Études de cas pratique

EGC

Calcul du Moment Fléchissant Maximal

Calcul du Moment Fléchissant Maximal

Comprendre le Moment Fléchissant Maximal

Le moment fléchissant (\(M\)) est un effort interne crucial qui se développe dans une poutre soumise à des charges transversales, provoquant sa flexion. La valeur maximale de ce moment (\(M_{max}\)) est d'une importance capitale car c'est généralement à l'endroit où il se produit que les contraintes normales de flexion sont les plus élevées, et donc où la poutre est la plus susceptible de céder ou de dépasser les limites de service. La détermination de \(M_{max}\) et de sa position est une étape essentielle dans la conception et la vérification des poutres.

Données de l'étude

Une poutre simplement appuyée de longueur \(L = 6 \, \text{m}\) est soumise à une charge uniformément répartie \(w = 10 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur ET à une charge ponctuelle \(P = 30 \, \text{kN}\) appliquée à \(x_P = 2 \, \text{m}\) de l'appui gauche A.

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charges Combinées
A B RA RB P=30kN w=10kN/m 2m 4m L = 6 m

Poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle et une charge uniformément répartie.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui verticales \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) pour les différentes sections de la poutre.
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
  4. Identifier la (ou les) section(s) où l'effort tranchant \(V(x)\) est nul ou change de signe.
  5. Établir les équations du moment fléchissant \(M(x)\) pour les différentes sections de la poutre.
  6. Calculer le moment fléchissant aux points critiques (appuis, point d'application de P, et là où V(x)=0).
  7. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF).
  8. Déterminer le moment fléchissant maximal (\(M_{max}\)) et sa position exacte sur la poutre.

Correction : Calcul du Moment Fléchissant Maximal

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

On utilise les équations de l'équilibre statique : \(\sum F_y = 0\) et \(\sum M_A = 0\) (ou \(\sum M_B = 0\)). La charge répartie \(w\) est remplacée par sa résultante \(W = wL\) appliquée au milieu de la portée L pour le calcul des moments.

Calcul :

Résultante de la charge répartie : \(W = wL = (10 \, \text{kN/m}) \cdot (6 \, \text{m}) = 60 \, \text{kN}\), appliquée à \(L/2 = 3 \, \text{m}\) de A.

Somme des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\), sens anti-horaire positif) :

\[ \begin{aligned} R_B \cdot L - P \cdot x_P - W \cdot (L/2) &= 0 \\ R_B \cdot (6 \, \text{m}) - (30 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m}) - (60 \, \text{kN} \cdot 3 \, \text{m}) &= 0 \\ 6 R_B - 60 \, \text{kN.m} - 180 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 6 R_B - 240 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 6 R_B &= 240 \, \text{kN.m} \\ R_B &= \frac{240}{6} \, \text{kN} \\ R_B &= 40 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\), vers le haut positif) :

\[ \begin{aligned} R_A + R_B - P - W &= 0 \\ R_A + 40 \, \text{kN} - 30 \, \text{kN} - 60 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A - 50 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 50 \, \text{kN}\) et \(R_B = 40 \, \text{kN}\).

Question 2 : Équations de l'Effort Tranchant \(V(x)\)

Principe :

On définit des tronçons entre les points de discontinuité des charges. L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme algébrique des forces verticales à gauche de la section \(x\).

Calcul :

Tronçon 1 : \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) (avant la charge P)

\[ V_1(x) = R_A - w x = 50 - 10x \, \text{kN} \]

Tronçon 2 : \(2 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) (après la charge P)

\[ \begin{aligned} V_2(x) &= R_A - P - w x \\ &= 50 - 30 - 10x \\ &= 20 - 10x \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les équations de l'effort tranchant sont :
  • Pour \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) : \(V(x) = 50 - 10x \, \text{kN}\)
  • Pour \(2 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) : \(V(x) = 20 - 10x \, \text{kN}\)

Question 3 : Tracer le Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)

Calcul des valeurs aux points clés :

Pour \(V_1(x) = 50 - 10x\):

  • À \(x=0\), \(V(0) = 50 - 10(0) = 50 \, \text{kN}\)
  • À \(x=2^-\) (juste avant P), \(V(2^-) = 50 - 10(2) = 30 \, \text{kN}\)

Pour \(V_2(x) = 20 - 10x\):

  • À \(x=2^+\) (juste après P), \(V(2^+) = 20 - 10(2) = 0 \, \text{kN}\)
  • À \(x=6\), \(V(6) = 20 - 10(6) = 20 - 60 = -40 \, \text{kN}\) (ce qui correspond à \(-R_B\), donc OK)
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
x (m) V (kN) 0 2m 6m 50 30 0 -40 50 30 0 -40
Résultat Question 3 : Le DET est tracé ci-dessus. Il est linéaire par morceaux et présente un saut au point d'application de la charge P.

Question 4 : Section(s) où \(V(x) = 0\)

Principe :

Le moment fléchissant est maximal (ou minimal localement) lorsque l'effort tranchant est nul ou change de signe.

Analyse :

Tronçon 1 (\(0 \leq x < 2 \, \text{m}\)) : \(V_1(x) = 50 - 10x\). Si \(V_1(x)=0 \Rightarrow 50 - 10x = 0 \Rightarrow 10x = 50 \Rightarrow x = 5 \, \text{m}\). Ce point est en dehors du tronçon [0, 2m[, donc \(V(x)\) ne s'annule pas dans ce tronçon.

Tronçon 2 (\(2 \leq x \leq 6 \, \text{m}\)) : \(V_2(x) = 20 - 10x\). Si \(V_2(x)=0 \Rightarrow 20 - 10x = 0 \Rightarrow 10x = 20 \Rightarrow x = 2 \, \text{m}\).

L'effort tranchant s'annule précisément à \(x = 2 \, \text{m}\), qui est le point d'application de la charge \(P\).

Résultat Question 4 : L'effort tranchant \(V(x)\) s'annule à \(x = 2 \, \text{m}\).

Question 5 : Équations du Moment Fléchissant \(M(x)\)

Principe :

On intègre les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) pour obtenir \(M(x)\), ou on calcule directement le moment des forces à gauche de la section \(x\). \(M(x) = \int V(x) dx\). On utilise les conditions aux limites pour les constantes d'intégration (par exemple, \(M(0)=0\) pour un appui simple).

Calcul :

Tronçon 1 : \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} M_1(x) &= \int (50 - 10x) dx \\ &= 50x - \frac{10x^2}{2} + C_1 \\ &= 50x - 5x^2 + C_1 \end{aligned} \]

Condition à l'appui A : \(M(0) = 0\).

\[ 50(0) - 5(0)^2 + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0 \]
\[ M_1(x) = 50x - 5x^2 \, \text{kN.m} \]

Tronçon 2 : \(2 \leq x \leq 6 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} M_2(x) &= \int (20 - 10x) dx \\ &= 20x - \frac{10x^2}{2} + C_2 \\ &= 20x - 5x^2 + C_2 \end{aligned} \]

Continuité du moment en \(x=2 \, \text{m}\) : \(M_1(2) = M_2(2)\).

\[ M_1(2) = 50(2) - 5(2)^2 = 100 - 20 = 80 \, \text{kN.m} \]
\[ M_2(2) = 20(2) - 5(2)^2 + C_2 = 40 - 20 + C_2 = 20 + C_2 \]
\[ 80 = 20 + C_2 \Rightarrow C_2 = 60 \]
\[ M_2(x) = 20x - 5x^2 + 60 \, \text{kN.m} \]

Vérification à l'appui B : \(M_2(6) = 20(6) - 5(6)^2 + 60 = 120 - 5(36) + 60 = 120 - 180 + 60 = 0 \, \text{kN.m}\). (OK)

Résultat Question 5 : Les équations du moment fléchissant sont :
  • Pour \(0 \leq x < 2 \, \text{m}\) : \(M(x) = 50x - 5x^2 \, \text{kN.m}\)
  • Pour \(2 \leq x \leq 6 \, \text{m}\) : \(M(x) = 20x - 5x^2 + 60 \, \text{kN.m}\)

Question 6 : Moment Fléchissant aux Points Critiques

Calcul :
  • À \(x=0\) (Appui A) : \(M(0) = 50(0) - 5(0)^2 = 0 \, \text{kN.m}\)
  • À \(x=2 \, \text{m}\) (Point d'application de P et où \(V(x)=0\)) :
    • \(M_1(2) = 50(2) - 5(2)^2 = 100 - 20 = 80 \, \text{kN.m}\)
    • \(M_2(2) = 20(2) - 5(2)^2 + 60 = 40 - 20 + 60 = 80 \, \text{kN.m}\)
  • À \(x=6 \, \text{m}\) (Appui B) : \(M(6) = 20(6) - 5(6)^2 + 60 = 120 - 180 + 60 = 0 \, \text{kN.m}\)
Résultat Question 6 : Les moments aux points critiques sont : \(M(0)=0\), \(M(2)=80 \, \text{kN.m}\), \(M(6)=0\).

Question 7 : Tracer le Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)

Description du tracé :

Le DMF sera tracé en utilisant les équations \(M_1(x)\) et \(M_2(x)\). Les deux sont des paraboles (polynômes du second degré en x).

  • De \(x=0\) à \(x=2 \, \text{m}\) : \(M(x) = 50x - 5x^2\). C'est une parabole ouverte vers le bas, partant de \(M(0)=0\) et atteignant \(M(2)=80 \, \text{kN.m}\). Le sommet de cette parabole (si elle était complète) serait à \(x = -50 / (2 \cdot -5) = 5 \, \text{m}\), ce qui est hors de cet intervalle.
  • De \(x=2\) à \(x=6 \, \text{m}\) : \(M(x) = 20x - 5x^2 + 60\). C'est une parabole ouverte vers le bas, partant de \(M(2)=80 \, \text{kN.m}\) et atteignant \(M(6)=0 \, \text{kN.m}\). Le sommet de cette parabole est à \(x = -20 / (2 \cdot -5) = 2 \, \text{m}\).
Le point \(x=2 \, \text{m}\) est donc le point de moment maximal.

Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
x (m) M (kN.m) 0 2m 6m 80 40 Mmax = 80 kN.m
Résultat Question 7 : Le DMF est tracé ci-dessus. Le moment fléchissant maximal est \(M_{max} = 80 \, \text{kN.m}\) et il se produit à \(x = 2 \, \text{m}\) de l'appui A (sous la charge ponctuelle P).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge ponctuelle P était déplacée vers l'appui A (par exemple à x=1m), comment cela affecterait-il qualitativement la position du moment maximal ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment fléchissant dans une poutre est maximal lorsque :

2. Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, le diagramme de moment fléchissant est :

Glossaire

Moment Fléchissant (\(M\))
Effort interne dans une poutre qui tend à provoquer sa flexion ou sa courbure. Il est calculé comme la somme algébrique des moments des forces externes agissant d'un côté d'une section, par rapport à cette section.
Effort Tranchant (\(V\))
Force interne résultante agissant tangentiellement à la section transversale d'une poutre, due aux charges externes transversales.
Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)
Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre.
Poutre Simplement Appuyée
Poutre supportée à ses extrémités par des appuis qui permettent la rotation (typiquement un appui articulé et un appui à rouleau).
Charge Uniformément Répartie (\(w\))
Charge d'intensité constante appliquée sur une certaine longueur d'une poutre (exprimée en force par unité de longueur, comme kN/m).
Charge Ponctuelle (\(P\))
Force concentrée appliquée en un point spécifique d'une poutre.
Calcul du Moment Fléchissant Maximal - Exercice d'Application

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1 Commentaire
  1. EMMANUEL EMMANUEL GERE
    EMMANUEL EMMANUEL GERE sur 25 mars 2025 à 9h15

    c’était vraiment hyper bien et j’ aimerais bien approfondi ma connaissance merci

    Réponse
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