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Analyse des Forces dans une Poutre

Analyse des Forces dans une Poutre en RdM

Analyse des Forces dans une Poutre

Contexte : L'ossature invisible des structures.

Avant de pouvoir concevoir une poutre résistante et rigide, un ingénieur doit d'abord comprendre comment elle réagit aux charges qu'elle supporte. La première étape cruciale de toute analyse structurelle est de déterminer les forces externes (les réactions d'appuiForces exercées par les supports sur la structure pour la maintenir en équilibre statique. Elles contrebalancent les charges appliquées.) et les efforts internes qui parcourent la poutre : l'effort tranchantEffort interne qui tend à faire glisser verticalement les sections de la poutre les unes par rapport aux autres. Il est crucial pour la conception des étriers dans le béton armé. et le moment fléchissantEffort interne qui tend à courber la poutre. La valeur maximale du moment fléchissant est généralement le facteur déterminant pour le dimensionnement de la section de la poutre.. Cet exercice vous guidera dans le calcul de ces éléments fondamentaux pour une poutre simple soumise à des charges combinées.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du Principe Fondamental de la Statique (PFS). Nous allons utiliser les équations d'équilibre pour "résoudre" la poutre. Le traçage des diagrammes d'efforts internes est une compétence visuelle essentielle qui permet à l'ingénieur de "voir" comment les efforts se propagent dans la structure et d'identifier instantanément les zones critiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les équations de l'équilibre statique (\(\Sigma F_{\text{y}} = 0, \Sigma M = 0\)).
  • Calculer les réactions d'appui pour une poutre sur appuis simples.
  • Déterminer les équations de l'effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre.
  • Tracer le Diagramme des Efforts Tranchants (DET).
  • Tracer le Diagramme des Moments Fléchissants (DMF) et identifier la valeur maximale.

Données de l'étude

Une poutre sur deux appuis simples (un appui simple en A, un appui à rouleau en B) de longueur totale L est soumise à une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur et à une charge ponctuelle \(P\) appliquée à une distance \(a\) de l'appui A.

Schéma de la Poutre et des Charges
q P Rₐ Rₑ L = 6 m a = 2 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée totale \(L\) 6 \(\text{m}\)
Charge répartie \(q\) 10 \(\text{kN/m}\)
Charge ponctuelle \(P\) 20 \(\text{kN}\)
Position de la charge P \(a\) 2 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_{\text{A}}\) et \(R_{\text{B}}\).
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  3. Tracer le diagramme des efforts tranchants (DET).
  4. Tracer le diagramme des moments fléchissants (DMF) et déterminer la valeur du moment maximal \(M_{\text{max}}\).

Les bases de l'Analyse Statique

Pour résoudre ce problème, nous nous appuyons sur les principes fondamentaux de la statique.

1. Les Équations d'Équilibre Statique :
Pour qu'un corps soit immobile, la somme de toutes les forces et de tous les moments qui s'exercent sur lui doit être nulle. Pour un problème plan comme notre poutre, cela se simplifie en trois équations : \[ \Sigma F_{\text{x}} = 0 \quad ; \quad \Sigma F_{\text{y}} = 0 \quad ; \quad \Sigma M_{\text{z}} = 0 \] Comme il n'y a pas de forces horizontales, nous n'utiliserons que la somme des forces verticales et la somme des moments.

2. Relation entre Charge, Effort Tranchant et Moment Fléchissant :
Ces trois grandeurs sont mathématiquement liées. La dérivée de l'effort tranchant est l'opposé de la charge répartie (\(dV/dx = -q(x)\)), et la dérivée du moment fléchissant est l'effort tranchant (\(dM/dx = V(x)\)). Cela implique que le moment est maximal lorsque l'effort tranchant s'annule (\(V(x)=0\)).

Correction : Analyse des Forces dans la Poutre

Question 1 : Calculer les réactions d'appui

Principe (le concept physique)

La poutre est en équilibre, ce qui signifie qu'elle ne bouge pas. Les appuis doivent donc fournir des forces (les réactions) qui compensent exactement les charges appliquées (la charge répartie et la charge ponctuelle). Pour trouver ces réactions, nous utilisons les équations d'équilibre, en particulier le fait que la poutre ne tourne pas autour d'un point.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) postule que pour un solide en équilibre, la somme vectorielle des forces extérieures est nulle, et la somme vectorielle des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point est nulle. En appliquant ces deux conditions, on peut déterminer les inconnues de liaison, qui sont ici les réactions d'appui.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une balançoire à bascule. Pour qu'elle soit à l'équilibre avec deux enfants de poids différents, le pivot central doit non seulement supporter le poids total des deux enfants (équilibre des forces), mais il doit aussi être placé au bon endroit pour que la balançoire ne tourne pas (équilibre des moments).

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des réactions d'appui est la première étape de toute analyse de structure selon les normes de construction comme les Eurocodes. Ces normes définissent les combinaisons de charges (poids propre, charges d'exploitation, neige, vent...) à considérer pour s'assurer que la structure est stable dans le cas le plus défavorable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous appliquons les deux équations d'équilibre pertinentes :

\[ \Sigma M_{/\text{A}} = 0 \quad (\text{Somme des moments par rapport à A}) \]
\[ \Sigma F_{\text{y}} = 0 \quad (\text{Somme des forces verticales}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère la poutre comme un corps rigide. Les appuis sont parfaits (ponctuels et sans frottement). Le poids propre de la poutre est inclus dans la charge répartie \(q\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L = 6 \, \text{m}\)
  • \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(P = 20 \, \text{kN}\)
  • \(a = 2 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver une réaction, il est très efficace de calculer la somme des moments par rapport à l'autre point d'appui. Par exemple, pour trouver \(R_{\text{B}}\), on calcule les moments en A. La réaction \(R_{\text{A}}\) passe par A, son moment est donc nul, ce qui la fait disparaître de l'équation et nous donne directement \(R_{\text{B}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Isolation de la poutre et forces en jeu
PqLRₐ?Rₑ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. On calcule la somme des moments par rapport à A pour trouver \(R_{\text{B}}\). On considère le sens anti-horaire comme positif. La charge répartie \(q\) peut être vue comme une force unique de \(q \cdot L = 10 \cdot 6 = 60 \, \text{kN}\) appliquée au milieu de la poutre (à 3 m de A).

\[ \Sigma M_{/\text{A}} = 0 \Rightarrow (R_{\text{B}} \cdot L) - (P \cdot a) - ((q \cdot L) \cdot \frac{L}{2}) = 0 \]
\[ \begin{aligned} (R_{\text{B}} \cdot 6) - (20 \cdot 2) - ((10 \cdot 6) \cdot 3) &= 0 \\ 6 R_{\text{B}} - 40 - 180 &= 0 \\ 6 R_{\text{B}} &= 220 \\ R_{\text{B}} &= \frac{220}{6} \\ R_{\text{B}} &\approx 36.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. On calcule la somme des forces verticales pour trouver \(R_{\text{A}}\).

\[ \Sigma F_{\text{y}} = 0 \Rightarrow R_{\text{A}} + R_{\text{B}} - P - (q \cdot L) = 0 \]
\[ \begin{aligned} R_{\text{A}} + 36.67 - 20 - (10 \cdot 6) &= 0 \\ R_{\text{A}} + 36.67 - 20 - 60 &= 0 \\ R_{\text{A}} - 43.33 &= 0 \\ R_{\text{A}} &= 43.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec réactions calculées
206043.3336.67
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La somme des réactions \(R_{\text{A}} + R_{\text{B}} = 43.33 + 36.67 = 80 \, \text{kN}\). La somme des charges est \(P + qL = 20 + 60 = 80 \, \text{kN}\). L'équilibre des forces verticales est bien vérifié, ce qui est un bon indicateur de la justesse de nos calculs. On remarque que l'appui A, plus proche de la charge P, reprend un effort plus important.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe dans l'équation des moments. Définissez clairement une convention (ex: anti-horaire positif) et respectez-la pour toutes les forces. N'oubliez pas le bras de levier de la force équivalente à la charge répartie, qui est L/2.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toute structure stable respecte les équations de l'équilibre statique.
  • La somme des moments par rapport à un appui annule la réaction de cet appui et simplifie le calcul.
  • Toujours vérifier que la somme des forces verticales est nulle à la fin pour valider les résultats.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les structures qui peuvent être résolues uniquement avec les équations de la statique sont dites "isostatiques". Si une structure a plus de réactions inconnues que d'équations d'équilibre (par exemple, une poutre sur trois appuis), elle est dite "hyperstatique". Sa résolution est plus complexe et nécessite de prendre en compte la déformation de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la force équivalente de la charge répartie est-elle au milieu ?

Pour une charge uniformément répartie, le centre de gravité de la charge (qui est un rectangle) se situe en son milieu. La force équivalente, qui est l'aire de ce rectangle de charge, s'applique donc à ce centre de gravité pour le calcul des moments externes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appui sont \(R_{\text{A}} \approx 43.33 \, \text{kN}\) et \(R_{\text{B}} \approx 36.67 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P était déplacée à \(a = 4 \, \text{m}\), quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{\text{B}}\) en kN ?

Question 2 : Établir les équations V(x) et M(x)

Principe (le concept physique)

Pour connaître les efforts à l'intérieur de la poutre, on pratique une "coupe" imaginaire à une distance \(x\) de l'origine (l'appui A). L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme de toutes les forces verticales à gauche de la coupe. Le moment fléchissant \(M(x)\) est la somme de tous les moments à gauche de la coupe. Comme le chargement change à \(x=2 \, \text{m}\) (à cause de P), nous devons définir deux jeux d'équations.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des coupures est un outil fondamental de la RdM. En isolant une partie de la structure, on fait apparaître les efforts internes (\(V(x)\) et \(M(x)\)) sur la section coupée. En appliquant le PFS à la partie isolée, on peut exprimer ces efforts internes en fonction de la position \(x\) de la coupe et des charges extérieures appliquées sur cette partie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous coupez un concombre. Pour que le morceau de gauche reste en équilibre, la coupe doit exercer une force verticale (l'effort tranchant) et un "effort de rotation" (le moment fléchissant) pour compenser le poids du morceau et les forces qui s'y appliquent. Nos équations décrivent simplement ces efforts de cohésion internes.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul ne dictent pas la méthode pour trouver les équations, mais elles imposent de calculer les efforts internes en tout point de la structure pour vérifier les critères de résistance (contraintes) et de service (déformations) partout.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une coupe à une distance \(x\) de l'origine :

\[ V(x) = \Sigma F_{\text{y, gauche}} \quad ; \quad M(x) = \Sigma M_{/\text{x, gauche}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la convention de signe usuelle : effort tranchant positif quand il tend à faire tourner la section dans le sens horaire, moment positif quand il tend les fibres inférieures.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(R_{\text{A}} = 43.33 \, \text{kN}\)
  • \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x=2 \, \text{m}\)
  • \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la deuxième section (après la charge P), au lieu de tout recalculer depuis l'origine, on peut partir de l'équation de la première section et simplement ajouter l'effet de la charge P. Pour V(x), on soustrait P. Pour M(x), on soustrait le moment créé par P, soit \(P \cdot (x-a)\).

Calcul(s) (l'application numérique)

Section 1 : Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\)

Schéma de la coupure dans le tronçon 1
q Rₐ M(x) V(x) x
\[ \begin{aligned} V(x) &= R_{\text{A}} - q \cdot x \\ &= 43.33 - 10x \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(x) &= R_{\text{A}} \cdot x - (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} \\ &= 43.33x - 5x^2 \end{aligned} \]

Section 2 : Pour \(2 \le x \le 6 \, \text{m}\)

Schéma de la coupure dans le tronçon 2
q P Rₐ M(x) V(x) x a=2m
\[ \begin{aligned} V(x) &= R_{\text{A}} - P - q \cdot x \\ &= 43.33 - 20 - 10x \\ &= 23.33 - 10x \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(x) &= R_{\text{A}} \cdot x - P \cdot (x-2) - (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} \\ &= 43.33x - 20(x-2) - 5x^2 \\ &= 23.33x + 40 - 5x^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les schémas sont les diagrammes des questions suivantes, qui sont la représentation graphique de ces équations.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces équations décrivent complètement l'état des efforts internes en tout point de la poutre. Elles sont la base mathématique qui va nous permettre de tracer les diagrammes et de trouver les valeurs extrêmes. On note que V(x) est linéaire par morceaux et M(x) est parabolique par morceaux, ce qui est typique pour ce type de chargement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de changer les équations après une charge ponctuelle ou à la fin d'une charge répartie. Chaque discontinuité dans le chargement crée une nouvelle section avec de nouvelles équations. Vérifiez toujours la continuité de votre moment : \(M(2)\) calculé avec la première et la seconde équation doit donner le même résultat.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La méthode des coupures permet de trouver les efforts internes V(x) et M(x).
  • Les équations changent à chaque discontinuité de chargement.
  • V(x) est l'intégrale de -q(x) et M(x) est l'intégrale de V(x).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul par éléments finis n'utilisent pas ces équations analytiques. Ils découpent la poutre en une multitude de petits segments ("éléments finis") et résolvent un grand système d'équations matricielles pour trouver les efforts et les déplacements à chaque "nœud" (les points de connexion entre les éléments).

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge répartie ne couvrait pas toute la poutre ?

Si la charge q s'arrêtait à, disons, x=4m, il faudrait définir une troisième section pour \(4 \le x \le 6\). Dans cette section, la charge q ne serait plus présente dans les équations de V(x) et M(x), mais son effet total (la force \(q \cdot 4\)) serait toujours pris en compte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations des efforts internes ont été établies pour les deux sections de la poutre.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur de l'effort tranchant V(x) à \(x=5 \, \text{m}\) ? (en kN)

Question 3 : Tracer le Diagramme des Efforts Tranchants (DET)

Principe (le concept physique)

Le DET est une représentation graphique de l'effort tranchant \(V(x)\) tout le long de la poutre. Il nous montre comment l'effort de "cisaillement" varie. Il est essentiel pour comprendre où la poutre est la plus sollicitée en cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pente du DET en un point est égale à l'opposé de la valeur de la charge répartie en ce point (\(dV/dx = -q\)). Là où q est constant, la pente du DET est constante (droite inclinée). Là où il n'y a pas de charge répartie, la pente est nulle (droite horizontale). Une charge ponctuelle P vers le bas provoque un "saut" de -P dans le diagramme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le DET est comme un "compte en banque" des forces verticales. On commence à gauche avec la "mise" de la réaction \(R_{\text{A}}\). Ensuite, la charge répartie "retire" de l'argent progressivement, et la charge ponctuelle fait un "gros retrait" instantané. On doit arriver à la fin avec un solde égal à l'opposé de la dernière réaction pour que les comptes soient bons.

Normes (la référence réglementaire)

Le DET est utilisé pour vérifier la résistance au cisaillement de la poutre, conformément aux critères des Eurocodes. Pour les poutres en béton, il est particulièrement important car il sert à dimensionner les armatures transversales (cadres et étriers) qui empêchent la rupture par cisaillement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les équations de V(x) trouvées précédemment pour calculer les valeurs aux points clés.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul des équations.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les équations de V(x) et les valeurs des charges et réactions.

Astuces(Pour aller plus vite)

On peut tracer le DET sans même écrire les équations complètes. On part de 0, on "saute" de la valeur de \(R_{\text{A}}\). Puis on descend avec une pente de \(-q\). Au point P, on "saute" vers le bas de la valeur de P. On continue de descendre avec la pente \(-q\) jusqu'à la fin, où l'on doit arriver à la valeur de \(-R_{\text{B}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Allure attendue du DET
DET (kN)
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule les valeurs de V(x) aux points clés :

\[ \begin{aligned} V(0) &= 43.33 - 10(0) \\ &= 43.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V(2^{-}) &= 43.33 - 10(2) \\ &= 23.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V(2^{+}) &= 23.33 - 10(2) \\ &= 3.33 \, \text{kN} \end{aligned} \]

On observe un "saut" de \(23.33 - 3.33 = 20 \, \text{kN}\), égal à la charge P.

\[ \begin{aligned} V(6) &= 23.33 - 10(6) \\ &= -36.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Cette valeur correspond bien à l'opposé de la réaction en B (\(-R_{\text{B}}\)).

Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Efforts Tranchants (DET)
+43.33+23.33+3.33-36.67DET (en kN)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme montre que l'effort tranchant est maximal à l'appui A. La charge répartie fait décroître l'effort linéairement. La charge ponctuelle P provoque une chute brutale de 20 kN. Le diagramme passe par zéro entre x=2 et x=6, c'est à cet endroit précis que le moment fléchissant sera maximal.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que le "saut" au niveau de la charge ponctuelle est bien égal à la valeur de la charge. Vérifiez également que les valeurs aux extrémités du diagramme correspondent bien à \(R_{\text{A}}\) et \(-R_{\text{B}}\). Une erreur dans les réactions d'appui se répercutera inévitablement sur le DET.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le DET commence à \(R_{\text{A}}\) et finit à \(-R_{\text{B}}\).
  • Une charge répartie \(q\) crée une pente de \(-q\) sur le DET.
  • Une charge ponctuelle \(P\) crée un saut de \(-P\) sur le DET.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des ponts, les poutres principales sont souvent conçues avec une "jarre" (une hauteur variable), plus hautes près des appuis où l'effort tranchant est maximal, et moins hautes au milieu de la travée où le moment fléchissant domine. Cela permet d'optimiser l'utilisation de la matière.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si une charge est dirigée vers le haut ?

Une charge ponctuelle dirigée vers le haut provoquerait un saut vers le haut dans le DET. De même, une charge répartie "aspirante" (comme le vent sur un toit) provoquerait une pente positive sur le DET.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme des efforts tranchants a été tracé. L'effort tranchant maximal est de 43.33 kN à l'appui A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P était nulle, où l'effort tranchant s'annulerait-il ? (distance x depuis A, en m)

Question 4 : Tracer le Diagramme des Moments Fléchissants (DMF)

Principe (le concept physique)

Le DMF est la représentation graphique du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre. Il est fondamental car c'est généralement la contrainte due au moment maximal qui dimensionne la poutre. Le DMF est l'intégrale du DET.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pente du DMF en un point est égale à la valeur de l'effort tranchant en ce point (\(dM/dx = V\)). Lorsque V est positif et décroissant, le moment augmente mais avec une pente de plus en plus faible (parabole concave). Lorsque V est nul, la pente du DMF est nulle, ce qui correspond à un extrémum (le moment maximal). Lorsque V est négatif, la pente du DMF est négative (le moment diminue).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Si le DET est la vitesse de votre voiture, le DMF est la distance que vous avez parcourue. Quand la vitesse est grande et positive, vous avancez vite. Quand la vitesse diminue, vous continuez d'avancer mais de moins en moins vite. Quand votre vitesse devient nulle, vous atteignez votre point le plus éloigné. Quand la vitesse devient négative, vous commencez à reculer.

Normes (la référence réglementaire)

La valeur de \(M_{\text{max}}\) tirée du DMF est l'entrée principale pour la vérification de la résistance en flexion selon les Eurocodes (\(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W_{\text{el}} \le f_y\)). C'est sans doute la valeur la plus importante de toute l'analyse statique d'une poutre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les équations de M(x) et on cherche le point où V(x) = 0 pour trouver le maximum.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les équations de M(x) et le point \(x\) où \(V(x)=0\).

Astuces(Pour aller plus vite)

L'aire sous le DET entre deux points est égale à la variation du moment entre ces deux points (\(\Delta M = \int V(x)dx\)). On peut construire le DMF graphiquement en calculant les aires des trapèzes et triangles du DET. C'est souvent plus rapide et plus intuitif que de manipuler les équations.

Schéma (Avant les calculs)
Allure attendue du DMF
Mmax ?DMF (kNm)
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule les valeurs de M(x) aux points clés :

\[ M(0) = 0 \, \text{kNm} \]
\[ \begin{aligned} M(2) &= 43.33(2) - 5(2^2) \\ &= 86.66 - 20 \\ &= 66.66 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(6) &= 23.33(6) + 40 - 5(6^2) \\ &= 140 + 40 - 180 \\ &= 0 \, \text{kNm} \end{aligned} \]

On cherche le moment maximal là où \(V(x)=0\). On utilise l'équation de V(x) de la 2ème section :

\[ V(x) = 23.33 - 10x = 0 \Rightarrow x = 2.333 \, \text{m} \]

On calcule le moment à cet endroit :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= M(2.333) \\ &= 23.33(2.333) + 40 - 5(2.333^2) \\ &= 54.43 + 40 - 27.21 \\ &\approx 67.22 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Moments Fléchissants (DMF)
66.66Mₘₐₓ ≈ 67.22DMF (en kNm)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme du moment est une parabole (car la charge est répartie). La pente du diagramme change au point d'application de P. Le point le plus haut de la courbe, \(M_{\text{max}} = 67.22\) kNm, est le point critique pour le dimensionnement de la poutre en flexion. C'est à cet endroit que les contraintes de traction et de compression seront les plus élevées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez que le moment est bien nul aux appuis simples. Assurez-vous que le maximum du moment correspond bien à un point où l'effort tranchant est nul. Une erreur fréquente est de penser que le moment maximal est forcément sous la charge ponctuelle, ce qui n'est pas toujours le cas en présence d'une charge répartie.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le DMF est l'intégrale du DET.
  • La pente du DMF est égale à la valeur du DET.
  • Le moment est maximal lorsque le DET passe par zéro.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres continues (sur plusieurs appuis), le moment fléchissant peut être négatif au-dessus des appuis intermédiaires. Cela signifie que la poutre est "tendue" en haut et "comprimée" en bas. C'est pourquoi, dans les ponts en béton, on trouve des armatures en acier non seulement en partie basse au milieu des travées, mais aussi en partie haute au-dessus des piles.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si un des appuis était un encastrement ?

Un encastrement empêche la rotation. Il y aurait donc une réaction de moment à cet appui, et le DMF ne commencerait pas à zéro. Cela changerait complètement le calcul des réactions et la forme des diagrammes. La poutre deviendrait hyperstatique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme des moments fléchissants a été tracé. Le moment maximal est \(M_{\text{max}} \approx 67.22 \, \text{kNm}\) et il est situé à \(x \approx 2.33 \, \text{m}\) de l'appui A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge répartie q était nulle, quelle serait la valeur du moment maximal en kNm ?

Outil Interactif : Analyse des Efforts

Modifiez les charges pour voir leur influence sur les réactions et les efforts internes.

Paramètres d'Entrée
20 kN
10 kN/m
Résultats Clés
Réaction Rₐ (kN) -
Réaction Rₑ (kN) -
Moment Maximal (kNm) -

Le Saviez-Vous ?

La théorie des poutres moderne a été développée par des géants comme Leonhard Euler et Daniel Bernoulli au 18ème siècle, mais c'est l'ingénieur et physicien français Claude-Louis Navier qui, au début du 19ème siècle, a formulé les équations différentielles complètes qui régissent l'élasticité et la flexion des poutres, encore utilisées aujourd'hui dans tous les logiciels de calcul de structure.

Foire Aux Questions (FAQ)

À quoi correspond physiquement un moment fléchissant positif ?

Par convention en Europe, un moment fléchissant positif est un moment qui tend à "tendre" les fibres inférieures de la poutre et à "comprimer" les fibres supérieures. Visuellement, cela correspond à une poutre qui fléchit en "sourire" (concavité vers le haut).

Pourquoi le moment est-il maximal quand l'effort tranchant est nul ?

Mathématiquement, c'est parce que le moment est l'intégrale de l'effort tranchant. Le maximum d'une fonction est atteint lorsque sa dérivée s'annule. Comme \(dM/dx = V(x)\), le moment M est maximal lorsque V(x) est égal à zéro. Physiquement, cela représente le point où la "tendance au cisaillement" s'inverse, ce qui correspond au point de "pliure" maximale.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une charge ponctuelle appliquée sur une poutre provoque sur le diagramme des efforts tranchants...

2. Si une section de la poutre est soumise uniquement à une charge uniformément répartie, la forme du diagramme des moments fléchissants sur cette section sera...

Réactions d'Appui
Forces (et parfois moments) exercées par les supports sur une structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées.
Effort Tranchant (V)
Effort interne à une poutre qui représente la tendance au glissement vertical d'une section par rapport à une autre. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
Moment Fléchissant (M)
Effort interne à une poutre qui représente la tendance à la rotation ou à la courbure d'une section. Unité : Newton-mètre (N·m) ou ses multiples (kN·m).
Analyse des Forces dans une Poutre

D’autres exercices de Rdm:

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