Études de cas pratique

EGC

Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton

Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton Armé

Introduction au Dimensionnement des Poteaux

Le dimensionnement d'un poteau consiste à déterminer les dimensions minimales de sa section transversale (et le ferraillage associé) pour qu'il puisse résister en toute sécurité aux sollicitations qui lui sont appliquées, principalement l'effort normal de compression et éventuellement des moments fléchissants. Cet exercice se concentre sur le prédimensionnement d'un poteau carré soumis à un effort normal de compression à l'ELU, en négligeant les effets du flambement pour simplifier.

Données de l'étude

On souhaite prédimensionner un poteau carré en béton armé soumis à un effort normal de compression important à l'ELU.

Sollicitation et Matériaux :

  • Effort normal de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)) : \(2500 \, \text{kN}\)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\)

Hypothèses de dimensionnement :

  • Forme du poteau : Carrée, de côté \(b\).
  • Pourcentage d'armatures longitudinales visé (\(\rho = A_s / A_c\)) : \(1.5 \%\) (valeur courante pour un prédimensionnement)
  • On néglige les effets du second ordre (flambement) dans ce prédimensionnement.
Schéma : Section Carrée du Poteau
b = ? b = ? Section Poteau Carré

Section carrée de côté \(b\) à déterminer.

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{yd}\) pour l'acier.
  2. Exprimer la section d'acier \(A_s\) en fonction de la section de béton \(A_c\) et du pourcentage \(\rho\).
  3. Écrire l'équation de la résistance axiale de calcul (\(N_{Rd}\)) en fonction de \(A_c\), \(\rho\), \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  4. En posant la condition \(N_{Ed} = N_{Rd}\), calculer la section de béton minimale requise (\(A_{c,req}\)).
  5. En déduire la dimension minimale du côté du poteau carré (\(b_{min}\)) et choisir une dimension pratique (\(b\)) multiple de 5 cm.

Correction : Calcul des Dimensions du Poteau

Question 1 : Résistances de Calcul des Matériaux (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{21.25}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Expression de la Section d'Acier (\(A_s\))

Principe :

Le pourcentage d'armatures \(\rho\) est défini comme le rapport entre la section d'acier \(A_s\) et la section de béton \(A_c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\rho = \frac{A_s}{A_c} \implies A_s = \rho \times A_c\]
Données spécifiques :
  • Pourcentage d'armatures visé (\(\rho\)) : \(1.5 \% = 0.015\)
Expression :
\[ A_s = 0.015 \times A_c \]
Résultat Question 2 : La section d'acier est exprimée comme \(A_s = 0.015 \, A_c\).

Question 3 : Équation de la Résistance Axiale (\(N_{Rd}\))

Principe :

La résistance axiale de calcul \(N_{Rd}\) est la somme des contributions du béton et de l'acier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\]

En substituant \(A_s = \rho A_c\) :

\[N_{Rd} = A_c f_{cd} + (\rho A_c) f_{yd} = A_c (f_{cd} + \rho f_{yd})\]
Données spécifiques :
  • \(\rho = 0.015\)
  • \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\)
Équation :
\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= A_c (14.17 + 0.015 \times 434.78) \\ &= A_c (14.17 + 6.52) \\ &= A_c \times 20.69 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Note : \(N_{Rd}\) sera en N si \(A_c\) est en mm² et les contraintes en MPa (N/mm²).

Résultat Question 3 : L'équation de la résistance axiale est \(N_{Rd} \approx A_c \times 20.69 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Section de Béton Minimale Requise (\(A_{c,req}\))

Principe :

Pour assurer la sécurité, l'effort résistant doit être au moins égal à l'effort agissant. On pose donc \(N_{Rd} = N_{Ed}\) pour trouver la section minimale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} = N_{Rd} \approx A_{c,req} \times 20.69 \, \text{MPa}\] \[A_{c,req} = \frac{N_{Ed}}{20.69 \, \text{MPa}}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 2354.76 \, \text{kN} = 2354760 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{c,req} &= \frac{2354760 \, \text{N}}{20.69 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 113811 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_{c,req} \approx 1138.11 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 4 : La section de béton minimale requise est \(A_{c,req} \approx 1138 \, \text{cm}^2\).

Question 5 : Dimension Minimale et Choix Pratique (\(b\))

Principe :

Pour un poteau carré de côté \(b\), la section est \(A_c = b^2\). On calcule la dimension minimale \(b_{min}\) correspondant à \(A_{c,req}\) et on arrondit à une valeur pratique supérieure (généralement multiple de 5 cm).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_c = b^2 \implies b = \sqrt{A_c}\]
Données spécifiques :
  • \(A_{c,req} \approx 1138.11 \, \text{cm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} b_{min} &= \sqrt{1138.11 \, \text{cm}^2} \\ &\approx 33.74 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Choix pratique : On arrondit à la valeur supérieure multiple de 5 cm.

\[ b = 35 \, \text{cm} \]

Vérification avec b=35 cm : \(A_c = 35 \times 35 = 1225 \, \text{cm}^2\). \(A_s = 0.015 \times 1225 = 18.375 \, \text{cm}^2\). \(N_{Rd} = 122500 \times 14.17 + 1837.5 \times 434.78 \approx 1735825 + 798940 \approx 2534765 \, N \approx 2535 \, kN\). Comme \(N_{Rd} (2535 \, kN) > N_{Ed} (2355 \, kN)\), la section est suffisante.

Résultat Question 5 : La dimension minimale est \(b_{min} \approx 33.74 \, \text{cm}\). On choisit une dimension pratique \(b = 35 \, \text{cm}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Lors du prédimensionnement d'un poteau en compression simple, quel est l'objectif principal ?

2. Le pourcentage d'armatures longitudinales \(\rho\) influence-t-il la dimension requise du poteau ?

3. Pourquoi arrondit-on généralement la dimension calculée \(b_{min}\) à une valeur supérieure (ex: multiple de 5 cm) ?

Glossaire

Dimensionnement
Processus de détermination des dimensions et des caractéristiques (ex: ferraillage) d'un élément structural pour qu'il résiste aux sollicitations appliquées en respectant les critères de sécurité et de service.
Prédimensionnement
Estimation initiale des dimensions d'un élément structural, souvent basée sur des formules simplifiées, qui sera affinée lors des calculs détaillés.
Capacité Portante
Charge ou effort maximal qu'un élément peut supporter avant d'atteindre un état limite (rupture, instabilité).
Effort Axial de Calcul (\(N_{Ed}\))
Effort axial agissant (sollicitation) calculé à l'ELU.
Effort Axial Résistant de Calcul (\(N_{Rd}\))
Résistance axiale ultime de la section, calculée à l'ELU.
Résistance Caractéristique (\(f_{ck}, f_{yk}\))
Résistance du matériau définie statistiquement (fractile 5%).
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance du matériau utilisée pour les calculs à l'ELU (\(f_k / \gamma_m\)).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_c, \gamma_s\))
Coefficient minorant la résistance des matériaux (\(\gamma_m\)) ou majorant les actions (\(\gamma_f\)) pour assurer la sécurité.
Coefficient \(\alpha_{cc}\)
Coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance du béton.
Section d'Acier (\(A_s\))
Aire totale des sections droites des armatures longitudinales.
Section de Béton (\(A_c\))
Aire de la section brute de béton du poteau.
Pourcentage d'armatures (\(\rho\))
Rapport entre la section d'acier et la section de béton (\(\rho = A_s / A_c\)), souvent exprimé en pourcentage.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, flambement...).
Calcul des Dimensions d’un Poteau - Exercice d'Application

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