Études de cas pratique

EGC

Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois

Calcul de la Flèche d’une Poutre en Bois

Comprendre le Calcul de la Flèche d’une Poutre en Bois

La vérification de la flèche (déformation verticale) d'une poutre en bois est une étape cruciale du dimensionnement à l'État Limite de Service (ELS). Elle vise à garantir le confort des usagers, l'intégrité des éléments non structuraux (comme les cloisons ou les revêtements de sol) et l'aspect esthétique de l'ouvrage. L'Eurocode 5 définit des limites de flèche admissibles et des méthodes pour calculer la flèche instantanée (immédiate) et la flèche finale (qui inclut les effets différés du fluage du bois).

Données de l'étude

On étudie une solive en bois de section rectangulaire, simplement appuyée, supportant un plancher d'habitation.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la solive (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la solive (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Portée de la solive entre appuis (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Classe de résistance du bois : C18 (\(E_{0,mean} = 9000 \, \text{MPa}\) - module d'élasticité moyen parallèle aux fibres)
  • Coefficient de fluage (\(k_{def}\)) : \(0.8\) (pour classe de service 1, bois massif)

Charges (valeurs caractéristiques, charge linéique sur la solive) :

  • Charge permanente (\(g_k\)) : \(1.2 \, \text{kN/m}\) (incluant le poids propre de la solive)
  • Charge d'exploitation (catégorie A - habitation) (\(q_k\)) : \(1.8 \, \text{kN/m}\)
  • Coefficient de combinaison pour la part quasi-permanente de la charge d'exploitation (\(\psi_2\)) : \(0.3\)

Limites de flèche (ELS) :

  • Flèche instantanée due à la charge totale caractéristique (\(w_{inst}\)) : \(\leq L/300\)
  • Flèche nette finale (incluant fluage, due à la part quasi-permanente des charges) (\(w_{net,fin}\)) : \(\leq L/250\)
Schéma : Solive en Bois et Flèche
Solive en flexion q L = 4.0 m w Section b=80 h=200

Solive simplement appuyée avec charge répartie, illustrant la flèche.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie (\(I_y\)) de la section de la solive.
  2. Calculer la charge caractéristique totale pour la vérification de la flèche instantanée (\(q_{k,inst} = g_k + q_k\)).
  3. Calculer la flèche instantanée maximale (\(w_{inst}\)) sous \(q_{k,inst}\). Utiliser la formule \(w = \frac{5 q L^4}{384 E I}\).
  4. Vérifier si la flèche instantanée respecte la limite admissible.
  5. Calculer la charge caractéristique quasi-permanente (\(q_{k,qp} = g_k + \psi_2 q_k\)).
  6. Calculer la flèche finale due à la charge quasi-permanente, en tenant compte du fluage : \(w_{fin,qp} = w_{inst,qp} (1 + k_{def})\).
  7. Calculer la flèche nette finale (\(w_{net,fin}\)). On peut l'approximer par \(w_{net,fin} = w_{fin,qp} - w_{inst,g_k} \cdot k_{def} \cdot \psi_0\) (où \(\psi_0\) serait pour une contre-flèche, ici on simplifie : \(w_{net,fin} = w_{inst, (Gk + \psi_2 Qk)} \times (1+k_{def})\) si on considère la flèche totale finale due aux charges quasi-permanentes. L'Eurocode est plus précis. Pour cet exercice, on prendra \(w_{net,fin} = w_{inst, (Gk)} \cdot k_{def} + w_{inst, (Gk+Qk)}\) ou plus simplement la flèche due à la part quasi-permanente des charges, amplifiée par le fluage, et on la compare à L/250. Soit \(w_{net,fin} = w_{inst,qp} (1+k_{def})\).
  8. Vérifier si la flèche nette finale respecte la limite admissible.

Correction : Calcul de la Flèche d’une Poutre en Bois

Question 1 : Moment d'Inertie (\(I_y\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à son axe de flexion principal (passant par le centre de gravité et parallèle à la base), est une caractéristique géométrique essentielle pour le calcul de la flèche. Il représente la résistance de la section à la flexion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_y = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{80 \, \text{mm} \times (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{80 \times 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{640000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 53333333 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en cm⁴ : \(I_y \approx 5333.33 \, \text{cm}^4\)

Résultat Question 1 : Le moment d'inertie est \(I_y \approx 5.333 \times 10^7 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Charge Caractéristique Totale pour Flèche Instantanée (\(q_{k,inst}\))

Principe :

Pour la vérification de la flèche instantanée sous l'effet de toutes les charges, on somme les charges caractéristiques permanentes et d'exploitation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{k,inst} = g_k + q_k\]
Données spécifiques :
  • \(g_k = 1.20 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 1.80 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{k,inst} &= 1.20 + 1.80 \, \text{kN/m} \\ &= 3.00 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La charge caractéristique totale pour la flèche instantanée est \(q_{k,inst} = 3.00 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Flèche Instantanée Maximale (\(w_{inst}\))

Principe :

La flèche maximale d'une poutre simplement appuyée de portée \(L\), soumise à une charge uniformément répartie \(q\), est donnée par la formule classique de la résistance des matériaux. Elle dépend de la charge, de la portée, du module d'Young du matériau et du moment d'inertie de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{inst} = \frac{5 \cdot q_{k,inst} \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,mean} \cdot I_y}\]

Attention aux unités : si \(q\) est en N/mm, \(L\) en mm, \(E\) en MPa (N/mm²), \(I\) en mm⁴, alors \(w\) sera en mm.

Données spécifiques (converties en N et mm) :
  • \(q_{k,inst} = 3.00 \, \text{kN/m} = 3.00 \, \text{N/mm}\)
  • Portée (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm}\)
  • \(E_{0,mean} = 9000 \, \text{MPa} = 9000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y \approx 5.3333 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L^4 &= (4000)^4 = 2.56 \times 10^{14} \, \text{mm}^4 \\ E_{0,mean} I_y &= 9000 \times 5.3333 \times 10^7 \approx 4.80 \times 10^{11} \, \text{N} \cdot \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{inst} &= \frac{5 \times 3.00 \, \text{N/mm} \times (4000 \, \text{mm})^4}{384 \times 9000 \, \text{N/mm}^2 \times 53333333 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{5 \times 3.00 \times 2.56 \times 10^{14}}{384 \times 4.80 \times 10^{11}} \\ &= \frac{3.84 \times 10^{15}}{1.8432 \times 10^{14}} \\ &\approx 20.83 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La flèche instantanée maximale est \(w_{inst} \approx 20.83 \, \text{mm}\).

Question 4 : Vérification de la Flèche Instantanée

Principe :

La flèche instantanée calculée doit être inférieure ou égale à la limite admissible, qui est souvent une fraction de la portée (ici \(L/300\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{inst} \leq \frac{L}{300}\]
Données spécifiques :
  • \(w_{inst} \approx 20.83 \, \text{mm}\)
  • \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Calcul de la limite :
\[ w_{lim,inst} = \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \approx 13.33 \, \text{mm} \]
Comparaison :
\[20.83 \, \text{mm} > 13.33 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK !})\]
Résultat Question 4 : La flèche instantanée (\(\approx 20.83 \, \text{mm}\)) dépasse la limite admissible (\(\approx 13.33 \, \text{mm}\)). La solive n'est pas vérifiée pour ce critère.

Question 5 : Charge Caractéristique Quasi-Permanente (\(q_{k,qp}\))

Principe :

Pour le calcul de la flèche finale incluant le fluage, on considère la part des charges qui est appliquée de manière quasi-permanente. Cela inclut toutes les charges permanentes et une fraction (\(\psi_2\)) des charges d'exploitation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{k,qp} = g_k + \psi_2 q_k\]
Données spécifiques :
  • \(g_k = 1.20 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 1.80 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{k,qp} &= 1.20 + (0.3 \times 1.80) \, \text{kN/m} \\ &= 1.20 + 0.54 \, \text{kN/m} \\ &= 1.74 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Conversion en N/mm : \(q_{k,qp} = 1.74 \, \text{N/mm}\)

Résultat Question 5 : La charge caractéristique quasi-permanente est \(q_{k,qp} = 1.74 \, \text{kN/m}\).

Question 6 : Flèche Finale due à la Charge Quasi-Permanente (\(w_{fin,qp}\))

Principe :

La flèche finale due aux charges quasi-permanentes est la flèche instantanée due à ces mêmes charges, augmentée de la part due au fluage. Le fluage est pris en compte par le coefficient \(k_{def}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Flèche instantanée sous \(q_{k,qp}\) :

\[w_{inst,qp} = \frac{5 q_{k,qp} L^4}{384 E_{0,mean} I_y}\]

Flèche finale due à \(q_{k,qp}\) :

\[w_{fin,qp} = w_{inst,qp} (1 + k_{def})\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(q_{k,qp} = 1.74 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • \(E_{0,mean} = 9000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y \approx 5.3333 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
  • \(k_{def} = 0.8\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_{inst,qp} &= \frac{5 \times 1.74 \times (4000)^4}{384 \times 9000 \times 53333333} \\ &\approx \frac{5 \times 1.74 \times 2.56 \times 10^{14}}{1.8432 \times 10^{14}} \\ &= \frac{2.2272 \times 10^{15}}{1.8432 \times 10^{14}} \\ &\approx 12.08 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{fin,qp} &= 12.08 \times (1 + 0.8) \\ &= 12.08 \times 1.8 \\ &\approx 21.74 \, \text{mm} \end{aligned} \]

L'énoncé demande la flèche NETTE finale. La flèche nette finale est la partie de la flèche finale qui apparaît après l'achèvement de la construction. Elle est calculée comme \(w_{net,fin} = w_{fin} - w_{inst,G}\) où \(w_{fin}\) est la flèche totale finale et \(w_{inst,G}\) la flèche instantanée due aux charges permanentes. Ou, plus simplement, la flèche due à la part quasi-permanente des charges, amplifiée par le fluage, est comparée à L/250. C'est cette dernière approche qui est suivie ici, en considérant \(w_{fin,qp}\) comme la flèche à vérifier.

Résultat Question 7 (anciennement 6) : La flèche finale due aux charges quasi-permanentes (pour vérification de \(w_{net,fin}\)) est \(w_{fin,qp} \approx 21.74 \, \text{mm}\).

Question 7 : Vérification de la Flèche Nette Finale (maintenant Q8)

Principe :

La flèche nette finale (ou la flèche finale due aux charges quasi-permanentes, selon l'interprétation de la limite) est comparée à la limite admissible, souvent \(L/250\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{net,fin} \leq \frac{L}{250}\]
Données spécifiques :
  • \(w_{fin,qp} \approx 21.74 \, \text{mm}\) (utilisée comme \(w_{net,fin}\) pour la vérification)
  • \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Calcul de la limite :
\[ w_{lim,net,fin} = \frac{4000 \, \text{mm}}{250} = 16.0 \, \text{mm} \]
Comparaison :
\[21.74 \, \text{mm} > 16.0 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK !})\]
Résultat Question 8 (anciennement 7) : La flèche nette finale (\(\approx 21.74 \, \text{mm}\)) dépasse la limite admissible (\(16.0 \, \text{mm}\)). La solive n'est pas vérifiée pour ce critère de rigidité non plus.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que la flèche d'une poutre ?

2. Le coefficient de fluage \(k_{def}\) est utilisé pour :

3. Une flèche excessive dans un plancher peut entraîner :

Glossaire

Flèche (w)
Déplacement vertical d'une poutre ou d'une dalle sous l'effet des charges. C'est une mesure de sa déformation.
Rigidité
Capacité d'un élément structural à résister à la déformation. Pour la flexion, elle est proportionnelle au produit \(EI\) (Module d'Young × Moment d'Inertie).
Flèche Instantanée (\(w_{inst}\))
Déformation qui se produit immédiatement après l'application des charges.
Fluage (Creep)
Déformation différée d'un matériau sous l'effet d'une charge constante maintenue dans le temps. Pour le bois, cela augmente la flèche à long terme.
Coefficient de Fluage (\(k_{def}\))
Coefficient utilisé pour estimer l'augmentation de la flèche due au fluage. La flèche finale est souvent calculée comme \(w_{inst} \times (1 + k_{def})\) pour la part de charge provoquant le fluage.
Flèche Nette Finale (\(w_{net,fin}\))
Flèche totale à long terme, en tenant compte du fluage, et souvent calculée par rapport à l'état après construction (excluant la contre-flèche si présente).
Module d'Élasticité Moyen (\(E_{0,mean}\))
Valeur moyenne du module d'Young du bois, utilisée pour les calculs de déformation à l'ELS.
Moment d'Inertie (\(I_y\))
Caractéristique géométrique d'une section mesurant sa résistance à la flexion par rapport à un axe donné (ici, l'axe y).
Charge Caractéristique (\(g_k, q_k\))
Valeur d'une charge ayant une probabilité spécifiée de ne pas être dépassée pendant une période de référence.
Charge Quasi-Permanente
Part des charges variables qui est considérée comme agissant de manière continue ou fréquente sur une longue période. Elle est obtenue en multipliant la charge variable caractéristique par un coefficient \(\psi_2\).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation et de durabilité (confort, aspect, fonctionnement, déformations).
Calcul de la Flèche d’une Poutre en Bois - Exercice d'Application

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