Analyse d’un Réseau Électrique Triphasé
Contexte : L'optimisation énergétique d'une installation industrielle.
Une petite usine est alimentée par un réseau triphasé. L'installation comprend principalement un moteur asynchrone (charge inductive) et des résistances de chauffage (charge résistive). Le fournisseur d'électricité pénalise les clients ayant un mauvais facteur de puissanceRapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie.. Cet exercice vise à analyser la consommation de l'usine et à proposer une solution pour améliorer son efficacité énergétique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un circuit électrique complexe, à calculer les différentes formes de puissance (Active, Réactive, Apparente) et à comprendre l'importance de la compensation d'énergie réactive pour optimiser les coûts et la performance d'un réseau.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) pour différentes charges.
- Déterminer le facteur de puissance global d'une installation.
- Comprendre l'utilité du triangle des puissances.
- Dimensionner une batterie de condensateurs pour la compensation d'énergie réactive.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Installation
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension d'alimentation (entre phases) | 400 V |
| Fréquence du réseau | 50 Hz |
| Charge 1 : Moteur Asynchrone | Puissance active \(P_m = 15\) kW, facteur de puissance \(\cos(\phi_m) = 0,8\) (inductif) |
| Charge 2 : Fours à résistance | Puissance active \(P_r = 10\) kW |
Schéma de l'installation électrique
Questions à traiter
- Calculer la puissance réactive \(Q_m\) et la puissance apparente \(S_m\) consommées par le moteur.
- Calculer les puissances totales (active \(P_{tot}\) et réactive \(Q_{tot}\)) de l'installation.
- En déduire la puissance apparente totale \(S_{tot}\) et le facteur de puissance global \(\cos(\phi_{tot})\) de l'installation.
- Le fournisseur d'électricité impose un facteur de puissance minimum de 0,93. Calculer la puissance réactive \(Q_c\) de la batterie de condensateurs à installer pour atteindre cet objectif.
- Calculer la valeur de la capacité \(C\) de chaque condensateur (s'ils sont couplés en triangle sur le réseau 400V).
Les bases sur les Puissances en Triphasé
En régime sinusoïdal, la puissance dans un circuit électrique se décompose en trois quantités interdépendantes, souvent représentées par le "triangle des puissances".
1. Puissance Active (\(P\))
C'est la puissance "utile", celle qui est convertie en travail (mouvement, chaleur...). Elle s'exprime en Watts (W). Pour un système triphasé équilibré, elle est donnée par :
\[ P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\phi) \]
2. Puissance Réactive (\(Q\))
Elle est liée à l'énergie échangée par les champs magnétiques et électriques (bobines, condensateurs). Elle ne produit pas de travail direct mais est nécessaire au fonctionnement de certains appareils. Elle s'exprime en Voltampères Réactifs (VAR).
\[ Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin(\phi) \]
3. Puissance Apparente (\(S\))
C'est la puissance totale que le réseau doit fournir. Elle est la somme vectorielle de P et Q et s'exprime en Voltampères (VA).
\[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \]
Correction : Analyse d’un Réseau Électrique Triphasé
Question 1 : Calculer \(Q_m\) et \(S_m\) pour le moteur.
Principe (le concept physique)
Le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) est le rapport entre la puissance qui travaille réellement (active P) et la puissance totale fournie (apparente S). Il représente l'efficacité avec laquelle l'énergie est utilisée. Connaissant la puissance active et cette efficacité, nous pouvons en déduire la puissance totale S, puis la puissance "magnétisante" Q (réactive) nécessaire au moteur, en utilisant la relation géométrique du triangle des puissances (similaire au théorème de Pythagore).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Toute charge électrique en courant alternatif est caractérisée par un "triangle des puissances". La puissance active P (en W) est la base horizontale. La puissance réactive Q (en VAR) est le côté vertical (vers le haut pour une charge inductive comme un moteur, vers le bas pour une charge capacitive). La puissance apparente S (en VA) est l'hypoténuse, représentant la somme vectorielle des deux autres. L'angle entre P et S est \(\phi\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première étape face à une charge inductive est toujours de caractériser son triangle des puissances. On vous donne souvent P et \(\cos(\phi)\), car ce sont les données les plus faciles à mesurer sur une plaque signalétique ou avec un analyseur de réseau. Votre réflexe doit être de calculer immédiatement S et Q pour avoir une vision complète du comportement de la charge.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des puissances P, Q, et S ne dépend pas d'une norme spécifique mais des lois fondamentales de l'électrotechnique en régime sinusoïdal. Cependant, les normes comme la CEI 60034-1 spécifient comment les performances des machines électriques, y compris leur puissance et leur facteur de puissance, doivent être indiquées par les fabricants.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation Puissance Apparente / Active
Relation du Triangle des Puissances
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour appliquer ces formules simples, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le réseau triphasé est parfaitement équilibré.
- La tension et le courant sont des sinusoïdes pures (pas d'harmoniques).
- Les valeurs de puissance et de facteur de puissance du moteur sont considérées comme constantes pour ce point de fonctionnement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active du moteur | \(P_m\) | 15 | kW |
| Facteur de puissance du moteur | \(\cos(\phi_m)\) | 0,8 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Une fois que vous avez compris le principe, vous pouvez utiliser la relation trigonométrique \(Q = P \cdot \tan(\phi)\). Il suffit de calculer \(\phi = \arccos(\cos(\phi))\) puis d'appliquer la formule. C'est souvent plus rapide que de calculer S d'abord, puis Q.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances - Modèle conceptuel
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de la puissance apparente du moteur (\(S_m\))
Étape 2 : Calcul de la puissance réactive du moteur (\(Q_m\))
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances du moteur
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moteur a besoin de 15 kW pour fonctionner (puissance utile), mais il "tire" en réalité 18,75 kVA sur le réseau. La différence est due aux 11,25 kVAR de puissance réactive nécessaires à la création des champs magnétiques internes, qui ne produisent pas de travail mécanique mais sont indispensables à son fonctionnement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est de confondre les unités. P est en kW, Q en kVAR, et S en kVA. Ne jamais additionner ou soustraire des valeurs avec des unités différentes ! De plus, souvenez-vous que S est toujours supérieure ou égale à P.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour une charge inductive, retenez ces trois étapes :
- Calculer S : \(S = P / \cos(\phi)\)
- Calculer Q : \(Q = \sqrt{S^2 - P^2}\)
- Vérifier que les unités (kW, kVAR, kVA) sont correctes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de puissance réactive a été l'un des points clés de la "guerre des courants" entre Thomas Edison (partisan du courant continu) et Nikola Tesla (partisan de l'alternatif). La gestion de cette puissance "immatérielle" était un défi majeur, brillamment résolu par Tesla, ce qui a permis l'essor des réseaux électriques modernes.
FAQ (pour lever les doutes)
Bien qu'elle ne produise pas de travail, la puissance réactive génère un courant dans les câbles. Ce courant supplémentaire (dit "réactif") provoque des pertes par effet Joule (échauffement) dans toute la ligne, depuis la centrale jusqu'à l'usine, sans contribuer à l'effort utile. C'est de l'énergie perdue pour le distributeur, qui la facture donc au client.Pourquoi la puissance réactive est-elle un problème ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si un autre moteur avait une puissance active de 10 kW avec un facteur de puissance de 0,7, quelle serait sa puissance réactive Q ?
Question 2 : Calculer les puissances totales \(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\).
Principe (le concept physique)
Le théorème de Boucherot stipule que les puissances actives et réactives totales d'un système sont respectivement la somme arithmétique des puissances actives et réactives de chaque composant du système. On peut donc additionner tous les "kW" ensemble et tous les "kVAR" ensemble.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le théorème de Boucherot est fondamental pour l'analyse des réseaux électriques. Il permet de remplacer un ensemble complexe de charges (moteurs, lampes, fours...) par une seule charge équivalente ayant une puissance active totale \(P_{tot}\) et une puissance réactive totale \(Q_{tot}\). Cela simplifie énormément les calculs. Attention : ce théorème ne s'applique pas aux puissances apparentes (VA), qui doivent être calculées vectoriellement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Classez toujours vos charges. Identifiez celles qui sont purement résistives (\(Q=0\)), inductives (\(Q>0\)) ou capacitives (\(Q<0\)). Ensuite, faites deux colonnes, une pour les P et une pour les Q, et additionnez-les séparément. C'est une méthode simple et robuste pour éviter les erreurs.
Normes (la référence réglementaire)
Le théorème de Boucherot n'est pas une norme mais une loi physique. Toutes les normes de conception d'installations électriques (comme la NF C 15-100 en France) s'appuient sur ce principe pour le dimensionnement des câbles, des protections et des sources d'alimentation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toutes les charges sont connectées en parallèle sur le même réseau, ce qui est le cas standard dans une installation industrielle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active Moteur | \(P_m\) | 15 | kW |
| Puissance réactive Moteur | \(Q_m\) | 11,25 | kVAR |
| Puissance active Fours | \(P_r\) | 10 | kW |
| Puissance réactive Fours | \(Q_r\) | 0 | kVAR |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le point clé ici est de se rappeler qu'une résistance parfaite est une charge "idéale" du point de vue de la puissance réactive. Son facteur de puissance est de 1, donc son angle \(\phi_r\) est de 0°, et sa puissance réactive \(Q_r = P_r \cdot \tan(0^\circ)\) est nulle. Elle ne "coûte" rien en énergie réactive.
Schéma (Avant les calculs)
Sommation des puissances (Théorème de Boucherot)
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de la puissance active totale (\(P_{tot}\))
Étape 2 : Calcul de la puissance réactive totale (\(Q_{tot}\))
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances Totales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'installation se comporte globalement comme une charge unique qui consomme 25 kW de puissance utile et 11,25 kVAR de puissance magnétisante. La présence des fours, qui ne consomment pas de puissance réactive, a pour effet de "diluer" l'impact du moteur sur le réseau, mais la nature globale de la charge reste inductive (\(Q_{tot} > 0\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus grave serait d'additionner les puissances apparentes (kVA). On ne doit JAMAIS faire \(S_{tot} = S_m + S_r\). Les puissances apparentes sont des vecteurs (ou des nombres complexes), elles ne s'additionnent pas arithmétiquement. On doit d'abord sommer les P, puis les Q, et ensuite seulement reconstruire le triangle total.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le théorème de Boucherot est votre outil principal pour analyser un réseau complexe. La méthode est toujours la même :
- Décomposer le système en charges simples.
- Calculer P et Q pour chaque charge.
- Additionner tous les P pour obtenir \(P_{tot}\).
- Additionner tous les Q pour obtenir \(Q_{tot}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Paul Boucherot, l'ingénieur français qui a énoncé ce théorème en 1900, est aussi connu pour avoir inventé le moteur asynchrone à double cage, une amélioration significative du moteur asynchrone qui a permis d'obtenir un couple de démarrage plus élevé, crucial pour de nombreuses applications industrielles.
FAQ (pour lever les doutes)
Oui, parfaitement. Il suffit d'attribuer un signe négatif à la puissance réactive des condensateurs (\(Q_c < 0\)). La somme totale \(Q_{tot}\) sera alors la somme algébrique : \(Q_{tot} = Q_{inductif} + Q_{capacitif}\). Si \(Q_{tot}\) est positif, le système est globalement inductif. S'il est négatif, il est globalement capacitif.Ce théorème fonctionne-t-il aussi avec des charges capacitives ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
On ajoute un groupe d'éclairage de 5 kW (considéré comme résistif). Quels sont les nouveaux \(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\) ?
Question 3 : Calculer \(S_{tot}\) et \(\cos(\phi_{tot})\).
Principe (le concept physique)
Ayant déterminé les deux côtés du triangle rectangle des puissances totales (\(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\)), on peut maintenant calculer son hypoténuse (\(S_{tot}\)) avec le théorème de Pythagore, et le cosinus de l'angle (\(\cos(\phi_{tot})\)) avec les relations trigonométriques de base.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La puissance apparente totale \(S_{tot}\) représente le "coût" total de l'énergie pour le fournisseur. C'est sur cette base qu'il doit dimensionner ses transformateurs, ses lignes et ses protections. Le facteur de puissance global \(\cos(\phi_{tot})\) est l'indicateur final de la performance de l'installation : il dit quelle proportion de la puissance fournie (S) est réellement utile (P).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est la conclusion de votre bilan de puissance. Le résultat \(\cos(\phi_{tot})\) est le chiffre clé que vous comparerez aux exigences du fournisseur d'énergie pour savoir si l'installation est conforme ou si elle risque des pénalités. Un bon ingénieur vise toujours un facteur de puissance le plus proche possible de 1.
Normes (la référence réglementaire)
En France, le contrat de fourniture d'électricité (historiquement le "Tarif Jaune" ou "Vert" d'EDF, maintenant des offres de marché) fixe les règles de facturation de l'énergie réactive. Typiquement, le fournisseur exige un \(\cos(\phi)\) minimum (souvent 0,93, soit une \(\tan(\phi)\) de 0,4) pendant les heures de forte consommation. Si l'installation consomme plus de puissance réactive que ce seuil, celle-ci est facturée en supplément.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les calculs de P_tot et Q_tot des questions précédentes sont considérés comme exacts. Le système reste considéré comme équilibré.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active totale | \(P_{tot}\) | 25 | kW |
| Puissance réactive totale | \(Q_{tot}\) | 11,25 | kVAR |
Astuces (Pour aller plus vite)
Sur votre calculatrice, calculez d'abord l'angle \(\phi_{tot} = \arctan(Q_{tot} / P_{tot})\). Une fois que vous avez l'angle, vous pouvez obtenir directement son cosinus pour le facteur de puissance, et calculer \(S_{tot} = P_{tot} / \cos(\phi_{tot})\) sans passer par la racine carrée, ce qui peut éviter des erreurs de saisie.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances à résoudre
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de la puissance apparente totale (\(S_{tot}\))
Étape 2 : Calcul du facteur de puissance total (\(\cos(\phi_{tot})\))
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances résolu
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le facteur de puissance global est de 0,912. C'est mieux que celui du moteur seul (0,8) grâce à l'ajout de la charge purement résistive, mais il reste inférieur à l'objectif de 0,93 fixé par le fournisseur d'énergie. Des pénalités financières sont donc probables.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas l'angle \(\phi\) (en degrés ou radians) et le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) (sans unité, entre 0 et 1). Les fournisseurs d'énergie se basent sur le \(\cos(\phi)\), mais pour les calculs intermédiaires (avec la tangente), vous avez besoin de l'angle \(\phi\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La finalité d'un bilan de puissance est le calcul de \(S_{tot}\) et \(\cos(\phi_{tot})\). Ces deux valeurs caractérisent entièrement la consommation de l'installation du point de vue du réseau.
- \(S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}\)
- \(\cos(\phi_{tot}) = P_{tot} / S_{tot}\)
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les grands réseaux de transport d'électricité, maintenir un bon facteur de puissance est si crucial qu'on utilise des équipements gigantesques appelés "compensateurs synchrones". Ce sont d'énormes machines tournantes qui ne produisent aucun travail mécanique mais peuvent générer ou absorber de la puissance réactive à la demande pour stabiliser la tension du réseau.
FAQ (pour lever les doutes)
C'est correct, mais pas optimal. Pour le particulier, c'est transparent. Pour une industrie, la différence entre 0,91 et 0,93 peut représenter des milliers d'euros de pénalités par an. De plus, un meilleur facteur de puissance signifie moins de courant dans les câbles de l'usine, donc moins de pertes, moins d'échauffement, et une meilleure durée de vie des équipements.Un facteur de puissance de 0,91 c'est bien, non ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(P_{tot}\) était de 30kW et \(Q_{tot}\) de 10kVAR, quel serait le nouveau \(\cos(\phi_{tot})\) ?
Question 4 : Calculer la puissance réactive de compensation \(Q_c\).
Principe (le concept physique)
Pour améliorer le facteur de puissance, on doit "compenser" une partie de la puissance réactive inductive consommée. Cela se fait en ajoutant une source de puissance réactive capacitive (une batterie de condensateurs) en parallèle. L'objectif est de réduire la puissance réactive totale demandée au réseau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La compensation d'énergie réactive consiste à installer des condensateurs qui vont fournir la puissance réactive que les moteurs (bobines) consomment. Ainsi, cette puissance réactive circulera entre les moteurs et les condensateurs, sans être "tirée" depuis le réseau électrique. Cela réduit le courant total et donc la puissance apparente \(S\), améliorant le facteur de puissance \(\cos(\phi) = P/S\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le but de la compensation n'est pas de changer la puissance active P (l'usine a besoin de ses 25 kW pour produire !). Le but est de réduire la puissance réactive Q demandée au réseau pour diminuer la puissance apparente S et donc le courant total. On agit sur la "hauteur" du triangle des puissances sans toucher à sa "base".
Normes (la référence réglementaire)
Les batteries de condensateurs utilisées pour la compensation doivent être conformes à des normes de sécurité et de performance, comme la série CEI 60831. Ces normes garantissent que les condensateurs peuvent supporter les conditions du réseau électrique (surtensions, harmoniques) et qu'ils sont équipés de dispositifs de protection et de décharge sécurisés.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La puissance réactive à compenser, \(Q_c\), est la différence entre la puissance réactive actuelle (\(Q_{tot}\)) et la nouvelle puissance réactive cible (\(Q'_{tot}\)) qui correspond au facteur de puissance désiré.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que la batterie de condensateurs est "idéale", c'est-à-dire qu'elle ne consomme aucune puissance active et ne produit que de la puissance réactive capacitive.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active totale | \(P_{tot}\) | 25 | kW |
| Puissance réactive actuelle | \(Q_{tot}\) | 11,25 | kVAR |
| Facteur de puissance cible | \(\cos(\phi'_{tot})\) | 0,93 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
La formule \(Q_c = P_{tot} \cdot (\tan(\phi_{actuel}) - \tan(\phi_{cible}))\) est la plus directe. Calculez les deux angles à partir de leurs cosinus, trouvez leurs tangentes, faites la différence, puis multipliez par P_tot. C'est une formule à connaître par cœur pour ce type de problème.
Schéma (Avant les calculs)
Compensation d'énergie réactive
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de l'angle cible \(\phi'_{tot}\)
Étape 2 : Calcul de la nouvelle puissance réactive cible (\(Q'_{tot}\))
Étape 3 : Calcul de la puissance de compensation (\(Q_c\))
Schéma (Après les calculs)
Bilan de la compensation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour atteindre l'objectif, il faut "annuler" 1,37 kVAR de puissance réactive inductive. On le fait en installant une batterie de condensateurs qui va "fournir" 1,37 kVAR de puissance réactive capacitive. La puissance réactive nette vue par le réseau sera alors de 11,25 - 1,37 = 9,88 kVAR, ce qui correspond bien à notre cible.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas sur-compenser ! Si on installe une batterie trop puissante, \(Q'_{tot}\) pourrait devenir négatif, et le facteur de puissance deviendrait capacitif. Les fournisseurs d'électricité pénalisent aussi un facteur de puissance trop capacitif. La compensation doit être juste et si possible, asservie à la charge.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La compensation vise à réduire Q sans toucher à P.
- Calculer Q cible : \(Q_{cible} = P_{tot} \cdot \tan(\arccos(\cos\phi_{cible}))\)
- Calculer Q à compenser : \(Q_c = Q_{actuel} - Q_{cible}\)
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les batteries de condensateurs modernes sont souvent automatiques. Elles sont constituées de plusieurs "gradins" (petits groupes de condensateurs) qui sont activés ou désactivés par un automate en fonction de la mesure en temps réel du facteur de puissance de l'installation. Cela permet une compensation optimale même lorsque la charge de l'usine varie.
FAQ (pour lever les doutes)
Idéalement, la compensation doit être faite au plus près des charges inductives (par exemple, directement aux bornes du moteur). C'est ce qu'on appelle la compensation locale. Si ce n'est pas possible, on peut faire une compensation globale au niveau du tableau général basse tension (TGBT) de l'installation, ce qui est le cas le plus fréquent.Où doit-on installer la batterie de condensateurs ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objectif de \(\cos(\phi)\) était de 0.98, quelle serait la puissance \(Q_c\) nécessaire ?
Question 5 : Calculer la capacité \(C\) des condensateurs (couplage triangle).
Principe (le concept physique)
La capacité d'un condensateur est sa faculté à stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. En régime alternatif, cette capacité se traduit par la "fourniture" de puissance réactive. Cette puissance dépend de la capacité elle-même, mais aussi de la tension à ses bornes et de la fréquence du réseau, deux paramètres que nous connaissons.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En triphasé, on peut coupler 3 condensateurs en étoile ou en triangle. En triangle, chaque condensateur est soumis à la tension composée (entre phases), \(U = 400V\). En étoile, il serait soumis à la tension simple, \(V = U/\sqrt{3} \approx 230V\). Comme la puissance réactive est proportionnelle au carré de la tension (\(Q_c \propto U^2\)), le montage triangle permet d'obtenir une puissance réactive 3 fois plus grande qu'en étoile pour la même valeur de capacité. C'est pourquoi il est très souvent préféré.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette question fait le lien entre la théorie des puissances (les kVAR) et la technologie des composants (les microfarads). C'est une étape cruciale qui permet de passer du calcul théorique au choix d'un produit réel dans un catalogue de fabricant.
Normes (la référence réglementaire)
Les valeurs de capacité des condensateurs sont normalisées. On ne trouvera pas une capacité de 9,09 µF dans le commerce. On choisira la valeur normalisée immédiatement supérieure (par exemple 10 µF) de la série E6 ou E12, tout en vérifiant que cela ne provoque pas une surcompensation excessive.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La puissance réactive totale fournie par trois condensateurs de capacité C couplés en triangle est :
où \(\omega = 2 \pi f\) est la pulsation.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les trois condensateurs qui forment la batterie sont identiques et que la tension et la fréquence du réseau sont stables et nominales.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance réactive à fournir | \(Q_c\) | 1,37 | kVAR |
| Tension composée | \(U\) | 400 | V |
| Fréquence | \(f\) | 50 | Hz |
Astuces (Pour aller plus vite)
Attention aux unités ! C'est le piège N°1. Avant tout calcul, convertissez systématiquement les kVAR en VAR, la tension en V, la fréquence en Hz. Le résultat sera alors directement en Farads, qu'il faudra souvent convertir en microfarads (\(\times 10^6\)) pour obtenir une valeur usuelle.
Schéma (Avant les calculs)
Couplage Triangle des Condensateurs
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Isoler C dans la formule
Étape 2 : Appliquer les valeurs numériques (en unités SI)
Étape 3 : Conversion en microfarads (\(\mu\)F)
Schéma (Après les calculs)
Batterie de compensation dimensionnée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On devra choisir dans le commerce une batterie de condensateurs dont la puissance réactive est la plus proche possible, par excès, de 1,37 kVAR. Par exemple, un modèle standard de 1,5 kVAR. Le calcul de la capacité permet de comprendre la technologie sous-jacente.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas se tromper de tension ! En montage triangle, c'est bien la tension composée (400V) qui est aux bornes de chaque condensateur. Si le montage avait été en étoile, il aurait fallu utiliser la tension simple (230V), et le résultat pour C aurait été différent.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour dimensionner les condensateurs d'une batterie triangle, la formule clé est :
\(Q_c\) (en VAR), \(U\) (en V), \(f\) (en Hz) \(\Rightarrow\) \(C = Q_c / (3 \cdot U^2 \cdot 2 \pi f)\)
Le résultat C est en Farads.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Un condensateur de puissance peut stocker une quantité d'énergie mortelle même après avoir été déconnecté du réseau. C'est pourquoi les batteries de compensation intègrent obligatoirement des résistances de décharge, conçues pour ramener la tension aux bornes des condensateurs à une valeur de sécurité (typiquement moins de 50V) en quelques minutes après la mise hors tension.
FAQ (pour lever les doutes)
Parce que le réseau est triphasé. Pour maintenir l'équilibre du réseau, il faut que la charge (y compris la batterie de compensation) soit équilibrée sur les trois phases. Utiliser trois condensateurs identiques, un pour chaque phase (couplés en étoile ou triangle), garantit cet équilibre.Pourquoi ne pas utiliser un seul gros condensateur au lieu de trois ?
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la capacité C nécessaire si la tension du réseau était de 480V pour la même puissance \(Q_c\) de 1,37 kVAR ?
Outil Interactif : Simulateur de Compensation
Utilisez les curseurs pour faire varier la puissance du moteur et la puissance de la batterie de condensateurs. Observez l'impact sur le facteur de puissance global.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que la puissance active (P) ?
2. Un appareil purement résistif (comme un radiateur) a un facteur de puissance de :
3. Que se passe-t-il si on améliore le facteur de puissance d'une installation (en le rapprochant de 1) ?
4. Quel composant utilise-t-on pour compenser l'énergie réactive d'un moteur ?
- Puissance Active (P)
- Partie de la puissance qui produit un travail utile (chaleur, lumière, mouvement). Unité : Watt (W).
- Puissance Réactive (Q)
- Puissance "magnétisante" nécessaire au fonctionnement des moteurs, transformateurs. Elle ne produit pas de travail. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
- Puissance Apparente (S)
- Somme vectorielle des puissances active et réactive. C'est la puissance totale que le réseau doit fournir. Unité : Voltampère (VA).
- Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\))
- Indicateur de l'efficacité énergétique d'une installation. C'est le rapport \(P/S\). Une valeur proche de 1 est idéale.
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