Études de cas pratique

EGC

Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre

Calcul du Centre de Gravité d’une Section de Poutre

Comprendre le Centre de Gravité d'une Section

Le centre de gravité (CG), ou centroïde, d'une section plane est un point géométrique fondamental en Résistance des Matériaux. Pour une section homogène, il coïncide avec le centre de masse. La connaissance de la position du centre de gravité est essentielle pour de nombreux calculs, notamment pour déterminer les moments d'inertie de la section (qui mesurent sa résistance à la flexion et à la torsion) et pour localiser l'axe neutre lors de l'analyse des contraintes de flexion. Pour les sections composées de formes géométriques simples, le centre de gravité global peut être trouvé en utilisant les propriétés des formes individuelles et leurs moments statiques.

Données de l'étude

On considère une section de poutre en forme de T, constituée d'une semelle rectangulaire et d'une âme rectangulaire.

Dimensions de la section (en mm) :

  • Semelle (partie supérieure horizontale, Rectangle 1) :
    • Largeur (\(b_1\)) : \(120 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (épaisseur, \(h_1\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Âme (partie verticale, Rectangle 2) :
    • Largeur (\(b_2\)) : \(20 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (\(h_2\)) : \(100 \, \text{mm}\)

L'âme est centrée sous la semelle.

Objectif : Déterminer les coordonnées (\(X_G, Y_G\)) du centre de gravité de la section en T par rapport à un repère dont l'origine O est au coin inférieur gauche de l'âme.

Schéma : Section en T et Repère
x y O CG (Xg,Yg) b2=20 h2=100 b1=120 h1=20

Section en T avec l'origine du repère au coin inférieur gauche de l'âme pour les calculs.

Questions à traiter

  1. Décomposer la section en T en deux rectangles simples (l'âme et la semelle).
  2. Calculer l'aire de la semelle (\(A_1\)) et l'aire de l'âme (\(A_2\)).
  3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité de la semelle (\(x_1, y_1\)) et du centre de gravité de l'âme (\(x_2, y_2\)) par rapport à l'origine O (coin inférieur gauche de l'âme).
  4. Calculer la coordonnée \(X_G\) du centre de gravité de la section totale.
  5. Calculer la coordonnée \(Y_G\) du centre de gravité de la section totale.

Correction : Calcul du Centre de Gravité d’une Section en T

Question 1 : Décomposition de la Section

Principe :

Pour calculer le centre de gravité d'une section composée, il est plus simple de la décomposer en formes géométriques simples dont les centres de gravité sont connus. Ici, la section en T peut être vue comme l'union de deux rectangles : la semelle (partie horizontale supérieure) et l'âme (partie verticale). Nous définissons un repère (O, x, y) avec l'origine O au coin inférieur gauche de l'âme, l'axe x horizontal vers la droite et l'axe y vertical vers le haut.

Nous appellerons Rectangle 1 la semelle et Rectangle 2 l'âme.

Résultat Question 1 : La section est décomposée en une semelle (Rectangle 1) et une âme (Rectangle 2). L'origine du repère est au coin inférieur gauche de l'âme.

Question 2 : Calcul des Aires \(A_1\) et \(A_2\)

Principe :

L'aire d'un rectangle est le produit de sa base par sa hauteur. Nous calculons l'aire de la semelle (\(A_1\)) et l'aire de l'âme (\(A_2\)) séparément en utilisant leurs dimensions respectives.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \text{base} \times \text{hauteur}\]
Données spécifiques (en mm) :
  • Semelle (Rectangle 1) : \(b_1 = 120 \, \text{mm}\), \(h_1 = 20 \, \text{mm}\)
  • Âme (Rectangle 2) : \(b_2 = 20 \, \text{mm}\), \(h_2 = 100 \, \text{mm}\)
Calcul des aires :

Aire de la semelle (\(A_1\)) :

\[ \begin{aligned} A_1 &= b_1 \cdot h_1 \\ &= 120 \, \text{mm} \cdot 20 \, \text{mm} \\ &= 2400 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Aire de l'âme (\(A_2\)) :

\[ \begin{aligned} A_2 &= b_2 \cdot h_2 \\ &= 20 \, \text{mm} \cdot 100 \, \text{mm} \\ &= 2000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Aire de la semelle \(A_1 = 2400 \, \text{mm}^2\)
  • Aire de l'âme \(A_2 = 2000 \, \text{mm}^2\)

Question 3 : Coordonnées des Centres de Gravité Partiels (\(x_1, y_1\)) et (\(x_2, y_2\))

Principe :

Le centre de gravité d'un rectangle se situe à l'intersection de ses diagonales, c'est-à-dire à la moitié de sa base et à la moitié de sa hauteur, par rapport à ses propres coins. Nous devons exprimer ces coordonnées par rapport à l'origine O du repère global choisi (coin inférieur gauche de l'âme). L'âme étant centrée sous la semelle, l'axe de symétrie vertical de la section en T coïncide avec l'axe de symétrie vertical de l'âme et de la semelle.

Données spécifiques et positionnement (origine O au coin inférieur gauche de l'âme) :
  • Âme (Rectangle 2) : Largeur \(b_2 = 20 \, \text{mm}\), Hauteur \(h_2 = 100 \, \text{mm}\). Son coin inférieur gauche est en O(0,0).
  • Semelle (Rectangle 1) : Largeur \(b_1 = 120 \, \text{mm}\), Hauteur \(h_1 = 20 \, \text{mm}\). Son bord inférieur est à \(y = h_2 = 100 \, \text{mm}\) de O. Elle est centrée horizontalement par rapport à l'âme (dont l'axe de symétrie est à \(x = b_2/2\)).
Calcul des coordonnées des centres de gravité partiels :

Pour l'âme (Rectangle 2) :

\[ \begin{aligned} x_2 &= \frac{b_2}{2} = \frac{20 \, \text{mm}}{2} = 10 \, \text{mm} \\ y_2 &= \frac{h_2}{2} = \frac{100 \, \text{mm}}{2} = 50 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Pour la semelle (Rectangle 1) :

L'axe de symétrie vertical de l'âme est à \(x = 10 \, \text{mm}\). La semelle est centrée sur cet axe.

\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{b_2}{2} \quad (\text{car la semelle est centrée sur l'âme}) \\ &= \frac{20 \, \text{mm}}{2} = 10 \, \text{mm} \\ y_1 &= h_2 + \frac{h_1}{2} = 100 \, \text{mm} + \frac{20 \, \text{mm}}{2} \\ &= 100 \, \text{mm} + 10 \, \text{mm} = 110 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Centre de gravité de la semelle (R1) : \((x_1, y_1) = (10 \, \text{mm}, 110 \, \text{mm})\)
  • Centre de gravité de l'âme (R2) : \((x_2, y_2) = (10 \, \text{mm}, 50 \, \text{mm})\)

Question 4 : Coordonnée \(X_G\) du Centre de Gravité Total

Principe :

La coordonnée \(X_G\) du centre de gravité d'une section composée est la somme des moments statiques des aires partielles par rapport à l'axe Y, divisée par l'aire totale. La formule est \(X_G = \frac{\sum (A_i \cdot x_i)}{\sum A_i}\). En raison de la symétrie de la section en T par rapport à un axe vertical passant par le milieu de l'âme et de la semelle (qui est l'axe \(x=10 \, \text{mm}\) dans notre repère), on peut s'attendre à ce que \(X_G\) soit sur cet axe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_G = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2}\]
Données spécifiques :
  • \(A_1 = 2400 \, \text{mm}^2\), \(x_1 = 10 \, \text{mm}\)
  • \(A_2 = 2000 \, \text{mm}^2\), \(x_2 = 10 \, \text{mm}\)
Calcul de \(X_G\) :
\[ \begin{aligned} X_G &= \frac{(2400 \cdot 10) + (2000 \cdot 10)}{2400 + 2000} \, \text{mm} \\ &= \frac{24000 + 20000}{4400} \, \text{mm} \\ &= \frac{44000}{4400} \, \text{mm} \\ &= 10 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La coordonnée \(X_G\) du centre de gravité de la section en T est \(X_G = 10 \, \text{mm}\).

Question 5 : Coordonnée \(Y_G\) du Centre de Gravité Total

Principe :

La coordonnée \(Y_G\) du centre de gravité d'une section composée est la somme des moments statiques des aires partielles par rapport à l'axe X, divisée par l'aire totale. La formule est \(Y_G = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Y_G = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2}\]
Données spécifiques :
  • \(A_1 = 2400 \, \text{mm}^2\), \(y_1 = 110 \, \text{mm}\)
  • \(A_2 = 2000 \, \text{mm}^2\), \(y_2 = 50 \, \text{mm}\)
Calcul de \(Y_G\) :
\[ \begin{aligned} Y_G &= \frac{(2400 \, \text{mm}^2 \cdot 110 \, \text{mm}) + (2000 \, \text{mm}^2 \cdot 50 \, \text{mm})}{2400 \, \text{mm}^2 + 2000 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{264000 \, \text{mm}^3 + 100000 \, \text{mm}^3}{4400 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{364000 \, \text{mm}^3}{4400 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 82.7272 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La coordonnée \(Y_G\) du centre de gravité de la section en T est \(Y_G \approx 82.73 \, \text{mm}\).
Le centre de gravité de la section en T est donc G(\(10 \, \text{mm}\) ; \(82.73 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur de la semelle (\(h_1\)) augmentait, la position verticale du centre de gravité \(Y_G\) (mesurée depuis la base de l'âme) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Le centre de gravité d'une section symétrique par rapport à un axe :

7. Le moment statique d'une aire par rapport à un axe passant par son centre de gravité est :

8. Pour une section en U, si l'axe vertical Y est un axe de symétrie, alors la coordonnée \(X_G\) du centre de gravité :

Glossaire

Centre de Gravité (CG) ou Centroïde
Point géométrique d'une section plane qui correspond au point moyen de toutes les aires élémentaires la constituant. Pour un corps homogène, c'est le point d'application de la résultante des forces de gravité.
Moment Statique d'une Aire
Produit de l'aire d'une section par la distance de son centre de gravité à un axe de référence donné. \(S_x = A \cdot y_G\) ou \(S_y = A \cdot x_G\).
Aire (\(A\))
Mesure de la surface d'une section plane.
Section Composée
Section géométrique formée par l'assemblage de plusieurs formes simples (rectangles, cercles, triangles, etc.).
Semelle (Flange)
Partie horizontale (généralement supérieure et/ou inférieure) d'une section profilée (comme un I ou un T).
Âme (Web)
Partie verticale d'une section profilée qui relie les semelles (pour un I) ou supporte la semelle (pour un T).
Calcul du Centre de Gravité – Exercice d'Application

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