Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Contexte : Isostatique ou Hyperstatique ? La question fondamentale.
Avant de pouvoir calculer les efforts dans une structure, la première étape cruciale est de déterminer sa nature statique. Une structure est dite isostatiqueUne structure pour laquelle le nombre d'inconnues (réactions d'appuis, efforts internes) est exactement égal au nombre d'équations de la statique disponibles. Elle est stable et soluble par la statique seule. si elle possède juste assez de liaisons pour être stable. Si elle a plus de liaisons que le strict nécessaire, elle devient hyperstatiqueUne structure qui possède plus de liaisons que nécessaire pour sa stabilité. Les équations de la statique ne suffisent plus pour la résoudre ; il faut des équations supplémentaires basées sur les déformations.. Le "degré d'hyperstaticité" est un nombre qui quantifie cet excès de liaisons. Savoir le calculer est essentiel car il dicte la méthode de résolution à employer.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à "lire" une structure en identifiant ses composants (barres, nœuds) et ses liaisons (appuis, encastrements). Nous utiliserons une formule simple mais puissante pour comparer le nombre d'inconnues au nombre d'équations disponibles. C'est une compétence de base, un réflexe que tout ingénieur en structure doit posséder.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la différence entre une structure isostatique, hyperstatique et hypostatique (mécanisme).
- Identifier et compter les inconnues de liaison externes (réactions d'appuis) et internes.
- Appliquer la formule générale du degré d'hyperstaticité pour les portiques et les treillis.
- Analyser des structures courantes en génie civil (poutres, portiques, treillis).
- Interpréter le résultat du calcul pour choisir la méthode de résolution appropriée.
Données de l'étude
Structure 1 : Portique simple
Structure 2 : Poutre continue
Structure 3 : Treillis
Questions à traiter
- Calculer le degré d'hyperstaticité du portique simple.
- Calculer le degré d'hyperstaticité de la poutre continue.
- Calculer le degré d'hyperstaticité du treillis.
Correction : Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Question 1 : Degré d'hyperstaticité du portique simple
Principe (le concept physique)
Le degré d'hyperstaticité \(h\) est la différence entre le nombre total d'inconnues (réactions d'appuis et efforts internes) et le nombre d'équations d'équilibre disponibles. Pour une structure plane de type portique, chaque barre peut avoir 3 efforts internes (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant) et chaque nœud fournit 3 équations d'équilibre (\(\sum F_x=0, \sum F_y=0, \sum M=0\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule pour les portiques et poutres :
Détail de la Formule
Comment utiliser cette formule :
- \(b\) : Le nombre de barres de la structure. Une barre est un élément reliant deux nœuds.
- \(r\) : Le nombre d'inconnues de liaison externes (réactions d'appuis). On compte 1 pour un appui simple, 2 pour une articulation (rotule), et 3 pour un encastrement.
- \(n\) : Le nombre de nœuds de la structure. Un nœud est un point de connexion entre les barres ou un point d'application d'un appui.
- \(3b+r\) : Représente le nombre total d'inconnues (3 efforts par barre + les réactions).
- \(3n\) : Représente le nombre total d'équations d'équilibre disponibles (3 par nœud).
Schéma (Avant les calculs)
Identification des éléments du portique
Calcul(s) (l'application numérique)
Décompte des éléments :
Calcul du degré d'hyperstaticité :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
\(h=1\) signifie que la structure a une liaison surabondante. Elle est stable, mais les équations de la statique seules ne suffisent pas pour la résoudre. Il faudra une équation de déformation (par exemple, en utilisant la méthode des forces) pour trouver toutes les inconnues.
Le portique est hyperstatique de degré 1.
Question 2 : Degré d'hyperstaticité de la poutre continue
Principe (le concept physique)
Le principe est identique à celui du portique. Une poutre est un cas particulier de portique. Nous allons donc appliquer la même formule en identifiant correctement les barres, les nœuds et les réactions d'appuis.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule pour les poutres :
Schéma (Avant les calculs)
Identification des éléments de la poutre
Calcul(s) (l'application numérique)
Décompte des éléments :
Calcul du degré d'hyperstaticité :
La poutre continue est hyperstatique de degré 3.
Question 3 : Degré d'hyperstaticité du treillis
Principe (le concept physique)
Pour un treillis, les nœuds sont des articulations parfaites qui ne transmettent pas de moment. Chaque barre n'est donc soumise qu'à un seul effort interne : l'effort normal (traction ou compression). Par conséquent, nous avons 1 inconnue par barre (\(b\)) et 2 équations d'équilibre par nœud (\(\sum F_x=0, \sum F_y=0\)). La formule est donc différente.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule pour les treillis plans :
Détail de la Formule
- \(b\) : Le nombre de barres.
- \(r\) : Le nombre de réactions d'appuis.
- \(n\) : Le nombre de nœuds (articulations).
- \(b+r\) : Représente le nombre total d'inconnues (1 effort par barre + les réactions).
- \(2n\) : Représente le nombre total d'équations d'équilibre disponibles (2 par nœud).
Schéma (Avant les calculs)
Identification des éléments du treillis
Calcul(s) (l'application numérique)
Décompte des éléments :
Calcul du degré d'hyperstaticité :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
\(h=-1\) signifie que la structure est hypostatique. Il y a plus d'équations que d'inconnues. Cela indique une instabilité : la structure est un mécanisme et ne peut pas reprendre les efforts sans se déformer de manière importante. Elle n'est pas viable en l'état.
Le treillis est hypostatique (degré -1), c'est un mécanisme.
Mini Fiche Mémo : Calcul du Degré d'Hyperstaticité
| Type de Structure | Formule | Signification de h |
|---|---|---|
| Portiques / Poutres | \( h = (3b + r) - 3n \) | h > 0 : Hyperstatique h = 0 : Isostatique h < 0 : Hypostatique (Mécanisme) |
| Treillis | \( h = (b + r) - 2n \) |
Outil Interactif : Simulateur d'Hyperstaticité
Modifiez les appuis pour voir comment le degré d'hyperstaticité du portique change.
Paramètres d'Appuis
Résultat pour le Portique
Le Saviez-Vous ?
Une structure hyperstatique est plus "robuste" qu'une structure isostatique. La rupture d'un seul élément ou d'une liaison ne provoque pas l'effondrement immédiat, car les efforts peuvent se redistribuer dans les liaisons surabondantes. C'est ce qu'on appelle la redondance structurelle, un concept clé de la sécurité en génie civil.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une liaison interne ?
Une liaison interne est une connexion qui bloque un degré de liberté entre deux barres, comme une rotule interne dans un portique. Chaque rotule interne ajoute une équation (Somme des Moments = 0), il faut donc la soustraire au nombre d'inconnues. La formule devient \(h = (3b + r) - (3n + e)\) où 'e' est le nombre d'équations supplémentaires dues aux liaisons internes.
Cette formule fonctionne-t-elle en 3D ?
Non, la formule est différente en 3D car il y a 6 équations d'équilibre par nœud et 6 efforts internes par barre. La formule pour un portique 3D est \(h = (6b + r) - 6n\).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une poutre sur deux appuis simples est :
2. Si on ajoute une barre diagonale au portique de l'exercice 1 (entre les nœuds N2 et N4), que devient son degré d'hyperstaticité ?
- Isostatique
- Se dit d'une structure stable possédant exactement le nombre de liaisons nécessaires pour être maintenue en équilibre. Soluble par la statique.
- Hyperstatique
- Se dit d'une structure stable possédant plus de liaisons que nécessaire. Non soluble par la statique seule.
- Hypostatique (ou Mécanisme)
- Se dit d'une structure instable car elle ne possède pas assez de liaisons pour être maintenue en équilibre.
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