Calcul de la Déformation Élastique en RdM
Contexte : Maîtriser les déformations pour garantir la sécurité et le service.
En génie civil, un élément de structure ne doit pas seulement résister aux charges sans se rompre, il doit aussi rester fonctionnel. Cela implique de contrôler ses déformations. Un poteau qui se raccourcit trop sous l'effet d'une charge peut causer des désordres dans le reste de la structure (fissures, etc.). Le calcul de la déformation élastiqueModification de la forme ou de la taille d'un corps due à une force appliquée. La déformation est dite "élastique" si le corps reprend sa forme initiale une fois la force retirée. axiale (raccourcissement ou allongement) est donc un calcul de base en Résistance des Matériaux (RdM), directement lié à la loi de Hooke. Cet exercice vous guidera dans le calcul du raccourcissement d'un poteau en béton armé sous une charge de compression.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'un des concepts les plus fondamentaux de la RdM : la relation directe entre la contrainte (force par unité de surface) et la déformation (changement de longueur relatif), liée par le module d'élasticité du matériau. Nous allons appliquer cette relation simple mais puissante à un cas concret de génie civil.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la section (aire) d'un poteau circulaire.
- Déterminer la contrainte normale de compression dans le poteau.
- Appliquer la loi de Hooke pour calculer la déformation unitaire (ou relative).
- Calculer le raccourcissement total du poteau (déformation absolue).
- Vérifier la validité du calcul en comparant la contrainte à la limite élastique.
Données de l'étude
Schéma du poteau en compression
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort Normal de Compression | \(N\) | 1500 | \(\text{kN}\) |
| Hauteur du poteau | \(L\) | 3.0 | \(\text{m}\) |
| Diamètre du poteau | \(D\) | 400 | \(\text{mm}\) |
| Module de Young du béton | \(E\) | 30 | \(\text{GPa}\) |
| Limite élastique du béton | \(f_{ck}\) | 25 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire \(A\) de la section droite du poteau.
- Calculer la contrainte normale de compression \(\sigma\) dans le béton.
- Vérifier que le béton travaille bien dans son domaine élastique.
- Calculer le raccourcissement total \(\Delta L\) du poteau.
Les bases de la Compression Axiale
Avant de commencer la correction, rappelons les concepts clés.
1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
Lorsqu'un effort normal \(N\) (traction ou compression) est appliqué au centre de gravité d'une section d'aire \(A\), il génère une contrainte uniforme sur toute la section. Cette contrainte, qui représente la force interne par unité de surface, est donnée par :
\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Par convention, la compression est négative, mais on travaille souvent en valeur absolue.
2. La Déformation Unitaire (\(\varepsilon\)) :
La déformation unitaire, ou déformation relative, est le changement de longueur par unité de longueur initiale. C'est une grandeur sans dimension, souvent exprimée en % ou en mm/m.
\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \]
Où \(\Delta L\) est l'allongement ou le raccourcissement total et \(L\) est la longueur initiale.
3. La Loi de Hooke :
Dans le domaine élastique, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le Module de Young \(E\). Cette relation fondamentale s'écrit :
\[ \sigma = E \cdot \varepsilon \]
En combinant ces trois formules, on peut directement trouver le raccourcissement : \(\Delta L = \frac{N \cdot L}{E \cdot A}\).
Correction : Calcul de la déformation élastique en RdM
Étape 1 : Calculer l'aire de la section
Principe (le concept physique)
La première étape consiste à calculer l'aire de la section transversale du poteau. C'est cette surface qui reprend l'effort de compression. Comme le poteau est circulaire, nous utiliserons la formule de l'aire d'un disque. Il est essentiel de faire attention aux unités pour la suite des calculs.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'aire d'une section est une propriété géométrique fondamentale qui détermine comment une charge axiale se distribue pour créer une contrainte. Pour une même force, une section plus grande subira une contrainte plus faible, et inversement. C'est le principe de base du dimensionnement en compression ou en traction simple.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une bonne pratique en RdM est de choisir un système d'unités cohérent dès le départ et de s'y tenir. Le couple Newton (N) et millimètre (mm) est très pratique car il conduit directement à des contraintes en Mégapascals (MPa), l'unité la plus courante en génie civil. Nous allons donc tout convertir dans ce système.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de calcul, comme l'Eurocode 2 pour le béton, spécifient les formules géométriques à utiliser. Pour les sections circulaires, la formule de l'aire est universelle. Les normes interviennent surtout pour définir les résistances des matériaux et les coefficients de sécurité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'aire \(A\) d'un disque de diamètre \(D\) est donnée par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section du poteau est un cercle parfait et que le diamètre est constant sur toute la hauteur. On néglige la présence des armatures en acier dans ce premier calcul d'aire (on considère la section brute de béton).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre du poteau, \(D = 400 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Souvenez-vous que le rayon \(R = D/2\). La formule de l'aire peut aussi s'écrire \(A = \pi \cdot R^2\). Utilisez la formule qui vous semble la plus directe en fonction des données fournies pour éviter des calculs intermédiaires inutiles.
Schéma (Avant les calculs)
Section Droite Circulaire du Poteau
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec le diamètre en millimètres.
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'aire de la section est d'environ 125 664 mm², soit 1256 cm². C'est une surface considérable, typique des poteaux de bâtiment. C'est sur cette surface que la charge de 1500 kN va se répartir.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le diamètre au carré ou de se tromper entre le rayon et le diamètre dans la formule. Une autre erreur classique est de mal gérer les unités, par exemple en mélangeant mètres et millimètres.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La première étape d'un calcul de contrainte axiale est de déterminer l'aire de la section.
- Pour un cercle, \(A = \pi D^2 / 4\).
- La cohérence des unités est primordiale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En pratique, pour le béton armé, on distingue la "section brute" (celle que nous venons de calculer) de la "section nette" ou "section homogénéisée", qui tient compte de la présence des armatures en acier en leur affectant une aire équivalente de béton. Pour les calculs de déformation, cette distinction est importante.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait l'aire (en mm²) si le poteau était carré avec un côté de 400 mm ?
Étape 2 : Calculer la contrainte normale de compression
Principe (le concept physique)
La contrainte normale (\(\sigma\)) représente la force interne qui s'exerce sur chaque unité de surface de la section du poteau. Puisque la charge \(N\) est appliquée uniformément, la contrainte est simplement cette charge divisée par l'aire que nous venons de calculer. C'est une mesure de l'intensité avec laquelle le matériau est "pressé".
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte est un concept central en RdM. Elle permet de comparer l'état de sollicitation de deux pièces de tailles différentes. Un fil fin et un poteau massif peuvent tous deux se rompre, mais ils le feront à des niveaux de contrainte similaires, propres à leur matériau, même si les forces appliquées sont très différentes. La contrainte normalise l'effet de la force par rapport à la géométrie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Attention aux unités ! La force est donnée en kilonewtons (kN) et l'aire est en mm². Pour obtenir une contrainte en Mégapascals (MPa), qui équivaut à des N/mm², il faut impérativement convertir la force en Newtons (N) avant de faire la division.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction définissent des contraintes admissibles ou des contraintes de calcul pour chaque matériau. L'objectif de l'ingénieur est de s'assurer que la contrainte calculée (\(\sigma\)), due aux charges de service, reste inférieure à ces valeurs limites, en incluant des coefficients de sécurité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de la contrainte normale est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la charge \(N\) est parfaitement centrée sur le centre de gravité de la section. Si la charge était excentrée, elle créerait non seulement de la compression, mais aussi un moment de flexion, et la contrainte ne serait plus uniforme.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort Normal, \(N = 1500 \, \text{kN}\)
- Aire de la section, \(A \approx 125664 \, \text{mm}^2\) (de l'Étape 1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Retenez la conversion : 1 kN = 1000 N. C'est une conversion que vous utiliserez constamment en génie civil. De même, 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm².
Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Charge sur la Section
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir la force en Newtons.
2. Calculer la contrainte en N/mm² (MPa).
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Compression Uniforme
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte subie par le béton est d'environ 11.94 MPa. Cette valeur, en elle-même, ne signifie rien si on ne la compare pas à la résistance du matériau. C'est l'objet de la prochaine étape : vérifier si le poteau peut supporter cette contrainte sans subir de dommage permanent.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus critique ici est l'oubli de la conversion des unités. Si vous divisez des kN par des mm², vous obtiendrez un résultat en GPa, ce qui conduirait à une erreur d'un facteur 1000 sur la valeur de la contrainte et une conclusion totalement fausse sur la sécurité de l'élément.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte est la force divisée par l'aire : \(\sigma = N/A\).
- Une charge de compression crée une contrainte de compression.
- La conversion des unités (kN en N) est une étape cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La pression (par exemple, la pression de l'eau sur un barrage) et la contrainte ont la même unité (le Pascal). Physiquement, ce sont des concepts très proches. La pression est une contrainte exercée par un fluide, tandis que la contrainte est une "pression" interne à un solide.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte (en MPa) si la force était de 2000 kN ?
Étape 3 : Vérifier le domaine élastique
Principe (le concept physique)
Cette étape est une vérification de sécurité. Nous comparons la contrainte que nous venons de calculer (\(\sigma\)) à la limite de résistance du matériau (\(f_{ck}\)). Tant que la contrainte appliquée est inférieure à cette limite, le matériau se comporte de manière élastique : il se déforme sous la charge, mais reprend sa forme initiale si on la retire. C'est la condition pour que nos calculs de déformation soient valides.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La courbe contrainte-déformation d'un matériau comme le béton montre une première partie quasi-linéaire (le domaine élastique), suivie d'une partie non-linéaire (le domaine plastique) jusqu'à la rupture. La limite \(f_{ck}\) (résistance caractéristique du béton à la compression) marque la fin du comportement approximativement élastique. Dépasser cette limite signifie entrer dans une zone de déformations permanentes et de micro-fissuration.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
En conception réelle, on n'utilise jamais la pleine résistance du matériau. On applique des coefficients de sécurité pour définir une contrainte de calcul admissible bien plus faible que la limite de rupture. Notre exercice est une vérification simplifiée, mais le principe de comparer la contrainte de service à une contrainte limite est au cœur du métier d'ingénieur structure.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 2 définit précisément les valeurs de \(f_{ck}\) pour différentes classes de béton (C25/30, C30/37, etc.) ainsi que les coefficients de sécurité à appliquer sur les matériaux et sur les charges pour garantir un niveau de sécurité adéquat. Notre vérification \(\sigma < f_{ck}\) est une approche de base appelée "vérification à l'état limite de service".
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il s'agit d'une simple comparaison :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de \(f_{ck}\) donnée est fiable et correspond bien au béton utilisé. On suppose également que les charges sont appliquées de manière non brutale (chargement statique).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte calculée, \(\sigma \approx 11.94 \, \text{MPa}\) (de l'Étape 2)
- Limite élastique du béton, \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le ratio \(f_{ck} / \sigma\) donne le coefficient de sécurité. Un rapide calcul mental (25 / 12) montre qu'il est d'environ 2. C'est un ordre de grandeur typique pour une vérification à l'état limite de service, ce qui est rassurant sur la validité de nos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison sur l'Axe des Contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
On compare les deux valeurs.
La condition est vérifiée.
Schéma (Après les calculs)
Position sur la Courbe Contrainte-Déformation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte dans le poteau est inférieure à la limite élastique du béton. Cela confirme que notre hypothèse de comportement élastique est correcte. Nous pouvons donc utiliser la loi de Hooke en toute confiance pour calculer la déformation à l'étape suivante. Le poteau est correctement dimensionné du point de vue de la résistance du matériau.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais oublier cette étape de vérification. Calculer une déformation avec la loi de Hooke n'a de sens que si l'on est dans le domaine élastique. Appliquer cette loi pour une contrainte supérieure à la limite élastique conduirait à une sous-estimation grossière de la déformation réelle.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La sécurité d'un élément structural se vérifie en comparant la contrainte de service à la résistance du matériau.
- La loi de Hooke (\(\sigma = E \varepsilon\)) n'est valide que dans le domaine élastique (\(\sigma < f_{ck}\)).
- Cette vérification est une étape non négociable dans un calcul de déformation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le béton a un comportement très différent en traction et en compression. Sa résistance en traction est très faible (environ 10% de sa résistance en compression). C'est pour cette raison qu'on l'associe à des armatures en acier (béton armé), qui reprennent les efforts de traction dans les poutres et les dalles.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la force maximale (en kN) que le poteau pourrait supporter avant d'atteindre la limite élastique de 25 MPa ?
Étape 4 : Calculer le raccourcissement total
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous connaissons la contrainte et que nous avons vérifié que nous sommes dans le domaine élastique, nous pouvons utiliser la loi de Hooke pour trouver la déformation unitaire \(\varepsilon\). Une fois cette déformation relative connue, il suffit de la multiplier par la longueur initiale du poteau pour obtenir le raccourcissement total \(\Delta L\), qui est la valeur que l'on cherche.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule complète \(\Delta L = (N \cdot L) / (E \cdot A)\) est l'une des plus importantes de la RdM. Le terme \(E \cdot A\) est appelé "rigidité axiale" de la section. On voit que le raccourcissement est proportionnel à la force et à la longueur, mais inversement proportionnel à la rigidité du matériau (E) et à la taille de la section (A). C'est une relation très intuitive.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Encore une fois, la cohérence des unités est la clé du succès. La contrainte est en MPa (soit N/mm²), le module de Young E est en GPa. Il faut convertir E en MPa avant de faire la division pour obtenir \(\varepsilon\). Ensuite, pour calculer \(\Delta L\), la longueur L doit être dans la même unité que celle souhaitée pour le résultat (généralement, les millimètres).
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction, comme l'Eurocode, fixent des limites aux déformations admissibles pour garantir le bon fonctionnement de la structure. Par exemple, la flèche d'une poutre est souvent limitée à L/250 ou L/300. De même, les tassements ou raccourcissements des éléments verticaux sont contrôlés pour éviter des dommages aux éléments non structuraux (cloisons, façades).
Formule(s) (l'outil mathématique)
1. Calcul de la déformation unitaire \(\varepsilon\) avec la loi de Hooke :
2. Calcul du raccourcissement total \(\Delta L\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le module de Young \(E\) est constant sur toute la section et toute la hauteur du poteau. On néglige les effets du second ordre comme le flambement, qui pourrait survenir pour des poteaux très élancés.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte, \(\sigma \approx 11.94 \, \text{MPa}\)
- Module de Young, \(E = 30 \, \text{GPa}\)
- Hauteur du poteau, \(L = 3.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un calcul rapide, vous pouvez utiliser directement la formule intégrée : \(\Delta L = (N \cdot L) / (E \cdot A)\). Assurez-vous simplement que toutes vos unités sont cohérentes (par exemple : N, mm, N/mm²).
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre les Grandeurs
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir les unités pour qu'elles soient cohérentes (N et mm).
2. Calculer la déformation unitaire \(\varepsilon\) (sans dimension).
3. Calculer le raccourcissement total \(\Delta L\) en mm.
Schéma (Après les calculs)
Déformation du Poteau
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le poteau se raccourcit d'environ 1.2 mm sous l'effet de la charge. C'est une déformation très faible par rapport à sa hauteur totale de 3000 mm, ce qui est typique pour des éléments massifs en béton. Cette valeur serait ensuite utilisée par l'ingénieur pour vérifier qu'elle est compatible avec les tolérances de la structure et des éléments qu'elle supporte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est, encore une fois, liée aux unités. Si vous ne convertissez pas E en MPa ou L en mm, votre résultat final sera incorrect par un facteur 1000 ou plus. Prenez l'habitude de poser toutes vos données dans un système cohérent avant de lancer les calculs.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La déformation unitaire est \(\varepsilon = \sigma / E\).
- Le changement de longueur total est \(\Delta L = \varepsilon \cdot L\).
- La formule directe \(\Delta L = NL/EA\) est très utile et efficace.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La dilatation thermique suit une logique très similaire. Le changement de longueur dû à une variation de température \(\Delta T\) est donné par \(\Delta L = \alpha \cdot \Delta T \cdot L\), où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique. Dans les grands ouvrages comme les ponts, ces déformations peuvent être très importantes et nécessitent la mise en place de joints de dilatation.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le raccourcissement (en mm) si le poteau était en acier (E = 210 GPa) ?
Outil Interactif : Paramètres de Déformation
Modifiez les paramètres du poteau pour voir leur influence sur la contrainte et le raccourcissement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La loi de Hooke doit son nom au scientifique anglais Robert Hooke, un contemporain d'Isaac Newton. Il l'a énoncée pour la première fois en 1676 sous la forme d'une anagramme latine, "ceiiinosssttuv", qu'il a révélée deux ans plus tard comme "ut tensio, sic vis", ce qui signifie "telle extension, telle force", ou plus simplement : la déformation est proportionnelle à la force.
Foire Aux Questions (FAQ)
Ce calcul est-il suffisant pour dimensionner un poteau ?
Non, c'est une première approche. Le calcul principal pour un poteau en béton est la vérification au flambement (ou flambage), qui est un phénomène d'instabilité pouvant survenir bien avant que la résistance en compression du matériau ne soit atteinte, surtout pour les poteaux longs et minces (élancés). Le calcul de la déformation élastique est plutôt une vérification de service.
Comment les armatures en acier influencent-elles la déformation ?
L'acier est beaucoup plus rigide que le béton (E ≈ 210 GPa contre 30 GPa). Les barres d'acier présentes dans le poteau vont donc reprendre une partie de la charge de compression et aider à limiter le raccourcissement global. Pour un calcul précis, on utilise une section "homogénéisée" où l'on convertit la section d'acier en une section équivalente de béton, ce qui augmente la rigidité axiale globale (EA) de l'élément.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour réduire de moitié le raccourcissement d'un poteau sous une charge donnée, on peut...
2. La déformation unitaire \(\varepsilon\) s'exprime en...
- Contrainte Normale (\(\sigma\))
- Force interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. Elle mesure l'intensité de la traction ou de la compression.
- Déformation Unitaire (\(\varepsilon\))
- Rapport entre le changement de longueur (\(\Delta L\)) et la longueur initiale (\(L\)) d'un matériau. C'est une mesure relative de l'allongement ou du raccourcissement.
- Loi de Hooke
- Principe physique qui stipule que, dans son domaine élastique, la déformation d'un matériau est directement proportionnelle à la contrainte appliquée (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)).
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