Calcul de la position de l’axe neutre
📝 Situation du Projet : Réhabilitation Industrielle
Vous intervenez en tant qu'ingénieur structure au sein d'un bureau d'études spécialisé dans la réhabilitation du patrimoine industriel. Le projet concerne l'ancienne filature "Les Tissages du Nord", un bâtiment du XIXe siècle dont la structure porteuse est constituée de poutres en fonte moulée.
Le maître d'ouvrage souhaite changer la destination des locaux pour y installer des machines d'impression numérique lourdes. Avant de valider les charges d'exploitation, il est impératif de vérifier la capacité portante des poutres principales. Or, contrairement aux profilés en acier modernes (IPE, HEA) qui sont doublement symétriques, ces poutres en fonte présentent une section en "T" inversé atypique. La fonte étant un matériau fragile (résistant bien à la compression mais mal à la traction), la position exacte de l'axe neutre est la donnée critique absolue pour déterminer les contraintes maximales en traction et en compression dans la section.
En tant qu'Expert Structure, vous devez déterminer géométriquement la position exacte du centre de gravité (G) de la section transversale de la poutre. Cette position définira l'axe neutre (fibre neutre) autour duquel la poutre fléchit, permettant ultérieurement le calcul du moment quadratique et des contraintes normales.
"Attention, la géométrie n'est pas symétrique selon l'axe horizontal \( \text{(z)} \). Ne faites pas l'erreur de placer le centre de gravité à mi-hauteur ! La semelle inférieure tire le centre de gravité vers le bas. Soyez précis au millimètre près."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre géométrique exact de la section transversale de la poutre en T, relevé sur site par l'équipe de géomètres.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
Pour cette étude de vérification d'un ouvrage existant ancien, nous nous basons sur les principes fondamentaux de la statique et de la résistance des matériaux, en l'absence de certification Eurocode d'origine.
Théorie des Poutres (Bernoulli)Théorème de Varignon (Moments Statiques)La section droite de la poutre est décomposée en deux rectangles élémentaires pour simplifier les calculs d'inertie. Voici les caractéristiques géométriques relevées :
- La Semelle (Rectangle 1) : Située en partie inférieure, elle est large et massive pour reprendre les efforts de traction, point faible de la fonte.
- L'Âme (Rectangle 2) : Située en partie supérieure, elle est plus fine et sert principalement à assurer la hauteur totale de la section pour maximiser l'inertie verticale.
| SEMELLE INFÉRIEURE (RECTANGLE 1) | |
| Largeur | b1 = 200 mm (20 cm) |
| Hauteur | h1 = 40 mm (4 cm) |
| ÂME SUPÉRIEURE (RECTANGLE 2) | |
| Largeur | b2 = 40 mm (4 cm) |
| Hauteur | h2 = 260 mm (26 cm) |
🧮 Paramètres Dérivés & Matériau
Certaines données sont déduites directement de l'assemblage des deux rectangles ou des propriétés intrinsèques du matériau historique :
- Hauteur Totale H : Somme des hauteurs \( h_1 \) et \( h_2 \), soit 300 mm.
- Axe de symétrie : La section est symétrique par rapport à l'axe vertical \( \text{(Oy)} \), ce qui implique que le centre de gravité se trouve obligatoirement sur cet axe.
- Matériau : Fonte Grise GL-250 (Masse volumique approx. \( 7200 \text{ kg/m}^3 \)).
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer avec précision la position de l'axe neutre, nous appliquerons le principe de décomposition des aires. Cette méthode est systématique et réduit le risque d'erreur de calcul.
Discrétisation de la Section
Découpage de la section complexe en formes géométriques simples (rectangles) dont les propriétés (aire, centre) sont connues.
Identification des Centres Locaux
Détermination des coordonnées verticales (\( y_i \)) du centre de gravité de chaque sous-section par rapport au repère global.
Calcul Barycentrique (Varignon)
Application du théorème des moments statiques pour pondérer la position de chaque centre par son aire respective.
Moment Quadratique (Inertie)
Calcul de l'inertie globale (\( I_{Gz} \)) autour du nouvel axe neutre en utilisant le théorème de Huygens (transport des inerties).
Calcul de la position de l’axe neutre
🎯 Objectif Scientifique
La première étape consiste à transformer notre problème complexe (une forme en T) en une somme de problèmes simples. Nous allons appliquer le principe de superposition. L'objectif est de calculer les "poids" surfaciques de chaque partie, car dans le calcul du centre de gravité, c'est la surface (l'aire) qui joue le rôle de la masse.
📚 Référentiel
Géométrie EuclidienneNous observons une symétrie verticale. Cela signifie que le centre de gravité se trouve obligatoirement sur l'axe vertical \( y \). La coordonnée horizontale \( z_G \) est donc nulle par symétrie (au milieu de la largeur). Nous n'avons donc besoin de calculer QUE la position verticale \( y_G \). Pour simplifier les ordres de grandeur et éviter les erreurs de conversion ultérieures (notamment pour l'inertie en \( \text{cm}^4 \)), nous allons convertir toutes les dimensions en centimètres (cm) dès maintenant.
L'aire d'une section plane est une grandeur géométrique scalaire. Pour une section composite, l'aire totale est strictement égale à la somme des aires des sous-parties disjointes. C'est une propriété additive fondamentale :
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur Semelle (\( b_1 \)) | 200 mm |
| Hauteur Semelle (\( h_1 \)) | 40 mm |
| Largeur Âme (\( b_2 \)) | 40 mm |
| Hauteur Âme (\( h_2 \)) | 260 mm |
Convertissez vos mm en cm immédiatement. Si vous calculez en \( \text{mm}^2 \), vous aurez des millions (\( 10^6 \)). En \( \text{cm}^2 \), vous aurez des centaines, plus simples à manipuler mentalement.
📝 Calculs Détaillés
1. Conversion des unités (Manipulation Préalable) :
Pour éviter des nombres trop grands en millimètres, on divise par 10 pour passer en centimètres.
2. Calcul de l'Aire de la Semelle (\( A_1 \)) :
On applique la formule de l'aire au rectangle 1 (bas).
3. Calcul de l'Aire de l'Âme (\( A_2 \)) :
On applique la même formule au rectangle 2 (haut).
4. Aire Totale de la Section (\( A_{\text{tot}} \)) :
On additionne les aires partielles.
✅ Interprétation Globale
La section totale représente \( 184 \text{ cm}^2 \) de matière. On remarque que l'âme représente plus de surface que la semelle (\( 104 \) vs \( 80 \text{ cm}^2 \)), ce qui est contre-intuitif visuellement car elle est fine. Cela influencera la position du centre de gravité vers le haut.
\( 184 \text{ cm}^2 \) correspond à un carré de \( 13,5 \text{ cm} \) de côté. C'est un ordre de grandeur cohérent pour une poutre structurelle de cette taille.
Ne jamais additionner des largeurs ou des hauteurs pour trouver l'aire. L'aire est une surface, pas une longueur.
🎯 Objectif Scientifique
Il faut maintenant localiser le centre de chaque rectangle par rapport à notre origine commune (O) située tout en bas de la section (fibre inférieure). C'est l'étape la plus source d'erreurs : il ne faut pas confondre la "hauteur locale" (\( h/2 \)) avec la "position globale" (\( y \)).
📚 Référentiel
Repère Cartésien AbsoluPour la semelle (1), posée sur le sol, son centre est simplement à mi-hauteur. Mais pour l'âme (2), elle est "perchée" sur la semelle. Son centre local est à mi-hauteur de l'âme, mais il faut ajouter toute la hauteur de la semelle pour savoir à quelle altitude il se trouve par rapport à zéro ! C'est le principe du cumul des cotes.
Le centre de gravité d'un rectangle uniforme est à l'intersection de ses diagonales, soit à \( h/2 \) par rapport à sa base.
📐 Formules Clés
Si la base du rectangle est à une altitude \( y_{\text{base}} \) :
Cette formule permet de projeter la position locale dans le repère global.
📋 Données d'Entrée
| Élément | Base (\( y_{\text{base}} \)) | Hauteur (\( h \)) |
|---|---|---|
| Semelle | 0 cm | 4 cm |
| Âme | 4 cm | 26 cm |
Dessinez l'axe y à côté de votre schéma et notez les altitudes des "joints" entre les rectangles (0, 4, 30). Cela rend le calcul évident.
📝 Calculs Détaillés
1. Ordonnée du centre de la Semelle (\( y_{G1} \)) :
La semelle repose sur l'axe (base = 0). On prend juste la moitié de sa hauteur.
Le centre de gravité \( G_1 \) est à 2 cm du sol.
2. Ordonnée du centre de l'Âme (\( y_{G2} \)) :
L'âme commence en haut de la semelle (base = 4 cm). On ajoute la moitié de la hauteur de l'âme (\( 26/2 = 13 \text{ cm} \)) à cette base.
Le centre de gravité \( G_2 \) est à 17 cm du sol.
✅ Interprétation Globale
Nous avons défini les "points d'application" des aires. \( G_1 \) est très bas, \( G_2 \) est assez haut. Le centre de gravité final sera un compromis entre ces deux positions.
\( G_2 \) (17) est bien plus haut que \( G_1 \) (2), et \( 17 < 30 \) (hauteur totale). C'est cohérent.
L'erreur classique est de dire que \( y_{G2} = 13 \text{ cm} \). C'est faux, car cela placerait le centre de l'âme à l'intérieur de la semelle ! N'oubliez pas le décalage.
🎯 Objectif Scientifique
Nous allons fusionner les résultats précédents pour trouver le point d'équilibre de l'ensemble. L'axe neutre passe par ce centre de gravité global (G). C'est l'axe où, lors de la flexion, les contraintes sont nulles (ni compression, ni traction).
📚 Référentiel
Théorème de VarignonLe principe est celui d'une balance. Imaginez que l'aire est une masse. Le moment statique total (Masse Totale × Bras de levier Global) doit être égal à la somme des moments statiques de chaque partie (Masse Partielle × Bras de levier Partiel). \( y_G \) est donc le point d'équilibre, la moyenne pondérée des positions \( y_i \) par les aires \( A_i \).
Le moment statique par rapport à l'axe Oz est :
L'ordonnée du centre de gravité est le rapport de ce moment sur l'aire totale.
📐 Formules Clés
La moyenne pondérée s'écrit :
C'est la somme des (Aires * Positions) divisée par la Somme des Aires.
📋 Données d'Entrée
| Variable | Valeur |
|---|---|
| \( A_1 \) | 80 cm² |
| \( y_{G1} \) | 2 cm |
| \( A_2 \) | 104 cm² |
| \( y_{G2} \) | 17 cm |
Vérifiez toujours que le résultat final se trouve ENTRE \( y_{G1} \) et \( y_{G2} \). Sinon, c'est impossible.
📝 Calculs Détaillés
1. Calcul du Moment Statique Total (Numérateur) :
On multiplie chaque aire par son ordonnée et on additionne. C'est le "poids" de la géométrie.
Le moment statique vaut \( 1928 \text{ cm}^3 \).
2. Division par l'Aire Totale :
On divise le moment par l'aire totale pour obtenir la distance moyenne.
L'axe neutre est situé à \( 10,48 \text{ cm} \) du bas de la poutre.
3. Position fibre supérieure (\( v' \)) :
On soustrait \( y_G \) de la hauteur totale (30 cm) pour savoir ce qu'il reste au-dessus.
Il y a \( 19,52 \text{ cm} \) de matière comprimée au-dessus de l'axe neutre.
✅ Interprétation Globale
Le centre de gravité est situé à \( 10,48 \text{ cm} \) du bas. C'est bien plus bas que la mi-hauteur géométrique (15 cm). Cela s'explique par la présence de la large semelle en bas qui "attire" le centre de gravité vers elle. C'est cohérent avec la fonction d'une poutre en fonte : avoir beaucoup de matière en bas (zone tendue) pour compenser la faiblesse du matériau en traction.
\( 10,48 \) est bien compris entre 2 et 17. Le résultat semble correct.
Ne pas arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires. Gardez 3 décimales pour la suite.
🎯 Objectif Scientifique
Maintenant que nous avons l'axe neutre, nous devons calculer la rigidité flexionnelle de la poutre. Comme les centres locaux \( G_1 \) et \( G_2 \) ne sont pas confondus avec le centre global \( G \), nous ne pouvons pas simplement sommer les inerties \( bh^3/12 \). Il faut appliquer un terme correctif de transport.
📚 Référentiel
Théorème de HuygensL'inertie totale est la somme des inerties propres de chaque rectangle PLUS un terme lié à l'éloignement de chaque rectangle par rapport à l'axe neutre global. Plus de matière est éloignée de l'axe neutre, plus l'inertie augmente (terme en \( d^2 \)).
Le théorème de Huygens dit que l'inertie par rapport à un axe décalé est égale à l'inertie propre plus le produit de l'aire par le carré de la distance de décalage.
📐 Formules Clés
Pour chaque élément i :
Terme gauche : Inertie Propre (forme). Terme droite : Inertie de Transport (position).
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Semelle (1) | Âme (2) | Global |
|---|---|---|---|
| b (cm) | 20 | 4 | - |
| h (cm) | 4 | 26 | - |
| \( y_G \) (cm) | 2 | 17 | 10,48 |
Calculez d'abord la distance \( d = |y_G - y_{Gi}| \) pour chaque élément. Élevez-la au carré tout de suite.
📝 Calculs Détaillés
1. Inertie de la Semelle (\( I_1 \)) :
On calcule d'abord la distance de transport \( d_1 = |10,48 - 2| = 8,48 \text{ cm} \). Puis on applique Huygens.
La semelle a une faible inertie propre (plate) mais une énorme inertie de transport car elle est loin de l'axe neutre.
2. Inertie de l'Âme (\( I_2 \)) :
Distance de transport \( d_2 = |10,48 - 17| = 6,52 \text{ cm} \).
L'âme a une très forte inertie propre car elle est haute.
3. Inertie Totale (\( I_{Gz} \)) :
Somme simple des deux résultats.
✅ Interprétation Globale
La rigidité totale est de \( 16139 \text{ cm}^4 \). C'est une valeur élevée pour la quantité de matière utilisée.
C'est inférieur à un bloc plein de même taille (45000), mais bien supérieur à deux barres séparées.
N'oubliez pas le carré sur la distance ! C'est l'erreur numéro 1.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
ROUVROY
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 10/10/2023 | Création du document | Ing. Junior |
| B | 12/10/2023 | Validation calculs inertie | Expert Struct. |
Poutre principale en fonte moulée, section en T inversé.
| Largeur Semelle (\( b_1 \)) | 200 mm |
| Hauteur Semelle (\( h_1 \)) | 40 mm |
| Hauteur Totale (\( H \)) | 300 mm |
| Aire Totale (\( A_{\text{tot}} \)) | 184 cm² |
L'Expert IA
Dir. Technique
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