Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Comprendre la Pression dans un Réservoir d'Eau

La pression en un point quelconque à l'intérieur d'un volume d'eau au repos (hydrostatique) est due au poids de la colonne d'eau située au-dessus de ce point, ainsi qu'à toute pression appliquée à la surface libre du liquide (comme la pression atmosphérique). Ce principe est fondamental pour la conception des réservoirs, des barrages, des conduites sous pression et de nombreux autres ouvrages hydrauliques. Savoir calculer la pression à différentes profondeurs permet d'assurer la sécurité et la fonctionnalité de ces structures.

Données de l'étude

On considère un réservoir cylindrique ouvert à l'atmosphère, rempli d'eau.

Caractéristiques du réservoir et du fluide :

  • Hauteur de l'eau dans le réservoir (\(h\)) : \(8.0 \, \text{m}\)
  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique à la surface libre de l'eau (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
Schéma : Pression dans un Réservoir d'Eau
P_atm (Surface Libre) Point X (Fond) h = 8.0m Pression Réservoir

Illustration d'un réservoir d'eau ouvert à l'atmosphère, montrant la hauteur d'eau et le point de calcul de la pression au fond.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_h\)) au fond du réservoir due uniquement à la colonne d'eau.
  2. Calculer la pression absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au fond du réservoir.
  3. Exprimer la pression relative au fond du réservoir en bars.

Correction : Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau

Question 1 : Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) au fond du réservoir

Principe :

La pression hydrostatique relative (\(P_h\)) en un point est la pression exercée par le poids de la colonne de fluide au-dessus de ce point. Elle est calculée par la formule \(P_h = \rho \cdot g \cdot h\), où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(g\) est l'accélération due à la gravité, et \(h\) est la hauteur de la colonne de fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_h = \rho \cdot g \cdot h\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Hauteur de l'eau (\(h\)) : \(8.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 8.0 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 8.0 \, \text{m} \\ &= 78480 \, \text{N/m}^2 \\ &= 78480 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_h = 78.48 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression hydrostatique relative au fond du réservoir est \(P_h = 78480 \, \text{Pa}\) (ou \(78.48 \, \text{kPa}\)).

Question 2 : Pression absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au fond du réservoir

Principe :

La pression absolue en un point est la somme de la pression relative (ici, la pression hydrostatique \(P_h\)) et de la pression agissant sur la surface libre du fluide, qui est la pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) puisque le réservoir est ouvert.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{abs}} = P_h + P_{\text{atm}}\]
Données spécifiques :
  • Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) : \(78480 \, \text{Pa}\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs}} &= 78480 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 179805 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_{\text{abs}} \approx 179.81 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression absolue au fond du réservoir est \(P_{\text{abs}} = 179805 \, \text{Pa}\) (ou \(\approx 179.81 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : La pression relative est :

Question 3 : Pression relative au fond du réservoir en bars

Principe :

Pour convertir la pression de Pascals (Pa) en bars, on utilise la relation \(1 \, \text{bar} = 100000 \, \text{Pa} = 10^5 \, \text{Pa}\). La pression relative au fond est la pression hydrostatique \(P_h\) que nous avons calculée, car la surface libre est à la pression atmosphérique (pression relative de 0).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P (\text{bars}) = \frac{P (\text{Pa})}{10^5}\]
Données spécifiques :
  • Pression hydrostatique relative (\(P_h\)) : \(78480 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel, fond}} (\text{bars}) &= \frac{78480 \, \text{Pa}}{100000 \, \text{Pa/bar}} \\ &\approx 0.7848 \, \text{bars} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pression relative au fond du réservoir est d'environ \(0.785 \, \text{bars}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Une pression de 2.5 bars équivaut à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique dépend de :

2. Si un réservoir est ouvert à l'atmosphère, la pression à la surface libre de l'eau est :

3. La pression absolue au fond d'un réservoir ouvert est :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P_h\))
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point.
Pression Absolue (\(P_{\text{abs}}\))
Pression totale en un point, mesurée par rapport au vide absolu. C'est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique.
Pression Relative (ou Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. Pour un réservoir ouvert, la pression relative à la surface est nulle.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Bar
Unité de pression couramment utilisée. \(1 \, \text{bar} = 100000 \, \text{Pa}\).
Surface Libre
Interface entre un liquide et l'atmosphère (ou un autre gaz) au-dessus de lui.
Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau - Exercice d'Application

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