Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré le bureau d'études structures "SteelSolution", reconnu pour ses ouvrages d'art urbains en région Rhône-Alpes. La ville de Lyon, dans le cadre de sa politique de mobilité douce, a lancé un appel d'offres pour la construction de la passerelle "Horizon". Cet ouvrage de franchissement piétonnier permettra de relier les deux rives d'un cours d'eau renaturé au cœur du nouveau parc urbain de Gerland. L'architecte mandataire a conçu une structure métallique à l'esthétique minimaliste et aérienne, reposant discrètement sur deux culées en béton armé existantes, vestiges d'un ancien ouvrage industriel.
La structure porteuse principale est constituée de deux poutres latérales en acier (profilés IPE) qui supportent le platelage en bois exotique (Ipé) et les garde-corps vitrés. Le site, soumis à une forte humidité et à des variations thermiques saisonnières importantes, impose des choix de matériaux robustes et durables. De plus, la passerelle étant située dans une zone à forte fréquentation le week-end, les charges d'exploitation (foule compacte) sont déterminantes pour la sécurité.
Le dimensionnement à la flexion (ELU et ELS) a déjà été pré-validé par le chef de projet et a conduit au choix préliminaire d'un profilé IPE 300. Cependant, pour finaliser le dossier d'exécution (EXE) et obtenir le visa du bureau de contrôle, une note de calcul spécifique et rigoureuse concernant la résistance à l'effort tranchant est impérative, conformément aux exigences de l'Eurocode 3. Les efforts tranchants sont particulièrement critiques au niveau des appuis, zone de transmission des charges aux fondations, où le risque de plastification de l'âme par cisaillement est maximal. Une défaillance à ce niveau entraînerait une rupture brutale, compromettant l'intégrité totale de l'ouvrage.
En tant qu'Ingénieur Structure Junior, vous devez calculer la sollicitation maximale d'effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\) sous la combinaison de charges la plus défavorable à l'État Limite Ultime (ELU). Vous devrez ensuite vérifier si le profilé choisi (IPE 300 en acier S355) offre une résistance plastique \(V_{\text{pl,Rd}}\) suffisante pour garantir la sécurité de l'ouvrage sans nécessiter l'ajout coûteux de raidisseurs d'âme verticaux. Votre note de calcul servira de pièce justificative au dossier final.
"Attention : L'acier S355 a été spécifiquement choisi pour optimiser le poids de l'ouvrage par rapport au S235 classique. Lors de vos calculs, soyez extrêmement vigilants sur les unités, notamment pour l'aire de cisaillement (\(A_{\text{v}}\)) de l'IPE 300. Une confusion entre cm² et m² ou mm² fausserait totalement la vérification ELU. De plus, vérifiez bien les coefficients partiels de sécurité : nous sommes en phase d'exécution, aucune approximation n'est tolérée."
Le dimensionnement et la justification de l'ouvrage doivent s'effectuer en stricte conformité avec les règlements européens en vigueur (Eurocodes). L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, géométrique et matériel du projet. Ces données sont figées pour cette phase d'étude.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Les calculs doivent être menés selon les normes suivantes :
- NF EN 1990 (Eurocode 0) : Bases de calcul des structures (Définition des combinaisons d'actions ELU/ELS).
- NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) : Actions sur les structures (Poids volumiques, charges d'exploitation, charges de foule).
- NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3) : Calcul des structures en acier (Règles générales et règles pour les bâtiments, vérification des sections).
Le choix du profilé IPE (I à Profil Européen) se justifie par son excellent rendement en flexion. L'acier S355 offre une haute résistance mécanique, permettant d'affiner la structure.
| ACIER DE CONSTRUCTION S355 | ||
| Limite d'élasticité | \(f_{\text{y}}\) | \(355 \text{ MPa}\) (N/mm²) |
| Module de Young | \(E\) | \(210\,000 \text{ MPa}\) |
| Coefficient partiel de sécurité (Matériau) | \(\gamma_{\text{M0}}\) | \(1.00\) (Classe 1) |
| GÉOMÉTRIE IPE 300 (Données Catalogue) | ||
| Hauteur de section | \(h\) | \(300 \text{ mm}\) |
| Largeur des semelles | \(b\) | \(150 \text{ mm}\) |
| Épaisseur de l'âme | \(t_{\text{w}}\) | \(7.1 \text{ mm}\) |
| Épaisseur des semelles | \(t_{\text{f}}\) | \(10.7 \text{ mm}\) |
| Aire de cisaillement (Âme) | \(A_{\text{v}}\) | \(25.68 \text{ cm}^2\) |
📐 Géométrie & Modèle Mécanique
La structure est modélisée comme une poutre reposant sur deux appuis simples (système isostatique), ce qui permet une détermination directe des réactions par la statique.
- Portée de calcul (distance entre appuis) : \(L = 6.00 \text{ m}\)
- Type d'appuis : Isostatiques (1 Appui Rouleau + 1 Appui Rotule)
⚖️ Chargements (Valeurs Caractéristiques)
Les valeurs ci-dessous sont des valeurs caractéristiques (non pondérées). Le poids propre de la poutre est inclus dans \(g_{\text{k}}\).
• Charges Permanentes (\(\gamma_{\text{G}}\)) = \(1.35\) (Action défavorable)
• Charges Variables (\(\gamma_{\text{Q}}\)) = \(1.50\) (Action défavorable)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge Permanente | \(g_{\text{k}}\) | \(4.0\) | kN/m |
| Charge Variable | \(q_{\text{k}}\) | \(5.0\) | kN/m |
| Portée | \(L\) | \(6.0\) | m |
| Limite élastique acier | \(f_{\text{y}}\) | \(355\) | MPa |
| Aire de cisaillement | \(A_{\text{v}}\) | \(25.68\) | cm² |
E. Protocole de Résolution
Afin de valider la tenue mécanique de la poutre à l'effort tranchant, nous suivrons rigoureusement la méthodologie des états limites (Eurocodes) :
Combinaison d'actions ELU
Calcul de la charge linéaire de calcul (\(p_{\text{Ed}}\)) en pondérant les charges permanentes et variables par les coefficients de sécurité réglementaires.
Calcul des Réactions d'Appui
Détermination par la statique des forces verticales (\(R_{\text{A}}, R_{\text{B}}\)) transmises aux culées, qui correspondent à l'effort tranchant maximal dans la poutre.
Diagramme de l'Effort Tranchant
Établissement de l'équation de l'effort tranchant \(V(x)\) le long de la poutre pour identifier la sollicitation maximale de calcul \(V_{\text{Ed}}\).
Vérification Eurocode 3
Calcul de la résistance plastique au cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\)) de la section IPE 300 et vérification du critère \(V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}\).
Calcul de l’effort tranchant dans une poutre
🎯 Objectif de l'étape
Avant de pouvoir dimensionner un quelconque élément structurel, il est impératif de définir avec précision la charge "de calcul" (\(p_{\text{Ed}}\)) qu'il devra supporter. L'objectif de cette première étape est de transformer les charges caractéristiques (valeurs réelles estimées dans le cahier des charges) en une valeur de calcul unique qui intègre une marge de sécurité réglementaire. Cette marge est vitale : elle protège la structure et ses usagers contre les incertitudes liées à la pesée des matériaux (le poids propre réel est souvent supérieur au théorique) et contre les surcharges accidentelles exceptionnelles (foule dense, équipements imprévus).
📚 Référentiel & Normes
NF EN 1990 (Eurocode 0) - Bases de calcul NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) - Actions sur les structuresNous nous plaçons ici à l'État Limite Ultime (ELU) de résistance. Cela signifie que nous vérifions le scénario du "pire cas possible" avant la ruine de l'ouvrage. La réglementation européenne impose une approche semi-probabiliste : on ne se contente pas d'additionner les charges. On applique des coefficients de pondération (\(\gamma\)) distincts selon la nature de la charge :
• Les charges permanentes (\(G\)), dont la variabilité est faible, sont majorées de \(35 \%\) (\(\gamma_{\text{G}} = 1.35\)).
• Les charges variables (\(Q\)), dont la variabilité est forte et aléatoire, sont majorées de \(50 \%\) (\(\gamma_{\text{Q}} = 1.50\)).
L'ingénieur doit donc construire la combinaison fondamentale qui maximisera les effets sur la structure.
Dans le cas d'une structure soumise à une charge permanente et une seule charge variable dominante, la combinaison fondamentale ELU s'écrit sous la forme simplifiée :
Effet de calcul = \(\gamma_{\text{G}} \cdot G_{\text{k}} + \gamma_{\text{Q}} \cdot Q_{\text{k}}\)
Où \(G_{\text{k}}\) et \(Q_{\text{k}}\) sont les valeurs caractéristiques (nominales). Cette formule garantit que la probabilité de dépassement de la charge réelle durant la durée de vie de l'ouvrage (50 ans) reste infinitésimale.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge permanente caractéristique | \(g_{\text{k}}\) | \(4.0 \text{ kN/m}\) |
| Charge variable caractéristique | \(q_{\text{k}}\) | \(5.0 \text{ kN/m}\) |
| Coeff. partiel (Permanent) | \(\gamma_{\text{G}}\) | \(1.35\) |
| Coeff. partiel (Variable) | \(\gamma_{\text{Q}}\) | \(1.50\) |
Vérifiez toujours que la charge pondérée est supérieure à la somme simple des charges (\(p_{\text{Ed}} > g_{\text{k}} + q_{\text{k}}\)). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement oublié les coefficients de sécurité ou fait une erreur de calcul.
Calcul Détaillé
1. Calcul de la part permanente pondérée :
Nous commençons par majorer le poids propre et les charges fixes. La norme impose \(\gamma_{\text{G}} = 1.35\).
Cela signifie que pour la sécurité, nous considérons que le poids mort "pèse" \(5.4 \text{ kN/m}\) au lieu de \(4.0 \text{ kN/m}\).
2. Calcul de la part variable pondérée :
Nous majorons ensuite les surcharges d'exploitation avec un coefficient plus fort (\(\gamma_{\text{Q}} = 1.50\)).
3. Calcul de la charge totale \(p_{\text{Ed}}\) :
Nous sommons les deux composantes pour obtenir la charge totale par mètre linéaire.
Interprétation : La poutre doit être dimensionnée pour résister à une charge linéaire virtuelle de \(12.9 \text{ kN/m}\).
La valeur de \(12.9 \text{ kN/m}\) représente la charge linéique ultime de référence. C'est cette valeur unique qui "écrase" virtuellement la poutre dans notre modèle mathématique de sécurité et qui servira à calculer les réactions d'appuis et les sollicitations internes.
La charge de calcul (\(12.9 \text{ kN/m}\)) est environ \(43 \%\) supérieure à la charge réelle estimée (\(4.0 + 5.0 = 9.0 \text{ kN/m}\)). Cet écart représente la "réserve de sécurité" imposée par les Eurocodes pour couvrir les aléas.
Une erreur fréquente consiste à oublier les coefficients de pondération et à utiliser \(g_{\text{k}} + q_{\text{k}} = 9.0 \text{ kN/m}\). Cela conduirait à sous-dimensionner la structure, ce qui est gravissime et illégal.
🎯 Objectif de l'étape
L'objectif est de quantifier les forces verticales (\(R_{\text{A}}\) et \(R_{\text{B}}\)) que la poutre exerce sur ses supports (les culées). Par le principe de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton), ces forces sont aussi celles que les appuis exercent sur la poutre pour la maintenir en équilibre. En RDM, la détermination précise des réactions est le point de départ absolu : sans elles, impossible de calculer ce qui se passe à l'intérieur de la poutre (cisaillement, flexion).
📚 Référentiel
Statique du Solide Rigide PFS (Principe Fondamental de la Statique)Nous sommes face à un système isostatique (une poutre sur deux appuis simples). Cela signifie que les équations de la statique suffisent à trouver les inconnues. Au lieu de poser les lourdes équations d'équilibre (\(\sum F_{\text{y}} = 0\) et \(\sum M = 0\)), l'ingénieur expérimenté utilise ici un raisonnement de symétrie. La géométrie est symétrique (poutre droite), les appuis sont aux extrémités, et la charge est uniforme sur toute la longueur. Physiquement, il est évident que la charge totale se répartit équitablement : \(50 \%\) sur l'appui gauche, \(50 \%\) sur l'appui droit.
Pour prouver le résultat par le PFS :
CQFD.
La résultante totale des forces descendantes est \(P_{\text{tot}} = p_{\text{Ed}} \cdot L\). Par symétrie, chaque réaction verticale vaut :
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge linéique de calcul | \(p_{\text{Ed}}\) | \(12.9 \text{ kN/m}\) |
| Portée de la poutre | \(L\) | \(6.00 \text{ m}\) |
Si la charge n'était pas centrée ou uniforme, il faudrait obligatoirement utiliser l'équation des moments (\(\sum M_{/\text{A}} = 0\)) pour trouver \(R_{\text{B}}\). Mais ici, profitez de la symétrie pour gagner du temps !
Calcul Détaillé
1. Calcul de la charge totale descendante :
Nous calculons d'abord le poids total pondéré de la charge sur toute la longueur de la passerelle en intégrant la charge linéique sur la longueur \(L\).
La poutre doit supporter un total de \(77.4 \text{ kN}\) (environ 7.9 tonnes force) à l'ELU.
2. Calcul des réactions d'appui (\(R_{\text{A}}, R_{\text{B}}\)) :
Nous divisons cette charge totale par deux, car elle est reprise par deux appuis identiques positionnés symétriquement.
Interprétation : Chaque culée reçoit une force verticale de \(38.7 \text{ kN}\).
Chaque appui reprend exactement la moitié de la charge totale. Cette valeur de \(38.7 \text{ kN}\) est fondamentale car elle correspondra, comme nous le verrons, à l'effort tranchant maximal dans la poutre.
Faites toujours la somme des forces verticales pour vérifier l'équilibre : \(R_{\text{A}} + R_{\text{B}} = 38.7 + 38.7 = 77.4 \text{ kN}\). Cela correspond exactement à la charge totale appliquée (\(12.9 \times 6 = 77.4\)). L'équilibre statique est respecté, le calcul est cohérent.
Attention aux unités : assurez-vous que la portée \(L\) est bien en mètres pour être cohérente avec la charge en kN/m. Si \(L\) était en mm, le résultat serait faux d'un facteur 1000.
🎯 Objectif de l'étape
Connaître les forces extérieures (réactions) ne suffit pas pour dimensionner la poutre. Nous devons savoir ce qui se passe à l'intérieur de la matière. L'effort tranchant \(V(x)\) est une sollicitation interne qui représente la tendance des sections voisines de la poutre à glisser verticalement l'une par rapport à l'autre (effet de "guillotine"). L'objectif ici est d'établir l'équation de \(V(x)\) le long de la poutre pour identifier la valeur maximale absolue \(V_{\text{Ed}}\) (Design Value of Shear Force) qui servira à la vérification finale.
📚 Référentiel
Théorie des Poutres (Modèle de Navier-Bernoulli)Pour trouver l'effort interne en un point \(x\), on imagine couper la poutre à cet endroit. Pour que le morceau de gauche reste en équilibre, il faut qu'une force interne s'oppose aux forces externes.
Si on isole le tronçon de gauche (de \(0\) à \(x\)), les forces externes sont : la réaction \(R_{\text{A}}\) (vers le haut) et la charge répartie \(p_{\text{Ed}}\) sur la longueur \(x\) (vers le bas). L'effort tranchant \(V(x)\) est la force interne nécessaire pour "fermer" l'équilibre vertical.
Mathématiquement, la dérivée de l'effort tranchant par rapport à la position \(x\) est égale à l'opposé de la charge linéique :
Dans notre cas, la charge \(p(x)\) est constante. L'intégration d'une constante donne une fonction affine (droite). \(V(x)\) sera donc une droite de pente négative.
En isolant le tronçon gauche et en projetant sur l'axe vertical : \(R_{\text{A}} - (p_{\text{Ed}} \cdot x) - V(x) = 0\). D'où :
C'est l'équation d'une droite de pente \(-p_{\text{Ed}}\) partant de \(R_{\text{A}}\).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Réaction \(R_{\text{A}}\) | \(38.7 \text{ kN}\) |
| Charge \(p_{\text{Ed}}\) | \(12.9 \text{ kN/m}\) |
| Portée \(L\) | \(6.0 \text{ m}\) |
Sur un diagramme d'effort tranchant, la pente de la courbe est égale à la charge appliquée (signe opposé). Ici, charge constante = pente constante = ligne droite.
Calcul des Valeurs aux Points Clés
Pour tracer le diagramme et trouver le maximum, nous calculons \(V(x)\) aux bornes et au centre.
1. À l'appui gauche (Point A, \(x = 0 \text{ m}\)) :
Nous remplaçons \(x\) par 0 dans l'équation.
2. À mi-travée (Milieu, \(x = 3.0 \text{ m}\)) :
Au milieu de la poutre :
L'effort tranchant est nul au milieu. C'est cohérent car c'est là que le moment fléchissant est maximal (la dérivée du moment s'annule).
3. À l'appui droit (Point B, \(x = 6.0 \text{ m}\)) :
Juste avant l'appui B :
Interprétation : L'effort tranchant varie linéairement de \(+38.7 \text{ kN}\) à \(-38.7 \text{ kN}\).
Le diagramme de l'effort tranchant est une droite oblique (antisymétrique). La valeur de l'effort tranchant est maximale (en valeur absolue) aux deux extrémités. Pour le dimensionnement, peu importe le signe : l'acier résiste de la même manière au cisaillement vers le haut ou vers le bas. Nous retenons donc la valeur absolue maximale : \(38.7 \text{ kN}\).
Il est logique que le cisaillement soit maximal aux appuis (là où la poutre "s'appuie" pour porter la charge) et nul au centre (par symétrie). Si vous trouviez un max au centre, il y aurait une erreur.
Ne confondez pas effort tranchant (\(V\)) et moment fléchissant (\(M\)). Leurs diagrammes sont liés (\(V\) est la dérivée de \(M\)) mais leurs allures sont très différentes.
🎯 Objectif de l'étape
C'est l'étape de validation finale et cruciale. Nous connaissons la force d'attaque (\(V_{\text{Ed}} = 38.7 \text{ kN}\)). Nous devons maintenant calculer la force de défense de la poutre : sa capacité de résistance plastique au cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\)). Nous devrons prouver que la poutre est plus forte que la charge (\(V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}\)) pour valider la sécurité de l'ouvrage.
📚 Référentiel
EN 1993-1-1 Art 6.2.6 (Cisaillement)Comment l'acier résiste-t-il au cisaillement ?
1. Zone active : Dans un profilé en I (comme l'IPE), les semelles horizontales s'occupent de la flexion. C'est l'âme verticale qui fait tout le travail de résistance au cisaillement. L'Eurocode définit donc une "aire de cisaillement" (\(A_{\text{v}}\)) qui correspond grosso modo à la surface de l'âme.
2. Limite de l'acier : L'acier a une limite élastique en traction (\(f_{\text{y}}\)). Mais en cisaillement pur, il est moins résistant. Le critère de plasticité de von Mises nous enseigne que la contrainte limite en cisaillement vaut \( \frac{f_{\text{y}}}{\sqrt{3}} \).
3. Calcul : La résistance totale de la section est donc simplement : (Surface de l'âme) \(\times\) (Contrainte limite de cisaillement).
Le facteur \(\sqrt{3}\) (environ 1.732) vient de la théorie de l'énergie de distorsion. Il indique que l'acier cède environ \(42 \%\) plus vite en cisaillement qu'en traction pure.
La résistance de calcul \(V_{\text{pl,Rd}}\) est donnée par :
Où :
\(A_{\text{v}}\) = Aire de cisaillement (donnée catalogue)
\(f_{\text{y}} / \sqrt{3}\) = Limite élastique au cisaillement
\(\gamma_{\text{M0}}\) = Coefficient de sécurité matériau (1.00)
Étape 1 : Rappel et Conversion des Données
| Paramètre | Valeur Initiale | Valeur Convertie (Cohérente) |
|---|---|---|
| Aire de cisaillement (\(A_{\text{v}}\)) | \(25.68 \text{ cm}^2\) | \(2568 \text{ mm}^2\) |
| Limite élastique (\(f_{\text{y}}\)) | \(355 \text{ MPa}\) | \(355 \text{ N/mm}^2\) |
| Coefficient partiel (\(\gamma_{\text{M0}}\)) | \(1.0\) | \(1.0\) |
Ne mélangez jamais les cm² et les MPa ! La méthode la plus sûre est de tout passer en Newton (N) et millimètre (mm).
Donc l'aire doit être en mm². Le résultat sortira en Newtons, qu'il faudra diviser par 1000 pour retrouver des kN.
Calcul Détaillé de Vérification
1. Calcul de la Résistance Plastique \(V_{\text{pl,Rd}}\) :
Appliquons la formule en utilisant les valeurs converties en mm² et N/mm².
La poutre est capable de supporter \(526.3 \text{ kN}\) avant de céder par cisaillement.
2. Comparaison (Ratio de Travail) :
Nous comparons la demande (\(V_{\text{Ed}}\)) à la capacité (\(V_{\text{pl,Rd}}\)).
Interprétation : La sollicitation ne représente que \(7.4 \%\) de la capacité de la poutre.
La marge de sécurité est considérable. Le dimensionnement est donc très largement validé vis-à-vis du risque de cisaillement. Le profilé IPE 300 est surdimensionné pour ce critère précis, mais son choix est probablement dicté par la flexion ou la flèche.
Il est fréquent d'obtenir des ratios très faibles (< 10-20%) pour l'effort tranchant sur des poutres de portée standard (ici 6m). En construction métallique, le dimensionnement est presque toujours piloté par la Flexion (moment au centre) ou la Flèche (déformation), et rarement par le cisaillement. Cependant, cette vérification reste obligatoire légalement.
L'Eurocode précise que si l'effort tranchant est élevé (Ratio > 50%), il réduit la capacité de la poutre à résister au moment fléchissant (Interaction Effort Tranchant - Moment). Ici, avec \(7.4 \%\), nous sommes bien en dessous du seuil de 50%. Il n'y a donc aucune réduction de la résistance en flexion à prévoir. C'est une excellente nouvelle pour l'économie du projet.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
SOLUTION
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 30/01/2026 | Création du document / Première diffusion pour validation | Ing. Calculateur |
- NF EN 1990 : Bases de calcul des structures
- NF EN 1991-1-1 : Actions sur les structures (Poids volumiques, charges d'exploitation)
- NF EN 1993-1-1 : Calcul des structures en acier (Règles générales)
| Profilé | IPE 300 |
| Nuance d'Acier | S355 (\(f_{\text{y}} = 355 \text{ MPa}\)) |
| Aire de Cisaillement (\(A_{\text{v}}\)) | \(25.68 \text{ cm}^2\) |
| Portée (\(L\)) | \(6.00 \text{ m}\) |
| Charge pondérée ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) | \(12.9 \text{ kN/m}\) |
Vérification de la résistance à l'effort tranchant selon l'article 6.2.6 de l'EN 1993-1-1.
Pas de risque d'interaction avec le moment fléchissant.
Ing. Calculateur
Chef de Projet
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