Études de cas pratique

EGC

Calcul de la déformation élastique

Calcul de la Déformation Élastique d’un Tirant

Comprendre la Déformation Élastique

Lorsqu'un matériau est soumis à une charge, il se déforme. Si cette déformation disparaît complètement lorsque la charge est retirée, on parle de déformation élastique. Dans le domaine élastique, pour de nombreux matériaux comme l'acier, la contrainte (\(\sigma\)) est proportionnelle à la déformation relative (\(\epsilon\)) : c'est la loi de Hooke (\(\sigma = E \epsilon\)), où \(E\) est le module de Young (ou module d'élasticité longitudinale). La déformation totale (\(\delta\)) d'un élément de longueur \(L_0\) soumis à un effort normal \(N\) et ayant une section d'aire \(A\) est donnée par \(\delta = \frac{NL_0}{AE}\). Cet exercice se concentre sur le calcul de cet allongement pour un tirant en acier.

Données de l'étude

Un tirant en acier de section circulaire est sollicité en traction par une force axiale.

Caractéristiques du tirant et de la sollicitation :

  • Longueur initiale du tirant (\(L_0\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Force de traction axiale appliquée (\(F\)) : \(50 \, \text{kN}\)
  • Module de Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
Schéma : Tirant en Acier Soumis à une Traction
Fixation Tirant d'acier (d=20mm) F L0 = 3.0 m Allongement δ (à calculer)

Tirant en acier fixé à une extrémité et soumis à une force de traction à l'autre extrémité.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) du tirant.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans le tirant due à la force de traction.
  3. Calculer la déformation axiale relative (ou unitaire) (\(\epsilon\)) du tirant.
  4. Calculer l'allongement total (déformation élastique, \(\delta\)) du tirant.
  5. Si la contrainte admissible de l'acier est \(\sigma_{adm} = 180 \, \text{MPa}\), le tirant est-il correctement dimensionné pour cette charge ?

Correction : Calcul de la Déformation Élastique d’un Tirant

Question 1 : Aire de la Section Transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.159 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale du tirant est \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force axiale (\(F\)) divisée par l'aire de la section transversale (\(A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de traction (\(F\)) : \(50 \, \text{kN} = 50000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(314.16 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{50000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 159.155 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 159.16 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans le tirant est \(\sigma \approx 159.16 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale Relative (\(\epsilon\))

Principe :

Selon la loi de Hooke, dans le domaine élastique, la déformation axiale relative (\(\epsilon\)) est le rapport entre la contrainte normale (\(\sigma\)) et le module de Young (\(E\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte (\(\sigma\)) : \(159.16 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{159.16 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.0007579 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La déformation axiale relative est \(\epsilon \approx 0.000758\).

Question 4 : Allongement Total (\(\delta\))

Principe :

L'allongement total (ou déformation élastique) est le produit de la déformation axiale relative et de la longueur initiale du tirant (\(\delta = \epsilon \cdot L_0\)). Alternativement, \(\delta = \frac{FL_0}{AE}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \delta = \frac{F L_0}{A E} \]
Données spécifiques (unités m pour \(L_0\), ou mm pour \(\delta\) cohérent avec \(\epsilon\)) :
  • \(\epsilon \approx 0.000758\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(3.0 \, \text{m} = 3000 \, \text{mm}\)
Calcul (avec \(\epsilon\)) :
\[ \begin{aligned} \delta &= 0.000758 \cdot 3000 \, \text{mm} \\ &\approx 2.274 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul alternatif avec \(FL_0/AE\) (en N et mm) :

\[ \begin{aligned} \delta &= \frac{(50000 \, \text{N}) \cdot (3000 \, \text{mm})}{(314.16 \, \text{mm}^2) \cdot (210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{150000000}{65973600} \, \text{mm} \\ &\approx 2.2735 \, \text{mm} \end{aligned} \]

La légère différence est due aux arrondis intermédiaires.

Résultat Question 4 : L'allongement total du tirant est \(\delta \approx 2.27 \, \text{mm}\).

Question 5 : Vérification du Dimensionnement

Principe :

Pour que le tirant soit correctement dimensionné et ne dépasse pas sa capacité élastique sous la charge de service, la contrainte normale calculée (\(\sigma\)) doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm}\)).

Condition :
\[ \sigma \leq \sigma_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte calculée (\(\sigma\)) : \(159.16 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) : \(180 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 159.16 \, \text{MPa} \leq 180 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 5 : Le tirant est correctement dimensionné pour cette charge, car la contrainte normale calculée (\(159.16 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte admissible (\(180 \, \text{MPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre du tirant était réduit de moitié, comment la contrainte normale \(\sigma\) serait-elle affectée (pour la même force F) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Hooke (\(\sigma = E \epsilon\)) est valable :

2. L'allongement élastique total d'un tirant est inversement proportionnel à :

Glossaire

Déformation Élastique (\(\delta\))
Changement de forme ou de taille d'un corps sous l'effet d'une charge, qui disparaît complètement lorsque la charge est retirée.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En traction ou compression simple, \(\sigma = F/A\).
Déformation Axiale Relative (ou Unitaire, \(\epsilon\))
Rapport de l'allongement (ou du raccourcissement) à la longueur initiale de l'élément (\(\epsilon = \delta / L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.
Module de Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale. C'est une mesure de la rigidité d'un matériau, définie comme le rapport de la contrainte normale à la déformation relative dans le domaine élastique.
Loi de Hooke
Principe stipulant que, pour des déformations élastiques, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation (\(\sigma = E \epsilon\)).
Tirant
Élément structural conçu pour résister principalement à des forces de traction axiales.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau ou un élément structural est autorisé à supporter en service, généralement déterminée en divisant la limite d'élasticité ou la limite de rupture par un facteur de sécurité.
Calcul de la Déformation Élastique d’un Tirant - Exercice d'Application

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