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Calcul de la Section d’Armature d’une poutre

Calcul de la Section d’Armature d’une Poutre en Béton Armé

Calcul de la Section d’Armature d’une Poutre en Béton Armé

Contexte : Pourquoi ferrailler une poutre en béton ?

Une poutre supportant des charges (comme un plancher ou un mur) subit une flexion. Cette flexion comprime la partie supérieure de la poutre et étire (met en traction) sa partie inférieure. Si le béton résiste très bien à la compression, il est extrêmement fragile en traction et se fissurerait quasi instantanément. Pour pallier cette faiblesse, on place des barres d'acier, appelées armaturesBarres ou treillis d'acier noyés dans le béton pour reprendre les efforts de traction et de cisaillement., dans la zone tendue. L'acier, très résistant à la traction, reprend ces efforts et permet à la poutre de se déformer sans rompre, créant ainsi le matériau composite que l'on nomme béton armé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le calcul complet des armatures longitudinales principales d'une poutre rectangulaire en flexion simple à l'État Limite Ultime (ELU), en utilisant la méthode de l'Eurocode 2. Nous déterminerons la section d'acier exacte nécessaire pour que la poutre résiste au moment fléchissant maximal.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment fléchissant ultime (\(M_{\text{Ed}}\)) sur une poutre isostatique.
  • Déterminer la hauteur utile (\(d\)) de la section.
  • Calculer le moment réduit (\(\mu_{bu}\)) et vérifier la nécessité d'aciers comprimés.
  • Calculer le bras de levier (\(z\)) des forces internes.
  • Déterminer la section d'acier tendue (\(A_s\)) requise et choisir un ferraillage commercial.

Données de l'étude

On étudie une poutre en béton armé sur deux appuis simples, de section rectangulaire, qui supporte un plancher. On cherche à déterminer son ferraillage principal à mi-portée, là où le moment de flexion est maximal.

Schéma de la poutre et des charges
Charges G+Q Portée L = 8.0 m

Caractéristiques de la poutre, des matériaux et des charges :

  • Géométrie de la section :
    • Largeur : \(b = 0.30 \, \text{m}\)
    • Hauteur totale : \(h = 0.60 \, \text{m}\)
  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Charges de service (ELS) uniformément réparties (hors poids propre) :
    • Charge permanente : \(G_k = 15 \, \text{kN/m}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_k = 12 \, \text{kN/m}\).
  • Données additionnelles :
    • Masse volumique du béton : \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
    • Enrobage des armatures : \(c = 4 \, \text{cm}\)
    • Diamètre estimé des armatures longitudinales : \(\phi = 16 \, \text{mm}\)
    • Diamètre des cadres (armatures transversales) : \(\phi_t = 8 \, \text{mm}\)
  • Coefficients de sécurité \(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\), \(\gamma_c=1.5\), \(\gamma_s=1.15\).

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU (\(M_{\text{Ed}}\)) à mi-portée.
  2. Déterminer la hauteur utile (\(d\)) de la section de la poutre.
  3. Calculer le moment réduit (\(\mu_{bu}\)) et vérifier qu'il n'y a pas besoin d'aciers comprimés.
  4. Calculer le bras de levier (\(z\)) et la section d'aciers tendus (\(A_s\)) requise.
  5. Choisir un ferraillage commercial et proposer un schéma de la section ferraillée.

Correction : Calcul du Ferraillage d'une Poutre en Béton Armé

Question 1 : Calculer le moment fléchissant ultime (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
M_Ed max

Pour calculer le ferraillage, nous devons connaître l'effort maximal que la poutre subira. En flexion, cet effort est le moment fléchissant. Nous le calculons à l'État Limite Ultime (ELU) en utilisant les charges pondérées par les coefficients de sécurité (\(1.35G + 1.5Q\)). Pour une poutre sur appuis simples avec une charge uniforme, le moment est maximal au centre de la portée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment fléchissant ultime, \(M_{\text{Ed}}\), représente le moment maximal que la poutre doit pouvoir supporter sans rompre. Il est calculé à partir de la charge ultime totale, \(q_u\), qui inclut le poids propre de la poutre (\(g\)) et les charges de service (\(G_k, Q_k\)), chacune pondérée par son coefficient de sécurité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : N'oubliez jamais d'inclure le poids propre de la poutre dans les charges permanentes. C'est une erreur fréquente qui conduit à sous-estimer le moment et donc le ferraillage.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions \(1.35G + 1.5Q\) est définie par l'Eurocode 0 (NF EN 1990). La formule du moment maximal \(qL^2/8\) est un résultat standard de la Résistance des Matériaux pour ce cas de charge.

Hypothèses (le cadre du calcul)

La poutre est considérée comme isostatique (librement appuyée à ses deux extrémités). Les charges sont supposées uniformément réparties sur toute la longueur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre de la poutre :

\[ g = b \cdot h \cdot \rho_b \]

Charge ultime répartie :

\[ q_u = 1.35 \cdot (g + G_k) + 1.5 \cdot Q_k \]

Moment fléchissant ultime maximal :

\[ M_{\text{Ed}} = \frac{q_u \cdot L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = 0.30 \, \text{m}\), \(h = 0.60 \, \text{m}\), \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(G_k = 15 \, \text{kN/m}\), \(Q_k = 12 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 8.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre :

\[ \begin{aligned} g &= 0.30 \, \text{m} \times 0.60 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 4.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul de la charge ultime :

\[ \begin{aligned} q_u &= 1.35 \times (4.5 + 15) + 1.5 \times 12 \\ &= 1.35 \times 19.5 + 18 \\ &= 26.325 + 18 \\ &= 44.325 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul du moment ultime :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{44.325 \, \text{kN/m} \times (8.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{44.325 \times 64}{8} \\ &= 354.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment fléchissant que la poutre doit être capable de supporter à la rupture est de 354.6 kNm. C'est cette valeur qui va nous permettre de dimensionner les aciers pour qu'ils ne cèdent pas sous cet effort.

Point à retenir : Le calcul du moment fléchissant ultime (\(M_{\text{Ed}}\)) est la première étape indispensable pour le dimensionnement en flexion à l'ELU.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie la sollicitation maximale de flexion sur la poutre. Sans cette valeur, il est impossible de déterminer la quantité d'acier nécessaire pour y résister.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le carré sur la portée L : Une erreur très fréquente est d'oublier de mettre la portée au carré (\(L^2\)) dans la formule du moment, ce qui conduit à une sous-estimation massive de l'effort.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la poutre était encastrée à ses extrémités (continue sur plusieurs appuis), le moment maximal en travée serait plus faible (environ \(qL^2/14\)), mais des moments négatifs (traction en partie supérieure) apparaîtraient sur les appuis, nécessitant un ferraillage en partie haute.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment est-il maximal au centre ?

Pour une poutre isostatique, l'effort tranchant (la dérivée du moment) est nul au milieu de la portée. Mathématiquement, lorsque la dérivée d'une fonction est nulle, la fonction atteint un extremum (ici, un maximum).

Résultat Final : Le moment fléchissant ultime à mi-portée est \(M_{\text{Ed}} = 354.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment \(M_{\text{Ed}}\) (en kNm) si la portée était de 7 m ?

Question 2 : Déterminer la hauteur utile (\(d\))

Principe avec image animée (le concept physique)
h d Centre des aciers

La hauteur utile \(d\) est une des dimensions les plus importantes pour le calcul en flexion. Elle représente la distance entre la fibre la plus comprimée (le haut de la poutre) et le centre de gravité des armatures tendues (le bas de la poutre). Elle n'est pas égale à la hauteur totale \(h\) car il faut soustraire l'enrobage des aciers et la moitié du diamètre des barres.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'enrobageÉpaisseur de béton qui recouvre les armatures pour les protéger de la corrosion, du feu, et assurer leur bonne adhérence. est l'épaisseur de béton qui protège les aciers de la corrosion et du feu. Sa valeur minimale est fixée par les normes (Eurocode 2) en fonction de la classe d'exposition de l'élément (intérieur, extérieur, milieu marin, etc.). La hauteur utile est le paramètre principal du bras de levier interne, qui conditionne la résistance de la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Comme on ne connaît pas encore le diamètre exact des barres, on en estime un (16 mm est un bon début pour une poutre de cette taille). Si le calcul final nous amène à choisir un diamètre très différent, il faudrait idéalement refaire une itération de calcul avec le nouveau diamètre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 4.4.1, définit les règles de calcul de l'enrobage minimal en fonction des conditions environnementales.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les aciers sont disposés sur une seule file en partie basse. Si plusieurs lits d'aciers sont nécessaires, le calcul du centre de gravité des armatures serait plus complexe.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile :

\[ d = h - c - \phi_t - \frac{\phi_l}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur totale : \(h = 0.60 \, \text{m} = 600 \, \text{mm}\)
  • Enrobage : \(c = 40 \, \text{mm}\)
  • Diamètre des cadres : \(\phi_t = 8 \, \text{mm}\)
  • Diamètre des aciers longitudinaux : \(\phi_l = 16 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur utile :

\[ \begin{aligned} d &= 600 - 40 - 8 - \frac{16}{2} \\ &= 600 - 40 - 8 - 8 \\ &= 544 \, \text{mm} = 0.544 \, \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La hauteur utile est de 54.4 cm, soit environ 90.7% de la hauteur totale. Cette valeur est réaliste et sera utilisée dans toutes les étapes suivantes pour le calcul du ferraillage.

Point à retenir : La hauteur utile \(d\) est la hauteur totale \(h\) diminuée de la distance entre le bas de la poutre et le centre des aciers tendus.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La hauteur utile est le paramètre géométrique le plus influent dans le calcul de la résistance en flexion. Une détermination précise est donc indispensable avant de poursuivre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les cadres : Une erreur fréquente est d'oublier de soustraire le diamètre des cadres (\(\phi_t\)) dans le calcul de \(d\). Les barres longitudinales reposent sur les cadres, pas directement sur l'enrobage.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les calculs sismiques, on s'assure que la rupture se produise de manière ductile par plastification de l'acier (atteinte de \(f_{yd}\)) plutôt que par écrasement fragile du béton. C'est le principe du "capacity design", où l'on garantit que la "mèche" (l'acier) cède avant la "bombe" (le béton).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si j'ai deux lits d'aciers ?

Si vous avez deux rangées de barres, le centre de gravité des aciers ne sera plus au centre de la première rangée. Vous devrez calculer le barycentre des sections d'acier des deux lits pour trouver la position exacte de la force de traction, ce qui réduira légèrement la hauteur utile \(d\).

Résultat Final : La hauteur utile de la section est \(d = 54.4 \, \text{cm}\).

À vous de jouer : Quelle serait la hauteur utile \(d\) (en cm) si l'enrobage était de 3 cm ?

Question 3 : Calculer le moment réduit (\(\mu_{bu}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
μ_bu = 0.128 μ_lim

Le moment réduit \(\mu_{bu}\) est un nombre sans dimension qui compare le moment sollicitant (\(M_{Ed}\)) à la capacité de résistance maximale en compression du béton. Il permet de vérifier si la section de béton est suffisamment grande pour équilibrer les efforts sans s'écraser. Si \(\mu_{bu}\) est inférieur à une valeur limite (\(\mu_{lim}\)), la section est assez grande et des aciers tendus suffisent. Si \(\mu_{bu}\) dépasse cette limite, le béton seul ne peut pas résister et il faut ajouter des aciers en zone comprimée pour l'aider.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La valeur du moment réduit limite \(\mu_{lim}\) dépend du diagramme contrainte-déformation du béton et de l'acier. Pour les aciers ductiles comme le S500 B et un diagramme parabole-rectangle pour le béton, cette valeur est d'environ 0.372 pour une classe de béton inférieure ou égale à C50/60. Dépasser cette limite signifie que le béton atteindrait sa déformation d'écrasement avant que l'acier n'atteigne sa limite élastique, ce qui conduirait à une rupture fragile, ce que l'on veut absolument éviter.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Cette vérification est un garde-fou. Elle permet de s'assurer que les dimensions de la poutre sont "raisonnables" avant de poursuivre le calcul des aciers. Si le test échoue, la seule solution est d'augmenter les dimensions de la poutre (surtout la hauteur) ou d'utiliser un béton plus résistant.

Normes (la référence réglementaire)

Le concept de moment réduit et sa valeur limite sont dérivés des diagrammes contrainte-déformation des matériaux définis dans l'Eurocode 2, sections 3.1 et 3.2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un diagramme parabole-rectangle pour le béton et un diagramme élasto-plastique parfait pour l'acier, ce qui correspond aux hypothèses standards de l'Eurocode 2.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment réduit ultime :

\[ \mu_{bu} = \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}} \]

Condition de non-nécessité d'aciers comprimés :

\[ \mu_{bu} \le \mu_{\text{lim}} \approx 0.372 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed}} = 354.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 0.3546 \, \text{MN} \cdot \text{m}\)
  • \(b = 0.30 \, \text{m}\)
  • \(d = 0.544 \, \text{m}\)
  • \(f_{\text{cd}} = 16.67 \, \text{MPa} = 16.67 \, \text{MN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment réduit :

\[ \begin{aligned} \mu_{bu} &= \frac{0.3546}{0.30 \times (0.544)^2 \times 16.67} \\ &= \frac{0.3546}{0.30 \times 0.296 \times 16.67} \\ &= \frac{0.3546}{1.48} \\ &= 0.240 \end{aligned} \]

Vérification :

\[ \mu_{bu} = 0.240 \le \mu_{\text{lim}} = 0.372 \Rightarrow \text{OK} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment réduit est bien inférieur à la limite. Cela signifie que la section de béton est suffisamment grande pour résister à la compression sans avoir besoin d'aide. Nous pouvons donc nous contenter de placer des aciers uniquement en zone tendue, ce qui est la solution la plus simple et la plus économique.

Point à retenir : La vérification du moment réduit (\(\mu_{bu} \le \mu_{lim}\)) est une étape obligatoire pour valider les dimensions de la poutre avant de calculer les aciers.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape garantit que la poutre aura un mode de rupture ductile. Si le béton était trop sollicité, il pourrait s'écraser avant que l'acier n'ait le temps de se déformer, provoquant une rupture soudaine et dangereuse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas mettre d au carré : L'erreur la plus fréquente est d'oublier le carré sur la hauteur utile (\(d^2\)) dans la formule, ce qui fausse complètement le résultat.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres-voiles, qui sont des poutres très hautes par rapport à leur portée, travaillent différemment. Le moment réduit y est très faible, et leur dimensionnement fait plus appel à des modèles de bielles et tirants qu'à la théorie classique de la flexion.

FAQ (pour lever les doutes)
Que devrais-je faire si \(\mu_{bu} > \mu_{lim}\) ?

Vous avez deux options : 1) La meilleure solution est d'augmenter les dimensions de la poutre (principalement la hauteur \(h\)) pour diminuer \(\mu_{bu}\). 2) Si les dimensions sont figées, vous devez calculer une section d'aciers comprimés \(A_s'\) à placer en partie haute de la poutre pour aider le béton à résister à la compression.

Résultat Final : Le moment réduit \(\mu_{bu} = 0.240\) est inférieur à la limite, donc les aciers comprimés ne sont pas nécessaires.

À vous de jouer : Quel serait le moment réduit si la largeur de la poutre était de 25 cm ?

Question 4 : Calculer le bras de levier (\(z\)) et la section d'aciers (\(A_s\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Fc Fs z

Le moment externe \(M_{Ed}\) est équilibré par un couple de forces internes : la force de compression dans le béton (\(F_c\)) et la force de traction dans l'acier (\(F_s\)). La distance verticale entre ces deux forces est le bras de levier \(z\). En écrivant que le moment interne (\(F_s \cdot z\)) doit être égal au moment externe (\(M_{Ed}\)), et en sachant que \(F_s = A_s \cdot f_{yd}\), on peut directement calculer la section d'acier \(A_s\) nécessaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le bras de levier \(z\) dépend de la hauteur de l'axe neutre \(y\), qui lui-même dépend du moment réduit \(\mu_{bu}\). La formule exacte du bras de levier est \(z = d(1 - 0.4 \alpha)\), où \(\alpha\) est la hauteur relative du diagramme de compression (\(\alpha = y/d\)). La formule \(\alpha = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2\mu_{bu}})\) permet de le calculer précisément.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'estimation \(z \approx 0.9d\) est souvent utilisée pour un pré-dimensionnement rapide. Cependant, pour le calcul final, il est plus précis d'utiliser la formule exacte basée sur le moment réduit, car cela donne une valeur plus juste et souvent légèrement plus économique pour la section d'acier.

Normes (la référence réglementaire)

Ces formules sont directement issues de l'équilibre de la section en flexion simple à l'ELU, en utilisant le diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle pour le béton, comme défini dans l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On est dans le "Pivot A", ce qui signifie que l'acier atteint sa limite élastique (\(f_{yd}\)) avant que le béton ne s'écrase. C'est garanti par la vérification \(\mu_{bu} \le \mu_{lim}\) de l'étape précédente.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Position relative de l'axe neutre :

\[ \alpha = 1.25 \left( 1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{bu}} \right) \]

Bras de levier interne :

\[ z = d (1 - 0.4 \alpha) \]

Section d'acier requise :

\[ A_s = \frac{M_{Ed}}{z \cdot f_{yd}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\mu_{bu} = 0.240\)
  • \(d = 544 \, \text{mm}\)
  • \(M_{\text{Ed}} = 354.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 354.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\alpha\) :

\[ \begin{aligned} \alpha &= 1.25 \left( 1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.240} \right) \\ &= 1.25 \left( 1 - \sqrt{0.52} \right) \\ &= 1.25 \times (1 - 0.721) \\ &= 0.349 \end{aligned} \]

Calcul du bras de levier \(z\) :

\[ \begin{aligned} z &= 544 \times (1 - 0.4 \times 0.349) \\ &= 544 \times (1 - 0.1396) \\ &= 468.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul de la section d'acier \(A_s\) :

\[ \begin{aligned} A_s &= \frac{354.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{468.1 \, \text{mm} \times 434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{354.6 \times 10^6}{203534} \\ &= 1742 \, \text{mm}^2 = 17.42 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le bras de levier réel (46.8 cm) est un peu plus petit que l'estimation rapide de \(0.9d = 49.0\) cm. Utiliser la formule précise nous donne une section d'acier requise légèrement plus grande, et donc plus sûre. Nous avons besoin de 17.42 cm² d'acier en partie basse de la poutre.

Point à retenir : La section d'acier est calculée en divisant le moment ultime par le produit du bras de levier et de la résistance de calcul de l'acier.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'objectif principal de l'exercice : déterminer la quantité d'acier exacte nécessaire pour que la poutre résiste en toute sécurité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités du moment : Le moment est souvent donné en kNm. Il faut impérativement le convertir en N·mm (\(\times 10^6\)) pour être cohérent avec les autres unités (mm et MPa=N/mm²).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres en T, où une partie de la dalle collabore avec la poutre, ont un comportement plus complexe. La zone de compression n'est plus un simple rectangle, ce qui modifie le calcul du bras de levier et de la résistance.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas toujours utiliser \(z=0.9d\) ?

C'est une approximation qui n'est valable que pour les poutres faiblement sollicitées (\(\mu_{bu}\) faible). Plus on se rapproche de \(\mu_{lim}\), plus le bras de levier diminue. Utiliser la formule exacte est plus précis et garantit la sécurité dans tous les cas.

Résultat Final : La section d'acier requise est \(A_s = 17.42 \, \text{cm}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_s\) (en cm²) si le moment était de 250 kNm ?

Question 5 : Choisir un ferraillage et proposer un schéma

Principe (la traduction du calcul en plan)

Le calcul nous a donné une section d'acier théorique. L'étape finale est de la traduire en un arrangement pratique de barres d'acier commerciales. On choisit un nombre de barres et un diamètre qui fournissent une section d'acier réelle (\(A_{\text{s,eff}}\)) légèrement supérieure à la section requise (\(A_{\text{s}}\)). On y ajoute les armatures transversalesAussi appelés cadres, étriers ou épingles. Ce sont des aciers qui entourent les barres longitudinales pour les maintenir en place et empêcher le poteau de "gonfler" et d'éclater sous la compression. (cadres et étriers) qui sont essentielles pour maintenir les barres longitudinales et confiner le béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du diamètre des barres est un compromis. Moins de barres de plus gros diamètre est plus simple à mettre en place, mais plus de barres de petit diamètre permet une meilleure répartition de l'acier et un meilleur contrôle de la fissuration. Pour un poteau rectangulaire, on place au minimum une barre à chaque angle, et on peut ajouter des barres intermédiaires sur les grands côtés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Lors du choix des barres, il faut toujours arrondir la section d'acier à la valeur supérieure. On ne peut jamais mettre moins d'acier que ce que le calcul exige. Il est utile d'avoir un tableau des sections d'acier par diamètre à portée de main.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (section 9.5) spécifie les dispositions constructives : nombre minimal de barres (4 pour un poteau rectangulaire), diamètre minimal (généralement 12 mm pour les barres longitudinales), et règles d'espacement des cadres transversaux.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un enrobage standard de 3 cm pour les armatures, ce qui est typique pour un environnement intérieur (classe d'exposition XC1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de choix des barres :

\[ A_{\text{s,effectif}} = n \times A_{\text{barre}} \ge A_{\text{s,calculé}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section d'acier requise : \(A_{\text{s,req}} = 5.75 \, \text{cm}^2\)
  • Tableau d'aires d'acier : \(A_{\text{HA12}} = 1.13 \, \text{cm}^2\), \(A_{\text{HA14}} = 1.54 \, \text{cm}^2\), \(A_{\text{HA16}} = 2.01 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Essai avec 4 barres :

\[ \begin{aligned} A_{\text{par barre}} &= \frac{5.75 \, \text{cm}^2}{4} = 1.4375 \, \text{cm}^2 \\ \text{Choix} &\Rightarrow \text{Barre HA 14} \, (A_{\text{barre}} = 1.54 \, \text{cm}^2) \\ A_{\text{s,effectif}} &= 4 \times 1.54 \, \text{cm}^2 = 6.16 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Essai avec 6 barres :

\[ \begin{aligned} A_{\text{par barre}} &= \frac{5.75 \, \text{cm}^2}{6} = 0.958 \, \text{cm}^2 \\ \text{Choix} &\Rightarrow \text{Barre HA 12} \, (A_{\text{barre}} = 1.13 \, \text{cm}^2) \\ A_{\text{s,effectif}} &= 6 \times 1.13 \, \text{cm}^2 = 6.78 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

On choisit la solution avec 6 barres HA 12, qui est économique et assure une bonne répartition de l'acier.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 6 barres HA 12 (\(A_{\text{s,eff}} = 6.78 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6.
Schéma de ferraillage - Vue en coupe
Enrobage c=3cm Cadre HA6 6 HA 12 (As,eff = 6.78 cm²) 250 mm 400 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution avec 6 barres HA 12 est une option de ferraillage valide et bien répartie. Elle fournit une section d'acier de 6.78 cm², ce qui est supérieur aux 5.75 cm² requis, offrant une marge de sécurité. Le schéma traduit cette décision en un plan constructible.

Point à retenir : Le ferraillage final est un choix pratique de barres standards qui doit satisfaire ou dépasser la section d'acier théorique calculée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale rend le dimensionnement constructible. Le travail d'un ingénieur structure n'est pas seulement de calculer une valeur, mais de produire un plan clair et réalisable pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les cadres : Ne pas dessiner ou spécifier les armatures transversales est une omission grave. Sans elles, les barres longitudinales peuvent flamber et le poteau éclater prématurément.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les nervures sur les barres d'armature (qui leur donnent l'appellation "Haute Adhérence") sont cruciales. Elles créent un ancrage mécanique avec le béton, assurant que les deux matériaux travaillent parfaitement ensemble comme un seul élément composite.

FAQ (pour lever les doutes)
Aurais-je pu utiliser 4 barres plus grosses ?

Oui. Il aurait fallu 4 barres HA 14 (section totale 6.16 cm²), ce qui est aussi une solution valide. Le choix entre 4 HA14 et 6 HA12 peut dépendre de la disponibilité des aciers ou des préférences du chantier.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 6 barres HA 12 (\(A_{\text{s,eff}} = 6.78 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6.

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier effective (\(A_{s,eff}\)) si on choisissait 8 barres HA 12 ?

Mini Fiche Mémo : Ferraillage d'une Poutre en Flexion

Étape Formule Clé & Objectif
1. Moment Ultime \( M_{\text{Ed}} = q_u L^2 / 8 \)
Déterminer la sollicitation maximale que la poutre doit supporter.
2. Hauteur Utile \( d = h - c - \phi_t - \phi_l/2 \)
Calculer la dimension efficace de la poutre pour la flexion.
3. Moment Réduit \( \mu_{bu} = M_{Ed} / (b d^2 f_{cd}) \)
Vérifier que la section de béton n'est pas trop sollicitée.
4. Section d'Aciers \( A_s = M_{Ed} / (z \cdot f_{yd}) \)
Calculer la quantité d'acier nécessaire pour reprendre la traction.

Outil Interactif : Calculateur de Ferraillage de Poutre

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres
355 kNm
Résultats
Moment réduit \(\mu_{bu}\) -
Aciers requis (As) -
-

Le Saviez-Vous ?

Le Panthéon de Rome, construit il y a près de 2000 ans, possède la plus grande coupole en béton non armé du monde. Son dôme de 43,3 mètres de diamètre a tenu si longtemps grâce à l'utilisation d'un béton romain exceptionnel, dont la composition exacte (notamment l'utilisation de cendre volcanique) continue de fasciner les ingénieurs modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le poteau est très élancé ?

Si un poteau est très haut par rapport à sa largeur (fort élancement), il y a un risque de "flambement". C'est un phénomène d'instabilité où le poteau se déforme latéralement sous l'effet de la compression, bien avant que le matériau lui-même ne s'écrase. Le calcul devient alors plus complexe et il faut prendre en compte ces "effets du second ordre" qui réduisent la capacité portante du poteau.

Pourquoi l'acier est-il si important dans un poteau en compression ?

Bien que le béton soit excellent en compression, l'acier joue plusieurs rôles cruciaux : 1) Il augmente la capacité portante globale, permettant des poteaux plus petits. 2) Il assure un comportement ductile, c'est-à-dire qu'en cas de surcharge extrême, le poteau se déformera de manière visible avant de rompre, laissant un avertissement. 3) Il aide à résister aux efforts imprévus (flexion, cisaillement) et aux effets du retrait et du fluage du béton.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on utilise un béton de classe supérieure (par exemple C35/45 au lieu de C25/30), la section d'acier requise pour la même charge va :

2. La principale raison d'imposer une section d'acier minimale (\(A_{\text{s,min}}\)) est de :

Béton Armé
Matériau composite associant le béton, qui a une bonne résistance à la compression, et l'acier (armatures), qui a une excellente résistance à la traction.
État Limite Ultime (ELU)
État correspondant à la ruine ou à un dommage majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en évitant l'effondrement.
\(f_{\text{ck}}\) (Résistance caractéristique)
Résistance à la compression du béton mesurée sur des éprouvettes cylindriques à 28 jours, avec une probabilité de 95% d'être dépassée.
\(f_{\text{cd}}\) (Résistance de calcul)
Résistance du béton utilisée dans les calculs de dimensionnement, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient de sécurité (\(f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\)).
Fondamentaux du Génie Civil : Calcul de la Section d’Armature d’une Poutre en Béton Armé

D’autres exercices de béton armé:

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