Calcul la pression hydrostatique
Comprendre le calcul de la pression hydrostatique :
Vous êtes un ingénieur en hydraulique travaillant sur la conception d’un barrage. Une partie essentielle de votre travail consiste à calculer la pression hydrostatique exercée par l’eau sur les différentes sections du barrage.
Données :
- Hauteur de l’eau (h) : 50 mètres au-dessus du fond du barrage.
- Densité de l’eau (ρ) : 1000 kg/m³ (eau douce).
- Accélération due à la gravité (g) : 9.81 m/s².
- Largeur du barrage (W) : 100 mètres.

Questions :
1. Calcul de la Pression Hydrostatique
2. Force Totale Exercée sur le Barrage
3. Discussion : Discutez de l’impact de la pression hydrostatique sur la conception du barrage. Quels facteurs devraient être pris en compte pour garantir la sécurité et la stabilité du barrage?
Correction : calcul de la pression hydrostatique
1. Calcul de la Pression Hydrostatique
La pression hydrostatique exercée par un fluide au repos augmente linéairement avec la profondeur. À une profondeur \( z \) (mesurée à partir de la surface libre), la pression s’exprime par la relation :
\[ p(z) = \rho \, g \, z \]
où :
- \(\rho\) est la densité du fluide,
- \(g\) est l’accélération due à la gravité,
- \(z\) est la profondeur.
Dans notre cas, la pression maximale s’exerçant au fond du barrage correspond à \( z = h \) (la hauteur d’eau).
Formule :
\[ p = \rho \, g \, h \]
Données :
- \(h = 50 \text{ m}\)
- \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)
- \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
Calcul:
En substituant les valeurs dans la formule :
\[ p = 1000 \times 9.81 \times 50 \] \[ p = 490500 \]
Ainsi, la pression maximale au fond du barrage est :
\[ 490\,500 \text{ Pa} \]
(soit environ 490.5 kPa).
2. Calcul de la Force Totale Exercée sur le Barrage
La force exercée par l’eau sur la paroi du barrage est obtenue en intégrant la pression hydrostatique sur l’aire en contact avec l’eau. Pour une paroi verticale de largeur \( W \) et hauteur \( h \), la pression varie linéairement de 0 (en haut) à \( \rho g h \) (en bas).
On considère un élément de surface horizontal de hauteur \( dz \) et de largeur \( W \) à une profondeur \( z \) :
\[ dA = W \, dz \]
La force élémentaire \( dF \) exercée sur cet élément est :
\[ dF = p(z) \, dA = \rho \, g \, z \, W \, dz \]
Formule:
Pour obtenir la force totale \( F \), on intègre de \( z = 0 \) à \( z = h \) :
\[ F = \int_{0}^{h} \rho \, g \, z \, W \, dz = \rho \, g \, W \int_{0}^{h} z \, dz \]
Sachant que :
\[ \int_{0}^{h} z \, dz = \frac{h^2}{2} \]
alors :
\[ F = \rho \, g \, W \, \frac{h^2}{2} \]
Données:
- Hauteur de l’eau : \( h = 50 \text{ m} \)
- Densité de l’eau : \( \rho = 1000 \text{ kg/m}^3 \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)
- Largeur du barrage : \( W = 100 \text{ m} \)
Calcul:
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ F = 1000 \times 9.81 \times 100 \times \frac{50^2}{2} \] \[ F = 981\,000 \times 1250 \] \[ F = 1\,226\,250\,000 \text{ N} \]
Ainsi, la force totale exercée sur le barrage est :
\[ 1.23 \times 10^9 \text{ N} \]
(arrondie à trois chiffres significatifs).
3. Discussion sur l’Impact de la Pression Hydrostatique dans la Conception du Barrage
1. Distribution de la Pression
- Variation linéaire : La pression hydrostatique varie linéairement de 0 en haut à \( \rho g h \) en bas du barrage.
- Point d’application de la force : La résultante de cette pression (force totale) s’applique à un point situé à une profondeur égale à \( \frac{h}{3} \) à partir de la base (pour une paroi verticale plane).
2. Considérations de Conception
Pour garantir la sécurité et la stabilité du barrage, plusieurs facteurs doivent être pris en compte :
- Stabilité structurelle :
La structure doit être dimensionnée pour résister à la force latérale de l’eau, qui peut induire un moment de renversement. La forme du barrage (souvent trapézoïdale ou arquée) est optimisée pour mieux répartir et contrebalancer cette force. - Fondations solides :
Les fondations doivent être conçues pour supporter non seulement le poids du barrage, mais aussi la poussée hydrostatique variable, afin d’éviter tout glissement ou affaissement. - Marges de sécurité :
Il est essentiel d’intégrer des marges de sécurité pour tenir compte des incertitudes liées aux variations de la hauteur d’eau (par exemple, lors de crues ou de débordements) et aux conditions dynamiques (séismes, vagues). - Effets dynamiques et hydrauliques :
En plus de la pression statique, des phénomènes tels que les ondes de pression, les surpressions temporaires et l’impact de débris flottants peuvent survenir, nécessitant des analyses supplémentaires. - Matériaux et durabilité :
Le choix des matériaux et les techniques de construction doivent garantir une résistance à long terme face à la corrosion, l’érosion et les sollicitations mécaniques répétées. - Sécurité en cas de défaillance :
Des systèmes de surveillance et des dispositifs d’urgence doivent être prévus pour prévenir ou atténuer les risques en cas de défaillance partielle de la structure.
3. Conclusion de la Discussion
Le calcul précis de la pression hydrostatique et de la force totale exercée est fondamental pour :
- Dimensionner correctement la structure du barrage.
- Prévoir les renforts nécessaires au niveau des fondations et de la paroi.
- Garantir la sécurité de la construction en intégrant des marges de sécurité face aux variations environnementales et aux sollicitations dynamiques.
Calcul de la pression hydrostatique
D’autres exercices d’hydraulique:
0 commentaires