EGC

Calcul de la pente d’une charpente en bois

Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois (Génie Civil)

Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois

Contexte : L'art de la pente en charpente, un enjeu technique et culturel.

La pente d'une toiture est l'un des choix les plus fondamentaux lors de la conception d'un bâtiment. Elle ne détermine pas seulement son aspect esthétique, mais répond aussi à des contraintes cruciales : l'évacuation des eaux de pluie, la résistance aux charges de neige, le type de couverture possible et l'aménagement des combles. Savoir calculer précisément une pente et les longueurs des éléments de charpente qui en découlent est une compétence de base pour tout ingénieur, architecte ou charpentier. Cet exercice vous guidera à travers les calculs trigonométriques simples qui régissent la géométrie d'une ferme de charpente traditionnelle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la géométrie et de la trigonométrie au domaine de la construction bois. Nous allons utiliser des dimensions de base (portée et hauteur) pour en déduire des caractéristiques essentielles comme la pente (en pourcentage et en degrés) et la longueur des arbalétriersPièce maîtresse inclinée d'une ferme de charpente, qui supporte les pannes et la couverture. C'est l'équivalent du chevron dans une charpente plus simple.. C'est une démarche indispensable pour dessiner les plans d'exécution et tailler les pièces de bois en atelier.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la définition de la pente d'une toiture.
  • Calculer une pente en pourcentage à partir de dimensions données.
  • Convertir une pente en pourcentage en un angle en degrés en utilisant la trigonométrie (arc tangente).
  • Calculer la longueur d'un rampant (arbalétrier) en utilisant le théorème de Pythagore.
  • Se familiariser avec le vocabulaire de base de la charpente (portée, flèche, rampant).

Données de l'étude

On étudie une ferme de charpente traditionnelle à deux versants symétriques. La géométrie de la ferme est définie par sa portée (la largeur totale qu'elle franchit) et sa flèche (la hauteur du faîtage par rapport à la base).

Schéma de la ferme de charpente
Portée = 9.00 m Flèche (H) = 3.00 m Demi-portée (L) = 4.50 m Arbalétrier (R) α
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée totale de la ferme - 9.00 \(\text{m}\)
Flèche (hauteur au faîtage) \(H\) 3.00 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pente de la toiture en pourcentage (%).
  2. Calculer l'angle de la pente \(\alpha\) en degrés.
  3. Calculer la longueur exacte du rampant de l'arbalétrier (\(R\)).

Les bases de la géométrie de charpente

Avant la correction, revoyons les outils mathématiques indispensables.

1. La Pente en Pourcentage :
La pente est un rapport qui exprime le dénivelé vertical pour une distance horizontale donnée. Elle se calcule en divisant la hauteur (H) par la demi-portée (L), puis en multipliant par 100. \[ \text{Pente} (\%) = \frac{\text{Hauteur}}{\text{Distance Horizontale}} \times 100 = \frac{H}{L} \times 100 \] Une pente de 100% correspond à un angle de 45°, où la hauteur est égale à la distance horizontale.

2. La Trigonométrie (SOH CAH TOA) :
Pour trouver l'angle \(\alpha\) à partir des longueurs, on utilise les fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle formé par la hauteur, la demi-portée et l'arbalétrier : \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{H}{L} \] Pour trouver l'angle, on utilise la fonction inverse, l'arc tangente : \(\alpha = \arctan\left(\frac{H}{L}\right)\).

3. Le Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (ici, l'arbalétrier R) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (H et L). \[ R^2 = H^2 + L^2 \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{H^2 + L^2} \] Cet outil est fondamental pour calculer la longueur des pièces inclinées.

Correction : Calcul de la Pente de la Charpente

Question 1 : Calculer la pente de la toiture en pourcentage (%)

Principe (le concept physique)

La pente en pourcentage exprime le rapport entre le dénivelé vertical et la distance horizontale. C'est une manière très visuelle et pratique, utilisée sur les chantiers et les panneaux de signalisation, de quantifier une inclinaison. Pour notre charpente, il s'agit de calculer de combien de mètres on monte verticalement pour chaque mètre parcouru horizontalement, puis de l'exprimer en pourcentage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pente est la tangente de l'angle d'inclinaison, multipliée par 100. C'est une mesure directe du rapport des côtés du triangle rectangle qui définit la charpente. Cette valeur est cruciale car elle conditionne directement le choix des matériaux de couverture : certaines tuiles ne peuvent pas être posées en dessous d'une certaine pente pour garantir l'étanchéité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas la portée totale avec la distance horizontale à utiliser pour le calcul. La pente d'un versant de toiture est définie par un triangle rectangle dont la base est la demi-portée. Utiliser la portée totale est une erreur classique qui diviserait votre résultat par deux.

Normes (la référence réglementaire)

Les Documents Techniques Unifiés (DTU) de la série 40 (Couvertures) spécifient les pentes minimales admissibles pour chaque type de matériau de couverture en fonction de la zone géographique (exposition à la pluie, au vent, à la neige). Le calcul de la pente est donc la première étape pour vérifier la conformité d'un projet à ces normes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Demi-portée :

\[L = \frac{\text{Portée}}{2}\]

Pente en pourcentage :

\[\text{Pente} \, (\%) = \frac{H}{L} \times 100\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la ferme est parfaitement symétrique et que les mesures de portée et de flèche sont exactes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Portée totale = \(9.00 \, \text{m}\)
  • Flèche (Hauteur) \(H = 3.00 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant tout calcul, simplifiez le rapport H/L si possible. Ici, H=3.00 et L=4.50. On peut voir que 4.5 est 1.5 fois plus grand que 3. Le rapport est donc 3 / 4.5 = 1 / 1.5 = 2/3. Il suffit ensuite de multiplier ce rapport simple par 100.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de Pente
L = 4.50 mH = 3.00 mPente (%) = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la demi-portée (L) :

\[ \begin{aligned} L &= \frac{9.00 \, \text{m}}{2} \\ &= 4.50 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calculer la pente :

\[ \begin{aligned} \text{Pente} \, (\%) &= \frac{H}{L} \times 100 \\ &= \frac{3.00 \, \text{m}}{4.50 \, \text{m}} \times 100 \\ &= 0.6667 \times 100 \\ &\approx 66.7 \, \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Pente Calculée
100 m66.7 mPente = 66.7 %
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une pente de 66.7% signifie que pour chaque 100 cm parcourus horizontalement, le toit s'élève de 66.7 cm. C'est une pente assez forte, typique des régions où il peut y avoir de la neige ou des fortes pluies, car elle assure un excellent écoulement de l'eau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est de confondre la pente en pourcentage et l'angle en degrés. Une pente de 100% n'est pas un mur vertical, mais un angle de 45°. De même, une pente de 50% n'est pas un angle de 22.5°, mais de 26.6°. Il ne faut jamais faire de simple proportionnalité entre les deux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La pente en % est le rapport (Hauteur / Distance Horizontale) × 100.
  • La distance horizontale est la demi-portée pour une toiture symétrique.
  • Une pente de 100% correspond à H = L.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines régions montagneuses comme les Alpes, les pentes des toitures sont traditionnellement faibles. Cela peut paraître contre-intuitif, mais une pente faible permet de retenir une épaisse couche de neige qui agit alors comme un excellent isolant thermique naturel contre le froid intense de l'hiver.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on le pourcentage plutôt que les degrés ?

Le pourcentage est souvent plus pratique sur le terrain. Un charpentier peut facilement mesurer une distance horizontale de 1 mètre, puis mesurer le dénivelé vertical correspondant avec un niveau et un mètre, ce qui lui donne directement la pente sans avoir besoin d'un rapporteur d'angle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pente de la toiture est d'environ 66.7 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une portée de 12 m et une flèche de 3 m, quelle serait la pente en pourcentage ?

Question 2 : Calculer l'angle de la pente α en degrés

Principe (le concept physique)

L'angle en degrés est une autre façon de représenter l'inclinaison de la toiture. Il est plus utilisé en bureau d'études et dans les calculs scientifiques. Le calcul consiste à utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle formé par la charpente pour convertir le rapport des longueurs (H/L) en un angle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction tangente (\(\tan\)) relie l'angle d'un triangle rectangle au rapport de son côté opposé sur son côté adjacent. La fonction réciproque, l'arc tangente (\(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\) sur les calculatrices), permet de faire l'opération inverse : à partir du rapport des côtés, elle nous donne l'angle correspondant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Degrés" (DEG) et non en "Radians" (RAD) ou "Grades" (GRAD). C'est une source d'erreur très fréquente en trigonométrie. Un angle en radians sera une petite valeur (ex: 0.588 rad pour notre exercice), ce qui doit vous alerter.

Normes (la référence réglementaire)

Bien que les DTU parlent souvent en pourcentage de pente, les normes de calcul plus théoriques, comme celles concernant les effets du vent (Eurocode 1-4) ou de la neige, utilisent les angles en degrés pour définir les coefficients de pression ou de forme qui s'appliquent sur les versants de la toiture.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation tangente :

\[\tan(\alpha) = \frac{H}{L}\]

Calcul de l'angle :

\[\alpha = \arctan\left(\frac{H}{L}\right)\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul est purement géométrique et repose sur les dimensions exactes de la ferme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur \(H = 3.00 \, \text{m}\)
  • Demi-portée \(L = 4.50 \, \text{m}\) (calculée à la Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport H/L a déjà été calculé à la question 1, c'est la pente divisée par 100 (soit 0.6667). Il n'est pas nécessaire de refaire la division. Il suffit de calculer l'arc tangente de cette valeur.

Schéma (Avant les calculs)
Angle et Côtés du Triangle
Adjacent (L)Opposé (H)α = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le rapport H/L :

\[ \begin{aligned} \frac{H}{L} &= \frac{3.00 \, \text{m}}{4.50 \, \text{m}} \\ &\approx 0.6667 \end{aligned} \]

2. Calculer l'angle :

\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(0.6667) \\ &\approx 33.7^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Angle de Pente Calculé
α ≈ 33.7°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un angle de 33.7° confirme que la pente est assez prononcée. Cette valeur sera utilisée dans les calculs de structure pour déterminer comment les charges verticales (poids, neige) se décomposent en efforts de compression dans les arbalétriers et en efforts de traction dans l'entrait (la base de la ferme).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice (Degrés/Radians). De plus, n'inversez pas H et L dans la formule de la tangente. \(\arctan(L/H)\) donnerait l'angle complémentaire, c'est-à-dire l'angle au niveau du faîtage, ce qui n'est pas ce que l'on cherche habituellement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'angle \(\alpha\) est lié à la pente par la fonction tangente : \(\text{Pente} (\%) = \tan(\alpha) \times 100\).
  • On trouve l'angle avec la fonction arc tangente : \(\alpha = \arctan(H/L)\).
  • L'angle est essentiel pour la décomposition des forces dans la structure.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'architecte romain Vitruve, dans son traité "De architectura", recommandait déjà des pentes de toiture spécifiques. Il ne parlait pas en degrés mais en fractions, recommandant une pente de "un cinquième" (soit 20%, ou 11.3°) pour les tuiles romaines, une valeur encore considérée comme un minimum pour de nombreux types de tuiles aujourd'hui.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser sinus ou cosinus ?

Oui, mais seulement si vous connaissez déjà la longueur du rampant (R). Par exemple, si vous connaissez R et H, vous pouvez utiliser \(\sin(\alpha) = H/R\). Cependant, comme on part généralement des dimensions H et L, la fonction tangente est la plus directe et la plus simple à utiliser.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'angle de la pente \(\alpha\) est d'environ 33.7°.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une pente de 100%, quel est l'angle en degrés ?

Question 3 : Calculer la longueur exacte du rampant de l'arbalétrier (R)

Principe (le concept physique)

La longueur de l'arbalétrier (le rampant) est la distance réelle que le bois devra couvrir. C'est l'hypoténuse du triangle rectangle que nous étudions. Le calcul de cette longueur est indispensable pour commander la bonne quantité de bois et pour le tailler aux bonnes dimensions. On utilise pour cela le théorème de Pythagore.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne. Il établit un lien direct entre les trois côtés d'un triangle rectangle. En charpente, il permet de "développer" une vue en plan (avec des longueurs horizontales) pour trouver les "vraies longueurs" des pièces inclinées, ce qui est la base du métier de charpentier-traceur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le théorème de Pythagore est votre meilleur ami en charpente. N'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin du calcul ! Une erreur fréquente est de s'arrêter à \(R^2\). Le résultat doit être une longueur, donc logiquement supérieure à la longueur des deux autres côtés (L et H).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme pour le théorème de Pythagore lui-même, mais les plans d'exécution de charpente, qui sont des documents contractuels, doivent impérativement mentionner les longueurs exactes des pièces. Ces longueurs, calculées précisément, garantissent que la charpente s'assemblera correctement sur le chantier.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Théorème de Pythagore :

\[R^2 = H^2 + L^2\]

Longueur du rampant :

\[R = \sqrt{H^2 + L^2}\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul donne la longueur de l'axe neutre de l'arbalétrier, d'un point de jonction à l'autre. On ne tient pas compte ici des assemblages (tenons, mortaises) qui nécessiteraient des calculs de géométrie plus détaillés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur \(H = 3.00 \, \text{m}\)
  • Demi-portée \(L = 4.50 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi utiliser la trigonométrie. Puisque nous avons calculé \(\alpha \approx 33.7^\circ\), on peut utiliser le cosinus : \(\cos(\alpha) = L/R\). Donc \(R = L / \cos(\alpha) = 4.50 / \cos(33.7^\circ)\). C'est un excellent moyen de vérifier son calcul fait avec Pythagore.

Schéma (Avant les calculs)
Relation de Pythagore
L = 4.50H = 3.00R = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Mettre les longueurs au carré :

\[ \begin{aligned} H^2 &= (3.00 \, \text{m})^2 = 9.00 \, \text{m}^2 \\ L^2 &= (4.50 \, \text{m})^2 = 20.25 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Additionner les carrés :

\[ \begin{aligned} R^2 &= 9.00 \, \text{m}^2 + 20.25 \, \text{m}^2 \\ &= 29.25 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

3. Calculer la racine carrée :

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{29.25 \, \text{m}^2} \\ &\approx 5.408 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Longueurs Finales de la Ferme
Portée = 9.00 mH = 3.00 mR ≈ 5.41 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La longueur de l'arbalétrier est de 5.41 m. Cette "vraie longueur" est supérieure à la plus grande des deux autres dimensions (4.50 m), ce qui est logique. C'est cette dimension qui sera utilisée pour le débit du bois et pour les calculs de résistance au flambement (un phénomène d'instabilité propre aux éléments longs et comprimés).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à utiliser des unités cohérentes. Si vous mélangez des mètres et des centimètres dans le calcul de Pythagore, le résultat sera complètement faux. Convertissez toujours toutes vos données dans la même unité (le mètre est recommandé ici) avant de commencer le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le théorème de Pythagore \(R^2 = H^2 + L^2\) permet de trouver la longueur de l'hypoténuse (le rampant).
  • Cette "vraie longueur" est toujours supérieure aux longueurs projetées H et L.
  • C'est une étape essentielle pour la fabrication et le calcul de la stabilité des pièces.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La "Corde à 13 nœuds", utilisée par les arpenteurs égyptiens et plus tard par les bâtisseurs de cathédrales, était un outil simple pour créer un angle droit parfait. En tendant la corde pour former un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités (espaces entre les nœuds), ils appliquaient la réciproque du théorème de Pythagore (\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)) pour garantir la perpendicularité de leurs constructions.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette longueur inclut-elle les débords de toiture ?

Non. Le calcul que nous avons fait donne la longueur du rampant à l'intérieur du triangle structurel de la ferme. La longueur totale de la pièce de bois devra être plus grande pour inclure le débord de toiture au niveau de la sablière (en bas) et l'assemblage au niveau du faîtage (en haut).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La longueur du rampant de l'arbalétrier est d'environ 5.41 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une demi-portée de 8 m et une hauteur de 6 m (un triangle 3-4-5 à plus grande échelle), quelle serait la longueur du rampant R ?

Outil Interactif : Géométrie de la Charpente

Modifiez la portée et la flèche de la charpente pour voir leur influence sur la pente et la longueur du rampant.

Paramètres d'Entrée
9.0 m
3.0 m
Résultats Géométriques
Pente (%) -
Angle (°) -
Longueur Rampant (m) -

Le Saviez-Vous ?

La charpente de la cathédrale Notre-Dame de Paris, surnommée "la Forêt" en raison du grand nombre de chênes abattus pour la construire au XIIIe siècle, avait une pente très forte, supérieure à 55 degrés (environ 143%). Cette forte inclinaison, typique du style gothique, permettait d'évacuer rapidement l'eau et de supporter le poids de la couverture en plomb, tout en donnant à la cathédrale son élan vertical caractéristique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la pente "idéale" pour une toiture ?

Il n'y a pas de pente idéale unique. Elle dépend de nombreux facteurs : le climat (plus de pente pour la pluie et la neige), le matériau de couverture (les ardoises et petites tuiles nécessitent plus de pente que les bacs en acier), l'esthétique souhaitée (style régional) et l'usage des combles (une pente plus forte offre plus d'espace habitable).

Comment calcule-t-on la pente pour un toit à un seul versant (en appentis) ?

Le principe est exactement le même. La "demi-portée" (L) est simplement remplacée par la largeur totale du bâtiment couvert par le versant unique. La hauteur (H) est la différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas du toit.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une toiture avec une pente de 100% a un angle de :

2. Si on garde la même portée mais qu'on augmente la flèche (la hauteur) de la charpente, que se passe-t-il ?

Pente
Inclinaison d'un versant de toiture, exprimée soit en pourcentage (dénivelé pour 100 unités de distance horizontale), soit en degrés.
Portée
Distance horizontale totale franchie par une structure, comme une poutre ou une ferme de charpente, entre ses points d'appui.
Flèche (en charpente)
Hauteur verticale entre la ligne de base d'une ferme (l'entrait) et son point le plus haut (le faîtage).
Arbalétrier (ou Rampant)
Pièce de bois inclinée formant le versant d'une ferme de charpente. Sa longueur est l'hypoténuse du triangle de pente.
Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois

D’autres exercices de structure en bois:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *