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Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr en RDM

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Contexte : La sécurité des structures au cœur du Génie Civil.

En Résistance des Matériaux (RDM), l'analyse de l'état de contrainte en un point d'une structure est fondamentale pour garantir sa sécurité et sa durabilité. Un élément de structure, comme une poutre en béton armé, peut être soumis simultanément à de la traction, de la compression et du cisaillement. Le Cercle de MohrReprésentation graphique, proposée par Christian Otto Mohr, qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point et de déterminer facilement les contraintes principales et le cisaillement maximal. est un outil graphique et analytique puissant qui permet de visualiser cet état de contrainte complexe et de déterminer les sollicitations maximales que le matériau subit, ainsi que leur orientation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la mécanique des milieux continus. Nous allons passer d'un état de contrainte connu dans un repère (x, y) à la détermination des contraintes extrêmes (principales et de cisaillement max) dans d'autres orientations. C'est une compétence essentielle pour tout ingénieur en génie civil pour le dimensionnement et la vérification des structures.

Objectifs Pédagogiques

  • Construire le Cercle de Mohr à partir d'un état de contrainte plane connu.
  • Déterminer graphiquement et par le calcul le centre et le rayon du cercle.
  • Calculer les contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_2\)) et l'orientation des facettes principales (\(\theta_p\)).
  • Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) et l'orientation de sa facette.
  • Utiliser le cercle pour trouver les contraintes sur une facette orientée d'un angle quelconque.

Données de l'étude

On étudie l'état de contrainte en un point critique d'une poutre en béton. L'analyse a révélé les composantes de contrainte suivantes dans le repère (x, y) :

État de Contrainte Plane sur un Élément Infinitésimal
σx σx σy σy τxy τyx τyx τxy
Paramètre Symbole Valeur Unité
Contrainte normale selon x \(\sigma_x\) -10 MPa (Compression)
Contrainte normale selon y \(\sigma_y\) 25 MPa (Traction)
Contrainte de cisaillement \(\tau_{xy}\) -15 MPa

Questions à traiter

  1. Déterminer les coordonnées du centre (C) et la valeur du rayon (R) du cercle de Mohr.
  2. Calculer les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\). Préciser s'il s'agit de traction ou de compression.
  3. Calculer l'orientation \(\theta_p\) des facettes principales par rapport à l'axe x.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et la contrainte normale moyenne associée.
  5. Dessiner le cercle de Mohr complet, en y indiquant clairement le centre C, le rayon R, les points X et Y, les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), la contrainte \(\tau_{\text{max}}\) et l'angle \(2\theta_p\).

Les bases de la RDM

Avant de tracer le cercle, rappelons les conventions et formules essentielles.

1. Convention de Signes :
En RDM, la convention la plus courante est :

  • Contraintes normales (\(\sigma\)) : Positives en traction (étirement), négatives en compression.
  • Contraintes de cisaillement (\(\tau\)) : Sur l'axe des \(\tau\) du cercle de Mohr, un cisaillement qui tend à faire tourner l'élément dans le sens horaire est tracé vers le haut (positif), et anti-horaire vers le bas (négatif).

2. Coordonnées des points sur le cercle :
Le cercle de Mohr est tracé dans un repère (\(\sigma\), \(\tau\)). Chaque point sur le cercle représente l'état de contrainte sur une facette orientée. Les deux points diamétralement opposés qui servent à construire le cercle sont :

  • Point X (représentant la facette perpendiculaire à l'axe x) : \(X(\sigma_x, \tau_{xy})\)
  • Point Y (représentant la facette perpendiculaire à l'axe y) : \(Y(\sigma_y, \tau_{yx})\) avec \(\tau_{yx} = -\tau_{xy}\)

3. Formules Clés :
Le centre C et le rayon R du cercle se calculent comme suit :

\[ C = \sigma_{\text{moy}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]
\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

Les contraintes principales sont alors :

\[ \sigma_{1,2} = C \pm R \]

Correction : Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Question 1 : Déterminer le centre et le rayon du cercle de Mohr

Principe (le concept physique)

Le cercle de Mohr est une construction géométrique qui représente toutes les combinaisons possibles de contraintes normales (\(\sigma\)) et de cisaillement (\(\tau\)) sur des facettes de différentes orientations, pour un état de contrainte donné en un point. Le centre du cercle représente la contrainte normale moyenne, tandis que son rayon représente l'intensité de la variation des contraintes avec l'orientation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les équations du cercle de Mohr découlent des formules de transformation des contraintes. Ces formules expriment \(\sigma_{n}\) et \(\tau_{nt}\) sur une facette inclinée d'un angle \(\theta\) en fonction de \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) et \(\tau_{xy}\). En manipulant ces équations trigonométriques, on peut montrer qu'elles décrivent un cercle dans le plan (\(\sigma, \tau\)), ce qui simplifie grandement l'analyse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du centre et du rayon est la première étape cruciale. Le centre vous donne une valeur de référence, la contrainte "moyenne" que subit le point. Le rayon est l'indicateur clé de la sévérité du cisaillement et de l'anisotropie des contraintes. Un rayon nul signifie un état de contrainte hydrostatique (pression pure), où les contraintes sont les mêmes dans toutes les directions.

Normes (la référence réglementaire)

L'analyse par le cercle de Mohr est une méthode fondamentale de la mécanique des solides. Les normes de construction (comme l'Eurocode 2 pour le béton) ne dictent pas la méthode, mais exigent que les contraintes calculées (principales, cisaillement) soient comparées aux résistances admissibles du matériau, qui sont déterminées expérimentalement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise les formules standards pour le centre C et le rayon R :

\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]
\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous travaillons en état de contraintes planes (\(\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0\)). Le matériau est supposé continu, homogène et isotrope au point considéré.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_x = -10 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = 25 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = -15 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord le terme \((\sigma_x - \sigma_y)/2\), car il sera réutilisé dans plusieurs calculs (rayon, angle). Cela évite les erreurs et accélère le processus. Ici, c'est \( (-10 - 25)/2 = -17.5 \) MPa.

Schéma (Avant les calculs)
Construction du Cercle de Mohr
στX(-10, -15)?Y(25, 15)?C = ?R = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du centre C :

\[ \begin{aligned} C &= \frac{-10 + 25}{2} \\ &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul du rayon R :

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{\left(\frac{-10 - 25}{2}\right)^2 + (-15)^2} \\ &= \sqrt{(-17.5)^2 + (-15)^2} \\ &= \sqrt{306.25 + 225} \\ &= \sqrt{531.25} \\ &\approx 23.05 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Cercle de Mohr avec Valeurs Calculées
στX(-10, -15)Y(25, 15)C=7.5R=23.05
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le centre est à 7.5 MPa, ce qui indique qu'en moyenne, le point est en traction. Le rayon de 23.05 MPa est significatif, plus grand que la contrainte moyenne, ce qui suggère que le cisaillement joue un rôle prépondérant et que les contraintes varient fortement avec l'orientation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Une erreur sur le signe de \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) ou \(\tau_{xy}\) change radicalement le résultat. Vérifiez bien la convention : traction positive, compression négative. Le carré dans la formule du rayon "sauve" souvent les erreurs de signe, mais ce ne sera pas le cas pour les calculs d'angle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le centre C est la moyenne arithmétique des contraintes normales.
  • Le rayon R est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont \((\sigma_x - \sigma_y)/2\) et \(\tau_{xy}\).
  • Ces deux valeurs définissent entièrement le cercle et l'état de contrainte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le cercle de Mohr n'est pas limité aux contraintes. Il peut être utilisé pour analyser toute quantité qui se transforme comme un tenseur du second ordre, comme les déformations (cercle de Mohr des déformations) ou les moments d'inertie d'une section (cercle de Land).

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la convention pour le cisaillement sur le cercle ?

Il existe deux conventions. Celle utilisée ici (horaire vers le haut) est courante en mécanique. L'autre (anti-horaire vers le haut) est souvent utilisée en géotechnique. L'important est d'être cohérent. Les résultats finaux (contraintes principales) seront les mêmes quelle que soit la convention.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le centre du cercle de Mohr est C = 7.5 MPa et son rayon est R ≈ 23.05 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(\sigma_x = 20\), \(\sigma_y = 20\) et \(\tau_{xy} = 0\), que valent C et R ?

Question 2 : Calculer les contraintes principales

Principe (le concept physique)

Les contraintes principales, \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), sont les contraintes normales maximale et minimale que subit le point. Elles agissent sur des facettes où la contrainte de cisaillement est nulle. Sur le cercle de Mohr, ce sont simplement les intersections du cercle avec l'axe horizontal \(\sigma\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, les contraintes principales sont les valeurs propres (eigenvalues) du tenseur des contraintes. Les directions principales sont les vecteurs propres (eigenvectors) associés. Le cercle de Mohr est une méthode graphique pour résoudre ce problème de valeurs propres pour un tenseur 2x2.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Identifier la contrainte de traction maximale (\(\sigma_1\)) est vital pour les matériaux fragiles (béton, roche), qui rompent facilement en traction. Identifier la contrainte de compression maximale (\(\sigma_2\)) est crucial pour vérifier le risque de flambement ou d'écrasement.

Normes (la référence réglementaire)

Les critères de rupture des matériaux, intégrés dans les normes de calcul comme les Eurocodes, sont souvent exprimés en fonction des contraintes principales. Par exemple, le critère de Rankine stipule que la rupture survient si \(\sigma_1\) atteint la limite de résistance en traction du matériau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les contraintes principales se déduisent directement du centre C et du rayon R :

\[ \sigma_1 = C + R \quad (\text{maximale}) \]
\[ \sigma_2 = C - R \quad (\text{minimale}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1 : état de contrainte plane sur un matériau continu, homogène et isotrope.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Centre, \(C = 7.5 \, \text{MPa}\)
  • Rayon, \(R = 23.05 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une excellente façon de vérifier vos calculs est d'utiliser l'invariant des contraintes : la somme des contraintes normales est constante, quelle que soit l'orientation. On doit donc avoir \(\sigma_1 + \sigma_2 = \sigma_x + \sigma_y\). Ici, \(30.55 + (-15.55) = 15\) et \(-10 + 25 = 15\). Le calcul est cohérent !

Schéma (Avant les calculs)
Identification des Contraintes Principales
Cσ₁=?σ₂=?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= 7.5 + 23.05 \\ &= 30.55 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= 7.5 - 23.05 \\ &= -15.55 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Contraintes Principales
C=7.5σ₁=30.55σ₂=-15.55
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte normale maximale est une traction de 30.55 MPa, et la contrainte minimale est une compression de 15.55 MPa. Bien que la compression initiale \(\sigma_x\) ne soit que de -10 MPa, il existe une orientation où le matériau est en réalité soumis à une compression 55% plus forte. C'est pourquoi cette analyse est cruciale pour la sécurité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Toujours nommer \(\sigma_1\) la contrainte la plus grande algébriquement (la plus à droite sur l'axe) et \(\sigma_2\) la plus petite. Même si la compression \(\sigma_2\) est plus grande en valeur absolue que la traction \(\sigma_1\), \(\sigma_1\) est toujours la contrainte principale majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les contraintes principales sont les contraintes normales extrêmes.
  • Elles sont calculées simplement par \(C \pm R\).
  • Sur les facettes où elles s'appliquent, le cisaillement est nul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En conception assistée par ordinateur (CAO) et en simulation par éléments finis, les logiciels calculent les contraintes principales en chaque point d'un modèle 3D. Les résultats sont souvent affichés sous forme de cartes de couleur (isovaleurs), permettant à l'ingénieur de repérer instantanément les zones de traction ou de compression critiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le cisaillement est-il nul sur les plans principaux ?

Par définition, les plans principaux sont les orientations pour lesquelles la contrainte normale est extrêmale. Mathématiquement, cela correspond à trouver l'angle \(\theta\) pour lequel la dérivée de \(\sigma_n(\theta)\) par rapport à \(\theta\) est nulle. Si l'on effectue cette dérivation sur les équations de transformation des contraintes, on trouve que la condition est remplie précisément lorsque la contrainte de cisaillement \(\tau_{nt}(\theta)\) est égale à zéro.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes principales sont \(\sigma_1 = 30.55 \, \text{MPa}\) (Traction) et \(\sigma_2 = -15.55 \, \text{MPa}\) (Compression).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si C = 10 MPa et R = 30 MPa, que valent \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) ?

Question 3 : Calculer l'orientation principale

Principe (le concept physique)

L'angle principal, \(\theta_p\), est l'angle de rotation (dans le plan physique) qu'il faut appliquer à l'élément pour que ses faces soient alignées avec les directions des contraintes principales. Sur le cercle de Mohr, cet angle est représenté par \(2\theta_p\), qui est l'angle entre le rayon CX (point de départ) et l'axe horizontal \(\sigma\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La raison pour laquelle les angles sont doublés sur le cercle de Mohr vient des identités trigonométriques utilisées pour dériver les équations de transformation. Les formules pour \(\sigma_n\) et \(\tau_{nt}\) impliquent des termes en \(\cos(2\theta)\) et \(\sin(2\theta)\). Une rotation physique de \(\theta\) correspond donc à une rotation de \(2\theta\) dans le plan de Mohr.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Connaître l'orientation des contraintes principales est fondamental. Dans une poutre en béton, on place les armatures en acier pour reprendre la traction. Savoir que la traction maximale n'est pas horizontale mais inclinée à -20.3° permet de comprendre pourquoi on a besoin d'armatures de cisaillement (étriers) pour éviter les fissures diagonales.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception, notamment pour les matériaux anisotropes comme le bois ou les composites, exigent que les contraintes soient analysées par rapport aux directions matérielles (ex: le fil du bois). Le calcul de l'angle principal permet de comparer l'orientation des sollicitations maximales avec les directions de résistance du matériau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'angle \(2\theta_p\) peut être trouvé par trigonométrie :

\[ \tan(2\theta_p) = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_x - C} = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_x = -10 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = 25 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = -15 \, \text{MPa}\)
  • \(C = 7.5 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le signe de l'angle est important. Une méthode simple : sur le cercle, regardez le chemin le plus court pour aller du rayon CX à l'axe horizontal (vers \(\sigma_1\)). Si ce chemin est horaire, \(2\theta_p\) est négatif. S'il est anti-horaire, il est positif. Ici, pour aller de X à \(\sigma_2\), on tourne dans le sens anti-horaire, donc l'angle vers \(\sigma_2\) est positif.

Schéma (Avant les calculs)
Angle Principal sur le Cercle
X2θp = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant le triangle rectangle formé par le centre C, le point X et la projection de X sur l'axe \(\sigma\) :

\[ \begin{aligned} \tan(2\theta_p) &= \frac{-15}{-10 - 7.5} \\ &= \frac{-15}{-17.5} \\ &\approx 0.857 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\theta_p &= \arctan(0.857) \\ &\approx 40.6^\circ \end{aligned} \]

Le signe de la rotation sur le cercle est le même que le signe de \(\tau_{xy}\) sur la face Y. Ici \(\tau_{yx} = -\tau_{xy} = 15\) MPa (positif, sens horaire), donc la rotation de Y vers \(\sigma_1\) est horaire. Par conséquent, \(2\theta_p\) est négatif.

\[ 2\theta_p = -40.6^\circ \Rightarrow \theta_p = -20.3^\circ \]
Schéma (Après les calculs)
Orientation Principale Calculée
X2θp = -40.6°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un angle de -20.3° signifie qu'il faut tourner l'élément de 20.3° dans le sens horaire pour que ses faces soient perpendiculaires aux directions de traction et de compression maximales. C'est dans cette orientation que les fissures de traction apparaîtraient dans un matériau fragile comme le béton non armé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus classique est d'oublier de diviser par 2 ! Le cercle de Mohr travaille avec l'angle double \(2\theta\). Le résultat final pour l'orientation physique de l'élément est toujours \(\theta\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l'élément physique.
  • La direction de la rotation sur le cercle (horaire/anti-horaire) est la même que dans la réalité.
  • L'angle \(2\theta_p\) est l'angle entre le rayon du point de référence (ex: CX) et l'axe des \(\sigma\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La photoélasticité est une méthode expérimentale fascinante qui permet de visualiser les champs de contrainte. Un modèle transparent de la pièce est chargé, et observé sous lumière polarisée. Des franges colorées apparaissent, dont les directions sont tangentes aux directions des contraintes principales, rendant visible l'invisible !

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'angle est-il doublé sur le cercle ?

Cela provient des identités trigonométriques utilisées pour dériver les équations de transformation des contraintes. Par exemple, \(\cos^2(\theta) = (1+\cos(2\theta))/2\). La dépendance des contraintes transformées est en \(2\theta\), ce qui fait qu'une rotation de 90° dans la réalité (de la face X à la face Y) correspond à une rotation de 180° sur le cercle (du point X au point Y).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'orientation des facettes principales est \(\theta_p = -20.3^\circ\) (rotation horaire).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(\sigma_x=30\), \(\sigma_y=-10\) et \(\tau_{xy}=20\), que vaut \(2\theta_p\) en degrés ?

Question 4 : Calculer le cisaillement maximal

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement maximale, \(\tau_{\text{max}}\), est la plus grande valeur de cisaillement que subit le point. Sur le cercle de Mohr, elle correspond simplement à la valeur du rayon R. Elle se produit sur des facettes orientées à 45° par rapport aux facettes principales.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le cisaillement maximal est fondamental dans les théories de la plasticité pour les matériaux ductiles (comme l'acier). Le critère de Tresca, par exemple, postule que la limite d'élasticité est atteinte lorsque le cisaillement maximal atteint une valeur critique, car c'est le glissement des plans cristallins (un phénomène de cisaillement) qui est à l'origine de la déformation plastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Alors que les matériaux fragiles craignent la traction principale (\(\sigma_1\)), les matériaux ductiles craignent le cisaillement maximal (\(\tau_{\text{max}}\)). Pour un même état de contrainte, un ingénieur béton se concentrera sur \(\sigma_1\) pour le risque de fissuration, tandis qu'un ingénieur en structure métallique se focalisera sur \(\tau_{\text{max}}\) pour le risque de plastification.

Normes (la référence réglementaire)

Le critère de von Mises, utilisé dans la plupart des codes de calcul pour les métaux, est une version plus sophistiquée du critère de cisaillement. Il est basé sur l'énergie de distorsion (liée au cisaillement) et est directement calculable à partir du rayon du cercle de Mohr et des contraintes principales.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \tau_{\text{max}} = R \]
\[ \sigma_{\text{associée}} = C \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Rayon, \(R = 23.05 \, \text{MPa}\)
  • Centre, \(C = 7.5 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois le rayon R calculé, vous avez immédiatement la valeur de \(\tau_{\text{max}}\) sans aucun calcul supplémentaire. C'est la beauté du cercle de Mohr : un seul calcul (le rayon) vous donne à la fois la variation des contraintes normales et la valeur maximale du cisaillement.

Schéma (Avant les calculs)
Identification du Cisaillement Maximal
τ_max=R=?
Calcul(s) (l'application numérique)

La valeur a déjà été calculée :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &= R \\ &= 23.05 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

La contrainte normale sur les facettes de cisaillement maximal est égale à la contrainte moyenne :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{associée}} &= C \\ &= 7.5 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Cisaillement Maximal
τ_max=23.05σ_moy=7.5
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement maximale est de 23.05 MPa, bien supérieure à la valeur de 15 MPa dans le repère (x,y). C'est cette valeur qu'il faut comparer à la résistance au cisaillement du matériau pour vérifier les critères de rupture (par exemple, le critère de Tresca).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier la contrainte normale associée au cisaillement maximal. Sauf si le centre C est à l'origine (\(\sigma_x = -\sigma_y\)), il y a toujours une contrainte normale (traction ou compression) sur les plans de cisaillement maximal. L'ignorer peut mener à des erreurs de dimensionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement maximale est toujours égale au rayon du cercle, \(\tau_{\text{max}} = R\).
  • Elle agit sur des plans orientés à 45° des plans principaux.
  • La contrainte normale sur ces plans est toujours égale à la contrainte moyenne, \(C\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lorsqu'on tord une craie jusqu'à la rupture, elle ne casse pas perpendiculairement à l'axe, mais selon une hélice à 45°. C'est une démonstration parfaite de la théorie : la torsion pure est un état de cisaillement pur. La contrainte de traction principale \(\sigma_1\) est à 45° de l'axe, et comme la craie est fragile, elle casse en suivant cette direction de traction maximale.

FAQ (pour lever les doutes)
Le cisaillement maximal est-il toujours R (en 3D) ?

En contraintes planes, oui. Mais dans un état de contrainte 3D, il y a une troisième contrainte principale \(\sigma_3\). Le cisaillement maximal absolu est alors \((\sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}})/2\). Si \(\sigma_3\) est entre \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), alors \(\tau_{\text{max, abs}} = (\sigma_1 - \sigma_2)/2 = R\). Mais si \(\sigma_3\) est en dehors de cet intervalle, le cisaillement maximal absolu peut être plus grand.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{\text{max}} = 23.05 \, \text{MPa}\), avec une contrainte normale associée de 7.5 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un état de torsion pure, \(\sigma_x=0, \sigma_y=0, \tau_{xy}=50\). Que vaut \(\tau_{max}\) ?

Question 5 : Dessiner le cercle de Mohr complet

Principe (le concept physique)

Le dessin final est la synthèse de tous les calculs. Il permet de visualiser d'un seul coup d'œil l'ensemble de l'état de contrainte : la contrainte moyenne (C), l'amplitude des variations (R), les extrêmes de contrainte normale (\(\sigma_1, \sigma_2\)) et de cisaillement (\(\tau_{\text{max}}\)), ainsi que l'orientation de ces contraintes extrêmes (via l'angle \(2\theta_p\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le cercle de Mohr est une transformation conforme qui mappe le plan physique (orientations \(\theta\)) sur le plan des contraintes (\(\sigma, \tau\)). Cette représentation graphique permet de résoudre un problème analytique complexe par une simple construction géométrique, une approche très appréciée des ingénieurs avant l'avènement des calculatrices puissantes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un dessin à l'échelle est un excellent moyen de vérifier ses calculs. Si vos points X et Y ne sont pas diamétralement opposés par rapport à votre centre C, ou si vos contraintes principales ne correspondent pas à C ± R, il y a probablement une erreur quelque part. Le dessin impose une cohérence géométrique qui aide à détecter les incohérences numériques.

Normes (la référence réglementaire)

Dans les rapports techniques et les notes de calcul, une représentation graphique claire comme le cercle de Mohr est souvent plus parlante qu'un tableau de chiffres. Elle permet de communiquer efficacement les résultats d'une analyse de contraintes et de justifier les choix de conception.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Ce n'est pas une formule, mais la représentation graphique de toutes les formules précédentes. Les points clés sont placés selon leurs coordonnées calculées.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses restent les mêmes que pour les calculs précédents.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous rassemblons ici toutes les valeurs calculées dans les questions précédentes :

  • Centre, \(C = 7.5 \, \text{MPa}\)
  • Rayon, \(R = 23.05 \, \text{MPa}\)
  • Contraintes principales, \(\sigma_1 = 30.55 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_2 = -15.55 \, \text{MPa}\)
  • Cisaillement maximal, \(\tau_{\text{max}} = 23.05 \, \text{MPa}\)
  • Angle principal, \(2\theta_p \approx -40.6^\circ\)
  • Points de construction, \(X(-10, -15)\) et \(Y(25, 15)\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un tracé manuel, commencez par graduer vos axes \(\sigma\) et \(\tau\) à une échelle judicieuse. Placez le centre C sur l'axe \(\sigma\), puis les points X et Y. Tracez le cercle au compas. Toutes les autres valeurs peuvent ensuite être lues directement sur le graphique, ce qui constitue une excellente vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Canevas pour le Dessin Final
στ
Calcul(s) (l'application numérique)

Il n'y a pas de nouveaux calculs pour cette question. Il s'agit de reporter graphiquement les résultats des questions 1 à 4.

Schéma (Après les calculs)
Cercle de Mohr Complet avec Annotations
στOC(7.5)X(-10, -15)Y(25, 15)σ₁=30.55σ₂=-15.55τ_max=23.05R2θp-40.6°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La représentation graphique confirme que l'état de contrainte initial (points X et Y) n'est pas l'état le plus critique. Une rotation de l'élément d'environ -20.3° (\(\theta_p\)) amènerait une facette à subir une traction maximale de 30.55 MPa (\(\sigma_1\)) sans aucun cisaillement. De même, une rotation de 45° par rapport à cette direction principale mènerait à l'état de cisaillement maximal de 23.05 MPa, qui est souvent le critère de rupture pour les matériaux ductiles.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Un dessin non soigné peut être source d'erreurs. Assurez-vous de bien légender tous les points et toutes les valeurs importantes. Un cercle de Mohr clair et bien annoté est un outil de communication puissant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le cercle de Mohr est une carte complète de l'état de contrainte en un point.
  • L'axe horizontal représente les contraintes normales, l'axe vertical le cisaillement.
  • Les intersections avec l'axe horizontal sont les contraintes principales (cisaillement nul).
  • Les points les plus hauts et les plus bas du cercle représentent le cisaillement maximal.
  • Les angles sur le cercle sont le double des angles dans la réalité physique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Christian Otto Mohr (1835-1918) était un ingénieur civil allemand réputé pour ses travaux sur les structures. Il a développé cette méthode graphique car à son époque, les calculs trigonométriques complexes étaient longs et sujets à erreurs. Son cercle a simplifié l'analyse des contraintes de manière révolutionnaire.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je résoudre le problème uniquement avec le dessin ?

Oui ! Si vous réalisez un dessin précis à l'échelle sur du papier millimétré, vous pouvez mesurer directement le centre, le rayon, les contraintes principales et même l'angle \(2\theta_p\) avec un rapporteur. C'était la méthode principale avant l'ère du calcul numérique. Aujourd'hui, on privilégie le calcul pour la précision, et le dessin pour la visualisation et la vérification.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le schéma ci-dessus représente le cercle de Mohr complet pour l'état de contrainte étudié, synthétisant tous les résultats de l'analyse.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

À partir du cercle final, estimez (sans calcul) la contrainte normale sur une facette tournée de +45° par rapport à l'axe x.

Outil Interactif : Explorez le Cercle de Mohr

Modifiez les contraintes initiales pour construire dynamiquement le cercle de Mohr et observer l'impact sur les contraintes principales et le cisaillement maximal.

Paramètres d'Entrée (MPa)
-10 MPa
25 MPa
-15 MPa
Résultats Clés (MPa)
Centre (C)-
Rayon (R)-
\(\sigma_1\)-
\(\sigma_2\)-
\(\tau_{\text{max}}\)-

Le Saviez-Vous ?

Les "lignes de Lüders" sont des bandes visibles qui apparaissent à la surface de certains aciers lorsqu'ils commencent à plastifier. Ces bandes sont orientées à environ 45° de la direction de traction, matérialisant les plans de cisaillement maximal où le matériau "glisse". C'est une manifestation visible directe de la théorie prédite par le cercle de Mohr.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il pour un état de contrainte 3D ?

Pour un état 3D, il existe trois contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)). L'analyse se fait en traçant trois cercles de Mohr dans le même plan : un grand cercle entre \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\), et deux plus petits entre \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), et entre \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\). L'état de contrainte pour n'importe quelle orientation se trouve dans la zone hachurée entre ces trois cercles.

Cette méthode fonctionne-t-elle pour tous les matériaux ?

Oui, la construction du cercle de Mohr est basée sur la mécanique et est indépendante du matériau. Cependant, l'interprétation des résultats (la comparaison des contraintes principales avec les limites de résistance) dépend fortement du comportement du matériau (fragile, ductile, anisotrope, etc.).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un état de traction pure (\(\sigma_x > 0, \sigma_y = \tau_{xy} = 0\)), le cisaillement maximal est égal à :

2. Si le rayon R du cercle de Mohr est nul, cela signifie que l'état de contrainte est :

Contrainte Principale
Contrainte normale maximale ou minimale en un point, agissant sur une facette où la contrainte de cisaillement est nulle.
Cisaillement Pur
État de contrainte où les contraintes normales sont nulles (\(\sigma_x = \sigma_y = 0\)) et seule la contrainte de cisaillement \(\tau_{xy}\) est non nulle. Le cercle de Mohr est alors centré à l'origine.
Tenseur des Contraintes
Objet mathématique (une matrice 3x3) qui décrit complètement l'état de contrainte en un point, avec les contraintes normales sur la diagonale et les contraintes de cisaillement hors diagonale.
Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr en RDM

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