Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Pression d’Eau

Calcul de la Pression d’Eau en Hydraulique

Comprendre la Pression de l'Eau

La pression de l'eau est une force fondamentale en hydraulique, que ce soit dans des systèmes de distribution d'eau potable, des réseaux d'irrigation, ou des installations industrielles. Elle est principalement due à la hauteur d'eau (pression hydrostatique) et peut être modifiée par des pompes (augmentation) ou des pertes de charge (diminution) dans les conduites. Comprendre et calculer la pression en différents points d'un réseau est essentiel pour assurer son bon fonctionnement, dimensionner les équipements (pompes, conduites, vannes) et garantir l'approvisionnement adéquat aux points d'utilisation.

Données de l'étude

Un château d'eau alimente un robinet situé en contrebas.

Caractéristiques du système :

  • Altitude de la surface libre de l'eau dans le château d'eau (Point A) : \(Z_A = 60.0 \, \text{m}\)
  • Altitude du robinet (Point B) : \(Z_B = 15.0 \, \text{m}\)
  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression à la surface libre de l'eau dans le château d'eau : Pression atmosphérique (\(P_A = P_{\text{atm}}\))

Hypothèses : On néglige les pertes de charge dans la conduite entre le château d'eau et le robinet. On considère que la vitesse de l'eau à la surface du château d'eau et au robinet (avant ouverture) est négligeable pour ce calcul de pression statique.

Schéma : Château d'Eau alimentant un Robinet
Surface Libre (A) ZA = 60m Robinet (B) ZB = 15m Niveau de référence (0m) H = ZA - ZB Pression d'Eau

Illustration d'un château d'eau alimentant un robinet, montrant les différentes altitudes.

Questions à traiter

  1. Calculer la différence de hauteur d'eau (\(H\)) entre la surface libre dans le château d'eau et le robinet.
  2. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_h\)) au niveau du robinet due à cette colonne d'eau.
  3. Calculer la pression relative totale (\(P_{\text{rel,B}}\)) au niveau du robinet (en considérant que la pression à la surface libre est la pression atmosphérique, donc une pression relative de 0).
  4. Convertir cette pression relative en bars.
  5. Calculer la pression absolue (\(P_{\text{abs,B}}\)) au niveau du robinet.

Correction : Calcul de la Pression d’Eau

Question 1 : Différence de hauteur d'eau (\(H\))

Principe :

La différence de hauteur d'eau (\(H\)) qui génère la pression hydrostatique au niveau du robinet est la différence d'altitude entre la surface libre de l'eau dans le réservoir (point A) et l'altitude du robinet (point B).

Formule(s) utilisée(s) :
\[H = Z_A - Z_B\]
Données spécifiques :
  • Altitude de la surface libre (\(Z_A\)) : \(60.0 \, \text{m}\)
  • Altitude du robinet (\(Z_B\)) : \(15.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} H &= 60.0 \, \text{m} - 15.0 \, \text{m} \\ &= 45.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La différence de hauteur d'eau est \(H = 45.0 \, \text{m}\).

Question 2 : Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) au niveau du robinet

Principe :

La pression hydrostatique relative (\(P_h\)) à la profondeur \(H\) est calculée par la formule \(P_h = \rho \cdot g \cdot H\). C'est la pression exercée par la colonne d'eau de hauteur \(H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_h = \rho \cdot g \cdot H\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Différence de hauteur d'eau (\(H\)) : \(45.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 45.0 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 45.0 \, \text{m} \\ &= 441450 \, \text{N/m}^2 \\ &= 441450 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_h = 441.45 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression hydrostatique relative au niveau du robinet est \(P_h = 441450 \, \text{Pa}\) (ou \(441.45 \, \text{kPa}\)).

Question 3 : Pression relative totale (\(P_{\text{rel,B}}\)) au niveau du robinet

Principe :

La pression relative en un point d'un fluide est la pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique. Si la surface libre du réservoir est à la pression atmosphérique, sa pression relative est nulle (0 Pa). La pression relative au robinet est alors directement égale à la pression hydrostatique due à la colonne d'eau au-dessus du robinet, car nous négligeons les pertes de charge et la vitesse de l'eau est considérée comme nulle (robinet fermé).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{rel,B}} = P_h\]

(Car la pression relative à la surface libre \(P_{\text{rel,A}} = 0\))

Données spécifiques :
  • Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) : \(441450 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,B}} &= 441450 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pression relative totale au niveau du robinet est \(P_{\text{rel,B}} = 441450 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur d'eau dans un château d'eau double, la pression relative au robinet (en négligeant les pertes) :

Question 4 : Conversion de la pression relative en bars

Principe :

La pression est souvent exprimée en bars dans les applications pratiques. On sait que \(1 \, \text{bar} = 100000 \, \text{Pa} = 10^5 \, \text{Pa}\). Pour convertir des Pascals en bars, on divise donc par \(10^5\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P (\text{bars}) = \frac{P (\text{Pa})}{10^5}\]
Données spécifiques :
  • Pression relative au robinet (\(P_{\text{rel,B}}\)) : \(441450 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,B}} (\text{bars}) &= \frac{441450 \, \text{Pa}}{100000 \, \text{Pa/bar}} \\ &\approx 4.41 \, \text{bars} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pression relative totale au niveau du robinet est d'environ \(4.41 \, \text{bars}\).

Question 5 : Pression absolue (\(P_{\text{abs,B}}\)) au niveau du robinet

Principe :

La pression absolue en un point est la somme de la pression relative en ce point et de la pression atmosphérique environnante. La pression atmosphérique standard est d'environ \(101325 \, \text{Pa}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{abs,B}} = P_{\text{rel,B}} + P_{\text{atm}}\]
Données spécifiques :
  • Pression relative au robinet (\(P_{\text{rel,B}}\)) : \(441450 \, \text{Pa}\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,B}} &= 441450 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 542775 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_{\text{abs,B}} \approx 542.78 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 5 : La pression absolue au niveau du robinet est \(P_{\text{abs,B}} = 542775 \, \text{Pa}\) (ou \(\approx 542.78 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la pression atmosphérique diminue, la pression absolue en un point immergé (pression hydrostatique relative constante) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique est directement proportionnelle à :

2. La pression relative au fond d'un réservoir ouvert à l'atmosphère et rempli d'eau de hauteur \(h\) est :

3. Un bar équivaut approximativement à :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P_h\))
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Calculée par \(P_h = \rho \cdot g \cdot h\).
Pression Absolue (\(P_{\text{abs}}\))
Pression totale en un point, mesurée par rapport au vide absolu. C'est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique.
Pression Relative (ou Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. Si la surface libre est à la pression atmosphérique, la pression relative en profondeur est égale à la pression hydrostatique.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Bar
Unité de pression couramment utilisée. \(1 \, \text{bar} = 100000 \, \text{Pa}\).
Centre de Gravité
Point d'application de la résultante des forces de pesanteur sur un corps ou une surface.
Centre de Poussée
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée.
Calcul de la Pression d’Eau en Hydraulique - Exercice d'Application

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