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Calcul de l’effort tranchant dans une poutre

Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre en RdM

Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre

Contexte : L'Effort Tranchant, le risque de "cisaillement" des structures.

Si le moment fléchissant tend à "plier" une poutre, l'Effort TranchantNoté T ou V, il représente la somme des forces verticales agissant à gauche ou à droite d'une section de la poutre. Il mesure la tendance de la poutre à se "cisailler" ou à glisser verticalement., lui, représente la tendance de la poutre à se "cisailler". Imaginez couper une carotte : la force que vous appliquez avec le couteau est un effort tranchant. En Génie Civil, cet effort est crucial, notamment près des appuis ou sous des charges concentrées, car il peut provoquer des ruptures brutales. Savoir calculer et tracer le diagramme de l'effort tranchant est une compétence fondamentale pour tout ingénieur structure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur la statique du solide. Nous allons d'abord équilibrer les forces extérieures pour trouver les réactions aux appuis, puis nous "couperons" virtuellement la poutre à différents endroits pour calculer l'effort interne de cisaillement. La visualisation de cet effort via un diagramme est l'objectif principal.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) pour calculer les réactions d'appuis.
  • Comprendre la définition et la convention de signe de l'effort tranchant.
  • Calculer l'effort tranchant en tout point d'une poutre soumise à des charges ponctuelles.
  • Construire le Diagramme de l'Effort Tranchant (DET).
  • Identifier la valeur maximale de l'effort tranchant (\(T_{\text{max}}\)).

Données de l'étude

Une poutre en bois de 6 mètres de long repose sur deux appuis simples en A et B. Elle est soumise à deux charges ponctuelles, \(F_1\) et \(F_2\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous. On négligera le poids propre de la poutre dans cette étude.

Schéma de la poutre et de son chargement
A B R_A R_B F₁ F₂ 2 m 2.5 m 1.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée totale entre appuis \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Force ponctuelle 1 \(F_1\) 10 \(\text{kN}\)
Force ponctuelle 2 \(F_2\) 20 \(\text{kN}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer les valeurs de l'effort tranchant \(T(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  3. Tracer le Diagramme de l'Effort Tranchant (DET) en indiquant les valeurs aux points clés.
  4. Quelle est la valeur absolue maximale de l'effort tranchant, \(|T|_{\text{max}}\) ?

Les bases de la Résistance des Matériaux

Avant de commencer la résolution, rappelons les principes de l'effort tranchant.

1. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
Pour qu'une structure soit à l'équilibre, la somme de toutes les forces et de tous les moments qui s'y appliquent doit être nulle. Pour un problème plan comme notre poutre, cela se traduit par trois équations : \[ \sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum M_{/A} = 0 \] C'est grâce à ces équations que nous pouvons trouver les forces inconnues que sont les réactions d'appuis.

2. Définition de l'Effort Tranchant :
L'effort tranchant \(T(x)\) en une section \(x\) est la somme algébrique de toutes les forces verticales situées à gauche de cette section. Par convention, les forces qui montent sont comptées positivement, et celles qui descendent négativement. \[ T(x) = \sum_{i=0}^{x} F_{y,i} \]

3. Diagramme de l'Effort Tranchant (DET) :
Le DET est un graphique qui représente la valeur de l'effort tranchant \(T(x)\) le long de la poutre. Il est constant entre les charges ponctuelles et subit un "saut" vertical à l'endroit de chaque charge, d'une valeur égale à l'intensité de cette charge. La relation mathématique fondamentale est \(dT/dx = -q(x)\), où \(q(x)\) est la charge répartie (qui est nulle dans notre cas, sauf aux points d'application des forces).

Correction : Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre

Question 1 : Calculer les réactions aux appuis

Principe (le concept physique)

Pour que la poutre ne tombe pas et ne tourne pas, les appuis doivent exercer des forces (les "réactions") qui s'opposent exactement aux charges appliquées. Le calcul des réactions est la toute première étape de toute étude de structure, car il assure l'équilibre global.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est une application des lois de Newton à des corps rigides à l'arrêt. L'équation de la somme des moments (\(\sum M = 0\)) est particulièrement puissante. En choisissant judicieusement le point de pivot (généralement sur un appui), on peut annuler le moment créé par une force inconnue, simplifiant ainsi la résolution.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une balançoire à bascule. Pour qu'elle soit à l'équilibre, le poids de chaque personne multiplié par sa distance au centre doit être égal de chaque côté. C'est exactement ce que nous faisons avec la somme des moments. Les forces (\(F_1, F_2\)) tendent à faire tourner la poutre dans un sens (horaire) autour du point A, et la réaction \(R_B\) doit la faire tourner dans l'autre sens (anti-horaire) pour tout équilibrer.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de calcul de statique sont universelles, mais les normes comme les Eurocodes spécifient les combinaisons de charges (poids propre, charges d'exploitation, neige, vent...) à utiliser pour s'assurer que les réactions calculées correspondent au cas le plus défavorable pour la structure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les équations du Principe Fondamental de la Statique :

\[ \sum F_y = R_A + R_B - F_1 - F_2 = 0 \]
\[ \sum M_{/A} = (R_B \cdot 6) - (F_1 \cdot 2) - (F_2 \cdot 4.5) = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est isostatique (le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations), les appuis sont parfaits (une rotule, un appui simple), et les forces sont parfaitement verticales et ponctuelles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force \(F_1 = 10 \, \text{kN}\) à 2 \(\text{m}\) de A
  • Force \(F_2 = 20 \, \text{kN}\) à 4.5 \(\text{m}\) de A
  • Portée \(L = 6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Commencez toujours par la somme des moments par rapport à l'un des appuis (par exemple A). Cela élimine une inconnue (\(R_A\)) de l'équation et permet de trouver directement l'autre réaction (\(R_B\)). La somme des forces verticales sert ensuite de vérification rapide et fiable.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma statique avec les inconnues
10kN20kNR_A?R_B?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(R_B\) avec la somme des moments en A (on travaille en \(\text{kN}\) et \(\text{m}\)) :

\[ \sum M_{/A} = 0 \Rightarrow (R_B \cdot 6) - (10 \cdot 2) - (20 \cdot 4.5) = 0 \]
\[ \begin{aligned} 6 R_B - 20 - 90 &= 0 \\ 6 R_B &= 110 \\ R_B &= \frac{110}{6} \\ R_B &\approx 18.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(R_A\) avec la somme des forces verticales :

\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - F_1 - F_2 = 0 \]
\[ \begin{aligned} R_A + 18.33 - 10 - 20 &= 0 \\ R_A &= 30 - 18.33 \\ R_A &= 11.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification : \(R_A + R_B = 11.67 + 18.33 = 30 \, \text{kN}\). Total des charges : \(F_1 + F_2 = 10 + 20 = 30 \, \text{kN}\). L'équilibre est vérifié.

Schéma (Après les calculs)
Schéma statique avec les réactions calculées
10kN20kN11.67kN18.33kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La réaction \(R_B\) est plus grande que \(R_A\). C'est logique car la charge la plus forte (\(F_2=20\) kN) est plus proche de l'appui B. L'appui B "supporte" donc une plus grande partie de la charge totale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une erreur de signe dans l'équation des moments. Définissez clairement un sens de rotation positif (par exemple, anti-horaire) et respectez-le pour toutes les forces. Une autre erreur est d'oublier une force ou de se tromper dans un bras de levier.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours commencer par calculer les réactions d'appuis.
  • Utiliser \(\sum M = 0\) sur un appui pour trouver une réaction directement.
  • Utiliser \(\sum F_y = 0\) pour trouver la seconde réaction et/ou pour vérifier les calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Une structure pour laquelle le nombre d'inconnues de liaison est strictement supérieur au nombre d'équations de la statique est dite "hyperstatique". On ne peut pas la résoudre avec le PFS seul. Il faut des équations supplémentaires basées sur la déformation de la structure (méthode des forces, méthode des déplacements).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la somme des forces en X n'est pas utilisée ?

Dans ce problème, toutes les charges sont verticales. Il n'y a aucune force horizontale. L'équation \(\sum F_x = 0\) nous apprendrait simplement que la réaction horizontale à l'appui A est nulle, ce qui est trivial ici. Elle devient essentielle dès qu'il y a des forces inclinées.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions aux appuis sont \(R_A \approx 11.67 \, \text{kN}\) et \(R_B \approx 18.33 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si F₁ était déplacée à 1m de A, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_B\) en kN ?

Question 2 : Déterminer l'effort tranchant par section

Principe (le concept physique)

On "coupe" la poutre mentalement dans chaque segment entre les forces et on regarde la somme des forces verticales à gauche de la coupure. Cette somme représente l'effort de cisaillement que la section doit supporter pour rester "attachée" au reste de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche est appelée la "méthode des sections". Elle consiste à isoler une partie de la structure et à remplacer le reste de la structure par les efforts internes (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant) qui s'y appliquent. En appliquant le PFS à la partie isolée, on peut déterminer ces efforts internes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous marchez le long de la poutre depuis l'appui A. L'effort tranchant est simplement le "score" des forces que vous avez rencontrées. Vous commencez à zéro, puis vous montez d'un coup de \(R_A\). Le score reste constant jusqu'à ce que vous rencontriez \(F_1\), qui vous fait descendre de 10 kN, et ainsi de suite. C'est une façon intuitive de construire le diagramme.

Normes (la référence réglementaire)

La convention de signe pour l'effort tranchant (positif quand il tend à faire tourner un élément infinitésimal dans le sens horaire) est une convention standard dans la plupart des manuels et logiciels de calcul de structure pour garantir une interprétation cohérente.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique la définition \(T(x) = \sum F_{y, \text{gauche}}\) sur chaque intervalle.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les coupures sont faites sur des sections droites, et on considère les efforts juste à droite d'un appui ou d'une charge pour inclure leur effet.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui \(R_A = 11.67 \, \text{kN}\)
  • Force \(F_1 = 10 \, \text{kN}\)
  • Force \(F_2 = 20 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'effort tranchant ne change de valeur qu'à l'endroit d'une force ponctuelle ou au début/fin d'une charge répartie. Entre ces points, il est soit constant (pas de charge répartie), soit linéaire (charge répartie uniforme).

Schéma (Avant les calculs)
Méthode des sections (coupures virtuelles)
S₁S₂S₃
Calcul(s) (l'application numérique)

Intervalle 1 : \(0 < x < 2 \, \text{m}\) (entre A et F₁)

Coupure dans l'intervalle 1 (0 < x < 2m)
R_A T(x) x

Pour n'importe quelle coupure dans cette zone, la seule force à gauche est la réaction \(R_A\), qui monte. Selon notre convention, une force qui monte est positive. L'effort tranchant est donc constant et égal à \(R_A\).

\[ T(x) = R_A = +11.67 \, \text{kN} \]

Intervalle 2 : \(2 < x < 4.5 \, \text{m}\) (entre F₁ et F₂)

Coupure dans l'intervalle 2 (2m < x < 4.5m)
R_A F₁ T(x) 2m x

Après avoir passé la force \(F_1\), les forces à gauche de la coupure sont maintenant la réaction \(R_A\) (vers le haut, positive) et la charge \(F_1\) (vers le bas, négative). L'effort tranchant est la somme de ces deux forces.

\[ \begin{aligned} T(x) &= R_A - F_1 \\ &= 11.67 - 10 \\ &= +1.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Intervalle 3 : \(4.5 < x < 6 \, \text{m}\) (entre F₂ et B)

Coupure dans l'intervalle 3 (4.5m < x < 6m)
R_A F₁ F₂ T(x) 2m 2.5m x

Enfin, pour une coupure située après \(F_2\), nous devons sommer toutes les forces rencontrées depuis la gauche : \(R_A\) (positive), \(F_1\) (négative) et \(F_2\) (négative).

\[ \begin{aligned} T(x) &= R_A - F_1 - F_2 \\ &= 11.67 - 10 - 20 \\ &= -18.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les calculs nous donnent les ordonnées du diagramme qui sera tracé à la question suivante.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe que l'effort tranchant est constant par morceaux. Juste à droite de l'appui B, si on incluait la réaction \(R_B\), l'effort tranchant vaudrait \(-18.33 + 18.33 = 0\), ce qui confirme que notre diagramme "se referme" bien à zéro à la fin de la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper de signe. Adoptez une convention claire (par ex: forces vers le haut = positives) et tenez-vous-y. N'oubliez pas d'inclure toutes les forces à gauche de la coupure, y compris la réaction d'appui au départ.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant est constant entre les charges ponctuelles.
  • À chaque charge ponctuelle, le diagramme subit un "saut" de la valeur de cette charge.
  • Un saut vers le bas pour une charge vers le bas, et inversement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) due à l'effort tranchant n'est pas uniforme dans une section. Pour une section rectangulaire, elle est nulle en haut et en bas et maximale au centre (sur l'axe neutre), avec une distribution parabolique. C'est l'inverse de la contrainte de flexion !

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je calculer depuis la gauche ou la droite ?

Vous pouvez calculer depuis la droite, mais la convention de signe change : \(T(x)\) est alors l'opposé de la somme des forces à droite. La méthode par la gauche est généralement plus intuitive et standard.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les valeurs de l'effort tranchant sont : +11.67 \(\text{kN}\), +1.67 \(\text{kN}\), et -18.33 \(\text{kN}\) sur les trois segments successifs de la poutre.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la valeur de l'effort tranchant à x = 5 m ? (en kN)

Question 3 : Tracer le Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)

Principe (le concept physique)

Le DET est une représentation visuelle de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre. Il permet d'identifier immédiatement les zones les plus sollicitées en cisaillement et de voir comment les efforts se propagent d'un point à un autre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le tracé du DET suit des règles simples : on commence à zéro, on monte de la valeur de la réaction en A. On trace une ligne horizontale jusqu'à la prochaine force. On descend de la valeur de cette force. On continue ainsi jusqu'à la fin. Le diagramme doit se terminer à zéro après la dernière réaction.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le diagramme est l'outil le plus important. Un ingénieur doit être capable de le tracer presque "d'instinct" en regardant le schéma de chargement. Il raconte l'histoire de la manière dont les charges "voyagent" le long de la poutre jusqu'aux appuis.

Normes (la référence réglementaire)

Les logiciels de calcul de structure (comme Robot, ETABS, SAP2000) génèrent automatiquement ces diagrammes. Il est cependant crucial de savoir les tracer à la main pour pouvoir vérifier rapidement la validité d'un résultat informatique et développer son intuition d'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de nouvelle formule ici, il s'agit de représenter graphiquement les résultats de la question 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'axe des abscisses représente la longueur de la poutre (x) et l'axe des ordonnées représente la valeur de l'effort tranchant T(x).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • T(x) = +11.67 \(\text{kN}\) pour \(0 < x < 2\)
  • T(x) = +1.67 \(\text{kN}\) pour \(2 < x < 4.5\)
  • T(x) = -18.33 \(\text{kN}\) pour \(4.5 < x < 6\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Tracez d'abord l'axe horizontal. Marquez la position des appuis et des forces. Ensuite, partez de zéro à gauche et "suivez les forces" : montez pour une réaction, descendez pour une charge. C'est la méthode la plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Axes du diagramme à construire
x (m)T (kN)024.56
Calcul(s) (l'application numérique)

Le calcul consiste à placer les points calculés précédemment sur le graphique.

Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
11.67kN 18.33kN 10kN 20kN 0 x(m) T(kN) +11.67 +1.67 -18.33
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme montre clairement les "sauts" au niveau des forces. Le saut à \(x=2\) est de \(11.67 - 1.67 = 10 \, \text{kN}\) (vers le bas), ce qui correspond à \(F_1\). Le saut à \(x=4.5\) est de \(1.67 - (-18.33) = 20 \, \text{kN}\) (vers le bas), ce qui correspond à \(F_2\). Le diagramme est cohérent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que le diagramme est à l'échelle (au moins approximativement) pour avoir une bonne représentation visuelle. N'oubliez pas d'indiquer les valeurs numériques aux points importants. Un diagramme sans valeur est inutile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le DET est une fonction en escalier pour des charges ponctuelles.
  • Les sauts correspondent aux forces appliquées (réactions ou charges).
  • Le diagramme doit commencer et finir à zéro.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des ponts, la forme du diagramme de l'effort tranchant peut influencer le design. Par exemple, la hauteur de l'âme (la partie verticale) d'une poutre en I métallique peut parfois être augmentée dans les zones de fort effort tranchant pour mieux résister au cisaillement.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie un effort tranchant positif vs négatif ?

Cela dépend de la convention, mais généralement, un T positif signifie que le côté gauche de la coupure "monte" par rapport au côté droit. Un T négatif signifie que le côté gauche "descend" par rapport au côté droit. C'est une représentation de la direction du cisaillement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme de l'effort tranchant a été tracé, montrant les paliers à +11.67 \(\text{kN}\), +1.67 \(\text{kN}\) et -18.33 \(\text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sur le diagramme, où le moment fléchissant sera-t-il maximal ?

Question 4 : Déterminer l'effort tranchant maximal

Principe (le concept physique)

La valeur maximale de l'effort tranchant (en valeur absolue) est critique pour le dimensionnement de la poutre. C'est cette valeur qui sera utilisée pour vérifier la résistance au cisaillement du matériau, notamment près des appuis où cet effort est souvent le plus important.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement d'une poutre dépend de l'effort tranchant maximal (\(T_{\text{max}}\)) et des propriétés de la section (aire, forme) et du matériau (résistance au cisaillement). La vérification de base est de s'assurer que la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) reste inférieure à la limite admissible du matériau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une fois le diagramme tracé, cette question est la plus simple : il suffit de "lire" le graphique et de trouver le point le plus éloigné de l'axe zéro, que ce soit vers le haut (positif) ou vers le bas (négatif).

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (Eurocodes) définissent des formules précises pour calculer la résistance au cisaillement des sections (par exemple, pour l'acier, le béton ou le bois), qui dépendent directement de la valeur de \(T_{\text{max}}\) (appelé \(V_{Ed}\) dans les normes, l'effort tranchant de calcul).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On recherche la valeur maximale en valeur absolue sur l'ensemble du domaine de la poutre :

\[ |T|_{\text{max}} = \max(|T(x)|) \quad \text{pour} \quad x \in [0, L] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les calculs précédents sont corrects et que le diagramme représente fidèlement les efforts dans la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Valeurs du DET : +11.67 \(\text{kN}\), +1.67 \(\text{kN}\), -18.33 \(\text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'effort tranchant maximal (en valeur absolue) se trouve presque toujours juste à côté de l'appui qui a la plus grande réaction. Ici, \(R_B\) est la plus grande réaction, donc \(|T|_{\text{max}}\) sera égal à \(R_B\).

Schéma (Avant les calculs)
Identification du maximum sur le DET
0Maximum ?
Calcul(s) (l'application numérique)

En examinant le DET, on compare les valeurs absolues des efforts tranchants dans chaque section :

\[ |T_1| = 11.67 \, \text{kN} \]
\[ |T_2| = 1.67 \, \text{kN} \]
\[ |T_3| = |-18.33| = 18.33 \, \text{kN} \]

La plus grande de ces valeurs est 18.33 \(\text{kN}\).

Schéma (Après les calculs)
Valeur maximale identifiée
0|T|max = 18.33 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort tranchant maximal se produit juste à gauche de l'appui B. C'est dans cette zone que le risque de rupture par cisaillement est le plus élevé. Les renforts (étriers dans le béton armé, par exemple) sont souvent plus denses dans ces zones à fort effort tranchant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de prendre la valeur absolue ! Une valeur de -20 kN représente un effort plus important qu'une valeur de +15 kN. Le signe indique simplement la direction du cisaillement, mais c'est l'amplitude qui compte pour la résistance.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort tranchant maximal est la plus grande valeur absolue lue sur le DET.
  • Il se situe souvent près de l'appui avec la plus forte réaction.
  • Cette valeur est fondamentale pour le dimensionnement au cisaillement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en bois, la rupture par cisaillement se produit souvent par un glissement le long des fibres du bois. C'est pourquoi il est crucial de vérifier que \(|T|_{\text{max}}\) ne dépasse pas la capacité de la poutre, surtout pour les poutres courtes et fortement chargées où le cisaillement devient prédominant par rapport à la flexion.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'effort tranchant peut être maximal au milieu de la poutre ?

C'est très rare pour une poutre sur deux appuis. Le cas le plus courant est près des appuis. Pour qu'il soit maximal au milieu, il faudrait un chargement très spécifique, comme deux couples de sens opposés appliqués près du centre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant maximal en valeur absolue est \(|T|_{\text{max}} = 18.33 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(F_1\) et \(F_2\) valaient toutes les deux 15 kN (aux mêmes positions), quelle serait la valeur de \(|T|_{\text{max}}\) en kN ?

Outil Interactif : Diagramme de l'Effort Tranchant

Modifiez la valeur et la position des charges pour voir leur influence sur les réactions et le diagramme.

Paramètres d'Entrée
10 kN
2.0 m
20 kN
Résultats Clés
Réaction en A (kN) -
Réaction en B (kN) -
Effort Tranchant Max |T| (kN) -

Le Saviez-Vous ?

La relation entre l'effort tranchant (T) et le moment fléchissant (M) est fondamentale : l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position (\(T = dM/dx\)). Cela signifie que le moment fléchissant est maximal ou minimal là où l'effort tranchant s'annule (passe par zéro). C'est un outil très puissant pour trouver rapidement les zones de flexion maximale dans une poutre.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la charge n'est pas ponctuelle mais répartie (comme le poids de la neige) ?

Si la charge est uniformément répartie (notée q, en kN/m), le diagramme de l'effort tranchant n'est plus en escalier mais devient une ligne droite décroissante. L'effort tranchant varie linéairement entre les appuis. La formule devient \(T(x) = R_A - q \cdot x\).

Pourquoi la convention de signe est-elle importante ?

La convention de signe (positif vers le haut à gauche) est un standard qui permet à tous les ingénieurs de communiquer et de lire les diagrammes de la même manière. Elle est aussi essentielle pour appliquer correctement les relations mathématiques entre charge, effort tranchant et moment fléchissant.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une poutre sur deux appuis simples, où l'effort tranchant est-il généralement maximal en valeur absolue ?

2. Si on ajoute une charge ponctuelle de 5 kN vers le bas sur la poutre, le diagramme de l'effort tranchant va...

Effort Tranchant (T ou V)
Effort interne à une poutre qui mesure la tendance au cisaillement vertical. Il est égal à la somme des forces verticales à gauche d'une section. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
Réaction d'appui
Force exercée par un support (appui) sur la structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges.
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Ensemble de lois stipulant que pour qu'un corps soit immobile, la somme vectorielle des forces et la somme des moments des forces qui s'exercent sur lui doivent être nulles.
Calcul de l’Effort Tranchant dans une Poutre

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