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Calcul de la position de l’axe neutre

Calcul de l’Axe Neutre d’une Section en C en RdM

Calcul de la Position de l’Axe Neutre d’une Section en C

Contexte : Sections Dissymétriques en Construction Métallique.

Les profilés en C (ou en U) sont très utilisés en construction, notamment comme pannes de toiture ou comme montants dans les ossatures légères. Contrairement à un profilé en I, leur centre de gravité n'est pas au centre géométrique de la section globale. Déterminer la position exacte de l'axe neutreL'axe passant par le centre de gravité géométrique de la section droite d'une poutre. En flexion pure, les fibres situées sur cet axe ne sont ni tendues, ni comprimées. est donc une étape cruciale et non triviale pour analyser correctement leur comportement en flexion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode de décomposition pour une section symétrique selon un seul axe. Nous allons la décomposer en trois rectangles simples (deux semelles et une âme) pour trouver le centre de gravité global. Bien que la section soit symétrique verticalement, le calcul de la position horizontale de l'axe neutre est un bon entraînement pour aborder ensuite des sections totalement dissymétriques.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les axes de symétrie d'une section pour simplifier le problème.
  • Décomposer une section en C en trois rectangles élémentaires.
  • Appliquer la formule du barycentre pour déterminer la position horizontale de l'axe neutre (XG).
  • Comprendre l'influence de chaque partie de la section (âme et semelles) sur la position du centre de gravité.

Données de l'étude

On étudie un profilé en C en acier. L'épaisseur de l'âme et des semelles est constante et vaut 10 mm. Les autres dimensions sont indiquées sur le schéma ci-dessous (en mm).

Schéma de la section en C
H = 300 B = 140 t_w=10 t_f=10 x=0

Questions à traiter

  1. Grâce à la symétrie, déterminer la position verticale YG de l'axe neutre.
  2. Décomposer la section en trois rectangles et calculer leurs aires et les positions xi de leurs centres de gravité respectifs.
  3. Calculer la position horizontale XG de l'axe neutre de la section complète.

Correction : Calcul de la position de l’axe neutre d’une Section en C

Question 1 : Position Verticale de l'Axe Neutre (YG)

Principe (le concept physique)

Le centre de gravité d'un corps est le point d'équilibre de toutes les forces de pesanteur agissant sur ses particules. Pour une section plane homogène, cela correspond au barycentre géométrique de sa surface.

Mini-Cours (approfondissement théorique)
La Symétrie et le Centre de Gravité :

Un des théorèmes fondamentaux de la statique stipule que si un corps (ou une surface) admet un plan (ou un axe) de symétrie, son centre de gravité se trouve nécessairement dans ce plan (ou sur cet axe). C'est une propriété puissante qui simplifie grandement la recherche du centre de gravité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Remarque Pédagogique :

Prenez toujours quelques secondes pour inspecter visuellement la géométrie avant de vous lancer dans les calculs. L'identification d'un axe de symétrie peut vous faire gagner un temps précieux et réduire de moitié le nombre de calculs à effectuer.

Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce :

Pour la section en C, l'axe horizontal passant par H/2 est un axe de symétrie évident. La semelle du haut est le miroir parfait de la semelle du bas par rapport à cet axe. Donc, la coordonnée Y du centre de gravité est immédiatement connue.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Position de l'axe de symétrie :

\[ Y_G = \frac{\text{Hauteur totale}}{2} \]
Schéma (Avant les calculs)
Identification de l'axe de symétrie horizontal
Axe de symétrie
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la position verticale de l'axe neutre (Y_G) :

\[ \begin{aligned} Y_G &= \frac{H}{2} \\ &= \frac{300}{2} \\ &= 150 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position de l'axe neutre horizontal
Y_G = 150
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Réflexions :

Le résultat YG = 150 mm confirme que l'axe neutre horizontal est situé exactement à mi-hauteur. Cela signifie que lors d'une flexion autour de cet axe, la contrainte maximale en traction sur la fibre inférieure sera égale en valeur absolue à la contrainte maximale en compression sur la fibre supérieure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Points à retenir :

Un axe de symétrie contient toujours le centre de gravité. L'identification de la symétrie est la première étape de l'analyse d'une section.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q1) : L'axe neutre est situé à une hauteur de \(Y_G = 150 \, \text{mm}\) par rapport à la base de la section.

Question 2 : Aires et Centres de Gravité Locaux

Principe (le concept physique)

Pour trouver le centre de gravité d'une forme complexe, on la décompose en formes simples dont les propriétés sont connues. Chaque forme simple contribue au centre de gravité global en fonction de son "poids" (son aire) et de sa position.

Mini-Cours (approfondissement théorique)
Méthode de Décomposition :

Cette méthode est une application directe du concept de barycentre. La section totale peut être vue comme la somme de ses parties. Le moment statique total de la section par rapport à un axe est égal à la somme des moments statiques de ses parties par rapport à ce même axe. C'est de cette égalité que découle la formule du barycentre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire d'un rectangle :

\[ A_{\text{rectangle}} = \text{base} \times \text{hauteur} \]

Position du centre de gravité d'un rectangle :

\[ x_{G, \text{rectangle}} = \text{position de son côté gauche} + \frac{\text{base}}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Données :
  • Hauteur totale H = 300 mm
  • Largeur totale B = 140 mm
  • Épaisseur âme tw = 10 mm
  • Épaisseur semelle tf = 10 mm
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la section en 3 rectangles
Rect. 1 Rect. 2 Rect. 3
Calcul(s) (l'application numérique)

Pour le rectangle 1 (âme) :

\[ \begin{aligned} A_1 &= t_w \times H \\ &= 10 \times 300 \\ &= 3000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{t_w}{2} \\ &= \frac{10}{2} \\ &= 5 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Pour les rectangles 2 et 3 (semelles) :

\[ \begin{aligned} A_2 = A_3 &= (B - t_w) \times t_f \\ &= (140 - 10) \times 10 \\ &= 1300 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x_2 = x_3 &= t_w + \frac{B - t_w}{2} \\ &= 10 + \frac{130}{2} \\ &= 75 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positions des centres de gravité locaux
G1(5) G2(75) G3(75)
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Points de vigilance :

Attention à bien définir les dimensions de chaque rectangle. La base des semelles n'est pas B, mais (B - tw). De même, la position x₂ n'est pas (B-tw)/2, mais tw + (B-tw)/2 car notre repère est à gauche de l'âme.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q2) : A₁=3000 mm², x₁=5 mm ; A₂=A₃=1300 mm², x₂=x₃=75 mm.

Question 3 : Position Horizontale de l'Axe Neutre (XG)

Principe (le concept physique)

Le centre de gravité global est le barycentre des centres de gravité des formes simples, où chaque position est pondérée par l'aire de sa forme. On applique la formule du barycentre pour trouver la coordonnée XG.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du barycentre des aires :

\[ X_G = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3}{A_1 + A_2 + A_3} \]
Schéma (Avant les calculs)
Centres de gravité locaux (données d'entrée)
G1(5) G2(75) G3(75)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la position de l'axe neutre (X_G) :

\[ \begin{aligned} X_G &= \frac{(3000 \times 5) + (1300 \times 75) + (1300 \times 75)}{3000 + 1300 + 1300} \\ &= \frac{15000 + 97500 + 97500}{5600} \\ &= \frac{210000}{5600} \\ &= 37.5 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Centre de Gravité Global G
G (37.5, 150)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Réflexions :

Le résultat XG = 37.5 mm est bien plus proche de x₁=5 mm que de x₂=75 mm. Cela confirme notre intuition : l'âme, ayant une aire supérieure à la somme des semelles, "tire" le centre de gravité vers elle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Points à retenir :

La formule du barycentre est l'outil central pour les sections composées. Le centre de gravité est toujours "attiré" par les zones de plus grande aire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q3) : Le centre de gravité est à \(X_G = 37.5 \, \text{mm}\) de l'âme et \(Y_G = 150 \, \text{mm}\) de la base.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
À vous de jouer :

Si l'épaisseur de l'âme (tw) passait à 20 mm (au lieu de 10), quelle serait la nouvelle position XG ?

Mini Fiche Mémo : Calcul de l'Axe Neutre

ÉtapeActionFormule Clé
1. SymétrieIdentifier les axes de symétrie pour trouver une ou plusieurs coordonnées de G sans calcul.-
2. DécomposerDiviser la section en formes simples.-
3. Aires & Centres LocauxCalculer l'aire Ai et la position (xi, yi) de chaque forme.\(A_{\text{rect}} = b \times h\)
4. Axe Neutre GlobalCalculer le barycentre des aires pour les coordonnées inconnues.\(X_G = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}\)

Outil Interactif : Influence de la Géométrie

Modifiez la largeur des semelles (B) pour voir comment l'axe neutre horizontal se déplace.

Paramètres d'Entrée
140 mm
Résultats des Propriétés
Aire Totale (mm²)-
Position XG (mm)-

Le Saviez-Vous ?

Pour les profilés en C, le centre de gravité n'est pas confondu avec le "centre de cisaillement". Si une force verticale est appliquée au centre de gravité, la poutre va non seulement fléchir mais aussi se tordre. Pour éviter cette torsion, la force doit être appliquée au centre de cisaillement, qui est situé plus à gauche que le centre de gravité.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'axe neutre est-il si important ?

C'est le point de référence pour le calcul des contraintes de flexion. La contrainte est maximale dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre et nulle sur l'axe lui-même. Sans connaître sa position, impossible de vérifier la résistance d'une poutre.

Et si la section n'a aucun axe de symétrie ?

Dans ce cas, il faut faire le calcul pour les deux directions. On calcule d'abord YG en utilisant la formule du barycentre avec les positions yi, puis on calcule XG en utilisant la même formule avec les positions xi.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'épaisseur de l'âme (t_w) uniquement, où se déplace l'axe neutre horizontal (X_G) ?

2. Dans notre exercice, la position verticale de l'axe neutre (Y_G) a été trouvée :

Axe Neutre
L'axe passant par le centre de gravité géométrique de la section droite d'une poutre. En flexion, les contraintes normales y sont nulles.
Moment d'Inertie
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. On le note souvent I ou J.
Théorème de Huygens
Théorème des axes parallèles qui permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, à partir de l'inertie par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de gravité.
Calcul de la Position de l’Axe Neutre d’une Section en C

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