Calcul de l'effort tranchant dans une poutre
Combinaison fondamentale, aire de cisaillement, résistance plastique et élancement d'âme
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Une passerelle piétonne franchit 6,00 m sur deux poutres latérales en profilé laminé. Le dimensionnement à la flexion a conduit au choix d'un IPE 300 en acier S355, et il reste à justifier la tenue au cisaillement. Cette vérification se joue aux appuis, là où l'effort tranchant est maximal, et elle ne se réduit pas à comparer une sollicitation à une résistance : le règlement impose en réalité trois contrôles distincts, dont l'un décide si des raidisseurs d'âme sont nécessaires et l'autre si la vérification en flexion peut être conduite séparément.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Deux sollicitations, deux sections critiques : L'effort tranchant est maximal aux appuis et nul à mi-travée ; le moment fléchissant fait exactement l'inverse. Les deux vérifications ne portent donc pas sur la même section.
-
Seule l'âme cisaille : Les semelles, perpendiculaires à l'effort, n'y participent presque pas. Le règlement définit une aire de cisaillement qui les retire, et qui ne vaut ici que 48 % de l'aire de la section.
-
Résister n'est pas ne pas voiler : Une âme élancée peut voiler bien avant d'atteindre sa résistance plastique. Un taux de travail faible ne dispense donc pas de vérifier l'élancement de l'âme.
Établir l'effort tranchant de calcul aux appuis et conduire les trois vérifications que le règlement impose à une âme non raidie.
- Établir la charge : Appliquer la combinaison fondamentale à l'état limite ultime.
- Établir la sollicitation : Déterminer l'expression de l'effort tranchant et sa valeur maximale.
- Quantifier la résistance : Établir l'aire de cisaillement puis la résistance plastique de la section.
- Conduire les trois vérifications : Résistance, élancement d'âme et interaction avec le moment fléchissant.
- La charge linéique de calcul à l'état limite ultime.
- L'expression de l'effort tranchant le long de la poutre et sa valeur maximale.
- L'aire de cisaillement du profilé et sa résistance plastique au cisaillement.
- Les trois vérifications réglementaires et la conclusion sur la nécessité de raidisseurs.
Les charges sont fournies par leurs valeurs caractéristiques, séparées en permanentes et d'exploitation : c'est sous cette forme qu'une combinaison peut leur être appliquée. Les caractéristiques du profilé sont celles du catalogue du producteur ; on notera que l'aire de cisaillement n'y figure pas comme une donnée indépendante — elle se construit à partir des dimensions, et le calcul permettra de la contrôler.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Combinaison fondamentale à l'ELU \( \sum \gamma_{\text{G}} G_{\text{k}} + \gamma_{\text{Q}} Q_{\text{k,1}} + \sum \gamma_{\text{Q}} \psi_0 Q_{\text{k,i}} \)
- Effort tranchant maximal, poutre bi-appuyée \( V_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}}\,L}{2} \)
- Aire de cisaillement, profilé laminé en I \( A_{\text{v}} = A - 2\,b\,t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \)
- Résistance plastique au cisaillement \( V_{\text{pl,Rd}} = \dfrac{A_{\text{v}}\,f_{\text{y}}}{\sqrt{3}\;\gamma_{\text{M0}}} \)
- Élancement d'âme sans raidisseurs \( h_{\text{w}}/t_{\text{w}} \le 58 \) en S355
- Interaction négligeable \( V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl,Rd}} \)
La poutre : géométrie du profilé et matériau
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( L \) | Portée entre appuis | 6,00 | m |
| \( A \) | Aire de la section transversale du profilé IPE 300 | 53,8 | cm² |
| \( h_{\text{w}} \) | Hauteur de l'âme entre semelles, égale à la hauteur totale diminuée des deux épaisseurs de semelle | 278,6 | mm |
| \( t_{\text{w}} \) | Épaisseur de l'âme — c'est elle qui reprend le cisaillement | 7,1 | mm |
| \( t_{\text{f}} \) | Épaisseur des semelles | 10,7 | mm |
| \( r \) | Rayon des congés de raccordement entre âme et semelles | 15 | mm |
| \( f_{\text{y}} \) | Limite d'élasticité minimale de l'acier S355 pour une épaisseur nominale t ≤ 16 mm — l'âme mesure 7,1 mm et les semelles 10,7 mm EN 10025-2 | 355 | MPa |
| \( \gamma_{\text{M0}} \) | Coefficient partiel de résistance des sections, quelle que soit la classe EN 1993-1-1 § 6.1(1) | 1,00 | — |
- Poutre isostatique : réactions par la seule statique
- Chargement symétrique : \( V \) maximal aux deux appuis
- Âme non raidie : élancement à vérifier
Les actions et leurs coefficients partiels
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( g_{\text{k}} \) | Charge permanente caractéristique : poids propre, platelage et garde-corps | 4,0 | kN/m |
| \( q_{\text{k}} \) | Charge d'exploitation caractéristique représentant la foule — seule action variable de l'étude | 5,0 | kN/m |
| \( \gamma_{\text{G}} \) | Coefficient partiel des actions permanentes, effet défavorable EN 1990, tableau A1.2(B) | 1,35 | — |
| \( \gamma_{\text{Q}} \) | Coefficient partiel des actions variables, effet défavorable EN 1990, tableau A1.2(B) | 1,50 | — |
- Une seule action variable : aucun terme d'accompagnement
- Effets défavorables : coefficients majorateurs retenus
- Critère à satisfaire : \( V_{\text{Ed}} \le V_{\text{pl,Rd}} \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Les trois vérifications que le règlement impose au cisaillement| Vérification | Critère |
|---|---|
| Résistance de la section | \( V_{\text{Ed}}/V_{\text{pl,Rd}} \le 1{,}0 \) |
| Élancement de l'âme | \( h_{\text{w}}/t_{\text{w}} \le 58 \) en S355 |
| Interaction avec le moment | \( V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl,Rd}} \) |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
L'étude suit l'ordre imposé par la démarche réglementaire : on établit d'abord la charge de calcul, on en déduit la sollicitation, on quantifie ensuite ce que la section peut reprendre, et l'on conduit enfin les trois vérifications qui, ensemble seulement, justifient la solution.
Question 1 : Charge de calcul à l'état limite ultime
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La combinaison fondamentale affecte chaque catégorie d'action de son propre coefficient partiel.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Combien d'actions variables l'énoncé comporte-t-il ? La réponse détermine si un terme d'accompagnement subsiste.
Question 2 : Effort tranchant maximal
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Coupez la poutre à l'abscisse x et faites le bilan des forces verticales situées à gauche de la coupure.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant : il s'annule là où celui-ci est maximal.
Question 3 : Aire de cisaillement et résistance plastique
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Toute la section ne participe pas au cisaillement : les semelles, perpendiculaires à l'effort, n'y contribuent presque pas.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La résistance au cisaillement d'un matériau ductile n'est pas sa limite d'élasticité, mais celle-ci divisée par la racine de trois.
Question 4 (Finale) : Les trois vérifications réglementaires
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La hauteur d'âme à considérer est la hauteur entre semelles, non la hauteur hors-tout du profilé.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La limite d'élancement dépend de la nuance d'acier : un acier plus résistant est plus exposé au voilement.
Calcul de l'effort tranchant dans une poutre
"Les charges de l'énoncé sont caractéristiques : ce sont des valeurs estimées, non des valeurs de calcul. Avant toute vérification de résistance, je dois leur appliquer la combinaison que le règlement prescrit, et cette combinaison n'affecte pas les deux catégories du même coefficient."
- Ce que je cherche : La charge linéique de calcul, seule grandeur qu'il soit légitime de confronter à une résistance de calcul.
- Ce que j'applique : La combinaison fondamentale de l'EN 1990 § 6.4.3.2, expression (6.10), qui pondère chaque catégorie d'action selon son incertitude propre.
- Ce que je vérifie : Le nombre d'actions variables, car il décide de la présence ou non d'un terme d'accompagnement.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
L'état limite ultime vérifie que la structure ne se ruine pas. Les charges y sont majorées par des coefficients partiels qui couvrent l'écart défavorable entre les valeurs supposées et les valeurs réelles — un poids propre plus lourd que prévu, une surcharge exceptionnelle. Ces coefficients diffèrent selon la nature de l'action.
Deux relations sont mobilisées : l'expression générale de la combinaison fondamentale, puis sa réduction au cas d'une action variable unique.
Étape 1 — Combinaison fondamentale à l'état limite ultime :Elle donne l'effet des actions à considérer pour une vérification de résistance.
Cette expression ne se démontre pas : elle est posée par le règlement, qui la définit comme la règle de cumul des actions applicable aux états limites ultimes. Ce qui s'explique, en revanche, est le raisonnement dont elle procède. Chaque catégorie d'action porte une incertitude propre : le poids propre se calcule à partir de dimensions et de masses volumiques connues, alors qu'une charge d'exploitation dépend d'un usage futur imprévisible. Les coefficients partiels traduisent cette différence. Par ailleurs, il serait excessivement pessimiste de supposer que toutes les actions variables atteignent simultanément leur valeur rare : une seule est retenue à pleine valeur, les autres étant réduites par un coefficient de combinaison.
- \( E_{\text{d}} \) : effet des actions de calcul, unité : kN/m
- \( G_{\text{k,j}} \) : valeur caractéristique de l'action permanente de rang j, unité : kN/m
- \( Q_{\text{k,1}} \) : valeur caractéristique de l'action variable dominante, unité : kN/m
- \( \psi_{0,i} \) : coefficient de combinaison de l'action variable d'accompagnement, unité : —
Elle donne l'expression effectivement applicable à cette poutre.
L'énoncé ne comporte qu'une seule action variable, la charge d'exploitation représentant la foule. Elle est donc nécessairement l'action dominante, et la somme des termes d'accompagnement porte sur un ensemble vide : elle est nulle. De même, une seule action permanente est recensée. Il ne subsiste donc que deux termes, chacun affecté de son coefficient partiel. Le coefficient de combinaison n'intervient pas, ce qui n'est pas une règle générale mais la conséquence d'une particularité de l'énoncé.
- \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : kN/m
- \( g_{\text{k}} \) : charge permanente caractéristique, unité : kN/m
- \( q_{\text{k}} \) : charge d'exploitation caractéristique, unité : kN/m
"Employer directement la somme des charges caractéristiques, soit 9,0 kN/m, sans appliquer les coefficients partiels."
- Ce que les coefficients couvrent : L'écart défavorable entre les charges supposées et les charges réelles — un poids propre supérieur au théorique, une surcharge exceptionnelle. Les omettre revient à supposer que les estimations sont exactes, ce qu'aucun règlement n'admet pour une vérification de ruine.
- Ce que l'erreur change numériquement : La charge annoncée serait 9,0 kN/m au lieu de 12,90, soit 30 % de moins. L'effort tranchant tomberait à 27,0 kN au lieu de 38,70, et toutes les vérifications qui suivent seraient conduites sur une sollicitation sous-estimée d'un tiers.
- Comment on l'évite : En écrivant la combinaison retenue avant d'y injecter des nombres, et en la nommant. Une expression portant explicitement les coefficients ne peut pas être confondue avec une simple somme.
Exécution de la Note de Calculs
- Les deux charges sont exprimées en kilonewtons par mètre.
- Les coefficients partiels sont sans dimension.
- Le résultat est donc une charge linéique, en kilonewtons par mètre.
La combinaison étant établie, la charge de calcul se déduit de deux produits et d'une addition.
1. Résolution Numérique Calcul de la charge linéique de calculPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est cette charge, et non les valeurs caractéristiques séparées, qui sollicite la poutre à l'état limite ultime et qui déterminera l'effort tranchant.
On multiplie chaque charge caractéristique par son coefficient partiel, puis on additionne les deux contributions.
- Données employées : \( g_{\text{k}} = 4{,}0 \text{ kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \), et \( q_{\text{k}} = 5{,}0 \text{ kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \).
- Combinaison appliquée : Combinaison fondamentale de l'EN 1990 § 6.4.3.2, expression (6.10), réduite à deux termes faute de seconde action variable.
La charge de calcul atteint 12,90 kN/m, contre 9,0 kN/m en valeurs caractéristiques : la majoration globale est de 43 %. Cette valeur intermédiaire entre 35 % et 50 % reflète la proportion des deux catégories d'action dans le chargement.
- Contrôle par encadrement : \( 1{,}35 \times 9{,}0 = 12{,}15 \) et \( 1{,}50 \times 9{,}0 = 13{,}50 \). La charge obtenue, 12,90, est bien comprise entre ces deux bornes, comme elle doit l'être.
- Part des deux catégories : \( 7{,}50/12{,}90 = 0{,}58 \) : la charge d'exploitation fournit 58 % de la charge de calcul, contre 56 % des charges caractéristiques. Son coefficient plus élevé accroît légèrement son poids relatif.
Remarque pédagogique : Le rapport de majoration, 1,43, dépend de la répartition entre permanent et variable. Une structure lourde portant une charge d'exploitation modeste serait majorée d'un facteur plus proche de 1,35 ; une structure légère fortement chargée, plus proche de 1,50. Ce n'est donc pas un coefficient à mémoriser mais un résultat à recalculer.
"Il me faut l'effort tranchant, et surtout la section où il est maximal. Je vais établir son expression le long de la poutre plutôt que d'invoquer un résultat connu, car c'est cette expression qui montre où se situe le maximum — et l'on verra que ce n'est pas là où le moment est critique."
- Ce que je cherche : L'expression de l'effort tranchant en toute abscisse, puis sa valeur maximale et la section correspondante.
- Ce que j'exploite : La symétrie du chargement, qui donne les réactions d'appui sans écrire l'équation des moments.
- Ce que je remarque : Que l'effort tranchant s'annule exactement là où le moment fléchissant est maximal — les deux sollicitations sont extrêmes en des sections opposées.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
L'effort tranchant en une section est la somme algébrique des forces verticales situées d'un même côté de la coupure. Pour une poutre bi-appuyée uniformément chargée, ce bilan comporte deux termes : la réaction d'appui, dirigée vers le haut, et la part de charge déjà rencontrée, dirigée vers le bas.
Deux relations sont mobilisées : l'expression de l'effort tranchant en une section quelconque, puis sa valeur maximale.
Étape 1 — Effort tranchant en une section quelconque :Il décrit la sollicitation de cisaillement tout au long de la travée.
On coupe la poutre à l'abscisse considérée et l'on fait le bilan des forces verticales situées à gauche de la coupure. La réaction d'appui, égale à la moitié de la charge totale par symétrie, agit vers le haut. La part de charge répartie déjà rencontrée vaut le produit de l'intensité par l'abscisse et agit vers le bas. La différence est l'effort tranchant, fonction affine de l'abscisse.
- \( V(x) \) : effort tranchant à l'abscisse x, unité : kN
- \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul, unité : kN/m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
- \( x \) : abscisse mesurée depuis l'appui gauche, unité : m
Il donne la valeur qui sera confrontée à la résistance de la section.
L'expression obtenue est une fonction affine décroissante de l'abscisse : sa valeur absolue est donc maximale à l'une des deux extrémités de l'intervalle. En substituant l'abscisse nulle, on obtient directement la valeur à l'appui gauche, qui est aussi, au signe près, celle de l'appui droit. Le maximum se situe donc aux appuis, et il vaut la moitié de la charge totale portée par la travée.
- \( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant maximal de calcul, unité : kN
- \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul, unité : kN/m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
"Chercher l'effort tranchant maximal à mi-travée, là où le moment fléchissant est le plus grand."
- Pourquoi les deux maxima sont opposés : L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant. Là où le moment est extrême, sa dérivée s'annule : l'effort tranchant y est nul. Inversement, aux appuis simples, le moment est nul et sa pente maximale. Les deux sollicitations sont donc extrêmes en des sections opposées, et c'est une conséquence mathématique, non une coïncidence.
- Ce que l'erreur produit : L'expression évaluée à mi-travée donne \( 12{,}90 \times (3{,}00 - 3{,}00) = 0 \text{ kN} \). On conclurait qu'aucun cisaillement ne sollicite la poutre et qu'aucune vérification n'est nécessaire — alors que 38,70 kN traversent l'âme au droit de chaque appui.
- Comment on l'évite : En traçant le diagramme plutôt qu'en évaluant l'expression en un point choisi d'avance. Une droite décroissante atteint nécessairement ses valeurs extrêmes aux extrémités de l'intervalle, jamais en son milieu.
Exécution de la Note de Calculs
- La charge de calcul est en kilonewtons par mètre et la portée en mètres.
- Leur produit est une force, en kilonewtons.
- La division par deux ne modifie pas l'unité.
- La conversion en newtons, nécessaire à la comparaison avec la résistance, est une multiplication par \( 10^3 \).
L'application numérique porte sur l'expression du maximum établie ci-dessus.
1. Résolution Numérique Calcul de l'effort tranchant maximalPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette valeur est la sollicitation de référence de toute la vérification : c'est elle qui sera confrontée à la résistance de la section.
On multiplie la charge de calcul par la portée, puis on divise par deux.
- Données employées : \( p_{\text{Ed}} = 12{,}90 \text{ kN/m} \), établie à la question précédente, et \( L = 6{,}00 \text{ m} \).
- Section concernée : Les deux appuis, où la valeur absolue de l'effort tranchant est maximale.
Chaque appui reprend 38,70 kN, soit environ quatre tonnes. La charge totale portée par la travée s'élève à 77,40 kN, et cet effort transite intégralement par l'âme du profilé au voisinage immédiat des appuis.
- Contrôle d'équilibre : \( 38{,}70 \times 2 = 77{,}40 \text{ kN} \) : la somme des deux réactions restitue exactement la charge portée.
- Sensibilité à la portée : L'effort tranchant est proportionnel à la portée : une travée de 8,00 m au lieu de 6,00 le porterait à 51,60 kN, soit 33 % de plus. Le moment, lui, croîtrait de 78 %.
Remarque pédagogique : Cette dernière observation explique pourquoi le cisaillement est rarement dimensionnant pour une poutre de bâtiment. L'effort tranchant croît comme la portée, le moment comme son carré : plus la travée s'allonge, plus la flexion domine. Le cisaillement redevient critique sur les poutres courtes et fortement chargées, où le rapport s'inverse.
"Toute la section ne reprend pas le cisaillement. Les semelles sont horizontales, l'effort est vertical : elles n'y contribuent presque pas. Je dois donc établir l'aire réellement mobilisée avant de calculer une résistance, et cette aire n'est pas dans le catalogue sous forme immédiate."
- Ce que je cherche : L'aire de cisaillement du profilé, puis la résistance plastique que la section oppose au cisaillement.
- Ce que je retire : Les deux semelles, tout en conservant les congés de raccordement, qui prolongent l'âme et travaillent avec elle.
- Ce que je remarque : Que la résistance au cisaillement d'un matériau ductile n'est pas sa limite d'élasticité mais celle-ci divisée par la racine de trois.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un profilé en I n'oppose pas toute sa section à un effort tranchant vertical. La répartition réelle du cisaillement se concentre dans l'âme, dont le plan contient la direction de l'effort ; les semelles, perpendiculaires, ne reprennent qu'une part marginale. Le règlement traduit ce fait par une aire réduite.
Deux relations sont mobilisées : l'aire de cisaillement du profilé laminé, puis la résistance plastique qu'elle permet d'établir.
Étape 1 — Aire de cisaillement d'un profilé laminé en I :Elle donne la part de section qui reprend effectivement l'effort tranchant.
Cette expression est posée par le règlement : c'est une formule conventionnelle, calibrée pour représenter l'aire efficace au cisaillement d'un profilé laminé, et non une décomposition géométrique exacte. Ses trois termes s'interprètent néanmoins clairement. Le premier est l'aire totale de la section. Le deuxième en retire les deux semelles sur toute leur largeur, celles-ci étant perpendiculaires à l'effort et leur contribution au cisaillement vertical étant négligée. Le troisième restitue une part de la matière située au droit de la jonction entre l'âme et les semelles, là où les congés de raccordement élargissent l'âme et travaillent avec elle. Le résultat se situe entre l'aire de l'âme entre semelles et cette même aire notablement majorée, ce que l'application numérique permettra de contrôler.
- \( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, unité : mm²
- \( A \) : aire totale de la section transversale, unité : mm²
- \( b \) : largeur des semelles, unité : mm
- \( r \) : rayon des congés de raccordement, unité : mm
Elle donne l'effort tranchant que la section peut reprendre en plastification complète.
Un état de cisaillement pur équivaut à un état de traction et de compression égales et perpendiculaires, inclinées à quarante-cinq degrés. Le critère de plastification employé pour les aciers de construction conduit, dans cet état, à une contrainte de cisaillement limite valant la limite d'élasticité divisée par la racine de trois. La résistance plastique de la section est alors le produit de cette contrainte limite par l'aire de cisaillement, le tout ramené à une valeur de calcul par le coefficient partiel de résistance.
- \( V_{\text{pl,Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : N
- \( \tau_{\text{y}} \) : contrainte de cisaillement provoquant la plastification, unité : MPa
- \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : —
"Employer l'aire totale de la section, soit 5 380 mm², au lieu de l'aire de cisaillement."
- Pourquoi les semelles ne comptent pas : Le cisaillement vertical est repris par la matière dont le plan contient la direction de l'effort. C'est le cas de l'âme, verticale ; ce n'est pas celui des semelles, horizontales. Une semelle peut certes reprendre un cisaillement, mais dans son propre plan, c'est-à-dire horizontalement — ce qui ne concerne pas l'effort étudié ici.
- Ce que l'erreur change numériquement : La résistance annoncée serait \( 5\,380 \times 355/(1{,}7321 \times 1{,}00) = 1\,102\,700 \text{ N} \), soit 1 102,7 kN au lieu de 526,17 — 2,1 fois trop. Sur cette poutre, la conclusion resterait favorable ; sur une poutre où le cisaillement serait dimensionnant, on validerait une section insuffisante.
- Comment on la détecte : Par un contrôle immédiat : l'aire de cisaillement doit être voisine de l'aire de l'âme. Celle-ci vaut \( 278{,}6 \times 7{,}1 = 1\,978 \text{ mm}^2 \), et l'aire de cisaillement, 2 567 mm², la dépasse d'un tiers du fait des congés. L'aire totale, 2,7 fois plus grande que l'aire de l'âme, ne peut manifestement pas jouer ce rôle.
Exécution de la Note de Calculs
- Les dimensions du profilé sont en millimètres, les aires en millimètres carrés.
- L'aire du catalogue est en centimètres carrés : \( 1 \text{ cm}^2 = 10^2 \text{ mm}^2 \).
- La limite d'élasticité est en newtons par millimètre carré.
- Une aire multipliée par une contrainte donne des newtons ; la conversion en kilonewtons est une division par \( 10^3 \).
L'aire de cisaillement est établie d'abord et contrôlée, puis la résistance plastique en découle.
1. Résolution Numérique Calcul de l'aire de cisaillementPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est cette aire, et non celle de la section, qui reprend effectivement l'effort tranchant : la résistance en dépend directement.
On convertit l'aire du catalogue en millimètres carrés, on retire les deux semelles, puis on restitue la matière des congés.
- Données employées : \( A = 53{,}8 \text{ cm}^2 = 5\,380 \text{ mm}^2 \), \( b = 150 \text{ mm} \), \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \text{ mm} \), \( t_{\text{w}} = 7{,}1 \text{ mm} \) et \( r = 15 \text{ mm} \).
- Contrôle prévu : Comparaison avec l'aire de l'âme seule et avec la valeur que le catalogue publie directement.
L'aire de cisaillement vaut 2 567 mm², soit 48 % de l'aire de la section. Plus de la moitié de la matière du profilé ne participe donc pas à la reprise de l'effort tranchant vertical.
- Concordance avec le catalogue : Le catalogue du producteur publie une aire de cisaillement de 25,68 cm², soit 2 568 mm². Le calcul en donne 2 566,97 : l'écart, d'un millimètre carré, tient au seul arrondi des dimensions publiées.
- Part des congés : L'aire de l'âme seule vaut \( 278{,}6 \times 7{,}1 = 1\,978 \text{ mm}^2 \). Les congés de raccordement ajoutent donc près de 30 %, contribution loin d'être négligeable.
Remarque pédagogique : Le fait que le calcul restitue la valeur du catalogue n'est pas une simple vérification arithmétique : il montre que l'aire de cisaillement publiée est le résultat de cette expression, et non une grandeur mesurée indépendamment. Le producteur ne fait que tabuler, pour la commodité du calculateur, un résultat que chacun pourrait établir.
Calcul de la résistance plastique au cisaillementPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur que le règlement oppose à l'effort tranchant appliqué : elle est le terme de comparaison de la vérification.
On applique l'expression établie, avec l'aire de cisaillement, la limite d'élasticité de la nuance et le coefficient partiel de résistance.
- Données employées : \( A_{\text{v}} = 2\,567 \text{ mm}^2 \), \( f_{\text{y}} = 355 \text{ MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
- Valeur du facteur : \( \sqrt{3} = 1{,}7321 \), qui traduit la moindre résistance de l'acier au cisaillement.
La section peut reprendre 526,17 kN en cisaillement, soit près de cinquante-quatre tonnes. Cette capacité est considérable au regard des 38,70 kN appliqués, ce qui laisse présager un taux de travail très faible.
- Contrôle par la contrainte : \( 526\,173/2\,567 = 204{,}98 \text{ MPa} \), à comparer à \( 355/1{,}7321 = 204{,}96 \text{ MPa} \) : le calcul inverse restitue la contrainte limite de cisaillement.
- Ce que le facteur coûte : \( 1/1{,}7321 = 0{,}577 \) : l'acier ne mobilise en cisaillement que 58 % de sa limite d'élasticité. Une section vérifiée en traction ne l'est donc pas automatiquement en cisaillement.
Remarque pédagogique : Cette résistance est plastique : elle suppose que toute l'aire de cisaillement atteint simultanément la contrainte limite. L'hypothèse est légitime pour un matériau ductile, mais elle exige que l'âme ne perde pas sa stabilité avant d'y parvenir — ce que la question suivante vérifiera.
"La comparaison de l'effort appliqué à la résistance donnera manifestement un taux très faible. Il serait pourtant fautif de conclure là-dessus : la résistance plastique suppose que l'âme plastifie, ce qui n'arrive que si elle ne voile pas avant. Et une poutre subit simultanément flexion et cisaillement, ce qui appelle un troisième contrôle."
- Ce que je vérifie d'abord : Le critère de résistance, qui confronte l'effort appliqué à la résistance plastique.
- Ce que je vérifie ensuite : L'élancement de l'âme, car un taux faible ne dit rien du risque de voilement — ce sont deux modes de ruine distincts.
- Ce que je vérifie enfin : L'interaction avec le moment fléchissant, condition qui autorise à mener les deux vérifications séparément.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Justifier une section au cisaillement ne se réduit pas à un rapport de deux nombres. Le règlement impose trois contrôles, qui portent sur des phénomènes physiquement différents et dont aucun ne dispense des autres.
Trois relations sont mobilisées, une par vérification. Elles sont présentées séparément car elles portent sur des phénomènes indépendants.
Vérification 1 — Critère de résistance au cisaillement :Il écarte la plastification de l'âme sous l'effort tranchant appliqué.
Le principe des états limites impose que l'effet des actions de calcul n'excède pas la résistance de calcul correspondante. Appliqué au cisaillement, il conduit à comparer l'effort tranchant à la résistance plastique établie précédemment. En divisant les deux membres de cette inégalité par la résistance, laquelle est strictement positive, on obtient un rapport adimensionnel qui doit rester inférieur à un.
- \( \text{UR} \) : taux de sollicitation au cisaillement, unité : —
- \( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, unité : kN
- \( V_{\text{pl,Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : kN
Il écarte le voilement de l'âme avant qu'elle n'atteigne sa plastification.
Le cisaillement d'une âme équivaut à des tractions et des compressions inclinées à quarante-cinq degrés. Les compressions peuvent faire flamber l'âme hors de son plan, phénomène d'autant plus probable que celle-ci est haute et mince. Le règlement écarte ce risque en limitant le rapport de la hauteur d'âme à son épaisseur. Cette limite dépend de la nuance : un acier plus résistant atteint des contraintes plus élevées avant de plastifier, donc des compressions inclinées plus fortes, et se trouve plus exposé au voilement. C'est pourquoi la limite passe de 66 pour le S275 à 58 pour le S355.
- \( h_{\text{w}} \) : hauteur de l'âme entre semelles, unité : mm
- \( h \) : hauteur hors-tout du profilé, unité : mm
- \( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme, unité : mm
- \( t_{\text{f}} \) : épaisseur des semelles, unité : mm
Elle établit si le cisaillement réduit le moment résistant de la section.
Le cisaillement mobilise une part de la capacité de l'acier, qui n'est plus disponible pour reprendre les contraintes normales de flexion. Le moment résistant s'en trouve donc réduit, et le règlement traduit cette réduction en abaissant la limite d'élasticité de l'aire de cisaillement. Cette réduction reste toutefois faible tant que l'effort tranchant est modéré : l'EN 1993-1-1 § 6.2.8(2) établit qu'elle peut être négligée en deçà de la moitié de la résistance plastique. C'est cette condition qui autorise à conduire les vérifications de flexion et de cisaillement indépendamment l'une de l'autre.
- \( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, unité : kN
- \( V_{\text{pl,Rd}} \) : résistance plastique au cisaillement, unité : kN
- \( M_{\text{c,Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : kN·m
"Conclure qu'aucun raidisseur d'âme n'est nécessaire au seul motif que le taux de sollicitation au cisaillement est faible."
- Pourquoi le taux ne renseigne pas sur le voilement : La plastification dépend de la quantité de matière qui reprend l'effort ; le voilement dépend de la géométrie de l'âme, c'est-à-dire du rapport de sa hauteur à son épaisseur. Le critère de l'EN 1993-1-1 § 6.2.6(6) ne fait d'ailleurs intervenir aucune sollicitation : il est purement géométrique. Une âme trop élancée reste donc à vérifier au voilement même sous un effort tranchant nul.
- Ce que l'omission produit : Sur ce profilé, l'élancement vaut 39,2 pour une limite de 58 : la conclusion est favorable, mais elle n'était pas acquise d'avance. Une âme de 5 mm d'épaisseur pour la même hauteur donnerait un élancement de 55,7, encore admissible ; une âme de 4,5 mm porterait ce rapport à 61,9 et dépasserait la limite, imposant une vérification selon l'EN 1993-1-5 — alors que le taux de sollicitation resterait dérisoire.
- Comment on l'évite : En conduisant la vérification d'élancement systématiquement, et non seulement lorsque le taux de sollicitation paraît élevé. Sur un profilé laminé courant, elle est presque toujours satisfaite ; sur une poutre reconstituée soudée, dont l'âme est volontairement mince, elle devient le critère déterminant.
Exécution de la Note de Calculs
- Les efforts sont en kilonewtons et les taux sans dimension.
- Les hauteurs et épaisseurs sont en millimètres.
- L'élancement, rapport de deux longueurs, est un nombre sans dimension.
Les trois vérifications sont conduites successivement, chacune faisant l'objet d'un calcul distinct.
1. Résolution Numérique Vérification 1 — Taux de sollicitation au cisaillementPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le critère premier : il établit si la section peut reprendre l'effort appliqué sans plastifier.
On divise l'effort tranchant de calcul par la résistance plastique au cisaillement.
- Données employées : \( V_{\text{Ed}} = 38{,}70 \text{ kN} \) et \( V_{\text{pl,Rd}} = 526{,}17 \text{ kN} \).
- Critère à satisfaire : Le rapport doit rester inférieur ou égal à un.
Le taux de sollicitation s'établit à 0,0736 : la section n'utilise que 7,4 % de sa capacité au cisaillement. Le critère est très largement satisfait.
- Verdict : \( 0{,}0736 \le 1{,}00 \) : la vérification de résistance au cisaillement est satisfaite avec un facteur treize de réserve.
- Ce que ce chiffre signifie : Il ne s'agit pas d'un surdimensionnement mais d'une conséquence normale : le profilé a été choisi pour la flexion, et le cisaillement croît comme la portée quand le moment croît comme son carré.
Remarque pédagogique : Un taux aussi faible pourrait laisser croire la vérification superflue. Elle ne l'est pas : c'est précisément parce qu'on l'a conduite que l'on sait qu'elle est satisfaite. Sur une poutre courte et fortement chargée — une console de reprise, un sommier —, le rapport s'inverserait et le cisaillement deviendrait dimensionnant.
Vérification 2 — Élancement de l'âmePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance plastique employée à la vérification précédente suppose que l'âme plastifie effectivement, ce qui n'arrive que si elle ne voile pas avant.
On calcule la hauteur d'âme entre semelles, on la rapporte à l'épaisseur d'âme, puis on compare le résultat à la limite propre à la nuance.
- Données employées : \( h = 300 \text{ mm} \), \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \text{ mm} \) et \( t_{\text{w}} = 7{,}1 \text{ mm} \).
- Limite applicable : 58 pour l'acier S355, conformément à l'EN 1993-1-1 § 6.2.6(6).
L'élancement de l'âme vaut 39,24, très inférieur à la limite de 58 applicable à l'acier S355. Le voilement par cisaillement est donc écarté, et aucun raidisseur d'âme intermédiaire n'est nécessaire.
- Marge disponible : \( 39{,}24/58 = 0{,}68 \) : l'élancement consomme 68 % de la limite admise. La marge est confortable mais pas illimitée.
- Cohérence de la limite : \( 72 \times \sqrt{235/355} = 72 \times 0{,}814 = 58{,}6 \), arrondi à 58 par le règlement. La même construction donne 66,6 pour le S275, arrondi à 66 : les deux valeurs procèdent bien de la même règle.
Remarque pédagogique : C'est cette vérification, et elle seule, qui justifie la conclusion sur les raidisseurs. Le critère étant purement géométrique, il ne dépend d'aucune sollicitation : le taux de 7,4 % établi précédemment n'y aurait apporté aucune réponse.
Vérification 3 — Interaction avec le moment fléchissantPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification en flexion est conduite séparément, ce qui n'est légitime que si le cisaillement ne réduit pas le moment résistant.
On compare l'effort tranchant de calcul à la moitié de la résistance plastique au cisaillement.
- Données employées : \( V_{\text{Ed}} = 38{,}70 \text{ kN} \) et \( V_{\text{pl,Rd}} = 526{,}17 \text{ kN} \).
- Condition applicable : Celle de l'EN 1993-1-1 § 6.2.8(2), sous réserve que le voilement ne réduise pas la résistance de la section — point acquis à la vérification précédente.
Le seuil s'établit à 263,09 kN, très largement supérieur aux 38,70 kN appliqués. L'effet du cisaillement sur le moment résistant peut donc être négligé, et la vérification en flexion peut être conduite sans réduction du moment résistant.
- Verdict : \( 38{,}70 \le 263{,}09 \) : la condition est satisfaite avec un facteur près de sept. Les deux vérifications peuvent être découplées.
- Ordre logique des trois contrôles : Cette troisième vérification suppose la deuxième acquise, le règlement réservant la dispense au cas où le voilement ne réduit pas la résistance. L'ordre dans lequel les contrôles sont menés n'est donc pas indifférent.
Remarque pédagogique : Cette condition est celle qui légitime une pratique universelle : vérifier la flexion à mi-travée et le cisaillement aux appuis, comme s'il s'agissait de deux problèmes séparés. Ce découplage n'a rien d'évident — les deux sollicitations coexistent en toute section — et il n'est autorisé que parce que le cisaillement reste modéré là où le moment est critique.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
La combinaison fondamentale de l'EN 1990 § 6.4.3.2, expression (6.10), réduite à deux termes en l'absence de seconde action variable, conduit à une charge de calcul de 12,90 kN/m. L'effort tranchant, établi par bilan des forces à gauche d'une coupure, décroît linéairement de la valeur maximale \( p_{\text{Ed}} L/2 \) à l'appui gauche jusqu'à son opposée à l'appui droit : il atteint donc 38,70 kN aux appuis et s'annule à mi-travée. L'aire de cisaillement du profilé, établie par l'EN 1993-1-1 § 6.2.6(3), vaut 2 567 mm² — soit 48 % de la section, la valeur calculée coïncidant avec les 25,68 cm² du catalogue. La résistance plastique au cisaillement s'élève alors à 526,17 kN. Les trois vérifications réglementaires sont satisfaites : le taux de sollicitation atteint 0,074 ; l'élancement d'âme vaut 39,24 pour une limite de 58 en acier S355, ce qui écarte le voilement et dispense de tout raidisseur ; et l'effort tranchant reste très inférieur au seuil de 263,09 kN au-delà duquel le moment résistant devrait être réduit.
Trois enseignements se dégagent. Le premier concerne la localisation des vérifications. L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant : là où l'un est extrême, l'autre s'annule. Les deux sollicitations sont donc critiques en des sections opposées, et chercher le cisaillement à mi-travée — là où l'on vérifie habituellement la flexion — donnerait exactement zéro. Ce n'est pas une coïncidence mais une conséquence mathématique. Le deuxième porte sur ce que la section mobilise réellement : les semelles, perpendiculaires à l'effort, n'y participent pas, et l'aire de cisaillement ne vaut que 48 % de l'aire du profilé. Employer l'aire totale surestimerait la résistance d'un facteur 2,1, dans le sens de l'insécurité. On notera au passage que l'acier ne mobilise en cisaillement que 58 % de sa limite d'élasticité : une section vérifiée en traction ne l'est pas automatiquement en cisaillement. Le troisième est le plus important et concerne l'indépendance des modes de ruine. Un taux de sollicitation de 7,4 % ne dit rien du risque de voilement, car le critère d'élancement de l'EN 1993-1-1 § 6.2.6(6) ne fait intervenir aucune sollicitation : il est purement géométrique. Sur ce profilé laminé, l'élancement de 39,24 laisse une marge confortable, mais une âme de 4,5 mm pour la même hauteur atteindrait 61,9 et dépasserait la limite — imposant une vérification au voilement alors même que le taux resterait dérisoire. C'est pourquoi conclure « pas de raidisseurs » exige d'avoir conduit ce contrôle, et non d'avoir constaté que la section était peu chargée.
