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Calcul du moment induit par la force sismique

Calcul du moment induit par la force sismique

Calcul du moment induit par la force sismique

Contexte : L' Ingénierie ParasismiqueBranche du génie civil qui étudie le comportement des bâtiments et des structures soumis à des sollicitations sismiques..

Lors d'un tremblement de terre, une structure est soumise à des forces horizontales qui peuvent non seulement la cisailler, mais aussi la faire basculer. Le calcul du moment de renversementL'effet de rotation qu'une force horizontale (comme la force sismique) exerce à la base d'une structure, tendant à la faire basculer. est donc une étape cruciale pour garantir la stabilité d'un bâtiment. Cet exercice vous guidera à travers la méthode des forces latérales, une approche simplifiée mais fondamentale de l'Eurocode 8.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la méthode des forces latérales de l'Eurocode 8 pour déterminer la force sismique globale et sa distribution, afin de calculer le moment de renversement à la base d'une structure simple.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la force sismique totale (effort tranchant à la base).
  • Distribuer les forces sismiques sur la hauteur du bâtiment.
  • Calculer le moment de renversement à la base de la structure.

Données de l'étude

On étudie un bâtiment en béton armé à usage de bureaux, de 4 niveaux, considéré comme régulier en plan et en élévation. La structure est située en France métropolitaine.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de Bâtiment Bâtiment en béton armé à portiques
Nombre d'étages (n) 4
Usage Bureaux (Classe d'importance II)
Modélisation de la Structure
m₄ m₃ m₂ m₁ z₁ h
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur d'étage h 3.0 m
Masse par étage \(m_i\) 250 tonnes
Accélération de référence (Zone 4) \(a_{gR}\) 3.0 m/s²
Classe de sol - C -
Coefficient de comportement q 4.0 -
Période fondamentale \(T_1\) 0.6 s

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort tranchant total à la base (\(V_b\)).
  2. Déterminer la distribution des forces sismiques (\(F_i\)) à chaque étage.
  3. Calculer le moment de renversement (\(M_{ov}\)) à la base de la structure.

Les bases du calcul sismique (Eurocode 8)

La méthode des forces latérales est une approche statique équivalente qui permet de modéliser les effets d'un séisme par un ensemble de forces horizontales appliquées à la structure. Elle est applicable aux bâtiments réguliers ne dépassant pas une certaine hauteur.

1. Effort tranchant à la base (\(V_b\))
C'est la force sismique horizontale totale qui agit sur la base de la structure. Elle est calculée à partir du spectre de dimensionnement élastique \(S_d(T_1)\), de la masse totale de la structure \(M\), et d'un coefficient de correction \(\lambda\). \[ V_b = S_d(T_1) \cdot M \cdot \lambda \] Où \(S_d(T_1)\) est l'ordonnée du spectre de dimensionnement pour la période fondamentale \(T_1\).

2. Distribution des forces latérales (\(F_i\))
Pour les bâtiments réguliers, on suppose une distribution linéaire des accélérations. La force sismique \(F_i\) à chaque niveau \(i\) est proportionnelle à la masse \(m_i\) et à la hauteur \(z_i\) de ce niveau par rapport à la base. \[ F_i = V_b \cdot \frac{z_i \cdot m_i}{\sum_{j=1}^{n} z_j \cdot m_j} \]

Correction : Calcul du moment induit par la force sismique

Question 1 : Calculer l'effort tranchant total à la base (\(V_b\))

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à déterminer la force horizontale totale que le séisme applique au bâtiment. Cette force dépend de la sismicité de la région, du type de sol, de la masse du bâtiment et de sa capacité à se déformer (sa période et sa ductilité).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le spectre de réponse est un outil central en génie sismique. Il représente l'accélération maximale qu'un oscillateur simple (représentant un bâtiment) subirait en fonction de sa période propre de vibration. L'Eurocode 8 fournit des spectres de calcul qui enveloppent les effets de nombreux séismes possibles pour une zone donnée. La force sismique est directement proportionnelle à l'accélération que le bâtiment subit pour sa période fondamentale \(T_1\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant d'appliquer cette méthode, assurez-vous toujours que le bâtiment respecte les critères de régularité en plan et en élévation définis par l'Eurocode 8. Pour les bâtiments non réguliers, des méthodes d'analyse plus complexes, comme l'analyse modale spectrale, sont nécessaires.

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons les règles de l'Eurocode 8 (EN 1998-1) pour le calcul des actions sismiques, en particulier la section concernant la méthode des forces latérales équivalentes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Spectre de calcul \(S_d(T_1)\)

\[ S_d(T_1) = a_g \cdot S \cdot \frac{2.5}{q} \cdot \left[ \frac{T_C}{T_1} \right] \ge \beta \cdot a_g \]

Effort tranchant à la base \(V_b\)

\[ V_b = S_d(T_1) \cdot M \cdot \lambda \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La structure est considérée comme parfaitement encastrée à sa base.
  • Les masses sont supposées concentrées aux niveaux des planchers.
  • Le comportement de la structure est dominé par son mode de vibration fondamental.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour le sol de classe C, les paramètres de l'Eurocode 8 sont : \(S = 1.15\) et \(T_C = 0.6\) s. Le coefficient de correction \(\lambda\) pour les bâtiments de plus de 2 étages avec \(T_1 < 2 T_C\) est \(\lambda = 0.85\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Une formule empirique simple de l'Eurocode 8 permet d'estimer rapidement la période fondamentale : \(T_1 \approx C_t \cdot H^{3/4}\). Pour un portique en béton armé (\(C_t=0.075\)) de hauteur H=12m, on obtient \(T_1 \approx 0.075 \cdot 12^{0.75} \approx 0.48\)s. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de la période donnée.

Schéma (Avant les calculs)
Sollicitation Globale sur la Structure
MVb = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la masse totale (M)

\[ \begin{aligned} M &= n \times m_i \\ &= 4 \times 250 \text{ tonnes} \\ &= 1000 \text{ tonnes} = 1 \times 10^6 \text{ kg} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de l'ordonnée spectrale \(S_d(T_1)\)

Comme notre période \(T_1 = 0.6\) s est égale à \(T_C\), nous sommes sur le plateau du spectre où le rapport \(T_C/T_1 = 1\).

\[ \begin{aligned} S_d(T_1) &= a_g \cdot S \cdot \frac{2.5}{q} \cdot 1 \\ &= 3.0 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 1.15 \times \frac{2.5}{4.0} \\ &= 2.156 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de l'effort tranchant à la base \(V_b\)

\[ \begin{aligned} V_b &= S_d(T_1) \cdot M \cdot \lambda \\ &= 2.156 \text{ m/s}^2 \times (1 \times 10^6 \text{ kg}) \times 0.85 \\ &= 1,832,600 \text{ N} \\ &\Rightarrow V_b = 1832.6 \text{ kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de l'Effort Tranchant à la Base
M = 1000tVb = 1833 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force sismique représente environ 18.7% du poids total du bâtiment (\(V_b / (M \cdot g) = 1832.6 / (1000 \cdot 9.81) \approx 0.187\)). C'est une force horizontale considérable que la structure doit être capable de reprendre et de transmettre aux fondations.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la gestion des unités. Assurez-vous que les masses sont en kilogrammes (kg) pour être cohérentes avec l'accélération en m/s², afin d'obtenir une force en Newtons (N).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force sismique de base dépend de 5 facteurs : la zone sismique (\(a_g\)), le sol (\(S, T_C\)), la masse (\(M\)), la rigidité (\(T_1\)) et la ductilité (\(q\)).
  • Le coefficient de comportement \(q\) est crucial : il réduit la force de calcul car on accepte que la structure se déforme plastiquement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'échelle de Richter mesure la magnitude d'un séisme (l'énergie libérée à la source), tandis que l'échelle de Mercalli (ou MSK) mesure l'intensité (les effets ressentis en un lieu donné). L'ingénieur s'intéresse surtout à l'intensité pour concevoir ses bâtiments.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on un facteur de réduction \(q\) ?

Concevoir un bâtiment pour qu'il reste purement élastique (sans aucun dommage) sous un séisme majeur serait extrêmement coûteux. On accepte donc des dommages contrôlés (plasticité) dans certaines zones de la structure, ce qui lui permet de dissiper une grande quantité d'énergie. Le facteur \(q\) traduit cette capacité de dissipation et réduit d'autant les efforts de calcul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant sismique total à la base de la structure est de 1832.6 kN.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Que deviendrait l'effort tranchant \(V_b\) si le bâtiment, de même masse, était situé dans une zone de sismicité plus faible avec \(a_{gR} = 1.6\) \(\text{m/s}^2\) ?

Question 2 : Déterminer la distribution des forces sismiques (\(F_i\))

Principe (le concept physique)

L'effort total \(V_b\) est maintenant réparti sur chaque niveau. La distribution est triangulaire : plus un étage est haut, plus la force qu'il subit est importante, car les déplacements et les accélérations y sont plus grands lors de la vibration fondamentale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette distribution linéaire des forces est une simplification de la forme du premier mode de vibration de la structure. Pour un bâtiment "encastré-libre" comme celui-ci, le premier mode de déformation ressemble à une canne à pêche qui oscille : le déplacement est nul à la base et maximal au sommet. Les forces d'inertie (\(F=m \cdot a\)) étant proportionnelles à ces déplacements (et donc aux accélérations), elles suivent une distribution similaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une fois toutes les forces \(F_i\) calculées, une vérification simple et rapide consiste à les additionner. Leur somme doit être égale à l'effort tranchant à la base \(V_b\). C'est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul. Ici : \(183.3+366.5+549.8+733.0 = 1832.6\) kN. Le compte est bon !

Normes (la référence réglementaire)

La formule de distribution des forces latérales est spécifiée dans la section 4.3.3.2.3 de l'Eurocode 8 (EN 1998-1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Distribution des forces latérales

\[ F_i = V_b \cdot \frac{z_i \cdot m_i}{\sum_{j=1}^{n} z_j \cdot m_j} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La forme du premier mode de vibration est supposée linéaire (triangulaire).
  • Toutes les masses des étages participent à la vibration.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les données suivantes pour ce calcul :

ParamètreSymboleValeurUnité
Effort tranchant à la base\(V_b\)1832.6kN
Masse par étage\(m_i\)250tonnes
Hauteur Niveau 1\(z_1\)3.0m
Hauteur Niveau 2\(z_2\)6.0m
Hauteur Niveau 3\(z_3\)9.0m
Hauteur Niveau 4\(z_4\)12.0m
Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque la masse \(m_i\) est la même pour tous les étages, elle peut être simplifiée dans la fraction de la formule. La force à un étage \(i\) est alors simplement proportionnelle à sa hauteur \(z_i\). On peut calculer la force du premier niveau (\(F_1\)) puis en déduire les autres : \(F_2 = F_1 \cdot (z_2/z_1) = 2 \cdot F_1\), \(F_3 = 3 \cdot F_1\), etc.

Schéma (Avant les calculs)
Forces à Déterminer
F₄=?F₃=?F₂=?F₁=?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du terme de distribution

Nous devons d'abord calculer le terme de distribution \(\sum z_j \cdot m_j\). Les masses \(m_i\) sont constantes (250 t).

Niveau (i)\(z_i\) (m)\(m_i\) (t)\(z_i \cdot m_i\) (t.m)
13.0250750
26.02501500
39.02502250
412.02503000
Total--\(\sum = 7500\)

Calcul de la force au niveau 1

\[ \begin{aligned} F_1 &= 1832.6 \cdot \frac{750}{7500} \\ &= 183.3 \text{ kN} \end{aligned} \]

Calcul de la force au niveau 2

\[ \begin{aligned} F_2 &= 1832.6 \cdot \frac{1500}{7500} \\ &= 366.5 \text{ kN} \end{aligned} \]

Calcul de la force au niveau 3

\[ \begin{aligned} F_3 &= 1832.6 \cdot \frac{2250}{7500} \\ &= 549.8 \text{ kN} \end{aligned} \]

Calcul de la force au niveau 4

\[ \begin{aligned} F_4 &= 1832.6 \cdot \frac{3000}{7500} \\ &= 733.0 \text{ kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution des Forces Sismiques
F₄=733kN F₃=550kN F₂=367kN F₁=183kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe bien la distribution triangulaire : le dernier étage (N4) reprend 40% de l'effort sismique total (\(733.0 / 1832.6\)), alors qu'il ne représente que 25% de la masse. Cela a des implications majeures sur le dimensionnement des éléments porteurs, qui sont beaucoup plus sollicités en tête qu'à la base.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal calculer les hauteurs \(z_i\). Il s'agit bien de la distance verticale entre la base de la structure et le centre de gravité de la masse du niveau \(i\), et non de la hauteur de l'étage lui-même.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La distribution des forces sismiques pour un bâtiment régulier est triangulaire.
  • La somme des forces latérales \(\sum F_i\) doit toujours être égale à l'effort tranchant à la base \(V_b\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de "coup de fouet" (whiplash effect) décrit l'amplification des accélérations aux étages supérieurs des bâtiments élevés, ce qui justifie l'application de forces plus importantes en tête. C'est pourquoi les éléments non-structuraux (cloisons, façades) et les équipements en toiture doivent être particulièrement bien arrimés.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette distribution est-elle toujours triangulaire ?

Non. C'est une approximation valable pour les bâtiments réguliers dont le premier mode de vibration est prépondérant. Pour les tours très élancées ou les structures de géométrie complexe, les modes de vibration supérieurs peuvent devenir significatifs, modifiant cette distribution. On utilise alors une analyse modale spectrale pour combiner les effets de plusieurs modes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les forces sismiques à chaque niveau sont : \(F_1 = 183.3\) kN, \(F_2 = 366.5\) kN, \(F_3 = 549.8\) kN, et \(F_4 = 733.0\) kN.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la force au dernier étage, \(F_4\), si la masse de ce niveau (toiture) était réduite de moitié (\(m_4 = 125\) tonnes), les autres masses restant inchangées.

Question 3 : Calculer le moment de renversement (\(M_{ov}\))

Principe (le concept physique)

Le moment de renversement à la base est la somme des moments créés par chaque force latérale \(F_i\) par rapport à la base. Chaque force est multipliée par son "bras de levier", qui est sa hauteur \(z_i\) par rapport au sol. Ce moment tend à faire basculer l'ensemble du bâtiment.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La stabilité d'une structure face au renversement est assurée par le "moment stabilisant", qui est principalement généré par le poids propre de la structure. Les normes de construction exigent que le moment stabilisant soit significativement supérieur au moment de renversement pour garantir une marge de sécurité adéquate. La vérification est : \(M_{stab} \ge M_{ov}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du moment de renversement est fondamental pour le dimensionnement des fondations. C'est ce moment qui va générer des efforts de compression et de traction dans les semelles de fondation ou les pieux, et qui conditionne leur géométrie et leur ferraillage.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du moment de renversement est une conséquence directe de la distribution des forces. La vérification de la stabilité au renversement est traitée dans la section 5 de l'Eurocode 8.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment de renversement

\[ M_{ov} = \sum_{i=1}^{n} (F_i \cdot z_i) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les forces \(F_i\) sont appliquées au centre de masse de chaque niveau.
  • Le moment est calculé par rapport au niveau de la base (z=0).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les forces \(F_i\) et les hauteurs \(z_i\) déterminées précédemment :

ParamètreSymboleValeurUnité
Force & Hauteur Niveau 1\(F_1, z_1\)183.3, 3.0kN, m
Force & Hauteur Niveau 2\(F_2, z_2\)366.5, 6.0kN, m
Force & Hauteur Niveau 3\(F_3, z_3\)549.8, 9.0kN, m
Force & Hauteur Niveau 4\(F_4, z_4\)733.0, 12.0kN, m
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul manuel rapide, il est utile d'arrondir les valeurs des forces avant de les sommer. L'important est d'obtenir le bon ordre de grandeur. Une tabulation claire, comme dans la section "Calculs", reste la méthode la plus sûre pour éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Bras de Levier des Forces Sismiques
F₄z₄F₃z₃Mₒᵥ
Calcul(s) (l'application numérique)

Tableau des moments par niveau

On utilise les forces et les hauteurs dans un tableau pour calculer le moment partiel de chaque étage.

Niveau (i)\(F_i\) (kN)\(z_i\) (m)\(M_i = F_i \cdot z_i\) (kN.m)
1183.33.0549.9
2366.56.02199.0
3549.89.04948.2
4733.012.08796.0
Total--\(M_{ov} = 16493.1\)

Somme des moments

\[ \begin{aligned} M_{ov} &= 549.9 + 2199.0 + 4948.2 + 8796.0 \\ &\Rightarrow M_{ov} = 16493.1 \text{ kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment de Renversement Résultant
Mₒᵥ16493 kN.m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce moment de 16493 kN.m est une sollicitation de flexion majeure à la base de la structure. Les fondations et les éléments porteurs du rez-de-chaussée (poteaux, voiles) doivent être dimensionnés pour y résister afin d'éviter le basculement ou la rupture.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le moment de renversement global \(M_{ov}\) avec les moments fléchissants dans les éléments de structure (poteaux, poutres). Le moment de renversement sert à vérifier la stabilité globale et à dimensionner les fondations, tandis que les moments dans les éléments sont calculés à partir d'une analyse de portique et servent à ferrailler ces derniers.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment de renversement est la somme des produits des forces par leurs bras de levier respectifs (\(M = \sum F_i \cdot z_i\)).
  • Les étages supérieurs, même s'ils sont moins massifs, contribuent de manière très importante au moment de renversement à cause de leur plus grand bras de levier.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains bâtiments, comme la Taipei 101 à Taïwan, sont équipés d'un "amortisseur harmonique" (Tuned Mass Damper). C'est une immense masse (une boule de 660 tonnes pour la Taipei 101) suspendue au sommet, dont les oscillations s'opposent à celles du bâtiment lors d'un séisme ou de grands vents, réduisant ainsi considérablement les sollicitations.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le moment stabilisant est insuffisant ?

Si \(M_{ov} > M_{stab}\), la structure est instable et risque de basculer. En pratique, cela signifie que des tractions apparaîtront sous les fondations. Pour y remédier, l'ingénieur doit augmenter le moment stabilisant, soit en alourdissant la structure (ce qui augmente aussi la force sismique, donc c'est délicat), soit, le plus souvent, en élargissant l'empattement des fondations ou en utilisant des fondations profondes (pieux) capables de reprendre ces efforts de soulèvement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment de renversement sismique à la base de la structure est de 16493.1 kN.m.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Si le bâtiment avait 5 étages (masse totale 1250 t, \(T_1 \approx 0.75\)s), quel serait approximativement le nouveau moment de renversement ? (Indice : recalculez V, puis les F_i et enfin M_ov).

Outil Interactif : Simulateur d'Effort Tranchant

Utilisez cet outil pour voir comment la masse du bâtiment et l'accélération sismique de la zone influencent l'effort tranchant à la base. Les autres paramètres (sol, ductilité) sont gardés constants pour cette simulation.

Paramètres d'Entrée
1000 tonnes
3.0 m/s²
Résultats Clés
Effort Tranchant à la Base (\(V_b\)) - kN
Force par unité de masse - N/kg

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que l'effort tranchant à la base (\(V_b\)) représente ?

2. Selon la méthode des forces latérales, où la force sismique est-elle la plus élevée ?

3. Un coefficient de comportement 'q' élevé signifie que la structure...

4. Le moment de renversement est calculé en multipliant les forces à chaque étage par...

5. Si le type de sol passe de rocheux (Classe A) à meuble (Classe D), la force sismique a tendance à...

Moment de Renversement (\(M_{ov}\))
Effet de rotation global induit par les forces sismiques horizontales à la base d'une structure, tendant à la faire basculer. Il est exprimé en kilonewton-mètre (kN.m).
Effort Tranchant à la Base (\(V_b\))
Force sismique horizontale totale estimée agissant à la base d'un bâtiment. C'est la somme de toutes les forces latérales.
Coefficient de Comportement (q)
Coefficient qui réduit la force sismique de calcul en tenant compte de la capacité d'une structure à se déformer dans le domaine plastique (ductilité) et à dissiper de l'énergie.
Spectre de Réponse
Graphique qui représente l'accélération maximale subie par des oscillateurs simples de différentes périodes de vibration pour un signal sismique donné. C'est l'outil de base pour définir l'action sismique.
Calcul du moment induit par la force sismique

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