Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Section d’Armature d’une poutre

Calcul de la Section d’Armature d’une Poutre

Introduction au Calcul des Armatures de Poutre

Le béton armé combine la résistance à la compression du béton et la résistance à la traction de l'acier. Dans une poutre soumise à la flexion, la partie supérieure est généralement comprimée et la partie inférieure est tendue. Les armatures longitudinales sont placées principalement dans la zone tendue pour reprendre ces efforts de traction. Le calcul de la section d'acier nécessaire (\(A_s\)) est une étape fondamentale du dimensionnement à l'État Limite Ultime (ELU).

Données de l'étude

On souhaite déterminer la section d'armatures longitudinales tendues nécessaires à mi-portée d'une poutre rectangulaire simplement appuyée.

Caractéristiques géométriques et sollicitations :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(30 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(60 \, \text{cm}\)
  • Moment fléchissant de calcul à l'ELU (\(M_{Ed}\)) : \(250 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Enrobage des armatures (\(c\)) : \(4 \, \text{cm}\)
  • Diamètre supposé des armatures longitudinales (\(\phi_L\)) : \(16 \, \text{mm}\) (pour le calcul de d)
  • Diamètre des cadres/étriers (\(\phi_t\)) : \(8 \, \text{mm}\)

Matériaux :

  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) : \(0.85\) (ou 1.0 selon Annexe Nationale, on prendra 0.85 ici)

Hypothèse : On calcule les armatures en flexion simple, sans armatures comprimées. On utilise les formules simplifiées rectangulaires de l'Eurocode 2.

Schéma : Section de la Poutre et Diagramme des Contraintes
Section y b=30cm h=60cm d Contraintes ELU \(f_{cd}\) \(0.8y\) \(f_{yd}\) z

Section de poutre et diagramme simplifié des contraintes/déformations à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur utile \(d\).
  2. Calculer les résistances de calcul \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  3. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) : \(\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\).
  4. Calculer la position relative de l'axe neutre (\(\alpha_u\)) à partir de \(\mu_{cu}\) : \(\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\). Vérifier que \(\alpha_u\) est inférieur à 0.617 (ou autre limite selon diagramme contrainte-déformation).
  5. Calculer le bras de levier (\(z\)) : \(z = d (1 - 0.4 \alpha_u)\).
  6. Calculer la section d'acier requise (\(A_s\)) : \(A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\).
  7. Vérifier la condition de non-fragilité (\(A_{s,min}\)) et choisir un ferraillage pratique (nombre et diamètre de barres HA).

Correction : Calcul des Aciers de la Poutre

Question 1 : Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (fibre supérieure) et le centre de gravité des armatures tendues (inférieures).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c - \phi_t - \frac{\phi_L}{2}\]

On prend en compte l'enrobage \(c\), le diamètre des cadres \(\phi_t\), et la moitié du diamètre des armatures longitudinales \(\phi_L\).

Données spécifiques :
  • Hauteur totale (\(h\)) : \(60 \, \text{cm} = 600 \, \text{mm}\)
  • Enrobage (\(c\)) : \(4 \, \text{cm} = 40 \, \text{mm}\)
  • Diamètre cadres (\(\phi_t\)) : \(8 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé armatures long. (\(\phi_L\)) : \(16 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 600 - 40 - 8 - \frac{16}{2} \, \text{mm} \\ &= 600 - 40 - 8 - 8 \\ &= 544 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(d = 54.4 \, \text{cm}\)

Résultat Question 1 : La hauteur utile est \(d = 544 \, \text{mm}\) (ou 54.4 cm).

Question 2 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{21.25}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))

Principe :

Le moment réduit compare le moment appliqué à la capacité de résistance en compression du béton seul. Il permet de déterminer si des aciers comprimés sont nécessaires.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 250 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 250 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Largeur poutre (\(b\)) : \(30 \, \text{cm} = 300 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(544 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{250 \times 10^6}{300 \times (544)^2 \times 14.17} \\ &= \frac{250 \times 10^6}{300 \times 295936 \times 14.17} \\ &= \frac{250 \times 10^6}{1.258 \times 10^9} \\ &\approx 0.1987 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment réduit est \(\mu_{cu} \approx 0.199\).

Question 4 : Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\))

Principe :

\(\alpha_u = y/d\) caractérise la position de l'axe neutre. Elle est calculée à partir du moment réduit \(\mu_{cu}\). On vérifie ensuite si elle reste dans les limites admissibles pour éviter une rupture fragile par écrasement excessif du béton (pivot B).

La limite dépend du diagramme contrainte-déformation choisi. Pour un diagramme rectangulaire simplifié, la limite est souvent \(\alpha_{lim} \approx 0.617\) pour l'acier B500.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_{cu} \approx 0.199\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.199}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.398}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{0.602}) \\ &\approx 1.25 \times (1 - 0.776) \\ &= 1.25 \times 0.224 \\ &\approx 0.280 \end{aligned} \]

Vérification : \(\alpha_u \approx 0.280 < 0.617\). La condition est vérifiée, on n'a pas besoin d'aciers comprimés par le calcul (mais des aciers de montage sont nécessaires).

Résultat Question 4 : La position relative de l'axe neutre est \(\alpha_u \approx 0.280\).

Question 5 : Calcul du Bras de Levier (\(z\))

Principe :

Le bras de levier \(z\) est la distance entre le centre de gravité des contraintes de compression dans le béton et le centre de gravité des armatures tendues.

Formule(s) utilisée(s) (Diagramme rectangulaire) :
\[z = d (1 - 0.4 \alpha_u)\]
Données spécifiques :
  • \(d = 544 \, \text{mm}\)
  • \(\alpha_u \approx 0.280\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= 544 \times (1 - 0.4 \times 0.280) \\ &= 544 \times (1 - 0.112) \\ &= 544 \times 0.888 \\ &\approx 483.07 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le bras de levier est \(z \approx 483.1 \, \text{mm}\).

Question 6 : Section d'Acier Requise (\(A_s\))

Principe :

La section d'acier est déterminée par l'équilibre des moments : le moment appliqué \(M_{Ed}\) doit être équilibré par le moment résistant interne, qui est égal à la force dans l'acier (\(A_s f_{yd}\)) multipliée par le bras de levier (\(z\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 250 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(z \approx 483.1 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_s &= \frac{250 \times 10^6}{483.1 \times 434.78} \\ &\approx \frac{250 \times 10^6}{210043} \\ &\approx 1190.2 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_s \approx 11.90 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 6 : La section d'acier requise est \(A_s \approx 11.90 \, \text{cm}^2\).

Question 7 : Vérification Non-Fragilité et Choix Pratique

Principe :

On vérifie si la section calculée est supérieure au minimum réglementaire, puis on choisit des barres commerciales fournissant une section légèrement supérieure.

Formule(s) utilisée(s) (Non-fragilité) :
\[A_{s,min} = \max \left( 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b d \, ; \, 0.0013 b d \right)\]

Avec \(b\) largeur de la poutre.

Données spécifiques :
  • \(A_s \approx 1190 \, \text{mm}^2\) (calculée)
  • Béton C25/30 : \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(d = 544 \, \text{mm}\)
Calcul de \(A_{s,min}\) :

Premier terme :

\[ \begin{aligned} 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b d &= 0.26 \times \frac{2.6}{500} \times 300 \times 544 \\ &= 0.26 \times 0.0052 \times 300 \times 544 \\ &\approx 220.6 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Deuxième terme :

\[ \begin{aligned} 0.0013 b d &= 0.0013 \times 300 \times 544 \\ &= 212.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Minimum requis :

\[ A_{s,min} = \max(220.6 \, \text{mm}^2, 212.16 \, \text{mm}^2) \approx 221 \, \text{mm}^2 \]

Comparaison : \(A_s \approx 1190 \, \text{mm}^2 > A_{s,min} \approx 221 \, \text{mm}^2\). La condition de non-fragilité est largement vérifiée.

Choix pratique :

On cherche une combinaison de barres \(\geq 11.90 \, \text{cm}^2\).

  • 3 HA 25 (\(3 \times 4.91 = 14.73 \, \text{cm}^2\)) - OK
  • 4 HA 20 (\(4 \times 3.14 = 12.56 \, \text{cm}^2\)) - OK
  • 6 HA 16 (\(6 \times 2.01 = 12.06 \, \text{cm}^2\)) - OK

On choisit par exemple 4 HA 20 (\(A_{s,prov} = 12.56 \, \text{cm}^2\)).

Résultat Question 7 : La section minimale est \(A_{s,min} \approx 2.21 \, \text{cm}^2/\text{m}\). La section requise est \(A_s \approx 11.90 \, \text{cm}^2\). Un choix pratique est 4 HA 20 (\(A_{s,prov} = 12.56 \, \text{cm}^2\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est le rôle principal des armatures longitudinales dans la zone tendue d'une poutre fléchie ?

2. Que représente le moment réduit \(\mu_{cu}\) ?

3. La section d'acier calculée \(A_s\) est inversement proportionnelle à :

Glossaire

Armatures Longitudinales
Barres d'acier principales placées le long de l'axe de la poutre, principalement pour reprendre la traction (ou la compression) due à la flexion.
Armatures Transversales (Cadres, Étriers)
Armatures perpendiculaires aux armatures longitudinales, assurant le confinement du béton et la reprise de l'effort tranchant.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues.
Enrobage (c)
Épaisseur de béton protégeant les armatures.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment fléchissant agissant sur la section, calculé à l'ELU.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance des matériaux (béton, acier) utilisée pour les calculs à l'ELU, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient de sécurité.
Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))
Moment de calcul normalisé par rapport à la capacité de compression du béton. Permet de déterminer le mode de rupture et si des aciers comprimés sont nécessaires.
Axe Neutre
Ligne dans la section transversale d'une poutre fléchie où la contrainte normale est nulle. Sépare la zone comprimée de la zone tendue.
Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\))
Rapport entre la profondeur de l'axe neutre (\(y\)) et la hauteur utile (\(d\)), \(\alpha_u = y/d\).
Bras de Levier (z)
Distance entre les résultantes des forces de compression dans le béton et de traction dans l'acier.
Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))
Exigence d'une section minimale d'armatures pour garantir une rupture ductile.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité et à la résistance maximale de la structure.
Calcul de la Section d’Armature d’une poutre - Exercice d'Application

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