Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
Contexte : L'équilibre des forces, un prérequis en RdM.
En Résistance des Matériaux (RdM), la détermination du centre de gravitéAussi appelé centroïde de surface, c'est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur. Pour une section plane, c'est le barycentre géométrique de la surface. (ou centroïde) d'une section de poutre est une étape préliminaire indispensable. Ce point géométrique est crucial car c'est autour de lui que s'organisent les contraintes de flexion. Une erreur dans sa localisation entraîne des erreurs en cascade sur le calcul du moment quadratique, des contraintes et de la déformée. Cet exercice vous apprendra à localiser le centre de gravité d'une section en T, une forme courante dans les structures métalliques et en béton armé.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application de la statique et de la géométrie des surfaces. Nous allons décomposer une forme complexe (un T) en formes simples (des rectangles) dont nous connaissons les propriétés, puis utiliser la méthode des moments statiques pour trouver le barycentre global. C'est la méthode fondamentale utilisée par les ingénieurs et les logiciels de calcul pour analyser n'importe quelle section de poutre.
Objectifs Pédagogiques
- Décomposer une section complexe en formes géométriques simples.
- Calculer l'aire et localiser le centre de gravité de chaque forme simple.
- Appliquer la formule du barycentre en utilisant les moments statiques.
- Déterminer les coordonnées du centre de gravité global de la section.
- Comprendre l'importance du repère de travail dans les calculs.
Données de l'étude
Schéma de la section en T
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la semelle | \(b\) | 200 | \(\text{mm}\) |
| Épaisseur de la semelle | \(t_f\) | 40 | \(\text{mm}\) |
| Hauteur de l'âme | \(h_w\) | 160 | \(\text{mm}\) |
| Épaisseur de l'âme | \(t_w\) | 40 | \(\text{mm}\) |
Question à traiter
- Calculer la position verticale \(y_{\text{G}}\) du centre de gravité G de la section complète, par rapport à la base de la section (origine O).
Les bases du calcul de Centre de Gravité
Avant de commencer la correction, rappelons la méthode générale.
1. Le Centre de Gravité (Centroïde) :
Le centre de gravité G d'une surface est son point d'équilibre géométrique. Si vous pouviez découper la section dans un carton homogène, c'est le point où vous pourriez la faire tenir en équilibre sur la pointe d'un crayon. Pour les sections symétriques (rectangle, cercle), il se trouve au centre géométrique. Pour les formes complexes, il faut le calculer.
2. Le Moment Statique :
Le moment statique d'une surface \(A\) par rapport à un axe est le produit de son aire par la distance de son propre centre de gravité à cet axe. Par exemple, par rapport à l'axe x, on a : \(S_{\text{x}} = A \cdot y_{\text{G}}\). C'est une mesure de la "répartition" de l'aire par rapport à l'axe.
3. La Formule du Barycentre :
Pour une forme composée de plusieurs sous-surfaces simples, le moment statique total est la somme des moments statiques de chaque sous-surface. Le centre de gravité global est alors le "barycentre" des centres de gravité partiels, pondérés par leurs aires. La formule pour la coordonnée verticale est :
\[ y_{\text{G}} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + \dots}{A_1 + A_2 + \dots} \]
Où \(A_i\) est l'aire de la forme simple \(i\) et \(y_i\) est la position de son centre de gravité.
Correction : Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
Étape 1 : Décomposer la section et calculer les aires
Principe (le concept physique)
La première étape consiste à décomposer la forme complexe en T en formes plus simples dont nous connaissons les propriétés. Ici, la décomposition la plus évidente est de diviser le T en deux rectangles : la semelle (rectangle horizontal supérieur) et l'âme (rectangle vertical inférieur). Nous calculerons ensuite l'aire de chacun de ces rectangles.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode de décomposition repose sur le principe de superposition. L'aire totale d'une forme complexe est la somme algébrique des aires de ses sous-composants. Cette méthode est applicable à toutes les propriétés géométriques (aires, moments statiques, moments quadratiques) et constitue la base de l'analyse des sections composées.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il existe toujours plusieurs façons de décomposer une forme. On aurait pu aussi voir le T comme un grand rectangle duquel on soustrait deux petits rectangles de chaque côté de l'âme. La méthode par addition est souvent plus intuitive et moins sujette aux erreurs de signe. Choisissez toujours la décomposition qui vous semble la plus simple.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction comme les Eurocodes ne dictent pas comment calculer les aires, car c'est une connaissance de base en géométrie. Cependant, elles fournissent des catalogues de profilés normalisés (IPE, HEA, etc.) où toutes les caractéristiques géométriques, y compris l'aire, sont déjà calculées pour l'ingénieur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'aire d'un rectangle est simplement sa base multipliée par sa hauteur.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les formes sont parfaitement géométriques (angles droits parfaits, lignes droites) et que les dimensions fournies sont exactes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Semelle (Rectangle 1) : base \(b = 200 \, \text{mm}\), hauteur \(t_f = 40 \, \text{mm}\)
- Âme (Rectangle 2) : base \(t_w = 40 \, \text{mm}\), hauteur \(h_w = 160 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs, redessinez toujours la section sur un brouillon et annotez clairement chaque sous-partie (1, 2, etc.). Cela vous aidera à visualiser les dimensions et les positions pour les étapes suivantes.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Section en T
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul des aires pour chaque rectangle.
L'aire totale de la section est la somme des deux.
Schéma (Après les calculs)
Aires des Sections Partielles
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'aire totale de 14400 mm² (soit 144 cm²) représente la quantité de matière de la section. On remarque que l'aire de la semelle (8000 mm²) est plus grande que celle de l'âme (6400 mm²), ce qui signifie que la semelle aura plus d'influence ("de poids") dans le calcul de la position du centre de gravité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune à ce stade est une simple faute de calcul ou une mauvaise lecture des cotes. Vérifiez toujours vos multiplications. Assurez-vous également que toutes vos dimensions sont dans la même unité (ici, les millimètres) avant de commencer.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Toujours commencer par décomposer la section en formes simples.
- Calculer l'aire de chaque forme simple.
- Calculer l'aire totale en sommant les aires partielles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) comme AutoCAD ou SolidWorks calculent instantanément et avec une précision extrême l'aire de n'importe quelle forme, aussi complexe soit-elle. Cependant, savoir le faire à la main est essentiel pour comprendre les principes et pour pouvoir faire des vérifications rapides.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait l'aire totale (en mm²) si la largeur de la semelle (b) était de 250 mm ?
Étape 2 : Localiser les centres de gravité partiels
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous avons nos formes simples, nous devons trouver la position de leur propre centre de gravité (G₁ et G₂). Pour un rectangle, c'est facile : son centre de gravité se trouve à l'intersection de ses diagonales, soit à la moitié de sa base et la moitié de sa hauteur. L'étape cruciale est d'exprimer les coordonnées de ces points G₁ et G₂ dans le même repère global (O, x, y) que celui défini dans l'énoncé.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le centroïde d'une forme est son barycentre géométrique. Pour un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\), ses coordonnées locales par rapport à son coin inférieur gauche sont (\(b/2\), \(h/2\)). La difficulté de l'exercice consiste à transformer ces coordonnées locales en coordonnées globales en tenant compte de la position de chaque rectangle dans le repère principal (O,x,y).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'erreur la plus fréquente est de mal définir les coordonnées par rapport au repère global. Prenez votre temps, dessinez le repère et les formes, et demandez-vous : "Quelle est la distance verticale entre l'axe des x (la base de la poutre) et le centre du rectangle 1 ? Et pour le rectangle 2 ?". C'est un simple jeu de géométrie.
Normes (la référence réglementaire)
Tout comme pour les aires, les catalogues de profilés normalisés (Eurocodes, etc.) fournissent directement la position du centre de gravité pour les sections standards, ce qui évite à l'ingénieur d'avoir à refaire ce calcul fondamental.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un rectangle, le centre de gravité local est au centre. La coordonnée globale est la somme de la position de la base du rectangle et de la moitié de sa hauteur.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section est constituée d'un matériau homogène, de sorte que le centre de gravité (point d'application du poids) coïncide avec le centroïde géométrique (barycentre de la surface).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Hauteur de l'âme, \(h_w = 160 \, \text{mm}\)
- Épaisseur de la semelle, \(t_f = 40 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La symétrie est votre meilleure amie ! Identifiez toujours les axes de symétrie en premier. Si un axe de symétrie existe, le centre de gravité se trouve forcément dessus, ce qui vous épargne la moitié des calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Localisation des Centres de Gravité Partiels
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule les coordonnées y de G₁ et G₂ par rapport à l'origine O.
Pour le rectangle 1 (semelle) : son centre est à \(t_f/2\) de sa propre base. Mais sa base se trouve à une hauteur de \(h_w = 160\) mm du sol (l'axe x). Donc :
Pour le rectangle 2 (âme) : son centre est à \(h_w/2\) de sa base, qui est directement sur l'axe x. Donc :
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées des Centres de Gravité Partiels
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les coordonnées obtenues sont logiques. Le centre de l'âme (G₂) est bien au milieu de sa hauteur (80 mm). Le centre de la semelle (G₁) est bien au-dessus, à 180 mm de la base. Ces coordonnées sont les bras de levier que nous utiliserons pour calculer les moments statiques à l'étape suivante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à la symétrie ! La section en T est symétrique par rapport à l'axe vertical y. On sait donc d'avance que le centre de gravité global G sera sur cet axe. Sa coordonnée horizontale \(x_{\text{G}}\) est donc égale à la moitié de la largeur de la semelle (100 mm). Cela nous évite un calcul complet et nous permet de nous concentrer uniquement sur la coordonnée verticale \(y_{\text{G}}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le centre de gravité d'un rectangle est en son centre géométrique.
- Il est crucial d'exprimer les coordonnées de chaque centre partiel dans un repère global commun.
- Utilisez la symétrie pour simplifier le problème.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour un triangle, le centre de gravité se situe au tiers de la hauteur à partir de la base. Cette propriété est très utile pour calculer le centroïde de sections triangulaires ou de charges réparties de forme triangulaire.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la hauteur de l'âme (\(h_w\)) était de 200 mm, quelle serait la nouvelle coordonnée \(y_1\) de la semelle ?
Étape 3 : Calculer les moments statiques et le centre de gravité global
Principe (le concept physique)
Nous avons maintenant toutes les pièces du puzzle : les aires de chaque partie (\(A_1, A_2\)) et la position de leur centre de gravité respectif (\(y_1, y_2\)). En appliquant la formule du barycentre, qui utilise les moments statiques, nous allons calculer la position moyenne pondérée. C'est cette position qui correspond au centre de gravité global G de la section en T.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule du barycentre \(y_{\text{G}} = (\sum A_i y_i) / (\sum A_i)\) vient du théorème de Varignon (ou théorème des moments). Il stipule que le moment statique de la surface totale par rapport à un axe est égal à la somme des moments statiques de ses parties constituantes par rapport à ce même axe. En posant \(S_{\text{x,tot}} = A_{\text{tot}} \cdot y_{\text{G}}\) et \(S_{\text{x,tot}} = \sum S_{\text{xi}} = \sum A_i y_i\), on retrouve directement la formule.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez une balançoire à bascule. Si deux enfants de poids différents (les aires \(A_i\)) s'assoient à des distances différentes (les positions \(y_i\)), le point d'équilibre (le centre de gravité \(y_{\text{G}}\)) ne sera pas au milieu. Il sera plus proche de l'enfant le plus lourd. C'est exactement ce que notre calcul va déterminer : le point d'équilibre géométrique de la section.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une étape fondamentale avant d'appliquer les formules de résistance et de déformation des Eurocodes. Par exemple, le calcul du moment quadratique via le théorème de Huygens (\(I = I_{\text{G}} + A \cdot d^2\)) nécessite impérativement de connaître la position exacte du centre de gravité G pour calculer la distance de transport \(d\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
On calcule d'abord les moments statiques de chaque aire par rapport à l'axe x.
Puis on applique la formule du barycentre pour trouver \(y_{\text{G}}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de supposer que le principe de superposition est valide, c'est-à-dire que les propriétés de l'ensemble peuvent être obtenues en additionnant les propriétés des parties.
Donnée(s) (des étapes précédentes)
- \(A_1 = 8000 \, \text{mm}^2\), \(y_1 = 180 \, \text{mm}\)
- \(A_2 = 6400 \, \text{mm}^2\), \(y_2 = 80 \, \text{mm}\)
- \(A_{\text{totale}} = 14400 \, \text{mm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour des sections avec de nombreuses sous-parties, il est très efficace d'organiser les calculs dans un tableau avec les colonnes suivantes : N° de la pièce, Aire \(A_i\), Coordonnée \(y_i\), Moment Statique \(A_i y_i\). Il suffit ensuite de faire la somme des colonnes "Aire" et "Moment Statique" pour appliquer la formule finale. Cela minimise les risques d'erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Point d'Équilibre G
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul des moments statiques (l'unité sera des mm³).
2. Calcul de la position du centre de gravité global \(y_{\text{G}}\).
Schéma (Après les calculs)
Position Finale du Centre de Gravité G
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le centre de gravité se trouve à 135.6 mm de la base. Comme la semelle (la partie avec la plus grande aire) est en haut, le centre de gravité est "attiré" vers le haut. Il n'est pas au milieu de la hauteur totale (qui est 200 mm), mais bien dans la partie basse de l'âme, ce qui est logique. Ce point G est maintenant la référence pour les futurs calculs de RdM (comme le moment quadratique via le théorème de Huygens).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur classique est de se tromper dans la somme des moments statiques ou de l'aire totale. L'utilisation d'un tableau, comme suggéré dans les astuces, permet de structurer le calcul et de réduire ce risque. Vérifiez toujours que votre résultat final est physiquement cohérent (par exemple, \(y_{\text{G}}\) doit être compris entre 0 et la hauteur totale de la section).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment statique total est la somme des moments statiques partiels.
- La position du centre de gravité est le moment statique total divisé par l'aire totale.
- Le résultat est une position moyenne pondérée par les aires.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les matériaux composites, le centre de gravité peut être différent du centroïde géométrique si les différentes parties de la section n'ont pas la même densité. Dans ce cas, on doit faire un barycentre pondéré par les masses (ou les poids) et non plus par les aires.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'épaisseur de l'âme (\(t_w\)) était de 80 mm au lieu de 40, où se situerait \(y_{\text{G}}\) (en mm) ? (Indice : l'âme serait plus "lourde")
Outil Interactif : Position du Centre de Gravité
Modifiez les dimensions de la section pour voir comment le centre de gravité se déplace.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le concept de centre de gravité a été étudié de manière approfondie par le mathématicien et physicien grec Archimède dès le IIIe siècle avant J.-C. Dans son traité "De l'équilibre des figures planes", il a établi les principes fondamentaux du calcul des barycentres pour de nombreuses formes géométriques, des travaux qui sont restés la référence pendant près de 2000 ans.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi le centre de gravité est-il aussi appelé "axe neutre" ?
Plus précisément, l'axe horizontal passant par le centre de gravité G est appelé l'axe neutre (ou fibre neutre). C'est l'endroit dans la section de la poutre qui n'est ni en traction, ni en compression lors de la flexion. Les fibres au-dessus de cet axe se compriment, celles en dessous s'étirent. L'axe neutre est donc la frontière où la contrainte de flexion est nulle, et sa position est fondamentale.
Que se passe-t-il si la section n'est pas symétrique horizontalement ?
Si la section n'a pas d'axe de symétrie vertical (par exemple, une section en "L"), alors il faut aussi calculer la coordonnée horizontale du centre de gravité, \(x_{\text{G}}\), en utilisant la même méthode mais avec les moments statiques par rapport à l'axe y : \(x_{\text{G}} = (\sum A_i \cdot x_i) / (\sum A_i)\).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la taille de la semelle (le rectangle du haut), le centre de gravité global G va...
2. Le moment statique d'une surface par rapport à un axe passant par son propre centre de gravité est...
- Centre de Gravité (G)
- Point géométrique d'une section où les moments statiques s'annulent. C'est le barycentre de la surface, qui sert d'origine pour le calcul des propriétés de flexion.
- Moment Statique (S)
- Grandeur qui caractérise la répartition de l'aire d'une surface par rapport à un axe. Il est calculé comme le produit de l'aire par la distance de son centroïde à l'axe. Unité : m³ ou mm³.
- Axe Neutre
- Ligne à l'intérieur d'une section de poutre fléchie où la contrainte normale est nulle. Pour une flexion simple, cet axe passe par le centre de gravité de la section.
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