Analyse énergétique d'un système mécanique

Contexte : L'étude des transferts d'énergie.

Cet exercice porte sur l'analyse d'un système mécanique classique : un bloc glissant sur un plan incliné qui vient comprimer un ressort. Nous utiliserons les principes fondamentaux de la conservation de l'énergie et du théorème de l'énergie cinétiqueCe théorème stipule que le travail de la résultante des forces appliquées à un solide est égal à la variation de son énergie cinétique. pour déterminer les caractéristiques du mouvement. Cette analyse est cruciale en ingénierie pour la conception de systèmes d'amortissement, de sécurité ou de récupération d'énergie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en plusieurs états énergétiques, à identifier les forces conservatives et non conservatives, et à appliquer le bilan énergétique pour résoudre des inconnues cinématiques (vitesse) et géométriques (compression).

Objectifs Pédagogiques

Calculer les différentes formes d'énergie mécanique : potentielle de pesanteur, cinétique, et potentielle élastique.
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique en présence de forces non conservatives (frottements).
Utiliser le principe de conservation de l'énergie mécanique pour analyser un système.
Déterminer la vitesse d'un objet et la déformation d'un ressort à partir de considérations énergétiques.

Données de l'étude

Un bloc de masse \(m\) est lâché sans vitesse initiale depuis un point A situé à une distance \(d\) le long d'un plan incliné d'un angle \(\theta\) par rapport à l'horizontale. En bas du plan, au point B, se trouve un ressort de raideur \(k\). Le contact entre le bloc et le plan est caractérisé par un coefficient de frottement cinétique \(\mu_c\).

Schéma du système mécanique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du bloc	\(m\)	2	kg
Distance de glissement initiale	\(d\)	5	m
Angle d'inclinaison	\(\theta\)	30	degrés
Raideur du ressort	\(k\)	400	N/m
Coefficient de frottement cinétique	\(\mu_c\)	0.2	-
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer l'énergie potentielle de pesanteur initiale (\(E_{p,\text{A}}\)) du bloc au point A (on prendra le point B comme référence, \(z_\text{B}=0\)).
Déterminer le travail des forces de frottement (\(W_f\)) durant la descente du bloc de A à B.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse (\(v_\text{B}\)) du bloc juste avant qu'il ne touche le ressort au point B.
Calculer la compression maximale (\(x_{\text{max}}\)) du ressort.
Vérifier la valeur de \(x_{\text{max}}\) en utilisant une approche de bilan énergétique global entre le point A et le point de compression maximale.

Les bases sur l'Analyse Énergétique

L'analyse énergétique est un outil puissant en mécanique qui permet de déterminer le mouvement d'un système en étudiant les transferts et transformations d'énergie, sans avoir à résoudre directement les équations de Newton. Les concepts clés sont :

1. Énergie Cinétique (\(E_c\))
C'est l'énergie associée au mouvement d'un corps. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse. \[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

2. Énergie Potentielle (\(E_p\))
C'est une énergie de réserve (ou "stockée") qui dépend de la configuration du système. On distingue :

Potentielle de pesanteur : liée à l'altitude \(h\) d'un objet. \(E_{p,\text{pesanteur}} = mgh\)
Potentielle élastique : stockée dans un ressort déformé (comprimé ou étiré) d'une longueur \(x\). \(E_{p,\text{élastique}} = \frac{1}{2} k x^2\)

3. Théorème de l'Énergie Cinétique
Il relie le travail de toutes les forces (conservatives et non-conservatives) appliquées à un système à la variation de son énergie cinétique. \[ \sum W_{\vec{F}_{\text{ext}}} = \Delta E_c = E_{c,\text{final}} - E_{c,\text{initial}} \]

Correction : Analyse énergétique d’un système mécanique

Question 1 : Calculer l'énergie potentielle de pesanteur initiale (\(E_{p,\text{A}}\))

Principe

L'énergie potentielle de pesanteur dépend de la masse de l'objet, de l'accélération de la pesanteur, et de son altitude verticale par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement. Il nous faut donc d'abord déterminer cette altitude initiale en utilisant la trigonométrie.

Mini-Cours

L'énergie potentielle de pesanteur \(E_p\) est l'énergie qu'un objet possède en raison de sa position dans un champ de pesanteur. La formule \(E_p = mgh\) quantifie ce potentiel. Le choix du niveau de référence (où \(h=0\)) est libre, mais il doit être cohérent tout au long de l'exercice.

Remarque Pédagogique

Une bonne pratique est de toujours commencer par définir clairement le système étudié (ici, le bloc) et le niveau de référence pour les énergies potentielles (ici, l'altitude du point B). Cela évite de nombreuses erreurs par la suite.

Normes

Les calculs de mécanique du point de base, comme celui-ci, reposent sur les principes fondamentaux de la physique newtonienne plutôt que sur des normes d'ingénierie spécifiques (comme les Eurocodes pour les structures). La 'norme' ici est l'application rigoureuse du Système International d'unités (SI) pour assurer la validité des formules.

Formule(s)

Formule de l'altitude initiale

h_\text{A} = d \cdot \sin(\theta)

Formule de l'énergie potentielle de pesanteur

E_{p,\text{A}} = m \cdot g \cdot h_\text{A}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du bloc	\(m\)	2	kg
Distance de glissement	\(d\)	5	m
Angle d'inclinaison	\(\theta\)	30	degrés
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, rappelez-vous que \(\sin(30^\circ) = 0.5\). La hauteur est simplement la moitié de la distance parcourue sur la pente. C'est un cas d'école facile à mémoriser !

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie du problème

Calcul(s)

Calcul de l'altitude verticale initiale \(h_\text{A}\)

\begin{aligned} h_\text{A} &= d \cdot \sin(\theta) \\ &= 5 \text{ m} \cdot \sin(30^\circ) \\ &= 5 \cdot 0.5 \\ &= 2.5 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de l'énergie potentielle \(E_{p,\text{A}}\)

\begin{aligned} E_{p,\text{A}} &= mgh_\text{A} \\ &= 2 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot 2.5 \text{ m} \\ &= 49.05 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme d'Énergie à l'État A

Réflexions

Le bloc possède initialement 49.05 Joules d'énergie potentielle. C'est cette "réserve" d'énergie qui sera convertie en d'autres formes (énergie cinétique, chaleur due au frottement, énergie potentielle élastique) au cours du mouvement.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre la distance de glissement \(d\) avec la hauteur verticale \(h_A\). Assurez-vous de toujours utiliser le sinus de l'angle pour projeter la longueur sur la verticale.

Points à retenir

\(E_p = mgh\) est l'énergie liée à l'altitude.
La hauteur \(h\) doit toujours être mesurée verticalement.
Le choix de la référence \(h=0\) est arbitraire mais crucial.

Le saviez-vous ?

Le concept d'énergie potentielle a été introduit par l'ingénieur et physicien écossais William Rankine au 19ème siècle. Il a permis de grandement simplifier l'analyse des machines à vapeur de l'époque.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Résultat Final

L'énergie potentielle de pesanteur initiale du bloc au point A est de 49.05 J.

A vous de jouer

Si la distance de glissement était de 8 m, quelle serait l'énergie potentielle initiale ?

Question 2 : Déterminer le travail des forces de frottement (\(W_f\))

Principe

Le travail d'une force est l'énergie fournie ou retirée par cette force lors d'un déplacement. Les forces de frottement s'opposent toujours au mouvement, leur travail est donc "résistant" (négatif), ce qui signifie qu'elles retirent de l'énergie mécanique au système, la dissipant généralement sous forme de chaleur.

Mini-Cours

Le travail \(W\) d'une force constante \(\vec{F}\) le long d'un déplacement rectiligne \(\vec{d}\) est \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos(\alpha)\). Pour la force de frottement \(\vec{f_c}\), elle est opposée au déplacement \(\vec{d}\), donc l'angle \(\alpha\) est de 180° et \(\cos(180^\circ)=-1\). Ainsi, \(W_f = -f_c \cdot d\). La force de frottement cinétique est donnée par \(f_c = \mu_c \cdot N\), où \(N\) est la force normale (la force de contact perpendiculaire à la surface).

Remarque Pédagogique

Pour trouver la force de frottement, il faut presque toujours commencer par calculer la force normale \(N\). Ne supposez pas que \(N=mg\) ! Ceci n'est vrai que sur un plan horizontal. Sur un plan incliné, \(N\) est une composante du poids.

Normes

Le modèle de frottement utilisé ici (\(f_c = \mu_c N\)) est le modèle de Coulomb, qui est une excellente approximation pour la plupart des applications d'ingénierie macroscopique. Il n'est pas une loi fondamentale de la physique, mais un modèle empirique très robuste.

Formule(s)

Formule de la force normale sur plan incliné

N = mg \cos(\theta)

Formule du travail de la force de frottement

W_f = -f_c \cdot d = -(\mu_c N) \cdot d

Hypothèses

On suppose que le coefficient de frottement cinétique \(\mu_c\) est constant sur toute la surface de contact et ne dépend pas de la vitesse du bloc.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	\(m\)	2	kg
Angle	\(\theta\)	30	degrés
Coeff. frottement	\(\mu_c\)	0.2	-
Distance	\(d\)	5	m

Astuces

Le travail d'une force dissipative comme le frottement est TOUJOURS négatif. Si vous obtenez un résultat positif, vous avez probablement fait une erreur de signe. C'est une vérification simple et efficace.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Forces sur le Bloc

Calcul(s)

Calcul de la force normale \(N\)

\begin{aligned} N &= mg \cos(\theta) \\ &= 2 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot \cos(30^\circ) \\ &\approx 19.62 \cdot 0.866 \\ &\approx 16.99 \text{ N} \end{aligned}

Calcul du travail des frottements \(W_f\)

\begin{aligned} W_f &= - \mu_c \cdot N \cdot d \\ &= -0.2 \cdot 16.99 \text{ N} \cdot 5 \text{ m} \\ &= -16.99 \text{ J} \end{aligned}

Réflexions

Le résultat est négatif, ce qui est cohérent. Cela signifie que 16.99 Joules d'énergie mécanique sont "perdus" (transformés en chaleur) pendant que le bloc glisse de A à B. Cette énergie n'est pas réutilisable par le système mécanique.

Points de vigilance

La principale erreur est d'utiliser \(N=mg\). Il faut bien projeter le poids sur l'axe perpendiculaire au plan. Une autre erreur fréquente est d'oublier le signe négatif pour le travail du frottement.

Points à retenir

Le travail des forces de frottement est résistant : \(W_f < 0\).
La force de frottement est proportionnelle à la force normale : \(f_c=\mu_c N\).
La force normale \(N\) dépend de l'inclinaison du plan.

Le saviez-vous ?

Les lois du frottement solide ont été étudiées pour la première fois par Léonard de Vinci, mais ont été formalisées par l'ingénieur français Guillaume Amontons au 17ème siècle, puis affinées par Charles-Augustin de Coulomb. C'est pourquoi on parle de frottement de Coulomb.

FAQ

Résultat Final

Le travail des forces de frottement durant la descente est de -16.99 J.

A vous de jouer

Si le coefficient de frottement était de 0.4, quel serait le travail des frottements ?

Question 3 : Calculer la vitesse (\(v_\text{B}\)) juste avant l'impact

Principe

Le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation de l'énergie de mouvement (\(\Delta E_c\)) est égale à la somme des travaux de toutes les forces s'exerçant sur le système entre deux points. En connaissant l'énergie cinétique initiale (nulle) et les travaux des forces (poids et frottement), on peut en déduire l'énergie cinétique finale, et donc la vitesse.

Mini-Cours

Le travail d'une force conservative, comme le poids, peut aussi s'exprimer comme l'opposé de la variation de l'énergie potentielle correspondante : \(W_{\text{poids}} = -\Delta E_p\). Ainsi, \(W_{\text{poids}} = -(E_{p,\text{B}} - E_{p,\text{A}}) = E_{p,\text{A}}\) puisque nous avons posé \(E_{p,\text{B}}=0\). Le théorème de l'énergie cinétique est l'un des outils les plus généraux de la mécanique.

Remarque Pédagogique

L'avantage de cette méthode est qu'elle ne nécessite pas de calculer les accélérations. On relie directement un état "A" à un état "B" sans se soucier de ce qui se passe entre les deux, à condition de pouvoir calculer le travail de toutes les forces.

Normes

Ce calcul est une application directe du second principe de la dynamique de Newton, intégré sur la distance parcourue. Il n'y a pas de norme d'ingénierie qui s'y substitue, c'est une loi fondamentale de la physique.

Formule(s)

Théorème de l'énergie cinétique

W_{\text{poids}} + W_{f} = E_{c,\text{B}} - E_{c,\text{A}}

Vitesse depuis l'énergie cinétique

v_\text{B} = \sqrt{\frac{2 E_{c,\text{B}}}{m}}

Hypothèses

On suppose que le bloc ne roule pas (il glisse uniquement) et que la résistance de l'air est négligeable.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail du poids (de A à B)	\(W_{\text{poids}}\)	49.05	J
Travail du frottement (de A à B)	\(W_f\)	-16.99	J
Énergie cinétique initiale	\(E_{c,\text{A}}\)	0	J
Masse du bloc	\(m\)	2	kg

Schéma (Avant les calculs)

État initial du mouvement (Point A)

Calcul(s)

Calcul de l'énergie cinétique en B, \(E_{c,\text{B}}\)

\begin{aligned} E_{c,\text{B}} &= W_{\text{poids}} + W_{f} + E_{c,\text{A}} \\ &= 49.05 \text{ J} - 16.99 \text{ J} + 0 \\ &= 32.06 \text{ J} \end{aligned}

Calcul de la vitesse \(v_\text{B}\)

\begin{aligned} v_\text{B} &= \sqrt{\frac{2 \cdot E_{c,\text{B}}}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \cdot 32.06 \text{ J}}{2 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{32.06} \\ &\approx 5.66 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme d'Énergie à l'État B

Réflexions

La vitesse au point B est non nulle. S'il n'y avait pas eu de frottements, l'énergie cinétique en B aurait été égale à toute l'énergie potentielle en A (49.05 J), et la vitesse aurait été plus élevée (\(\sqrt{49.05} \approx 7\) m/s). Le frottement a bien "consommé" une partie de l'énergie potentielle de départ.

Points de vigilance

Veillez à inclure les travaux de TOUTES les forces (non-normales) dans le bilan. Oublier le frottement est une erreur fréquente. Assurez-vous également que l'énergie cinétique calculée est positive. Si elle est négative, cela signifie que les frottements sont si importants que le bloc se serait arrêté avant d'atteindre le point B.

Points à retenir

\(\Delta E_c = \sum W_{\text{forces}}\).
L'énergie cinétique initiale est nulle si l'objet est lâché sans vitesse.
Le travail du poids est moteur (positif) dans une descente.

Le saviez-vous ?

Le théorème de l'énergie cinétique est parfois attribué à Gaspard-Gustave Coriolis au début du 19ème siècle, mais ses fondements ont été posés par des scientifiques comme Gottfried Leibniz bien avant, dans le concept de "force vive" (\(mv^2\)).

FAQ

Résultat Final

La vitesse du bloc juste avant de toucher le ressort est de 5.66 m/s.

A vous de jouer

Quelle serait la vitesse en B s'il n'y avait aucun frottement (\(\mu_c=0\)) ?

Question 4 : Calculer la compression maximale (\(x_{\text{max}}\)) du ressort

Principe

La compression est maximale lorsque le bloc s'arrête momentanément (vitesse nulle). On applique de nouveau le théorème de l'énergie cinétique, cette fois entre le point B (début du contact avec le ressort) et le point C (compression max). Les forces qui travaillent sont le poids, le frottement, et la force du ressort.

Mini-Cours

Le travail de la force de rappel d'un ressort est résistant lors de la compression et vaut \(W_{\text{ressort}} = -\frac{1}{2}kx^2\). C'est l'opposé de l'énergie potentielle élastique stockée. Appliquer le bilan énergétique sur cette phase mène à une équation du second degré, car l'énergie du ressort dépend de \(x^2\) tandis que les travaux du poids et du frottement dépendent de \(x\).

Remarque Pédagogique

La résolution d'une équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) donne souvent deux solutions. En physique, il faut analyser ces solutions pour ne garder que celle qui a un sens dans le contexte du problème (ici, une compression positive).

Formule(s)

Formule du bilan énergétique entre B et C

W_{\text{poids, BC}} + W_{f, \text{BC}} + W_{\text{ressort, BC}} = E_{c,\text{C}} - E_{c,\text{B}}

Où \(E_{c,\text{C}}=0\) (vitesse nulle), \(W_{\text{poids, BC}} = mg \cdot x_{\text{max}} \sin(\theta)\), \(W_{f, \text{BC}} = -\mu_c N \cdot x_{\text{max}}\), et \(W_{\text{ressort, BC}} = - \frac{1}{2} k x_{\text{max}}^2\).

Formule de l'équation du second degré à résoudre

\frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 - (mg\sin\theta - \mu_c mg\cos\theta)x_{\text{max}} - E_{c,\text{B}} = 0

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie cinétique en B	\(E_{c,\text{B}}\)	32.06	J
Raideur du ressort	\(k\)	400	N/m
Masse du bloc	\(m\)	2	kg
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²
Angle d'inclinaison	\(\theta\)	30	degrés
Coefficient de frottement	\(\mu_c\)	0.2	-
Force Normale	\(N\)	16.99	N

Schéma (Avant les calculs)

État au début de la compression (Point B)

Calcul(s)

Étape 1 : Identification des coefficients de l'équation \(ax^2+bx+c=0\)

\underbrace{\left(\frac{1}{2}k\right)}_{a}x_{\text{max}}^2 + \underbrace{\left(-mg(\sin\theta - \mu_c\cos\theta)\right)}_{b}x_{\text{max}} + \underbrace{\left(-E_{c,\text{B}}\right)}_{c} = 0

Étape 2 : Calcul du coefficient \(a\)

\begin{aligned} a &= \frac{1}{2}k \\ &= \frac{1}{2}(400) \\ &= 200 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du coefficient \(b\)

\begin{aligned} b &= -mg(\sin\theta - \mu_c\cos\theta) \\ &= -(2 \cdot 9.81 \cdot (0.5 - 0.2 \cdot 0.866)) \\ &\approx -6.41 \end{aligned}

Étape 4 : Calcul du coefficient \(c\)

\begin{aligned} c &= -E_{c,\text{B}} \\ &= -32.06 \end{aligned}

Étape 5 : Calcul du discriminant \(\Delta\)

\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-6.41)^2 - 4(200)(-32.06) \\ &\approx 41.09 + 25648 \\ &= 25689.09 \end{aligned}

Étape 6 : Calcul de la solution positive \(x_{\text{max}}\)

\begin{aligned} x_{\text{max}} &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \frac{6.41 + \sqrt{25689.09}}{2 \cdot 200} \\ &= \frac{6.41 + 160.28}{400} \\ &\approx 0.417 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État à compression maximale (Point C)

Réflexions

Le résultat de 41.7 cm semble plausible. C'est une compression significative, ce qui est attendu étant donné la vitesse du bloc à l'impact. L'énergie cinétique est le terme dominant à dissiper, ce qui justifie une compression importante.

Points de vigilance

Attention aux signes dans la mise en équation ! Le travail du poids est moteur (positif, car le bloc descend encore), tandis que les travaux du frottement et du ressort sont résistants (négatifs). Une erreur de signe sur l'un de ces termes changera complètement le résultat.

Points à retenir

La compression maximale correspond à une vitesse nulle.
L'énergie cinétique disponible est convertie en énergie potentielle élastique et dissipée par le frottement.
Ce type de problème mène souvent à une équation du second degré.

Le saviez-vous ?

La loi décrivant le comportement des ressorts (\(F=-kx\)) a été formulée par Robert Hooke au 17ème siècle. Cette simple relation linéaire est à la base de la conception de d'innombrables systèmes mécaniques, des suspensions de voiture aux montres.

FAQ

Résultat Final

La compression maximale du ressort est de 41.7 cm.

A vous de jouer

Si la raideur du ressort était de 800 N/m, la compression maximale serait-elle plus grande ou plus petite ? Calculez sa nouvelle valeur.

Question 5 : Vérifier \(x_{\text{max}}\) avec un bilan énergétique global

Principe

On peut appliquer le principe de conservation de l'énergie généralisé entre l'état initial (A, en altitude, vitesse nulle) et l'état final (C, en contrebas, vitesse nulle, ressort comprimé). L'énergie mécanique totale en A doit être égale à l'énergie mécanique totale en C, plus toute l'énergie dissipée par les frottements sur la distance totale parcourue (\(d + x_{\text{max}}\)).

Mini-Cours

Le bilan énergétique global s'écrit : \(E_{m,\text{initiale}} = E_{m,\text{finale}} + \text{Énergie dissipée}\). C'est une approche très puissante car elle permet d'ignorer complètement les états intermédiaires (comme le point B). On ne regarde que le début et la fin. L'énergie mécanique est la somme des énergies cinétique et potentielles (\(E_m = E_c + E_p\)).

Remarque Pédagogique

Cette méthode est souvent plus rapide si l'on ne s'intéresse qu'aux états initiaux et finaux. Elle est aussi un excellent moyen de vérifier un calcul mené par étapes, comme nous le faisons ici.

Formule(s)

Formule du bilan énergétique global

E_{m,\text{A}} = E_{m,\text{C}} + |W_f|_{\text{AC}}

Avec \(E_{m,\text{A}} = E_{p,\text{A}}\) (vitesse nulle) et \(E_{m,\text{C}} = E_{p,\text{C}}\) (vitesse nulle). L'énergie potentielle en C a deux composantes : pesanteur (négative, car sous la référence B) et élastique.

E_{p,\text{A}} = (E_{p,\text{pesanteur,C}} + E_{p,\text{élastique,C}}) + |W_f|_{\text{AC}}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie potentielle en A	\(E_{p,\text{A}}\)	49.05	J
Compression maximale	\(x_{\text{max}}\)	0.417	m
Distance de glissement	\(d\)	5	m
Force Normale	\(N\)	16.99	N
Coefficient de frottement	\(\mu_c\)	0.2	-
Masse du bloc	\(m\)	2	kg
Angle d'inclinaison	\(\theta\)	30	degrés
Raideur du ressort	\(k\)	400	N/m

Schéma (Avant les calculs)

État initial (Point A)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du côté gauche de l'équation (Énergie initiale)

\begin{aligned} E_{m,\text{A}} &= E_{p,\text{A}} \\ &= 49.05 \text{ J} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul des termes du côté droit de l'équation (Énergie finale + Pertes)

Calcul de l'énergie potentielle de pesanteur en C

\begin{aligned} E_{p,\text{pesanteur,C}} &= -mg \cdot x_{\text{max}}\sin\theta \\ &= -2 \cdot 9.81 \cdot 0.417 \cdot \sin(30^\circ) \\ &\approx -4.09 \text{ J} \end{aligned}

Calcul de l'énergie potentielle élastique en C

\begin{aligned} E_{p,\text{élastique,C}} &= \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot (0.417)^2 \\ &\approx 34.78 \text{ J} \end{aligned}

Calcul du travail total du frottement de A à C

\begin{aligned} |W_f|_{\text{AC}} &= \mu_c N(d+x_{\text{max}}) \\ &= 0.2 \cdot 16.99 \cdot (5+0.417) \\ &\approx 18.41 \text{ J} \end{aligned}

Étape 3 : Somme des termes du côté droit

\begin{aligned} \text{Côté Droit} &= (E_{p,\text{pesanteur,C}} + E_{p,\text{élastique,C}}) + |W_f|_{\text{AC}} \\ &= (-4.09 + 34.78) + 18.41 \\ &= 30.69 + 18.41 \\ &= 49.10 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État final (Point C)

Réflexions

On constate que l'énergie initiale en A (49.05 J) est bien égale à la somme de l'énergie finale et des pertes (49.10 J), aux erreurs d'arrondi près. La méthode est donc validée et notre valeur de \(x_{\text{max}}\) est correcte.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune dans un bilan global est d'oublier un terme. Assurez-vous d'inclure TOUTES les formes d'énergie potentielle finales (pesanteur ET élastique) et de calculer le travail du frottement sur la distance TOTALE parcourue (\(d+x_{\text{max}}\)), et non juste \(d\).

Résultat Final

Le bilan énergétique global confirme que la compression maximale est bien d'environ 41.7 cm.

Outil Interactif : Simulateur Énergétique

Utilisez les curseurs pour modifier la distance de départ du bloc et le coefficient de frottement. Observez en temps réel l'impact sur la vitesse avant impact et la compression maximale du ressort. Le graphique montre l'évolution de la compression en fonction de la distance de départ.

Paramètres d'Entrée

Distance de départ (d) 5 m

Coefficient de frottement (\(\mu_c\)) 0.2

Résultats Clés

Vitesse avant impact (\(v_B\)) - m/s

Compression max (\(x_{max}\)) - cm

Énergie cinétique: Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle est proportionnelle à la masse et au carré de la vitesse.
Énergie potentielle: Énergie emmagasinée dans un système, qui peut être convertie en énergie cinétique. Elle dépend de la position ou de la configuration du système (ex: altitude, compression d'un ressort).
Force conservative: Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des points de départ et d'arrivée (ex: le poids).
Force non conservative: Force dont le travail dépend du chemin suivi (ex: les forces de frottement). Ce travail correspond à une dissipation d'énergie mécanique.