Calcul du Degré d’Hyperstaticité
📝 Situation du Projet & Enjeux Techniques
Bienvenue chez AeroStruct Engineering, bureau d'études de référence pour les infrastructures aéroportuaires complexes. Nous venons de remporter l'appel d'offres pour l'extension de l'aéroport régional, un projet stratégique qui vise à accueillir la nouvelle flotte d'avions légers de type "Business Jets". Le cœur de ce projet est le hangar "SkyPort", une structure métallique de grande portée conçue pour abriter simultanément trois appareils tout en minimisant les obstacles au sol pour les manœuvres de tractage.
Dans ce contexte exigeant, la sécurité structurelle est non négociable. Les vents dominants de la région (Zone 3) imposent des charges horizontales sévères sur les façades. L'architecte, en collaboration avec notre département design, a validé une volumétrie épurée basée sur une série de portiques transversaux en acier S355. Pour optimiser l'espace utile et réduire l'emprise des massifs de fondation, une option technique audacieuse a été retenue par l'ingénieur projet : un portique rigide bi-encastré. Cette solution permet théoriquement de réduire les moments en travée et donc la hauteur des poutres, gagnant ainsi de précieux centimètres pour la dérive des avions.
Cependant, cette rigidité accrue s'accompagne d'une complexité analytique : le système n'est plus isostatique. Avant de lancer les modélisations numériques lourdes (Robot Structural Analysis) et le dimensionnement aux Eurocodes des assemblages boulonnés, il est impératif de valider manuellement le comportement fondamental de la structure. Une erreur de modélisation à ce stade (confusion entre appui glissant, rotule ou encastrement) fausserait l'intégralité de la descente de charges.
En qualité d'Ingénieur Calculs Confirmé, vous êtes mandaté pour réaliser l'analyse topologique et statique préliminaire du portique file 2 (le plus sollicité). Votre objectif est de déterminer formellement le degré d'hyperstaticité \(h\) du système structurel tel que dessiné sur les plans APS ci-joints. Cette valeur \(h\) conditionnera le choix de la méthode de résolution (Forces vs Déplacements) pour l'étape suivante du projet.
"Attention, une erreur d'interprétation des liaisons au sol (encastrement vs rotule) modifierait radicalement la distribution des moments fléchissants. Soyez rigoureux dans le décompte des degrés de liberté bloqués."
Pour mener à bien cette analyse topologique et statique, nous nous basons sur les hypothèses de la Résistance des Matériaux (RDM) pour les systèmes plans (2D) à barres. Les données géométriques ci-dessous sont issues de la maquette numérique BIM (Building Information Modeling) du projet.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
Eurocode 3 (EN 1993-1-1)Théorie des Poutres (Euler-Bernoulli)| GÉOMÉTRIE GLOBALE | |
| Portée libre (L) | 20.00 m |
| Hauteur Poteaux (H) | 6.00 m |
| Hauteur au Faîtage (H_tot) | 8.00 m |
| DÉFINITION DES APPUIS | |
| Appui A (Gauche) | Encastrement Parfait (Blocage Tx, Ty, Rz) |
| Appui D (Droit) | Encastrement Parfait (Blocage Tx, Ty, Rz) |
| PROFILÉS (Pré-dimensionnement) | |
| Poteaux | HEA 300 (S355) |
| Traverses | IPE 360 (S355) |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer rigoureusement le degré d'hyperstaticité sans risque d'erreur, nous appliquerons la méthodologie séquentielle suivante :
Analyse Topologique
Recenser précisément le nombre de nœuds (\(n\)) et le nombre de barres/membrures (\(m\)) constituant le système.
Analyse des Liaisons Externes
Identifier la nature de chaque appui et comptabiliser le nombre total de réactions d'appui inconnues (\(r\)).
Application de la Formule de Mobilité
Calculer le degré d'hyperstaticité (\(h\)) à l'aide de la formule topologique adaptée aux structures portiques planes.
Interprétation & Conclusion
Conclure sur la nature du système (Isostatique, Hyperstatique, Mécanisme) et ses implications pour le calcul.
Calcul du Degré d’Hyperstaticité
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de numériser la géométrie de la structure sous forme d'un graphe mathématique. Nous devons transformer le plan d'architecte en un ensemble fini d'éléments discrets. Il s'agit d'identifier sans ambiguïté les "sommets" (nœuds) et les "arêtes" (barres) qui constituent le squelette résistant du portique. Une erreur de comptage à ce stade, aussi triviale soit-elle en apparence, fausserait irrévocablement l'application de la formule de mobilité et invaliderait toute l'étude de stabilité.
📚 Référentiel
Mécanique des StructuresThéorie des Graphes appliquée au GCDans l'analyse d'un portique métallique, la définition des nœuds est souvent intuitive mais elle mérite une précision chirurgicale. Les points d'ancrage au sol (appuis) sont systématiquement des nœuds. Les changements brusques de direction (genoux du portique) sont également des nœuds. La question se pose souvent pour le faîtage : doit-on le considérer comme un nœud ? Si le faîtage était articulé, ce serait un nœud spécial indispensable. Ici, la traverse est rigide, mais pour respecter la rectitude des éléments finis "barres" (segments droits), il est de bonne pratique de considérer le faîtage comme un nœud géométrique. Cela scinde la traverse en deux arbalétriers distincts.
Un nœud \(n\) est un point de connexion cinématique entre plusieurs barres ou un point de liaison avec l'environnement extérieur (appui). Une barre \(m\) est un élément structurel monodimensionnel reliant deux nœuds. Dans la formule de Bresse ou les formules topologiques étendues, la cohérence entre le nombre de barres et le nombre de nœuds est fondamentale.
Nous définissons les variables scalaires suivantes :
Somme de tous les nœuds physiques.
Somme de toutes les barres.
📋 Données d'Entrée (Issues des Plans)
| Désignation | Position | Type |
|---|---|---|
| Point A | Pied de poteau gauche | Appui |
| Point B | Tête de poteau gauche | Angle |
| Point S | Faîtage (Sommet) | Sommet |
| Point C | Tête de poteau droit | Angle |
| Point D | Pied de poteau droit | Appui |
Numérotez toujours vos nœuds de gauche à droite et de bas en haut pour ne rien oublier. Tracez un cercle autour de chaque intersection sur votre schéma brouillon.
1. Calcul du nombre de Noeuds \(n\)
Nous procédons à la sommation arithmétique simple de tous les points singuliers identifiés. Les nœuds sont {A, B, S, C, D}.
Somme des Nœuds :Le modèle comporte donc exactement 5 nœuds cinématiques.
2. Calcul du nombre de Barres \(m\)
Nous comptabilisons chaque élément fini reliant les nœuds précédemment définis : [AB], [BS], [SC], [CD].
Somme des Barres :La structure est composée de 4 membrures distinctes.
Nous avons établi la "carte d'identité" topologique de la structure. Elle est constituée de 5 nœuds et 4 barres formant une chaine linéaire ouverte géométriquement (bien que refermée par le sol mécaniquement).
Pour une ligne ouverte simple de \(n\) nœuds, le nombre de segments est toujours \(n-1\). Ici, nous avons \(5 - 1 = 4\). Le compte est topologiquement cohérent et valide pour la suite.
Attention aux structures treillis où des barres se croisent sans nœud de connexion (croix de Saint-André). Ici, c'est un portique simple, donc pas d'ambiguïté, mais la rigueur est de mise.
🎯 Objectif
Cette étape vise à quantifier le nombre exact d'inconnues statiques introduites par les conditions aux limites, c'est-à-dire par les liaisons de la structure avec le sol. Chaque degré de liberté (translation ou rotation) bloqué par un appui génère une réaction d'appui inconnue (force ou moment) qu'il faudra potentiellement calculer. L'inventaire précis de ces inconnues externes \(r\) est le deuxième terme clé de notre équation d'hyperstaticité.
📚 Référentiel
Statique du SolideTypologie des Liaisons MécaniquesDans un problème plan (2D), un solide libre possède 3 degrés de liberté cinématiques : deux translations (\(T_x, T_y\)) et une rotation (\(R_z\)).
• Un Appui Simple (rouleau) bloque 1 translation → Il génère 1 inconnue normale au plan de glissement.
• Une Articulation (rotule) bloque 2 translations → Elle génère 2 inconnues (Force Verticale + Force Horizontale).
• Un Encastrement bloque tout (2 translations + 1 rotation) → Il génère 3 inconnues (Force V + Force H + Moment d'Encastrement).
Dans notre projet SkyPort, le cahier des charges spécifie clairement des "Pieds de poteaux encastrés", ce qui est cohérent avec la nécessité de stabilité transversale sans contreventement.
Une réaction de liaison existe si et seulement si un mouvement est empêché. \(Reaction \neq 0 \iff Deplacement = 0\). Le nombre d'inconnues statiques est égal au nombre de mouvements cinématiques interdits.
Le nombre total d'inconnues de liaison \(r\) est la somme des degrés de liberté bloqués par chaque appui \(r_i\).
Où \(k\) est le nombre d'appuis et \(r_i\) le nombre d'inconnues de l'appui \(i\).
📋 Données d'Entrée (Conditions aux Limites)
| Appui | Type de Liaison | Degrés Bloqués | Réactions Inconnues (\(r_i\)) |
|---|---|---|---|
| A (Gauche) | Encastrement Parfait | \(T_x, T_y, R_z\) | 3 |
| D (Droit) | Encastrement Parfait | \(T_x, T_y, R_z\) | 3 |
Sur le terrain, ne confondez pas "Rotule" et "Encastrement". Un encastrement en pied de poteau nécessite généralement une platine épaisse avec plusieurs rangées de boulons d'ancrage éloignées de l'axe neutre pour reprendre le moment, contrairement à une rotule (souvent un axe ou une platine courte avec 2 boulons centrés) qui permet la rotation.
1. Calcul du nombre total de réactions \(r\)
Nous additionnons les inconnues générées par l'appui A et l'appui D pour obtenir le nombre total d'inconnues externes.
Sommation des Inconnues de Liaison :Nous avons identifié 6 inconnues de liaison au total.
Les fondations doivent être dimensionnées pour reprendre non seulement des charges verticales et horizontales, mais aussi des moments de flexion importants (\(M_A\) et \(M_D\)), ce qui est la signature d'un encastrement.
Pour un solide rigide unique, il faut au minimum bloquer 3 degrés de liberté pour qu'il soit stable (\(r \ge 3\)). Ici \(r=6\), donc la stabilité est potentiellement assurée (condition nécessaire mais pas suffisante).
Un encastrement "parfait" est une idéalisation mathématique. En réalité, le sol a une certaine souplesse (constante de raideur \(K\)). Si le sol est mauvais, l'hypothèse d'encastrement peut être dangereuse car la rotation réelle réduira l'hyperstaticité effective.
🎯 Objectif
C'est l'étape de synthèse. Nous allons confronter le nombre total d'inconnues du système (internes et externes) au nombre total d'équations d'équilibre disponibles. La différence arithmétique entre ces deux grandeurs nous donnera le degré d'hyperstaticité \(h\). Ce nombre entier représente le nombre de "liaisons surabondantes" qu'il faudrait théoriquement supprimer pour rendre la structure isostatique.
📚 Référentiel
Formule de Mobilité des PortiquesThéorème de MaxwellPour un système de barres rigides assemblées rigidement (portique) dans le plan, faisons le bilan :
1. **Inconnues :** Chaque barre apporte 3 inconnues d'efforts internes (Effort Normal \(N\), Effort Tranchant \(V\), Moment Fléchissant \(M\)). Soit \(3 \times m\) inconnues internes. À cela s'ajoutent les \(r\) inconnues externes de liaison. Total des inconnues = \(3m + r\).
2. **Équations :** Chaque nœud, isolé par une coupure virtuelle, doit être en équilibre. Il fournit donc 3 équations d'équilibre statique (\(\sum F_x=0, \sum F_y=0, \sum M_z=0\)). Total des équations = \(3 \times n\).
Le degré \(h\) est simplement l'excédent d'inconnues par rapport aux équations.
Un système est isostatique (\(h=0\)) si les équations de la statique suffisent à calculer toutes les inconnues. Il est hyperstatique (\(h>0\)) s'il y a plus d'inconnues que d'équations. Il est hypostatique (mécanisme, \(h<0\)) s'il est instable.
Le degré d'hyperstaticité se calcule par la relation topologique suivante :
Où :
• \(3 \cdot m\) représente les inconnues d'efforts internes.
• \(r\) représente les inconnues de réactions d'appui.
• \(3 \cdot n\) représente le nombre d'équations d'équilibre nodales disponibles.
📋 Données d'Entrée (Récapitulatif)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre de barres | \(m\) | 4 |
| Nombre de réactions | \(r\) | 6 |
| Nombre de nœuds | \(n\) | 5 |
Vérifiez toujours que vous utilisez la formule adaptée aux portiques (\(3m\)) et non celle des treillis articulés (\(m\)). Ici, les nœuds sont rigides, ils transmettent le moment, donc le facteur 3 est indispensable.
1. Calcul du Nombre Total d'Inconnues (\(I_{tot}\))
Nous calculons d'abord la somme de toutes les forces et moments inconnus du système (internes et externes). Nous remplaçons \(m\) par 4 et \(r\) par 6.
Calcul des Inconnues :Le système présente 18 grandeurs inconnues à déterminer pour être entièrement résolu.
2. Calcul du Nombre Total d'Équations (\(E_{tot}\))
Nous évaluons maintenant la capacité de résolution offerte par la statique via l'équilibre des nœuds. Nous remplaçons \(n\) par 5.
Calcul des Équations :La statique nous fournit 15 équations indépendantes.
3. Calcul Final du Degré (\(h\))
Nous effectuons la soustraction finale pour trouver le déficit d'équations : \(I_{tot} - E_{tot}\).
Calcul de h :Le système est hyperstatique de degré 3. Cela signifie qu'il y a 3 inconnues de trop pour être résolu par la statique simple seule.
Le degré \(h=3\) est logique pour un portique bi-encastré. Il correspond aux trois degrés de liberté bloqués "en trop" par le deuxième appui. Si nous libérions totalement l'appui D (3 degrés), la structure deviendrait une console (isostatique). C'est ce différentiel qui crée l'hyperstaticité.
Nous pouvons vérifier ce résultat par la méthode des boucles fermées : \(h = 3 \times (\text{nombre de boucles})\). En considérant le sol comme une barre virtuelle, nous avons 1 boucle fermée. \(h = 3 \times 1 = 3\). Le résultat est confirmé.
Si nous avions trouvé \(h < 0\), la structure serait un mécanisme (instable, elle s'effondrerait). Si \(h = 0\), elle serait isostatique. Ici, \(h=3\) confirme une forte redondance statique. C'est excellent pour la sécurité (redistribution des efforts en cas de plastification locale) mais cela rend la structure très sensible aux tassements différentiels des appuis et aux variations thermiques.
🎯 Objectif
Traduire le résultat mathématique abstrait (\(h=3\)) en décision d'ingénierie concrète. Quelles sont les conséquences de cette hyperstaticité pour la suite de l'étude APS et quels outils devons-nous mobiliser ?
📚 Référentiel
Méthodes de Résolution des Systèmes HyperstatiquesPuisque le système est hyperstatique, les équations de la statique (PFS) ne suffisent plus. Les efforts internes ne dépendent plus seulement de la géométrie et des charges, mais aussi de la rigidité relative des barres (le produit \(E \cdot I\)). Plus une partie de la structure est rigide, plus elle "attirera" les efforts. Nous sommes dans une impasse statique et devons faire appel aux équations de compatibilité des déformations.
Dans un système hyperstatique, les efforts internes ne peuvent être calculés qu'en écrivant que les déformations sont compatibles avec les liaisons. Par exemple, la rotation à l'encastrement doit être nulle. Cela lie les moments aux raideurs.
Le vecteur des inconnues principales pour la méthode des forces est :
Correspondant aux 3 liaisons surabondantes libérées.
📋 Données pour la suite
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Degré \(h\) | 3 |
| Inconnues à trouver | Réactions hyperstatiques |
En phase APS, on peut utiliser des abaques de portiques (formules de Kleinlogel) pour estimer rapidement les moments aux encastrements sans faire tout le calcul matriciel.
1. Choix de la Méthode de Résolution
Pour résoudre ce système d'ordre 3, nous avons deux options méthodologiques principales :
- Option 1 : Méthode des Forces (Manuelle)
Cette méthode consiste à supprimer 3 liaisons surabondantes (libérations) pour rendre le système isostatique fondamental. On remplace ces liaisons par 3 forces inconnues unitaires. On écrit ensuite que les déplacements réels associés à ces liaisons sont nuls (compatibilité). C'est long mais très pédagogique. - Option 2 : Méthode des Déplacements (Matricielle/Logiciel)
C'est la méthode utilisée par les logiciels (Robot, SCIA). Elle établit la matrice de rigidité de la structure \(K\). On résout \(K \cdot U = F\) pour trouver les déplacements nodaux \(U\), puis on en déduit les efforts. C'est l'approche que nous utiliserons en phase EXE.
2. Identification des Inconnues
Vecteur des InconnuesSi l'on choisit de "couper" l'encastrement en D (libération totale) pour retrouver un système isostatique (console), les inconnues hyperstatiques deviennent les réactions de l'appui D que nous ne pouvons pas déterminer par la statique seule :
Ce sont ces trois grandeurs que le logiciel calculera en priorité.
La confirmation du degré \(h=3\) valide le choix du portique rigide pour minimiser les flèches. Cependant, cela impose une étude de sol approfondie car un tassement de 1cm sous l'appui D pourrait générer des contraintes énormes dans les angles B et C.
La stratégie est cohérente avec la phase APS. Le dimensionnement des assemblages devra tenir compte de ces moments hyperstatiques non nuls aux appuis.
Attention à la température : une variation de +30°C sur une barre hyperstatique engendre des efforts de compression thermique considérables (car la dilatation est empêchée par les encastrements), contrairement à un système isostatique qui se dilaterait librement.
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