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Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

Exercice : Facteur de Friction de Darcy-Weisbach

Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

Contexte : L'équation de Darcy-WeisbachUne équation phénoménologique majeure en hydraulique qui relie la perte de charge (ou perte de pression) due à la friction le long d'une conduite à la vitesse moyenne du fluide..

Le transport de fluides dans les conduites est une opération fondamentale en génie civil, industriel et environnemental. Cependant, à mesure qu'un fluide s'écoule, il perd de l'énergie à cause du frottement contre les parois de la conduite. Cette perte d'énergie, appelée perte de chargeLa diminution de l'énergie totale (exprimée en hauteur de colonne de fluide) d'un fluide lorsqu'il s'écoule d'un point à un autre., est cruciale à quantifier pour dimensionner correctement les pompes et les réseaux. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de cette perte de charge pour une conduite en fonte transportant de l'eau, en utilisant la méthode de Darcy-Weisbach et en déterminant le fameux facteur de frictionUn coefficient sans dimension, noté 'f', utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach pour décrire les pertes par friction dans une conduite. Il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à naviguer entre les différents régimes d'écoulement (laminaire ou turbulent) et à utiliser les outils appropriés (formules, diagrammes) pour résoudre un problème d'ingénierie hydraulique concret.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement et le Nombre de Reynolds.
  • Déterminer le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent).
  • Calculer le facteur de friction de Darcy-Weisbach en régime turbulent.
  • Appliquer l'équation de Darcy-Weisbach pour quantifier la perte de charge linéaire.

Données de l'étude

On étudie une conduite rectiligne et horizontale en fonte neuve, utilisée pour acheminer de l'eau d'un réservoir vers une usine. Nous souhaitons déterminer la perte d'énergie par frottement sur un tronçon de 500 mètres.

Fiche Technique
Schéma de la conduite étudiée
Q L = 500 m D = 200 mm
Paramètre Description Valeur Unité
\(Q\) Débit volumique de l'eau 100 L/s
\(D\) Diamètre intérieur de la conduite 200 mm
\(L\) Longueur de la conduite 500 m
\(\nu\) Viscosité cinématique de l'eau (à 20°C) \(1.004 \times 10^{-6}\) m²/s
\(\epsilon\) Rugosité absolue de la fonte neuve 0.26 mm
\(g\) Accélération de la pesanteur 9.81 m/s²

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) et déterminer la nature du régime d'écoulement.
  3. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  4. Déterminer le facteur de friction de Darcy-Weisbach (\(f\)).
  5. Calculer la perte de charge linéaire (\(h_f\)) sur les 500 m de conduite.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur des concepts clés de la mécanique des fluides, notamment l'équation de Darcy-Weisbach et la notion de nombre de Reynolds.

1. L'équation de Darcy-Weisbach
Cette équation fondamentale permet de calculer la perte de charge linéaire (due à la friction) dans une conduite : \[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(h_f\) est la perte de charge (en mètres), \(f\) le facteur de friction (sans dimension), \(L\) la longueur (m), \(D\) le diamètre (m), \(V\) la vitesse (m/s) et \(g\) l'accélération de la pesanteur (m/s²).

2. Le Nombre de Reynolds et les Régimes d'Écoulement
Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le type d'écoulement. Il est défini par : \[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] - Si \(Re < 2000\), l'écoulement est dit laminaire (les filets de fluide sont parallèles).
- Si \(Re > 4000\), l'écoulement est dit turbulent (mouvements chaotiques et tourbillons).
- Entre 2000 et 4000, c'est un régime transitoire.

3. Le Facteur de Friction \(f\)
La méthode de calcul de \(f\) dépend du régime :
- Régime laminaire : \(f = \frac{64}{Re}\)
- Régime turbulent : \(f\) dépend de \(Re\) et de la rugosité relative \(\epsilon/D\). On l'obtient généralement via l'équation de Colebrook-White (implicite) ou le diagramme de Moody. Une bonne approximation explicite est la formule de Swamee-Jain.

Correction : Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

Question 1 : Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\))

Principe

Le principe de conservation de la masse, pour un fluide incompressible, stipule que le débit volumique (volume de fluide traversant une section par unité de temps) est constant. La vitesse moyenne découle directement de ce principe : c'est le débit divisé par la surface que le fluide traverse.

Mini-Cours

Le débit volumique \(Q\) est une mesure du volume de fluide qui passe à travers une section transversale \(A\) par unité de temps. La vitesse moyenne \(V\) est une vitesse fictive uniforme qui, multipliée par l'aire de la section, donnerait le même débit. En réalité, la vitesse du fluide n'est pas uniforme (elle est nulle sur les parois), mais la vitesse moyenne est une simplification extrêmement utile en ingénierie.

Remarque Pédagogique

Considérez le débit comme la quantité totale de "trafic" de fluide. Pour un même trafic, si vous réduisez la taille de la "route" (la section de la conduite), la "vitesse" du trafic doit obligatoirement augmenter. C'est la relation inverse entre la vitesse et la section.

Normes

Le calcul de la vitesse à partir du débit est une étape fondamentale et universelle en mécanique des fluides, utilisée comme base dans toutes les normes de dimensionnement de réseaux (par exemple, les normes NF EN pour l'eau potable).

Formule(s)

Relation Débit-Vitesse

\[ V = \frac{Q}{A} \]

Aire d'une section circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses
  • Le fluide est incompressible (la masse volumique de l'eau est constante).
  • La conduite est pleine (écoulement en charge).
  • La vitesse calculée est une vitesse moyenne sur la section.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumiqueQ100L/s
DiamètreD200mm
Astuces

Pour une conversion rapide, retenez que 1 m³/s = 1000 L/s. Pour vérifier un ordre de grandeur, sachez que les vitesses dans les conduites d'eau sont souvent comprises entre 1 et 3 m/s pour des raisons économiques et pour limiter l'érosion.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite
DQ →Aire A
Calcul(s)

Conversion du débit (\(Q\))

\[ \begin{aligned} Q &= 100 \text{ L/s} \\ &= 100 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s} \\ &= 0.1 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre (\(D\))

\[ \begin{aligned} D &= 200 \text{ mm} \\ &= 200 \times 10^{-3} \text{ m} \\ &= 0.2 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire de la section (\(A\))

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.2 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.04 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (\(V\))

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.1 \text{ m}^3\text{/s}}{0.031416 \text{ m}^2} \\ &\approx 3.183 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de vitesse turbulent (conceptualisation)
V_maxV_moyProfil "aplati"
Réflexions

Une vitesse de 3.18 m/s est relativement élevée pour une conduite de ce type. Cela suggère que les pertes par friction seront importantes, car elles sont proportionnelles au carré de la vitesse.

Points de vigilance

La conversion des unités est la source d'erreur la plus fréquente. Assurez-vous que le débit est en m³/s et le diamètre en m avant tout calcul d'aire ou de vitesse. Une erreur ici se propage à toutes les questions suivantes.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :
1. La formule de base : V = Q / A.
2. La formule de l'aire d'un cercle : A = πD²/4.
3. La nécessité impérative de travailler avec des unités SI cohérentes.

Le saviez-vous ?

L'effet Venturi est une application directe de la relation entre vitesse et section. Lorsqu'un fluide passe dans une section plus étroite (un "col"), sa vitesse augmente et, selon le principe de Bernoulli, sa pression diminue. C'est le principe utilisé dans les trompes à eau de laboratoire ou les carburateurs.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on une vitesse "moyenne" ?

La vitesse réelle du fluide n'est pas la même en tout point de la section de la conduite (elle est nulle sur les parois à cause de la viscosité). Utiliser une vitesse moyenne est une simplification qui permet d'appliquer des équations globales (comme la conservation du débit) de manière simple et efficace pour les calculs d'ingénierie.

Résultat Final
La vitesse moyenne de l'écoulement dans la conduite est d'environ 3.18 m/s.
A vous de jouer

Si pour limiter les pertes de charge, on souhaite réduire la vitesse à 2.0 m/s pour le même débit de 100 L/s, quel devrait être le nouveau diamètre intérieur de la conduite (en mm) ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) et déterminer le régime

Principe

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (qui tendent à créer le chaos et les tourbillons) aux forces visqueuses (qui tendent à amortir ces mouvements et à maintenir un écoulement ordonné). Sa valeur nous indique si le fluide s'écoule de manière lisse et prédictible (laminaire) ou de manière chaotique et désordonnée (turbulent).

Mini-Cours

L'expérience historique d'Osborne Reynolds (1883) consistait à injecter un filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube transparent. À faible vitesse, le filet restait rectiligne (régime laminaire). En augmentant la vitesse, il observait une transition où le filet se mettait à onduler puis se mélangeait complètement au reste du fluide (régime turbulent). Il a démontré que cette transition ne dépendait pas que de la vitesse, mais d'une combinaison de la vitesse, du diamètre, et des propriétés du fluide, qu'il a regroupée dans le nombre qui porte aujourd'hui son nom.

Remarque Pédagogique

Pensez au miel et à l'eau. Le miel, très visqueux, aura tendance à avoir un écoulement laminaire (faible Re). L'eau, peu visqueuse, deviendra turbulente bien plus facilement (Re élevé). La détermination du régime est l'étape la plus critique de l'exercice : se tromper de régime mène à utiliser la mauvaise formule pour le facteur de friction, et donc à un résultat final complètement faux.

Normes

Les seuils critiques (\(Re \approx 2000\) pour la fin du régime laminaire, \(Re \approx 4000\) pour le début du régime turbulent pleinement développé) ne sont pas des lois physiques strictes mais des conventions d'ingénierie universellement admises, basées sur des milliers d'expériences.

Formule(s)

Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses
  • Le fluide est Newtonien (sa viscosité ne dépend pas des contraintes qu'il subit). C'est le cas de l'eau.
  • L'écoulement se fait dans une conduite circulaire.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse moyenneV3.183m/s
DiamètreD0.2m
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.004 \times 10^{-6}\)m²/s
Astuces

Dans la majorité des applications pratiques de génie civil (eau, air dans des conduites), le nombre de Reynolds est très élevé et l'écoulement est presque toujours turbulent. Un résultat laminaire pour de l'eau dans une conduite de plusieurs centimètres de diamètre doit vous alerter sur une possible erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Régimes d'Écoulement
Régime Laminaire (Re < 2000)Régime Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s)

Calcul du Nombre de Reynolds (\(Re\))

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{3.183 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ m}}{1.004 \times 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}} \\ &= \frac{0.6366}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 634,063 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur l'échelle des régimes
020004000LaminaireTransitoireTurbulentRe ≈ 6.3e5
Réflexions

La valeur de \(Re\) est de 634,063. Cette valeur est très largement supérieure au seuil de 4000. L'écoulement est donc franchement turbulent. Cela signifie que les forces d'inertie dominent complètement les forces visqueuses, et que la friction sera fortement influencée par l'état de surface de la conduite (sa rugosité).

Points de vigilance

Vérifiez que toutes les valeurs (\(V, D, \nu\)) sont bien en unités SI (m/s, m, m²/s) avant le calcul. Le nombre de Reynolds est sans dimension ; si votre calcul final a une unité, vous avez fait une erreur.

Points à retenir

Pour cette question, il faut absolument maîtriser :
1. La formule du Nombre de Reynolds : Re = VD/ν.
2. Les seuils critiques : Laminaire < 2000 < Transitoire < 4000 < Turbulent.
3. Le concept : Re détermine la méthode de calcul de la friction.

Le saviez-vous ?

Le concept du nombre de Reynolds est universel en mécanique des fluides. Il est utilisé pour assurer la similarité entre un modèle réduit (maquette d'avion en soufflerie) et la structure réelle (l'avion en vol). En garantissant que le Re est le même pour les deux, on s'assure que les écoulements sont physiquement similaires, même si les échelles sont différentes.

FAQ
Que se passe-t-il exactement dans la zone de transition (2000 < Re < 4000) ?

C'est une zone instable et difficile à prédire. L'écoulement peut osciller entre des phases laminaires et des bouffées de turbulence. En ingénierie, on évite de concevoir des systèmes dans cette zone et on considère par sécurité que l'écoulement devient turbulent dès que Re dépasse 2300.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est d'environ 634,000. Le régime d'écoulement est turbulent.
A vous de jouer

Imaginez que l'on remplace l'eau par une huile dont la viscosité cinématique est 50 fois plus grande (\(\nu_{\text{huile}} = 5.02 \times 10^{-5}\) m²/s). En gardant la même vitesse et le même diamètre, quel serait le nouveau nombre de Reynolds ?

Question 3 : Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\))

Principe

Aucune surface n'est parfaitement lisse. La rugosité relative est un ratio qui compare la hauteur moyenne des "bosses" et "creux" de la paroi interne de la conduite (la rugosité absolue, \(\epsilon\)) au diamètre de cette même conduite (\(D\)). Ce nombre nous dit si la conduite est "lisse" ou "rugueuse" du point de vue de l'écoulement.

Mini-Cours

La rugosité absolue \(\epsilon\) est une propriété du matériau et de son état de surface (neuf, rouillé, incrusté...). Elle est déterminée expérimentalement et est tabulée dans de nombreux manuels de mécanique des fluides. Par exemple, une conduite en PVC (très lisse) a un \(\epsilon\) de l'ordre de 0.0015 mm, tandis qu'une conduite en béton (très rugueuse) peut atteindre 3 mm. La rugosité relative est ce qui compte vraiment : une rugosité de 1 mm est énorme pour un tuyau de 10 cm, mais négligeable pour une conduite forcée de 3 m de diamètre.

Remarque Pédagogique

Pensez à une route de campagne par rapport à une autoroute. Pour une voiture, la route de campagne est "rugueuse" et ralentit le trafic. Pour un tracteur avec d'énormes pneus, cette même route peut paraître relativement lisse. Le diamètre de la conduite joue le rôle des pneus du tracteur : il met en perspective la rugosité absolue de la paroi.

Normes

Les valeurs de rugosité absolue (\(\epsilon\)) pour différents matériaux de tuyauterie sont standardisées et fournies par des organismes comme l'ASME (American Society of Mechanical Engineers) ou dans des normes ISO.

Formule(s)

Rugosité Relative

\[ \frac{\epsilon}{D} \]
Hypothèses
  • La rugosité est considérée comme uniforme sur toute la longueur de la conduite.
  • La valeur de \(\epsilon\) pour la "fonte neuve" est prise comme fiable dans les tables.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité absolue\(\epsilon\)0.26mm
DiamètreD200mm
Astuces

L'erreur la plus commune est de ne pas convertir \(\epsilon\) et \(D\) dans la même unité avant de faire la division. Peu importe l'unité choisie (mm, m, cm), tant que c'est la même pour les deux termes, le ratio sera correct et sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Rugosité
DεComparaison ε vs D
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.26 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 0.0013 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Échelle de Rugosité Relative
Lisse (Verre, PVC)Très Rugueux (Béton)Notre Fonte (0.0013)
Réflexions

La rugosité relative est de 0.0013. Ce nombre, bien que petit, a un impact majeur sur le facteur de friction en régime turbulent. Il indique que la conduite n'est ni particulièrement lisse, ni extrêmement rugueuse, mais se situe dans une gamme typique pour les matériaux métalliques courants.

Points de vigilance

Ne confondez pas rugosité absolue (\(\epsilon\), en mm) et rugosité relative (\(\epsilon/D\), sans dimension). Les formules utilisent la rugosité relative. De plus, la rugosité augmente avec le temps (corrosion, dépôts), la valeur pour une conduite "neuve" est un cas de départ.

Points à retenir

Les points essentiels sont :
1. La définition : Rugosité relative = \(\epsilon / D\).
2. La nécessité d'utiliser des unités identiques pour \(\epsilon\) et \(D\).
3. Le fait que c'est un paramètre crucial pour le régime turbulent.

Le saviez-vous ?

Certaines industries, comme l'agroalimentaire ou la pharmaceutique, dépensent des fortunes pour obtenir des conduites en acier inoxydable poli miroir. Le but n'est pas seulement de réduire les pertes de charge, mais surtout d'éviter que des bactéries ne puissent se nicher et proliférer dans les aspérités de la surface.

FAQ
D'où viennent les valeurs de rugosité absolue (\(\epsilon\)) ?

Elles sont issues de décennies de mesures expérimentales en laboratoire sur des échantillons de tuyaux. Johann Nikuradse, un élève de Prandtl, a mené des expériences fondatrices en collant des grains de sable de taille calibrée à l'intérieur de tuyaux pour quantifier précisément l'effet de la rugosité.

Résultat Final
La rugosité relative de la conduite est de 0.0013 (sans dimension).
A vous de jouer

Pour une conduite en PVC (\(\epsilon\) = 0.0015 mm) du même diamètre (200 mm), quelle serait la nouvelle rugosité relative ?

Question 4 : Déterminer le facteur de friction de Darcy-Weisbach (\(f\))

Principe

Puisque l'écoulement est turbulent, le facteur de friction \(f\) n'est plus une simple fonction du nombre de Reynolds. Il dépend maintenant d'une interaction complexe entre la turbulence de l'écoulement (liée à \(Re\)) et l'obstacle que représentent les aspérités de la paroi (liées à \(\epsilon/D\)).

Mini-Cours

La relation entre \(f\), \(Re\), et \(\epsilon/D\) en régime turbulent est décrite par l'équation de Colebrook-White. C'est une équation implicite, ce qui signifie que \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation et ne peut pas être isolé simplement. Pour la résoudre, il faut procéder par itérations successives jusqu'à ce que la valeur de \(f\) se stabilise.

Remarque Pédagogique

Le diagramme de Moody est la représentation graphique de l'équation de Colebrook-White. La méthode itérative que nous allons utiliser est la manière "numérique" de trouver le point exact sur le diagramme sans avoir à le lire à l'œil, ce qui est plus précis.

Normes

L'équation de Colebrook-White est la référence standard dans la quasi-totalité des codes et normes d'ingénierie hydraulique à travers le monde pour le calcul de la friction en régime turbulent.

Formule(s)

Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right) \]
Hypothèses
  • L'écoulement est turbulent, ce qui justifie l'utilisation de cette formule.
  • L'écoulement est dit "pleinement développé", c'est-à-dire qu'on est suffisamment loin de l'entrée de la conduite pour que le profil de vitesse soit stabilisé.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Nombre de ReynoldsRe634,063
Rugosité relative\(\epsilon/D\)0.0013
Astuces

Pour démarrer les itérations, une excellente première estimation (\(f_0\)) peut être obtenue en calculant le facteur de friction pour un régime "pleinement turbulent", c'est-à-dire en ignorant le terme qui dépend de Reynolds dans l'équation de Colebrook. Cela donne un point de départ déjà très proche de la solution finale.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration du Diagramme de Moody
Nombre de Reynolds, Re (échelle log) Facteur de Friction, f RugositéRelativeε/D 0.00010.001 0.010.05 Re ≈ 6.3e5 f ≈ 0.021 ← Notre courbe (ε/D ≈ 0.0013)
Calcul(s)

Étape 1 : Hypothèse de départ (Itération 0)

On commence avec une première estimation de \(f\), notée \(f_0\), calculée en supposant un régime pleinement turbulent (le terme de Reynolds est négligé).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_0}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{0.0013}{3.7} \right) \\ &= -2 \log_{10}(0.00035135) \\ &= -2 \times (-3.4542) \\ &= 6.9084 \end{aligned} \]

Calcul de l'estimation initiale \(f_0\)

\[ \begin{aligned} \sqrt{f_0} &= \frac{1}{6.9084} \Rightarrow \sqrt{f_0} \approx 0.14475 \\ f_0 &= (0.14475)^2 \Rightarrow f_0 \approx 0.02095 \end{aligned} \]

Étape 2 : Première Itération (Calcul de \(f_1\))

On injecte \(f_0\) dans la partie droite de l'équation complète de Colebrook-White pour trouver une nouvelle valeur, \(f_1\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_1}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{634063 \sqrt{0.02095}} \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.00035135 + \frac{2.51}{634063 \times 0.14474} \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.00035135 + 0.00002735 \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.0003787 \right) \\ &= -2 \times (-3.4217) \\ &= 6.8434 \end{aligned} \]

Calcul de la nouvelle estimation \(f_1\)

\[ \begin{aligned} \sqrt{f_1} &= \frac{1}{6.8434} \Rightarrow \sqrt{f_1} \approx 0.14612 \\ f_1 &= (0.14612)^2 \Rightarrow f_1 \approx 0.02135 \end{aligned} \]

Étape 3 : Deuxième Itération (Calcul de \(f_2\))

On recommence le processus en utilisant \(f_1\) comme nouvelle estimation.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_2}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{634063 \sqrt{0.02135}} \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.00035135 + \frac{2.51}{634063 \times 0.14612} \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.00035135 + 0.00002709 \right) \\ &= -2 \log_{10}\left( 0.00037844 \right) \\ &= -2 \times (-3.4220) \\ &= 6.844 \end{aligned} \]

Calcul de la nouvelle estimation \(f_2\)

\[ \begin{aligned} \sqrt{f_2} &= \frac{1}{6.844} \Rightarrow \sqrt{f_2} \approx 0.1461 \\ f_2 &= (0.1461)^2 \Rightarrow f_2 \approx 0.021345 \end{aligned} \]

Étape 4 : Vérification de la convergence

On compare \(f_1\) et \(f_2\). La différence est de \(0.02135 - 0.021345 = 0.000005\), ce qui est négligeable. On peut considérer que la solution a convergé.

Schéma (Après les calculs)
Illustration du Diagramme de Moody
Nombre de Reynolds, Re (échelle log) Facteur de Friction, f RugositéRelativeε/D 0.00010.001 0.010.05 Re ≈ 6.3e5 f ≈ 0.021 ← Notre courbe (ε/D ≈ 0.0013)
Réflexions

Le calcul itératif converge très rapidement (deux itérations suffisent ici) vers une valeur précise de \(f \approx 0.02135\). Cette méthode, bien que plus longue à la main, est celle utilisée par les logiciels de calcul hydraulique pour sa précision. On note que le résultat est quasi identique à celui donné par l'approximation de Swamee-Jain, ce qui valide l'utilisation de cette dernière pour des calculs rapides.

Points de vigilance

La principale difficulté est de ne pas faire d'erreur de saisie sur la calculatrice. Il est crucial de vérifier la convergence : si les valeurs de \(f\) successives divergent ou oscillent fortement, c'est le signe d'une erreur de calcul.

Points à retenir

La clé est de retenir que pour un écoulement turbulent :
1. La relation exacte entre \(f\), \(Re\) et \(\epsilon/D\) est donnée par l'équation implicite de Colebrook-White.
2. On la résout par itérations successives en partant d'une bonne estimation initiale.

Le saviez-vous ?

Les concepteurs des premiers grands aqueducs romains ne disposaient pas de ces formules, mais ils avaient une compréhension empirique profonde des pertes de charge. Ils utilisaient des pentes très faibles mais extrêmement constantes sur de longues distances, et des canaux très larges et lisses pour minimiser les frottements et assurer l'écoulement de l'eau sur des dizaines de kilomètres.

FAQ
Combien d'itérations sont nécessaires en général ?

Avec une bonne estimation de départ (comme celle du régime pleinement turbulent), deux ou trois itérations sont presque toujours suffisantes pour atteindre une précision largement suffisante pour les calculs d'ingénierie.

Résultat Final
Le facteur de friction de Darcy-Weisbach, calculé par itération, est d'environ 0.02135.
A vous de jouer

En utilisant la formule de Swamee-Jain pour une vérification rapide, quel résultat obtenez-vous ? (La formule est donnée dans la section "Formule(s)" de la version précédente de cette question).

Question 5 : Calculer la perte de charge linéaire (\(h_f\))

Principe

Le principe ici est la conservation de l'énergie appliquée à un fluide réel. L'équation de Darcy-Weisbach est l'outil qui nous permet de quantifier l'énergie "perdue" par le fluide sous forme de chaleur à cause des forces de friction le long de la conduite. Cette énergie n'est pas vraiment perdue, mais transformée et n'est plus disponible pour maintenir la pression ou l'écoulement.

Mini-Cours

Le théorème de Bernoulli est l'équation de conservation de l'énergie pour un fluide parfait (sans viscosité). Il stipule que la charge totale (pression + altitude + énergie cinétique) est constante. Pour un fluide réel, ce n'est plus vrai. On utilise alors le théorème de Bernoulli généralisé, qui inclut un terme de "perte de charge" :
$ \frac{P_1}{\rho g} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + h_f $
L'équation de Darcy-Weisbach est la méthode la plus précise pour calculer ce terme \(h_f\).

Remarque Pédagogique

Le terme \(\frac{V^2}{2g}\) est appelé la "hauteur cinétique". Il représente l'énergie cinétique du fluide, exprimée en hauteur équivalente de colonne d'eau. La perte de charge est donc proportionnelle à cette énergie cinétique. C'est pourquoi doubler le débit (et donc la vitesse) a un impact si important (facteur 4) sur les pertes.

Normes

Le calcul des pertes de charge est l'étape finale et cruciale dans le dimensionnement de tout réseau hydraulique, qu'il s'agisse de distribution d'eau potable, de systèmes de chauffage, ou d'oléoducs. Toutes les normes professionnelles imposent ce calcul pour s'assurer que les pompes sont assez puissantes et que la pression requise est disponible au point d'utilisation.

Formule(s)

Équation de Darcy-Weisbach

\[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses
  • On ne calcule que les pertes de charge linéaires (le long du tuyau droit). On néglige les pertes singulières qui pourraient être causées par des coudes, vannes, ou autres accidents de parcours.
  • L'accélération de la pesanteur \(g\) est considérée constante à 9.81 m/s².
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Facteur de friction\(f\)0.02135-
Longueur\(L\)500m
Diamètre\(D\)0.2m
Vitesse\(V\)3.183m/s
Gravité\(g\)9.81m/s²
Astuces

Décomposez le calcul en trois parties : le terme de friction (\(f\)), le terme géométrique (\(L/D\)), et le terme d'énergie cinétique (\(V^2/2g\)). Cela permet de mieux voir l'influence de chaque composant et de limiter les erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Ligne de Charge
Ligne de chargeh_f
Calcul(s)

Calcul de la perte de charge (\(h_f\))

\[ \begin{aligned} h_f &= 0.02135 \times \frac{500 \text{ m}}{0.2 \text{ m}} \times \frac{(3.183 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= 0.02135 \times 2500 \times \frac{10.131}{19.62} \\ &= 53.375 \times 0.5164 \\ &\approx 27.56 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Perte de Charge Quantifiée
Ligne de chargeh_f = 27.6 m
Réflexions

La perte de charge est de 27.56 mètres. Cela signifie que pour faire circuler 100 L/s d'eau dans 500 m de cette conduite, il faut fournir une énergie équivalente à celle nécessaire pour élever cette même eau de 27.56 mètres verticalement. En termes de pression, cela correspond à une perte d'environ 2.7 bars, ce qui est très significatif et doit absolument être pris en compte dans le dimensionnement de la pompe.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante ici est d'oublier de mettre la vitesse au carré. Une autre est de mal calculer le terme \(L/D\). Vérifiez chaque partie du calcul séparément avant de les multiplier ensemble.

Points à retenir

La maîtrise de cette question passe par la connaissance de :
1. L'équation de Darcy-Weisbach : \(h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\).
2. La signification de chaque terme.
3. Le fait que le résultat \(h_f\) est une hauteur (en mètres), représentant une perte d'énergie.

Le saviez-vous ?

Il existe d'autres formules empiriques plus anciennes et plus simples pour calculer les pertes de charge, comme la formule de Hazen-Williams, très utilisée pour les réseaux d'eau potable. Cependant, elle n'est valable que pour l'eau à température ambiante et dans une certaine gamme de diamètres. L'équation de Darcy-Weisbach, bien que plus complexe, est universelle : elle fonctionne pour n'importe quel fluide (eau, huile, air...), à n'importe quelle température, dans n'importe quel régime d'écoulement.

FAQ
Quelle est la différence entre perte de charge linéaire et singulière ?

La perte de charge linéaire (\(h_f\)) est la friction dans les sections droites de tuyau, calculée avec Darcy-Weisbach. La perte de charge singulière (\(h_s\)) est la perte d'énergie causée par les "accidents" de parcours : coudes, vannes, tés, élargissements, etc. La perte de charge totale d'un réseau est la somme de toutes les pertes linéaires et singulières.

Résultat Final
La perte de charge linéaire sur 500 m de conduite est d'environ 27.6 mètres.
A vous de jouer

Si la conduite faisait 1 kilomètre (1000 m) de long au lieu de 500 m, quelle serait la nouvelle perte de charge (tous les autres paramètres restant identiques) ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez cet outil pour voir comment la perte de charge et le nombre de Reynolds changent lorsque vous modifiez le débit ou le diamètre de la conduite. Les autres paramètres (longueur, rugosité, viscosité) sont fixes.

Paramètres d'Entrée
100 L/s
200 mm
Résultats Clés
Nombre de Reynolds (Re) -
Perte de Charge (h_f) (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le nombre de Reynolds est de 1500, le régime d'écoulement est :

2. Dans l'équation de Darcy-Weisbach, si on double la vitesse du fluide (tous les autres paramètres étant constants), la perte de charge est :

3. La rugosité relative (\(\epsilon/D\)) est un nombre qui :

4. En régime turbulent, le facteur de friction \(f\) dépend de :

5. Une conduite avec une surface interne très lisse aura :

Glossaire

Facteur de friction de Darcy-Weisbach (f)
Un coefficient sans dimension qui quantifie la résistance à l'écoulement due au frottement du fluide contre les parois de la conduite.
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre sans dimension qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il permet de déterminer si un écoulement est laminaire ou turbulent.
Perte de Charge (h_f)
La perte d'énergie mécanique d'un fluide en mouvement, généralement exprimée en hauteur de colonne de ce fluide (en mètres). La perte de charge "linéaire" est celle due à la friction dans les tronçons de conduite droits.
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Une mesure de la hauteur moyenne des imperfections de surface à l'intérieur d'une conduite, exprimée en unités de longueur (ex: mm).
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Le rapport sans dimension entre la rugosité absolue et le diamètre de la conduite. Ce paramètre est essentiel pour le calcul de la friction en régime turbulent.
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
La mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement sous l'effet de la gravité. Elle est égale à la viscosité dynamique divisée par la densité du fluide.
Exercice d'Hydraulique : Darcy-Weisbach

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