Études de cas pratique

EGC

Calcul du Nombre de Reynolds

Calcul du Nombre de Reynolds en Hydraulique

Comprendre le Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension fondamental en mécanique des fluides. Il permet de caractériser le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent). Il exprime le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité au sein du fluide. Une valeur faible du nombre de Reynolds indique un écoulement laminaire (régulier, en couches parallèles), tandis qu'une valeur élevée indique un écoulement turbulent (chaotique, avec des tourbillons). La connaissance du nombre de Reynolds est cruciale pour choisir les bonnes formules de calcul des pertes de charge, des coefficients de traînée, etc.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement de l'eau dans une conduite circulaire.

Caractéristiques de la conduite et du fluide :

  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Vitesse moyenne de l'eau dans la conduite (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Fluide : Eau à \(20 \, ^\circ\text{C}\)
    • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
    • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
    • (Alternativement) Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)

Rappel : La viscosité cinématique \(\nu = \mu / \rho\).

Schéma : Écoulement dans une Conduite
Écoulement (v, D, ρ, μ) D Nombre de Reynolds

Illustration d'un écoulement de fluide dans une conduite circulaire, avec les paramètres utilisés pour le calcul du nombre de Reynolds.

Questions à traiter

  1. Convertir le diamètre de la conduite en mètres.
  2. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) en utilisant la viscosité dynamique (\(\mu\)).
  3. Calculer (ou vérifier) la viscosité cinématique (\(\nu\)) à partir de la viscosité dynamique et de la masse volumique.
  4. Recalculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) en utilisant la viscosité cinématique (\(\nu\)) et vérifier que le résultat est le même.
  5. Interpréter la valeur du nombre de Reynolds obtenue (écoulement laminaire, transitoire ou turbulent). On considère généralement :
    • \(Re < 2300\) : Écoulement laminaire
    • \(2300 \leq Re \leq 4000\) : Régime transitoire
    • \(Re > 4000\) : Écoulement turbulent

Correction : Calcul du Nombre de Reynolds

Question 1 : Conversion du diamètre en mètres

Principe :

Pour assurer la cohérence des unités dans les calculs, il est essentiel de convertir toutes les dimensions dans les unités de base du Système International (SI). Le diamètre est donné en millimètres (mm) et doit être converti en mètres (m). On sait que \(1 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D (\text{m}) = \frac{D (\text{mm})}{1000}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D &= \frac{50 \, \text{mm}}{1000} \\ &= 0.05 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le diamètre de la conduite est \(D = 0.05 \, \text{m}\).

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\)) avec la viscosité dynamique (\(\mu\))

Principe :

Le nombre de Reynolds peut être calculé en utilisant la masse volumique (\(\rho\)), la vitesse (\(v\)), le diamètre (\(D\)) et la viscosité dynamique (\(\mu\)) du fluide. La viscosité dynamique mesure la résistance interne du fluide à l'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\mu}\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.05 \, \text{m}\)
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{998.2 \, \text{kg/m}^3 \times 1.5 \, \text{m/s} \times 0.05 \, \text{m}}{1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{74.865 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}}{0.001002 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}} \quad (\text{car } 1 \, \text{Pa} \cdot \text{s} = 1 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}) \\ &\approx 74715.57 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 74716\).

Question 3 : Calcul de la viscosité cinématique (\(\nu\))

Principe :

La viscosité cinématique (\(\nu\)) est une autre mesure de la résistance à l'écoulement d'un fluide. Elle est définie comme le rapport de la viscosité dynamique (\(\mu\)) à la masse volumique (\(\rho\)) du fluide. Elle est souvent utilisée dans le calcul du nombre de Reynolds car elle combine deux propriétés du fluide en une seule.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\nu = \frac{\mu}{\rho}\]
Données spécifiques :
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s} = 0.001002 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}\)
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \nu &= \frac{0.001002 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}}{998.2 \, \text{kg/m}^3} \\ &\approx 0.0000010038 \, \text{m}^2/\text{s} \\ &\approx 1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned} \]

Ce résultat correspond bien à la valeur de viscosité cinématique fournie dans l'énoncé, ce qui est une bonne vérification.

Résultat Question 3 : La viscosité cinématique calculée est \(\nu \approx 1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\).

Question 4 : Recalcul du Nombre de Reynolds (\(Re\)) avec \(\nu\)

Principe :

Le nombre de Reynolds peut aussi être calculé directement avec la viscosité cinématique (\(\nu\)) en utilisant la formule \(Re = \frac{v \cdot D}{\nu}\). Le résultat doit être identique à celui obtenu avec la viscosité dynamique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{v \cdot D}{\nu}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.05 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\) (valeur de l'énoncé)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.5 \, \text{m/s} \times 0.05 \, \text{m}}{1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.075 \, \text{m}^2/\text{s}}{0.000001004 \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 74701.195 \end{aligned} \]

La légère différence par rapport au calcul précédent (\(74715.57\)) est due aux arrondis intermédiaires. En utilisant la valeur \(\nu \approx 0.0000010038 \, \text{m}^2/\text{s}\) calculée, on retrouverait le même résultat.

Résultat Question 4 : En utilisant la viscosité cinématique donnée, le nombre de Reynolds est \(Re \approx 74701\), ce qui est cohérent avec le calcul précédent.

Quiz Intermédiaire 1 : La viscosité cinématique est :

Question 5 : Interprétation du nombre de Reynolds

Principe :

La valeur du nombre de Reynolds permet de classer le régime d'écoulement. Pour les écoulements internes (comme dans une conduite) : Si \(Re < 2300\), l'écoulement est généralement considéré comme laminaire. Les filets de fluide se déplacent de manière ordonnée, en couches parallèles. Si \(2300 \leq Re \leq 4000\), l'écoulement est dans un régime de transition, où il peut osciller entre laminaire et turbulent. Si \(Re > 4000\), l'écoulement est généralement turbulent. Il est caractérisé par des mouvements chaotiques, des tourbillons et un mélange intense du fluide.

Comparaison et Conclusion :

Nous avons calculé \(Re \approx 74716\).

\[74716 > 4000\]

Le nombre de Reynolds est largement supérieur à la valeur critique de 4000.

Résultat Question 5 : Puisque \(Re \approx 74716 > 4000\), l'écoulement de l'eau dans la conduite est turbulent.

Quiz Intermédiaire 2 : Un écoulement laminaire est caractérisé par :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le nombre de Reynolds est un rapport entre :

2. Si la vitesse du fluide dans une conduite diminue, le nombre de Reynolds (autres paramètres constants) :

3. Un écoulement turbulent dans une conduite est généralement associé à un nombre de Reynolds :

Glossaire

Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Il est le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité. \(Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{v D}{\nu}\).
Écoulement Laminaire
Régime d'écoulement où les particules de fluide se déplacent en couches parallèles et ordonnées, sans mélange significatif entre elles. Typiquement pour \(Re < 2300\) en conduite.
Écoulement Turbulent
Régime d'écoulement caractérisé par des mouvements chaotiques, des tourbillons et un mélange intense du fluide. Typiquement pour \(Re > 4000\) en conduite.
Régime Transitoire
Régime d'écoulement intermédiaire entre laminaire et turbulent, où l'écoulement peut osciller entre les deux états. Typiquement pour \(2300 \leq Re \leq 4000\) en conduite.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement (frottement interne). Unité SI : Pascal-seconde (\(\text{Pa} \cdot \text{s}\)) ou \(\text{kg/(m} \cdot \text{s)}\).
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide (\(\nu = \mu / \rho\)). Unité SI : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Diamètre Caractéristique (\(D\))
Dimension géométrique pertinente utilisée dans le calcul du nombre de Reynolds (par exemple, le diamètre intérieur pour une conduite circulaire).
Calcul du Nombre de Reynolds en Hydraulique - Exercice d'Application

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