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Calcul de la Pression Finale d’un gaz

Calcul de la Pression Finale d’un Gaz

Calcul de la Pression Finale d’un Gaz

Comprendre la Pression des Gaz

La pression, le volume et la température d'un gaz sont des grandeurs interdépendantes, décrites par les lois des gaz. Pour une quantité donnée de gaz, si son volume ou sa température change, sa pression s'ajustera en conséquence. La loi combinée des gaz parfaits (\(\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\)) permet de calculer l'état final d'un gaz si son état initial et deux des trois variables de l'état final sont connues. Cette compréhension est essentielle dans de nombreux domaines, y compris en ingénierie où les gaz sont utilisés sous pression (air comprimé, systèmes pneumatiques) ou dont le comportement est important (gaz dans les matériaux poreux, isolation, etc.). Les températures doivent être exprimées en Kelvin pour ces calculs.

Données de l'étude

Une certaine quantité d'air, considéré comme un gaz parfait, est enfermée dans un cylindre muni d'un piston mobile.

Conditions initiales (État 1) :

  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(200 \, \text{kPa}\)
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(0.10 \, \text{m}^3\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, ^\circ\text{C}\)

Transformation :

Le gaz subit une transformation au cours de laquelle son volume est réduit et sa température augmente.

Conditions finales (État 2) :

  • Volume final (\(V_2\)) : \(0.05 \, \text{m}^3\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(57 \, ^\circ\text{C}\)
Schéma : Transformation d'un Gaz dans un Cylindre-Piston
État 1 P1, V1, T1 État 2 P2=?, V2, T2 Transformation d'un Gaz

Illustration d'un gaz subissant une compression et un échauffement.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures initiale (\(T_1\)) et finale (\(T_2\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz en Pascals (Pa), puis en kilopascals (kPa).
  3. Si la transformation avait été isotherme (température constante à \(T_1 = 27 \, ^\circ\text{C}\)) pour la même réduction de volume (de \(V_1\) à \(V_2\)), quelle aurait été la pression finale \(P_{2,\text{iso}}\) ?
  4. Comparer \(P_2\) et \(P_{2,\text{iso}}\). Expliquer pourquoi la pression finale est différente lorsque la température augmente par rapport à une transformation isotherme pour la même compression.

Correction : Calcul de la Pression Finale d’un Gaz

Question 1 : Conversion des Températures en Kelvin

Principe :

Pour convertir une température de degrés Celsius (\(^\circ\text{C}\)) en Kelvin (\(\text{K}\)), on ajoute 273.15. Pour simplifier, on utilise souvent 273.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • \(T_1(^\circ\text{C}) = 27 \, ^\circ\text{C}\)
  • \(T_2(^\circ\text{C}) = 57 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1(\text{K}) &= 27 + 273.15 \\ &= 300.15 \, \text{K} \\ T_2(\text{K}) &= 57 + 273.15 \\ &= 330.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

(Pour la suite, nous utiliserons \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et \(T_2 = 330 \, \text{K}\) pour simplifier si l'énoncé initial impliquait une approximation à l'entier, sinon nous gardons .15).

En reprenant les valeurs exactes de l'énoncé qui suggèrent une conversion simple : \(T_1 = 27+273 = 300 \, \text{K}\) et \(T_2 = 57+273 = 330 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 :
  • Température initiale \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • Température finale \(T_2 = 330 \, \text{K}\)

Question 2 : Pression Finale (\(P_2\))

Principe :

On utilise la loi combinée des gaz parfaits : \(\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = P_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 200 \, \text{kPa} = 200 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.10 \, \text{m}^3\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_2 = 0.05 \, \text{m}^3\)
  • \(T_2 = 330 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= (200 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times \frac{0.10 \, \text{m}^3}{0.05 \, \text{m}^3} \times \frac{330 \, \text{K}}{300 \, \text{K}} \\ &= (200 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times 2 \times 1.1 \\ &= (200 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times 2.2 \\ &= 440000 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals : \(P_2 = 440 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression finale du gaz est \(P_2 = 440000 \, \text{Pa}\) (ou \(440 \, \text{kPa}\)).

Question 3 : Pression Finale en Cas de Transformation Isotherme (\(P_{2,\text{iso}}\))

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, la température reste constante (\(T_1 = T_2\)). La loi de Boyle-Mariotte s'applique : \(P_1 V_1 = P_2 V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{2,\text{iso}} = \frac{P_1 V_1}{V_2}\]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 200 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.10 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.05 \, \text{m}^3\)
  • (La température \(T_1 = 300 \, \text{K}\) reste constante)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{2,\text{iso}} &= \frac{(200 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times 0.10 \, \text{m}^3}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{20000 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^3}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= 400000 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals : \(P_{2,\text{iso}} = 400 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3 : Si la transformation avait été isotherme, la pression finale aurait été \(P_{2,\text{iso}} = 400000 \, \text{Pa}\) (ou \(400 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Selon la loi de Boyle-Mariotte (processus isotherme), si le volume d'un gaz parfait est divisé par deux, sa pression :

Question 4 : Comparaison de \(P_2\) et \(P_{2,\text{iso}}\)

Comparaison :
  • Pression finale avec augmentation de température (\(P_2\)) : \(440 \, \text{kPa}\)
  • Pression finale en isotherme (\(P_{2,\text{iso}}\)) : \(400 \, \text{kPa}\)

On observe que \(P_2 > P_{2,\text{iso}}\).

Explication :

La pression d'un gaz est due aux chocs des molécules de gaz sur les parois du récipient. Cette pression dépend de deux facteurs principaux (pour une quantité de gaz donnée) :

  • La fréquence des chocs : Si le volume diminue, les molécules parcourent moins de distance avant de frapper les parois, donc la fréquence des chocs augmente, ce qui augmente la pression. C'est l'effet pris en compte par la compression de \(V_1\) à \(V_2\).
  • L'énergie cinétique moyenne des molécules : La température est une mesure de l'énergie cinétique moyenne des molécules. Si la température augmente, les molécules se déplacent plus vite et frappent les parois avec plus de force et plus fréquemment (même si le volume était constant), ce qui augmente la pression.

Dans le cas de la transformation réelle (calcul de \(P_2\)), le volume a été réduit ET la température a augmenté. Les deux effets contribuent à une augmentation de la pression :

  • La réduction de volume de \(0.10 \, \text{m}^3\) à \(0.05 \, \text{m}^3\) aurait, à elle seule (processus isotherme), augmenté la pression à \(400 \, \text{kPa}\).
  • L'augmentation de température de \(300 \, \text{K}\) à \(330 \, \text{K}\) (soit un facteur de \(330/300 = 1.1\)) a provoqué une augmentation supplémentaire de la pression. La pression finale de \(440 \, \text{kPa}\) est bien \(400 \, \text{kPa} \times 1.1\).

Par conséquent, la pression finale \(P_2\) est plus élevée que \(P_{2,\text{iso}}\) car l'augmentation de température ajoute un effet d'augmentation de pression à celui déjà causé par la réduction de volume.

Résultat Question 4 : \(P_2 (440 \, \text{kPa})\) est supérieure à \(P_{2,\text{iso}} (400 \, \text{kPa})\) car, en plus de la compression volumique, l'augmentation de la température a également contribué à augmenter la pression finale du gaz.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi combinée des gaz parfaits relie :

2. Pour utiliser les lois des gaz parfaits, la température doit toujours être exprimée en :

3. Si le volume d'un gaz parfait est réduit de moitié et que sa température en Kelvin double, sa pression finale sera :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz où les particules sont supposées n'avoir aucun volume propre et n'exercer aucune force intermoléculaire, sauf lors de collisions parfaitement élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV = nRT\).
Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. Pour un gaz, elle résulte des collisions des molécules du gaz avec les parois du récipient. Unités courantes : Pascal (Pa), kilopascal (kPa), bar.
Volume (\(V\))
Espace occupé par le gaz. Unités courantes : mètre cube (m³), litre (L).
Température Absolue (\(T\))
Mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules d'un système. Doit être exprimée en Kelvin (K) dans les lois des gaz.
Loi Combinée des Gaz Parfaits
Relation qui combine les lois de Boyle-Mariotte, Charles et Gay-Lussac : \(\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\) pour une quantité fixe de gaz.
Transformation Isotherme
Processus thermodynamique qui se déroule à température constante.
Calcul de la Pression Finale d’un Gaz - Exercice d'Application

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