Analyse d’une Poutre Treillis en Bois (Ferme)
Contexte : L'efficacité des structures treillis dans la construction bois.
Les structures en treillis, ou fermes, sont des assemblages de barres droites connectées à leurs extrémités par des nœuds articulés. Cette configuration permet de franchir de grandes portées avec un minimum de matière, ce qui en fait une solution extrêmement efficace pour les charpentes de toiture. Chaque barre (ou "membre") de la structure travaille principalement en tractionEffort interne qui tend à étirer ou à allonger une barre. Les fibres du bois sont très résistantes à cet effort. ou en compressionEffort interne qui tend à écraser ou à raccourcir une barre. La résistance est souvent limitée par le risque de flambement. pure, ce qui optimise l'utilisation du bois. Cet exercice vous guidera dans l'analyse statique d'une ferme simple pour déterminer les efforts dans ses barres et vérifier leur dimensionnement selon les règles de l'Eurocode 5.
Remarque Pédagogique : Cet exercice combine la statique du solide (calcul des réactions et des efforts internes) et la résistance des matériaux appliquée au bois (vérification des barres en traction et en compression/flambement). C'est une démarche complète qui reflète le travail d'un ingénieur structure bois lors du dimensionnement d'une charpente.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Statique pour calculer les réactions d'appuis.
- Utiliser la méthode des nœuds pour déterminer les efforts internes (traction/compression) dans les barres d'un treillis.
- Vérifier la résistance d'une barre en bois tendue.
- Vérifier la stabilité d'une barre en bois comprimée vis-à-vis du risque de flambement.
- Se familiariser avec les notations et les principes de vérification de l'Eurocode 5.
Données de l'étude
Schéma de la ferme treillis et des charges
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée de la ferme | \(L\) | 6.0 | \(\text{m}\) |
| Hauteur de la ferme | \(h\) | 1.5 | \(\text{m}\) |
| Charge nodale au faîtage | \(F\) | 15 | \(\text{kN}\) |
| Classe de résistance du bois | - | C24 | - |
| Section de toutes les barres | \(b \times h_{\text{barre}}\) | 80 x 160 | \(\text{mm}\) |
Questions à traiter
- Calculer les réactions verticales aux appuis A et C.
- Par la méthode des nœuds, calculer les efforts normaux (traction ou compression) dans les barres AB (arbalétrier) et AD (entrait).
- Vérifier la résistance de la barre AD, sollicitée en traction.
- Vérifier la stabilité au flambement de la barre AB, sollicitée en compression.
Les bases de l'Analyse des Treillis
Avant la correction, rappelons quelques principes fondamentaux.
1. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
Pour qu'une structure soit à l'équilibre, la somme des forces et la somme des moments qui s'y appliquent doivent être nulles. Pour un problème 2D, cela se traduit par trois équations :
\[ \sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum M_{/A} = 0 \]
Ces équations permettent de trouver les forces inconnues, comme les réactions aux appuis.
2. La Méthode des Nœuds :
Cette méthode consiste à isoler chaque nœud (point de connexion) du treillis et à lui appliquer le PFS. Puisque les nœuds sont des articulations, on n'a que des forces et pas de moments. On écrit donc \(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\) pour chaque nœud, ce qui permet de trouver les efforts inconnus dans les barres qui y sont connectées. Par convention, un effort qui "sort" du nœud est une traction (+), un effort qui "rentre" dans le nœud est une compression (-).
3. Le Flambement :
Une barre longue et mince soumise à un effort de compression a tendance à fléchir brusquement et à perdre sa stabilité bien avant que la matière elle-même ne soit écrasée. Ce phénomène s'appelle le flambement. La vérification au flambement consiste à s'assurer que la contrainte de compression appliquée est inférieure à la résistance au flambement du matériau, qui dépend de l'élancement de la barre (rapport entre sa longueur et la taille de sa section).
Correction : Analyse d’une Poutre Treillis en Bois
Question 1 : Calculer les réactions verticales aux appuis
Principe (le concept physique)
La ferme est soumise à une charge verticale qui tend à la faire descendre. Pour qu'elle reste en place (à l'équilibre), les appuis sur lesquels elle repose doivent exercer des forces verticales vers le haut, dont la somme est exactement égale à la charge descendante. Le calcul des réactions consiste à déterminer la valeur de ces forces de soutien.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équilibre statique d'un corps solide est régi par le Principe Fondamental de la Statique (PFS). Il stipule que la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le corps doit être nulle, et que la somme des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point doit également être nulle. C'est la traduction mathématique de l'immobilité.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous et un ami portez un canapé. Si quelqu'un s'assoit au milieu, vous devez tous les deux forcer davantage vers le haut pour le maintenir. Si la personne est exactement au milieu, vous partagez l'effort à 50/50. C'est exactement ce qui se passe ici : la ferme est symétrique, la charge est symétrique, donc les réactions aux appuis seront égales.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des réactions est une application directe des lois de la mécanique et de la statique, qui sont la base de toutes les normes de calcul de structure, y compris l'Eurocode 5 pour les structures en bois.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On applique les équations du PFS à la structure globale :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la structure est parfaitement rigide, que les appuis sont parfaits (sans frottement pour l'appui à rouleau) et que le poids propre de la ferme est négligeable par rapport aux charges appliquées (ou inclus dans F).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charge nodale, \(F = 15 \, \text{kN}\)
- Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une structure symétrique avec un chargement symétrique, il n'est pas nécessaire de faire le calcul des moments. On peut directement affirmer que les réactions verticales sont égales et se partagent la charge totale. Chaque appui reprend donc la moitié de la charge totale.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Corps Libre de la Ferme
Calcul(s) (l'application numérique)
En utilisant la symétrie :
Donc \(V_A = V_C = 7.5 \, \text{kN}\).
Schéma (Après les calculs)
Réactions d'Appuis Calculées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque mur ou poteau supportant la ferme devra être capable de résister à une charge verticale de 7.5 kN (environ 750 kg). Ce résultat est la première étape indispensable avant de pouvoir analyser les efforts à l'intérieur de la structure.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Pour des chargements non symétriques, l'astuce de la symétrie ne fonctionne pas. Il est alors impératif d'utiliser l'équation des moments (\(\sum M = 0\)) pour trouver les réactions. Oublier de le faire conduirait à des résultats erronés.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'équilibre global de la structure est la première chose à vérifier.
- Le PFS (\(\sum F=0, \sum M=0\)) est l'outil de base pour trouver les réactions.
- La symétrie est une astuce puissante qui simplifie grandement les calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les arcs-boutants des cathédrales gothiques sont une solution ingénieuse pour gérer les réactions. Ils ne reprennent pas seulement les charges verticales, mais aussi une énorme poussée horizontale venant des voûtes, qu'ils dévient vers les contreforts et le sol.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la charge F était de 20 kN, quelle serait la valeur de la réaction \(V_A\) (en kN) ?
Question 2 : Calculer les efforts dans les barres AB et AD
Principe (le concept physique)
Une fois que la structure est en équilibre global, chaque partie de celle-ci doit aussi être en équilibre. La méthode des nœuds consiste à "zoomer" sur les points de connexion des barres. En isolant un nœud, on expose les forces internes des barres qui y sont attachées. En appliquant l'équilibre à ce nœud, on peut calculer ces forces.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode des nœuds est efficace si l'on cherche les efforts dans toutes les barres. Pour trouver l'effort dans une seule barre au milieu d'un grand treillis, la "méthode des sections" (ou méthode de Ritter) est souvent plus rapide. Elle consiste à couper la structure en deux et à appliquer le PFS à l'une des deux moitiés.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Commencez toujours par un nœud où il n'y a que deux efforts inconnus au maximum, car nous n'avons que deux équations d'équilibre (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)). Le nœud A est un excellent point de départ car on connaît la réaction \(V_A\) et on ne cherche que les efforts dans les barres AB et AD.
Normes (la référence réglementaire)
La méthode des nœuds est une application directe de la statique et n'est pas "normée" en soi, mais elle est la méthode de base enseignée et utilisée pour l'analyse des structures treillis qui sont ensuite dimensionnées selon les normes comme l'Eurocode.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour chaque nœud, on écrit les deux équations d'équilibre :
Il faut d'abord calculer l'angle \(\alpha\) de l'arbalétrier AB :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les barres sont parfaitement articulées aux nœuds (pas de transmission de moment) et que les charges sont appliquées uniquement aux nœuds. Les efforts dans les barres sont donc purement axiaux (traction ou compression).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Réaction d'appui, \(V_A = 7.5 \, \text{kN}\)
- Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
- Hauteur, \(h = 1.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Au lieu de calculer l'angle \(\alpha\) puis ses sinus et cosinus, on peut travailler directement avec les projections basées sur les longueurs. La longueur de l'arbalétrier AB est \(\sqrt{(L/2)^2 + h^2}\). Le cosinus de \(\alpha\) est alors \((L/2) / (\text{longueur AB})\) et le sinus est \(h / (\text{longueur AB})\).
Schéma (Avant les calculs)
Isolation du Nœud A
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'angle \(\alpha\) :
2. Équilibre du nœud A (les efforts \(N_{AB}\) et \(N_{AD}\) sont supposés en traction) :
Schéma (Après les calculs)
Efforts au Nœud A
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'arbalétrier (barre AB) est comprimé avec un effort de 16.77 kN, ce qui est logique car il soutient la charge du toit. L'entrait (barre AD) est tendu avec un effort de 15.0 kN, ce qui est également logique car il empêche les pieds de la ferme de s'écarter. Le signe négatif pour \(N_{AB}\) confirme bien la compression.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur de signe dans les équations d'équilibre est très fréquente. Adoptez une convention claire (par ex. forces vers la droite et vers le haut sont positives) et respectez-la. De même, une erreur sur le signe du résultat final (traction/compression) invalidera toute la vérification de la barre qui suit.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La méthode des nœuds applique l'équilibre \(\sum F_x=0\) et \(\sum F_y=0\) à chaque articulation.
- On commence par un nœud avec 2 inconnues maximum.
- Un effort négatif signifie que l'hypothèse de départ (traction) était fausse ; il s'agit donc d'une compression.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les ponts en treillis métalliques du 19ème siècle, comme le pont du Garabit de Gustave Eiffel, sont des applications spectaculaires de la méthode des nœuds. Les ingénieurs de l'époque calculaient à la main les efforts dans des centaines de barres pour optimiser le poids et la résistance de l'ouvrage.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la hauteur \(h\) de la ferme était doublée (3.0 m), l'effort de compression dans l'arbalétrier AB serait-il plus grand ou plus petit ?
Question 3 : Vérifier la résistance de la barre AD (Traction)
Principe (le concept physique)
La barre AD est tendue par un effort de 15 kN. Cet effort crée une contrainte de traction à l'intérieur du bois, répartie sur toute la section de la barre. La vérification consiste à s'assurer que cette contrainte appliquée (\(\sigma_d\)) est inférieure à la capacité du bois à résister à la traction (\(f_{t,d}\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La résistance de calcul en traction (\(f_{t,0,d}\)) est obtenue à partir de la résistance caractéristique (\(f_{t,0,k}\)) donnée par la norme pour la classe C24, en la divisant par un coefficient de sécurité sur le matériau (\(\gamma_M\)) et en la multipliant par un coefficient de modification (\(k_{mod}\)) qui tient compte des conditions de service (humidité, durée de la charge).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la vérification la plus simple en résistance des matériaux. Imaginez que vous tirez sur un élastique. La force que vous appliquez est l'effort \(N_{AD}\). La "grosseur" de l'élastique est sa section \(A\). La contrainte est la force par unité de "grosseur". La résistance est la contrainte maximale que l'élastique peut supporter avant de casser. On vérifie simplement que l'on est en dessous de cette limite.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification est menée selon l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). La formule est \(\sigma_{t,0,d} \le f_{t,0,d}\). Les valeurs de résistance pour le bois C24 sont tirées de la norme EN 338. On prendra \(\gamma_M = 1.3\) et \(k_{mod} = 0.9\) (cas standard).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Contrainte de traction de calcul :
Résistance de traction de calcul :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'effort de traction est centré et qu'il n'y a pas d'affaiblissement de la section par des assemblages (boulons, etc.), ce qui est une simplification. En réalité, il faudrait vérifier la section nette.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort de traction, \(N_{AD} = 15.0 \, \text{kN}\)
- Section de la barre : \(b=80\,\text{mm}, h=160\,\text{mm}\)
- Classe du bois : C24 \(\Rightarrow f_{t,0,k} = 14 \, \text{MPa}\) (valeur normative)
- Coefficients : \(\gamma_M = 1.3\), \(k_{\text{mod}} = 0.9\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Travaillez en N et mm². L'effort de 15 kN devient 15000 N. La section en mm² est \(80 \times 160\). Le résultat de la contrainte sera directement en N/mm², ce qui est équivalent au MPa. C'est parfait pour comparer à la résistance qui est aussi en MPa.
Schéma (Avant les calculs)
Barre AD en Traction
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la section de la barre :
2. Calcul de la contrainte de calcul :
3. Calcul de la résistance de calcul :
4. Vérification :
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Traction
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte dans la barre (1.17 MPa) est très inférieure à sa résistance (9.69 MPa). Le taux de travail est de \(1.17 / 9.69 \approx 12\%\). La barre est donc largement surdimensionnée pour la traction. C'est souvent le cas dans les treillis, où la section des barres est dictée par les barres comprimées (plus critiques à cause du flambement) ou par des considérations d'assemblage.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier d'utiliser les coefficients \(\gamma_M\) et \(k_{mod}\) pour passer de la résistance caractéristique (des livres) à la résistance de calcul (pour l'ingénieur). Oublier ces coefficients reviendrait à ne prendre aucune marge de sécurité.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vérification en traction est : \(\text{Contrainte} \le \text{Résistance}\).
- Contrainte : \(\sigma = N/A\).
- Résistance : \(f_d = k_{mod} \cdot f_k / \gamma_M\).
- Le bois est très performant en traction parallèle au fil.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La résistance du bois en traction perpendiculaire à ses fibres est extrêmement faible, environ 30 à 50 fois plus faible qu'en traction parallèle. C'est pourquoi on évite à tout prix de solliciter le bois dans cette direction dans les assemblages.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la barre était en bois C18 (\(f_{t,0,k} = 11\) MPa), quelle serait sa nouvelle résistance de calcul \(f_{t,0,d}\) en MPa ?
Question 4 : Vérifier la stabilité au flambement de la barre AB
Principe (le concept physique)
La barre AB est comprimée. Comme un spaghetti que l'on presse par ses deux bouts, elle a tendance à se déformer latéralement et à "flamber" bien avant que la matière ne s'écrase. Cette instabilité est d'autant plus grande que la barre est longue et fine. La vérification consiste à s'assurer que la contrainte de compression est inférieure à la résistance au flambement, qui est une version réduite de la résistance en compression simple.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La réduction de résistance due au flambement est gérée par le coefficient \(k_c\). Ce coefficient dépend de l'élancement \(\lambda\) de la barre. Un grand élancement (barre très longue et fine) conduit à un \(k_c\) très faible (résistance très réduite), tandis qu'un faible élancement (barre courte et trapue) donne un \(k_c\) proche de 1 (pas de réduction, rupture par écrasement).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le flambement est l'ennemi numéro un des éléments comprimés. C'est pourquoi les poteaux sont souvent plus massifs que les poutres pour des efforts similaires. La forme de la section joue un rôle crucial : un tube creux est bien plus efficace contre le flambement qu'une barre pleine de même poids, car la matière est répartie loin du centre.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification est menée selon l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). La formule est \(\sigma_{c,0,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d}\). Le calcul de l'élancement \(\lambda\) et du coefficient \(k_c\) est détaillé dans la norme.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Contrainte de compression :
Résistance en compression :
Élancement (flambement dans le plan) :
Coefficient de réduction (simplifié) :
avec :
C'est un calcul complexe, nous utiliserons une valeur simplifiée pour l'exercice.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la barre est articulée à ses deux extrémités et qu'elle n'est pas maintenue latéralement contre le flambement hors du plan de la ferme. On utilisera une valeur de \(k_c\) directement calculée pour simplifier.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort de compression, \(|N_{AB}| = 16.77 \, \text{kN}\)
- Section : \(A = 12800 \, \text{mm}^2\), \(b=80\,\text{mm}\)
- Longueur de la barre AB : \(L_{AB} = \sqrt{3^2 + 1.5^2} \approx 3.354 \, \text{m} = 3354 \, \text{mm}\)
- Classe C24 : \(f_{c,0,k} = 21 \, \text{MPa}\)
- Pour cet élancement, le calcul normatif donne : \(k_c \approx 0.55\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Dans un pré-dimensionnement, les ingénieurs utilisent souvent des abaques ou des logiciels qui donnent directement la valeur de \(k_c\) en fonction de l'élancement, pour éviter le calcul manuel fastidieux de la formule complète de l'Eurocode 5.
Schéma (Avant les calculs)
Barre AB en Compression et Risque de Flambement
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la contrainte de calcul :
2. Calcul de la résistance en compression simple :
3. Vérification au flambement :
Schéma (Après les calculs)
Vérification au Flambement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de compression (1.31 MPa) est bien inférieure à la résistance au flambement de la barre (7.99 MPa). Le taux de travail est de \(1.31 / 7.99 \approx 16\%\). La barre est donc correctement dimensionnée et ne flambera pas sous cette charge. On remarque que la résistance au flambement (7.99 MPa) est bien plus faible que la résistance en compression pure (14.54 MPa), ce qui montre l'importance de ce phénomène.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La plus grande erreur serait d'oublier le coefficient de flambement \(k_c\) et de comparer la contrainte à la résistance en compression simple. Cela reviendrait à ignorer le risque de flambement et pourrait conduire à un dimensionnement très dangereux, surtout pour les barres longues et fines.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Toute barre comprimée doit être vérifiée au flambement.
- La vérification est : \(\sigma_{c,0,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d}\).
- Le coefficient \(k_c\) réduit la résistance de la barre et dépend de son élancement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La formule théorique du flambement pour une colonne parfaite a été établie par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. Les formules utilisées dans les normes de construction modernes, comme l'Eurocode, sont des versions améliorées de la formule d'Euler qui tiennent compte des imperfections réelles des matériaux et de la géométrie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le coefficient de flambement \(k_c\) était de 0.2 (barre beaucoup plus élancée), la barre serait-elle toujours vérifiée ?
Outil Interactif : Analyse d'une Ferme Treillis
Modifiez la géométrie et le chargement de la ferme pour voir l'impact sur les efforts et le dimensionnement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Barre AB - Arbalétrier)
Le Saviez-Vous ?
La "méthode graphique de Cremona" est une technique de résolution des treillis, très populaire avant l'avènement des calculatrices. Elle permet de trouver tous les efforts dans les barres en traçant simplement des vecteurs force à l'échelle, les uns à la suite des autres, pour former un polygone fermé pour chaque nœud. C'est une méthode visuelle et très élégante.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi les barres sont-elles considérées comme articulées ?
En réalité, les assemblages (par exemple avec des plaques métalliques ou des boulons) ne sont jamais des articulations parfaites et transmettent de petits moments. Cependant, l'hypothèse des nœuds articulés simplifie énormément les calculs et donne des résultats pour les efforts axiaux qui sont très proches de la réalité et généralement sécuritaires.
Que se passe-t-il si on ajoute le poids propre des barres ?
Le poids propre des barres est une charge répartie. Pour une analyse précise, on le transforme en charges nodales équivalentes (en général, chaque nœud reprend la moitié du poids des barres qui y convergent). Pour les charpentes légères, cet effet est souvent faible par rapport aux charges de neige et de vent.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans notre ferme, si on augmente la hauteur \(h\), l'effort de compression dans l'arbalétrier (barre AB)...
2. Le poinçon central (barre BD) est soumis à un effort de...
- Treillis (ou Ferme)
- Structure composée de barres droites assemblées à leurs extrémités pour former un ou plusieurs triangles. Les barres ne sont sollicitées qu'en traction ou en compression axiale.
- Méthode des Nœuds
- Technique d'analyse des treillis qui consiste à isoler chaque nœud et à lui appliquer les équations d'équilibre des forces pour trouver les efforts dans les barres.
- Flambement (ou Flambage)
- Phénomène d'instabilité d'une pièce élancée soumise à un effort de compression, qui se déforme brutalement dans une direction perpendiculaire à l'effort.
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