (Béton Hautes Performances).
- Localisation
Ame Poutre - Appui P4 (Zone d'about) - Matériau
Béton BHP C50/60 - Outil d'Analyse
Cercle de Mohr (État Plan de Contrainte)
"Attention, les conventions de signes sont cruciales ici. En Mécanique des Sols et Roches, la compression est souvent positive (car les sols ne résistent pas à la traction). Mais en RDM et Génie Civil structurel (Béton/Acier), nous suivrons impérativement la convention usuelle : Traction Positive (+), Compression Négative (-). Cependant, pour le traçage du cercle de Mohr, vérifiez bien le sens du cisaillement pour placer le point sur le diagramme."
Les valeurs de contraintes ci-dessous sont issues d'un calcul par éléments finis global (Modèle Global). Nous effectuons ici le post-traitement local analytique.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
Eurocode 2 (Béton)Théorie de l'Élasticité1. Choix du Matériau : Béton C50/60 (BHP)
Justification : Le choix d'un Béton Hautes Performances s'impose pour deux raisons critiques. D'une part, la résistance à la compression élevée (50 MPa caractéristiques) est nécessaire pour reprendre les réactions d'appui gigantesques de la pile P4 sans augmenter démesurément l'épaisseur des âmes (économie de matière). D'autre part, sa compacité assure une meilleure durabilité face aux cycles de gel/dégel alpins (Classe d'exposition XF4).
2. Cas de Charge : ELS Caractéristique
Justification : Nous vérifions la fissuration à l'État Limite de Service (ELS). La combinaison (G + P + Q) inclut le poids propre, la précontrainte, et les surcharges routières. C'est le cas le plus défavorable pour l'ouverture de fissures qui pourraient exposer les armatures à la corrosion.
3. Conventions de Signe
Justification : Pour garantir la cohérence avec les logiciels de calcul (Robot, Ansys), nous fixons : Traction = Positif (+), Compression = Négatif (-).
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES (BÉTON C50/60) | |
| Résistance Caractéristique (\(f_{\text{ck}}\)) | 50.0 MPa |
| Résistance Moyenne Traction (\(f_{\text{ctm}}\)) | 4.1 MPa |
| Module de Young Moyen (\(E_{\text{cm}}\)) | 37.0 GPa |
| Coefficient de Poisson (\(\nu\)) | 0.20 |
| ÉTAT DE CONTRAINTE PLAN (POINT P) | |
| Contrainte Normale X (\(\sigma_x\)) | - 12.0 MPa (Compression) |
| Contrainte Normale Y (\(\sigma_y\)) | - 2.0 MPa (Compression) |
| Cisaillement (\(\tau_{xy}\)) | + 6.0 MPa |
| Angle du repère (\(\theta\)) | 0° (Repère global) |
E. Protocole de Résolution
Pour analyser correctement cet état de contrainte via le Cercle de Mohr, nous suivrons rigoureusement les étapes suivantes :
Géométrie du Cercle
Déterminer les coordonnées du centre \(C\) et la valeur du rayon \(R\) du cercle dans le plan \((\sigma, \tau)\). C'est la base de la construction graphique.
Contraintes Principales
Calculer les valeurs extrêmes des contraintes normales (\(\sigma_I\) et \(\sigma_{II}\)) qui correspondent aux intersections du cercle avec l'axe horizontal.
Orientation des Facettes
Trouver l'angle de rotation \(\alpha_p\) nécessaire pour atteindre le plan principal (là où le cisaillement est nul) et visualiser cette rotation.
Cisaillement Max & Vérification
Déterminer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et vérifier si les contraintes calculées respectent les critères de rupture du béton.
Calcul de Cercle de Mohr
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif fondamental de cette étape est de transcrire l'état de contrainte tensoriel (défini par une matrice 2x2 sur le repère X,Y) en une représentation géométrique unique : le Cercle de Mohr. En déterminant les propriétés invariantes de ce cercle (son centre \(C\) et son rayon \(R\)), nous cartographions instantanément l'intégralité des états de contrainte possibles (\(\sigma, \tau\)) pour toutes les orientations de facette imaginables en ce point. C'est la première étape indispensable pour visualiser graphiquement le danger potentiel (fissuration) sans avoir à tester toutes les inclinaisons possibles analytiquement.
📚 Référentiel & Normes
Théorie de l'Élasticité (Cauchy, 1827)Mécanique des Milieux Continus (MMC)Pour construire un cercle unique, il nous faut au minimum deux points ou un centre et un rayon. Notre stratégie consiste à utiliser les propriétés connues des deux facettes orthogonales dont nous connaissons l'état de contrainte complet : la facette verticale (normale x) et la facette horizontale (normale y). Dans le plan de Mohr (\(\sigma, \tau\)), ces deux états correspondent à deux points \(M_x\) et \(M_y\). Une propriété clé du cercle de Mohr est que deux plans orthogonaux dans la réalité sont représentés par deux points diamétralement opposés sur le cercle. Par conséquent, le centre du cercle se trouve nécessairement au milieu exact du segment \([M_x M_y]\). Attention à la convention de signe pour le cisaillement sur le graphique : pour que la rotation géométrique sur le cercle (dans le sens trigonométrique) corresponde à la rotation réelle de la facette, on reporte souvent \(-\tau_{xy}\) pour la facette X et \(+\tau_{xy}\) pour la facette Y.
L'état de contrainte en un point est défini par le tenseur des contraintes symétrique \(\overline{\overline{\sigma}}\). Lorsqu'on coupe la matière selon un plan orienté d'un angle \(\theta\), les contraintes normale \(\sigma(\theta)\) et tangentielle \(\tau(\theta)\) agissant sur ce plan ne varient pas aléatoirement. Elles décrivent une courbe paramétrique continue. Mathématiquement, en écrivant les équations d'équilibre statique de la facette triangulaire et en éliminant le paramètre \(\theta\) grâce à l'identité trigonométrique \(\cos^2(2\theta) + \sin^2(2\theta) = 1\), on obtient l'équation canonique d'un cercle : \((\sigma - \sigma_{\text{moy}})^2 + \tau^2 = R^2\).
Cette équation prouve formellement que le lieu géométrique de tous les couples \((\sigma, \tau)\) possibles est un cercle centré sur l'axe des contraintes normales (axe des abscisses).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Contrainte Normale sur X | \(\sigma_x\) | -12 MPa (Compression) |
| Contrainte Normale sur Y | \(\sigma_y\) | -2 MPa (Compression) |
| Contrainte de Cisaillement | \(\tau_{xy}\) | 6 MPa |
Faites extrêmement attention aux signes des contraintes normales ! Ici, nous avons deux compressions, donc deux signes négatifs. Lors du calcul du terme différentiel \((\sigma_x - \sigma_y)\), cela devient \((-12) - (-2)\), ce qui équivaut à \((-12 + 2)\). Une erreur de signe à cet endroit (comme oublier le moins du -2) fausserait totalement le calcul du rayon et donc l'estimation du danger.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Détermination de l'abscisse du Centre (C) :
Nous commençons par calculer la contrainte moyenne, qui positionne horizontalement notre cercle sur l'axe des contraintes normales. Nous additionnons les deux contraintes normales avec leur signe.
Le centre du cercle est positionné à l'abscisse -7 MPa. Comme cette valeur est négative, le cercle est décalé vers la gauche (zone de compression), ce qui est cohérent avec l'état de précontrainte.
2. Calcul du Rayon (R) :
Nous appliquons maintenant la formule du rayon. Nous calculons d'abord le terme sous la parenthèse (demi-différence), nous l'élevons au carré, nous ajoutons le carré du cisaillement, et nous prenons la racine carrée du tout.
Le rayon vaut environ 7,81 MPa. Cette valeur est critique : elle représente l'amplitude maximale de variation des contraintes tangentielles possible sur n'importe quelle facette autour de ce point.
Le rayon obtenu est un nombre réel positif, ce qui est mathématiquement obligatoire pour une distance. De plus, sa valeur (7,81) est supérieure à la simple valeur de cisaillement initial (6), ce qui est logique puisque le cercle englobe le point initial. Le centre est négatif, confirmant que le matériau est globalement confiné.
Ne confondez pas le rayon R avec les contraintes normales. R est une mesure du déviateur (écart à la moyenne), pas une contrainte absolue subie par une face spécifique. Une erreur fréquente est de penser que R est la contrainte maximale, alors que la contrainte normale maximale est \(C + R\).
🎯 Objectif Scientifique
Nous cherchons maintenant à déterminer les Contraintes Principales (\(\sigma_I\) et \(\sigma_{II}\)). Il s'agit de trouver l'orientation unique de la facette pour laquelle toute contrainte de cisaillement disparaît (\(\tau = 0\)). Dans cette configuration physique, la matière ne subit plus aucun glissement, uniquement de l'extension ou de la compression pure. Ces valeurs représentent les extrema absolus de tension et de compression que le matériau subira et sont les critères déterminants pour la rupture.
📚 Référentiel
Algèbre Linéaire (Valeurs Propres)Critère de Rankine (Contrainte Normale Max)Visuellement sur le Cercle de Mohr, les états de contrainte où le cisaillement est nul correspondent aux points d'intersection du cercle avec l'axe horizontal des abscisses (l'axe \(\sigma\)). Puisque le rayon représente la distance maximale depuis le centre dans toutes les directions, il suffit d'ajouter le rayon à l'abscisse du centre pour trouver la contrainte la plus à droite (maximale algébriquement) et de le soustraire pour trouver celle de gauche (minimale algébriquement). C'est la grande force de la méthode graphique : transformer une diagonalisation de matrice en une simple addition.
Les contraintes principales sont les valeurs propres (\(\lambda\)) de la matrice des contraintes. \(\sigma_I\) est conventionnellement la contrainte la plus positive (soit la plus forte traction, soit la compression la plus faible), et \(\sigma_{II}\) la plus négative (la compression maximale). En mécanique des structures, \(\sigma_I\) vérifie la fissuration du béton, et \(\sigma_{II}\) vérifie l'écrasement (bielle comprimée).
Les valeurs principales s'obtiennent par simple translation depuis le centre :
On utilise le signe (+) pour obtenir \(\sigma_I\) (Majeure) et le signe (-) pour \(\sigma_{II}\) (Mineure).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Centre \(\sigma_{\text{moy}}\) | -7 MPa |
| Rayon \(R\) | 7,81 MPa |
Vérifiez toujours que \(\sigma_I > \sigma_{II}\) au sens mathématique (algébrique), même si les deux valeurs sont négatives (ex: -2 est plus grand que -10). Ici, l'ordre est imposé par l'addition du rayon (nombre positif).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul de la Contrainte Principale Majeure (\(\sigma_I\)) :
Nous partons du centre et nous déplaçons vers la droite d'une distance égale au rayon. C'est le point du cercle le plus "à l'Est".
Résultat positif : Le béton subit une traction pure de 0,81 MPa dans cette direction principale, malgré le fait qu'il soit comprimé dans les axes X et Y initiaux.
2. Calcul de la Contrainte Principale Mineure (\(\sigma_{II}\)) :
Nous partons du centre et nous déplaçons vers la gauche d'une distance égale au rayon. C'est le point du cercle le plus "à l'Ouest".
Résultat fortement négatif : C'est la compression maximale absolue que subira le béton dans la direction perpendiculaire à la traction.
En mécanique, la "trace" de la matrice (somme des éléments diagonaux) est invariante par rotation. Nous pouvons vérifier notre calcul ainsi :
Somme initiale : \(\sigma_x + \sigma_y = -12 + (-2) = -14\).
Somme finale : \(\sigma_I + \sigma_{II} = 0,81 + (-14,81) = -14\).
L'égalité est parfaite, le calcul est validé.
Attention à ne pas négliger la "petite" valeur de traction (+0.81). Elle semble dérisoire face aux 14 MPa de compression, mais pour un matériau fragile comme le béton (qui résiste à peine à 3 ou 4 MPa en traction), c'est cette petite valeur positive qui est la plus dangereuse et qui peut initier une fissure.
🎯 Objectif Scientifique
Nous avons déterminé l'intensité des contraintes extrêmes, mais pour concevoir le ferraillage, nous devons savoir dans quelle direction géographique ces contraintes agissent. Nous cherchons l'angle \(\alpha_p\) de la normale de la facette principale par rapport à l'axe horizontal x. C'est cet angle qui nous indiquera l'inclinaison des bielles de compression et la direction perpendiculaire des fissures de traction potentielles.
📚 Référentiel
Trigonométrie CirculaireGéométrie AnalytiqueSur le Cercle de Mohr, une propriété fondamentale est que les angles sont doublés (\(2\alpha\)) par rapport à la réalité physique. Nous cherchons l'angle de rotation nécessaire pour passer du point représentant l'état initial sur la face x (le point \(M_x\)) au point représentant la contrainte principale majeure (le point \(P_1\) situé tout à droite sur l'axe horizontal). Nous calculerons d'abord cet angle double via sa tangente dans le cercle, puis nous le diviserons par deux pour revenir à la réalité.
La relation angulaire entre l'espace physique (la poutre) et l'espace des contraintes (Mohr) est un facteur 2. Si on tourne la facette de \(\alpha\) degrés dans le sens horaire dans la réalité, le point représentatif sur le cercle tourne de \(2\alpha\) degrés dans le même sens.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| Numérateur | \(2 \times \tau_{xy}\) | 12 MPa |
| Dénominateur | \(\sigma_x - \sigma_y\) | -10 MPa |
Si le dénominateur est négatif (comme ici), cela signifie que nous sommes dans le 2ème ou 3ème quadrant trigonométrique. L'angle \(2\alpha\) sera obtus ou négatif. Réfléchissez au sens physique : le cisaillement positif tend à "coucher" la diagonale, induisant une rotation horaire (négative).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul de la tangente de l'angle double :
Nous calculons le rapport trigonométrique (côté opposé sur côté adjacent) dans le cercle de Mohr.
2. Calcul de l'angle double (\(2\alpha_p\)) :
Nous utilisons la fonction arctangente (\(\tan^{-1}\)) pour retrouver l'angle. Comme la tangente est négative, l'angle sera négatif.
C'est l'angle géométrique sur le graphique entre le rayon \(CM_x\) et l'axe horizontal.
3. Calcul de l'angle réel (\(\alpha_p\)) :
Nous divisons le résultat par deux pour obtenir l'orientation physique réelle de la facette.
Le signe négatif indique une rotation dans le sens horaire (aiguilles d'une montre) de 25,1 degrés par rapport à l'horizontale x.
Le cisaillement positif (+6 MPa) sur la face droite (normale x) est dirigé vers le haut. Cela tend à déformer le carré en losange en allongeant la diagonale "haut-gauche vers bas-droite". Cette diagonale est inclinée négativement, ce qui corrobore notre angle de -25° pour la direction de traction maximale.
Ne confondez pas l'angle de la normale (\(\alpha_p\)) que nous venons de calculer, avec l'angle de la fissure. La fissure se propage perpendiculairement à la traction. Si la traction s'exerce sur une facette dont la normale est à -25°, la facette elle-même est à -25° + 90° = +65° (ou -25°). La fissure suivra donc une ligne à +65° environ.
🎯 Objectif Scientifique
C'est l'étape finale de validation pour l'ingénieur. Nous devons confronter les contraintes théoriques calculées (Principales et Cisaillement max) aux limites intrinsèques réelles du matériau (Béton BHP C50/60) définies dans l'Eurocode. L'objectif est de statuer formellement sur la sécurité de l'ouvrage : y a-t-il rupture, fissuration ou comportement élastique sain ?
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Section 6Critère de Tresca (Cisaillement)Critère de Rankine (Traction)Pour le béton, matériau fragile et hétérogène, le critère dimensionnant est presque toujours la traction (Critère de Rankine). Cependant, il est instructif de connaître le cisaillement maximal (sommet du cercle) qui correspond au critère de Tresca, souvent utilisé pour les matériaux ductiles comme l'acier. Nous allons procéder à trois vérifications distinctes : le cisaillement max, la non-fissuration en traction, et le non-écrasement en compression sous charge de service (ELS).
Le cisaillement maximal absolu \(\tau_{\text{max}}\) est égal au rayon du plus grand cercle de Mohr (ici \(R\)). Il se produit sur des facettes orientées à 45° des facettes principales. Les critères de l'Eurocode pour l'ELS limitent la compression du béton à \(0.6 f_{\text{ck}}\) pour rester dans le domaine linéaire (Loi de Hooke) et éviter le fluage, et limitent la traction à la valeur moyenne \(f_{\text{ctm}}\).
📋 Données d'Entrée & Limites Matériau
| Donnée | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance Caractéristique | \(f_{\text{ck}}\) | 50 MPa |
| Résistance Moyenne Traction | \(f_{\text{ctm}}\) | 4.1 MPa |
| Traction Calculée | \(\sigma_I\) | 0.81 MPa |
| Compression Calculée | \(\sigma_{II}\) | -14.81 MPa |
En ELS (État Limite de Service), on limite la compression à 60% de la résistance max (\(0.6 f_{ck}\)) pour éviter les déformations différées (fluage) excessives, et non pas pour éviter la rupture immédiate (qui serait à \(f_{ck}\) en ELU).
Étape 2 : Vérifications Normatives
1. Détermination du Cisaillement Max :
Sa valeur est directement celle du rayon calculé en Q1. C'est la contrainte de glissement maximale que subit la matière.
2. Vérification à la Compression (Bielles) :
Nous comparons la compression maximale subie (en valeur absolue) à la limite de service autorisée pour un béton C50/60.
Conclusion partielle : Puisque \(14,81 < 30\), le critère est respecté.
✅ OK : Le béton ne s'écrase pas et ne flue pas excessivement.
3. Vérification à la Traction (Fissuration) :
Nous comparons la traction principale calculée à la résistance moyenne en traction du béton. C'est le test critique pour l'ouverture de fissures.
Conclusion partielle : Puisque \(0,81 < 4,1\), le critère est respecté avec une large marge.
✅ OK : Le béton ne fissure pas sous cette combinaison de charges.
Les taux de travail sont raisonnables : environ 50% en compression et 20% en traction. C'est typique pour un ouvrage d'art bien dimensionné, garantissant une durabilité et une marge de sécurité confortable pour faire face aux aléas.
Cette vérification est locale (point P). Dans une note de calcul complète, il faudrait vérifier d'autres points de l'âme, notamment à mi-hauteur où le cisaillement est maximal, et près des fibres extrêmes où la flexion intervient davantage.
Laisser un commentaire