Études de cas pratique

EGC

Calcul la pression hydrostatique

Calcul de la Pression Hydrostatique en Hydraulique

Comprendre la Pression Hydrostatique

La pression hydrostatique est la pression exercée par un fluide au repos, due au poids de ce fluide au-dessus du point de mesure. Elle augmente linéairement avec la profondeur. Ce concept est fondamental en hydraulique et en ingénierie civile pour le dimensionnement des structures immergées ou retenant des fluides, comme les barrages, les réservoirs, les conduites forcées, ou les coques de navires. Comprendre comment calculer cette pression permet d'évaluer les forces exercées sur ces structures et d'assurer leur stabilité et leur sécurité.

Données de l'étude

On souhaite calculer la pression hydrostatique au fond d'un réservoir rempli d'eau et la force exercée sur une petite surface au fond.

Caractéristiques du réservoir et du fluide :

  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Profondeur de l'eau dans le réservoir (\(h\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique à la surface libre de l'eau (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\) (Pascals)
  • Surface d'une petite trappe d'inspection au fond du réservoir (\(A_{\text{trappe}}\)) : \(0.05 \, \text{m}^2\)
Schéma : Pression Hydrostatique dans un Réservoir
P_atm Point P (h) Pression h Pression Hydrostatique

Illustration de la pression hydrostatique exercée par un fluide au repos dans un réservoir.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_h\)) au fond du réservoir.
  2. Calculer la pression absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au fond du réservoir.
  3. Calculer la force hydrostatique (\(F_h\)) exercée sur la trappe d'inspection au fond du réservoir.

Correction : Calcul de la Pression Hydrostatique

Question 1 : Pression hydrostatique relative (\(P_h\))

Principe :

La pression hydrostatique relative (\(P_h\)) à une certaine profondeur (\(h\)) dans un fluide est la pression exercée uniquement par le poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Elle est directement proportionnelle à la masse volumique du fluide (\(\rho\)), à l'accélération due à la gravité (\(g\)), et à la profondeur (\(h\)). Cette pression s'ajoute à la pression qui pourrait exister à la surface libre du fluide (comme la pression atmosphérique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_h = \rho \cdot g \cdot h\]

Unités : \(P_h\) en Pascals (Pa ou \(\text{N/m}^2\)), \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\), \(g\) en \(\text{m/s}^2\), \(h\) en \(\text{m}\).

Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur (\(h\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 49050 \, \text{N/m}^2 \\ &= 49050 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_h = 49.05 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression hydrostatique relative au fond du réservoir est \(P_h = 49050 \, \text{Pa}\) (ou \(49.05 \, \text{kPa}\)).

Question 2 : Pression absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au fond du réservoir

Principe :

La pression absolue en un point d'un fluide est la somme de la pression hydrostatique relative en ce point et de la pression agissant sur la surface libre du fluide (généralement la pression atmosphérique, \(P_{\text{atm}}\)). C'est la pression totale par rapport au vide absolu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{abs}} = P_h + P_{\text{atm}}\]
Données spécifiques :
  • Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) : \(49050 \, \text{Pa}\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs}} &= 49050 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 150375 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_{\text{abs}} \approx 150.38 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression absolue au fond du réservoir est \(P_{\text{abs}} = 150375 \, \text{Pa}\) (ou \(\approx 150.38 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : La pression atmosphérique standard au niveau de la mer est d'environ :

Question 3 : Force hydrostatique (\(F_h\)) sur la trappe d'inspection

Principe :

La force exercée par une pression sur une surface est le produit de cette pression par l'aire de la surface. Ici, nous voulons la force due à la pression de l'eau (pression hydrostatique relative) sur la trappe. Si la trappe est petite et horizontale au fond, on peut considérer que la pression hydrostatique est uniforme sur toute sa surface et égale à \(P_h\) calculée à la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_h = P_h \times A_{\text{trappe}}\]

Unités : \(F_h\) en Newtons (N), \(P_h\) en Pascals (\(\text{N/m}^2\)), \(A_{\text{trappe}}\) en \(\text{m}^2\).

Données spécifiques :
  • Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) : \(49050 \, \text{Pa}\)
  • Surface de la trappe (\(A_{\text{trappe}}\)) : \(0.05 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_h &= 49050 \, \text{N/m}^2 \times 0.05 \, \text{m}^2 \\ &= 2452.5 \, \text{N} \end{aligned} \]

En kilonewtons (kN) : \(F_h \approx 2.45 \, \text{kN}\).

Résultat Question 3 : La force hydrostatique exercée sur la trappe d'inspection est \(F_h = 2452.5 \, \text{N}\) (ou \(\approx 2.45 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la profondeur de l'eau double, la pression hydrostatique relative :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique dans un fluide au repos :

2. La pression absolue est égale à :

3. La force exercée par la pression sur une surface est :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P_h\))
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Elle est calculée par \(P_h = \rho \cdot g \cdot h\).
Pression Absolue (\(P_{\text{abs}}\))
Pression totale en un point, mesurée par rapport au vide absolu. C'est la somme de la pression hydrostatique relative et de la pression agissant sur la surface libre du fluide (généralement la pression atmosphérique).
Pression Relative (ou Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. C'est la pression hydrostatique \(P_h\) dans de nombreux cas simples.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International (SI). \(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\).
Bar
Unité de pression couramment utilisée, bien que non SI. \(1 \, \text{bar} = 100000 \, \text{Pa} = 100 \, \text{kPa}\).
Force Hydrostatique (\(F_h\))
Force totale exercée par la pression hydrostatique d'un fluide sur une surface immergée. \(F_h = P_h \times A\).
Calcul de la Pression Hydrostatique - Exercice d'Application

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