Études de cas pratique

EGC

Calcul de la torsion d’un poteau

Calcul de la Torsion d’un Arbre Circulaire

Calcul de la Torsion d’un Arbre Circulaire

Comprendre la Torsion des Arbres

La torsion est une sollicitation qui se produit lorsqu'un couple (ou moment de torsion) est appliqué à un élément structural (comme un arbre de transmission ou un poteau) autour de son axe longitudinal. Ce couple engendre des contraintes de cisaillement dans les sections transversales de l'élément et provoque une déformation angulaire, appelée angle de torsion. L'étude de la torsion est cruciale pour s'assurer que l'arbre peut transmettre le couple requis sans subir de rupture par cisaillement ni de déformation angulaire excessive.

Données de l'étude

Un arbre plein en acier, de section circulaire, est encastré à une extrémité et soumis à un couple de torsion à son extrémité libre.

Caractéristiques de l'arbre et du matériau :

  • Longueur de l'arbre (\(L\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(40 \, \text{mm}\)
  • Couple de torsion appliqué (\(T\)) : \(500 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Module de cisaillement de l'acier (\(G\)) : \(80 \, \text{GPa}\)

Objectif : Déterminer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) et l'angle de torsion total (\(\theta\)) de l'arbre.

Schéma : Arbre Circulaire en Torsion
T T = 500 Nm x L = 1.2 m D=40mm \(\theta\)

Arbre circulaire encastré soumis à un couple de torsion T.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie polaire (\(J\)) de la section circulaire de l'arbre.
  2. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans l'arbre.
  3. Calculer l'angle de torsion total (\(\theta\)) de l'arbre en degrés.

Correction : Calcul de la Torsion d’un Arbre Circulaire

Question 1 : Moment d'Inertie Polaire (\(J\))

Principe :

Le moment d'inertie polaire (\(J\)) d'une section caractérise sa résistance à la torsion. Pour une section circulaire pleine de diamètre \(D\), il est donné par la formule \(J = \frac{\pi D^4}{32}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[J = \frac{\pi D^4}{32}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(40 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= \frac{\pi \cdot (40 \, \text{mm})^4}{32} \\ &= \frac{\pi \cdot 2560000 \, \text{mm}^4}{32} \\ &= \pi \cdot 80000 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 251327.4 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie polaire est \(J \approx 251327 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) due à la torsion dans un arbre de section circulaire varie linéairement depuis le centre (où elle est nulle) jusqu'à la surface extérieure (où elle est maximale). Elle est donnée par la formule \(\tau = \frac{T \cdot r}{J}\), où \(r\) est la distance radiale par rapport au centre. La contrainte maximale se produit donc à \(r = R = D/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{max} = \frac{T \cdot R}{J} = \frac{T \cdot (D/2)}{J}\]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm) :
  • Couple de torsion (\(T\)) : \(500 \, \text{N} \cdot \text{m} = 500 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Rayon extérieur (\(R = D/2\)) : \(40 \, \text{mm} / 2 = 20 \, \text{mm}\)
  • Moment d'inertie polaire (\(J\)) : \(80000\pi \, \text{mm}^4 \approx 251327.4 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{(500 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (20 \, \text{mm})}{80000\pi \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{10 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}^2}{80000\pi \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{100000}{8\pi} \, \text{N/mm}^2 \\ &= \frac{12500}{\pi} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 39.7887 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 39.79 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} \approx 39.79 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Angle de Torsion Total (\(\theta\))

Principe :

L'angle de torsion (\(\theta\)) est la déformation angulaire totale de l'arbre sur sa longueur \(L\) due au couple de torsion \(T\). Il est donné par la formule \(\theta = \frac{TL}{GJ}\), où \(G\) est le module de cisaillement et \(J\) le moment d'inertie polaire. L'angle est obtenu en radians et peut être converti en degrés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\theta = \frac{T L}{G J}\]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm) :
  • Couple de torsion (\(T\)) : \(500 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Longueur de l'arbre (\(L\)) : \(1.2 \, \text{m} = 1200 \, \text{mm}\)
  • Module de cisaillement (\(G\)) : \(80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment d'inertie polaire (\(J\)) : \(80000\pi \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{(500 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (1200 \, \text{mm})}{(80 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \cdot (80000\pi \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{600 \times 10^6}{6400 \times 10^6 \pi} \, \text{rad} \\ &= \frac{600}{6400\pi} \, \text{rad} \\ &= \frac{6}{64\pi} \, \text{rad} = \frac{3}{32\pi} \, \text{rad} \\ &\approx 0.0298415 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\)

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{deg}} &\approx 0.0298415 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 0.0298415 \cdot 57.2958^\circ \\ &\approx 1.7096^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'angle de torsion total est \(\theta \approx 0.0298 \, \text{rad} \approx 1.71^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre de l'arbre est doublé, comment l'angle de torsion \(\theta\) change-t-il (toutes autres choses étant égales) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

4. La contrainte de cisaillement due à la torsion dans un arbre circulaire plein est maximale :

5. Le moment d'inertie polaire \(J\) pour une section circulaire pleine de rayon \(R\) est :

6. L'angle de torsion est inversement proportionnel au :

Glossaire

Torsion
Sollicitation d'un corps soumis à un couple de forces qui tend à le faire tourner autour de son axe longitudinal.
Couple de Torsion (\(T\))
Moment appliqué à un arbre qui provoque sa torsion. Unité : N·m.
Moment d'Inertie Polaire (\(J\))
Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la torsion. Unité : mm\(^4\) ou m\(^4\).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant tangentiellement à la section d'un corps. En torsion, elle est maximale à la surface de l'arbre. Unité : Pa ou MPa.
Angle de Torsion (\(\theta\))
Déformation angulaire d'une section transversale d'un arbre par rapport à une autre, due à un couple de torsion. Unité : radians (rad) ou degrés (°).
Module de Cisaillement (\(G\))
Aussi appelé module de rigidité ou module de Coulomb. C'est une propriété du matériau qui mesure sa résistance à la déformation par cisaillement. Unité : Pa ou GPa.
Calcul de la Torsion d’un Arbre Circulaire - Exercice d'Application

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