Études de cas pratique

EGC

Analyse de l’Écoulement dans une Conduite

Analyse de l’Écoulement dans une Conduite en Hydraulique

Analyse de l’Écoulement dans une Conduite en Hydraulique

Introduction à l'Analyse des Écoulements en Conduite

L'analyse des écoulements en conduite est essentielle en ingénierie hydraulique pour la conception et l'exploitation des réseaux de transport de fluides (eau potable, eaux usées, pétrole, gaz, etc.). Elle implique la détermination des caractéristiques de l'écoulement telles que la vitesse, la pression, le débit, et surtout les pertes d'énergie (pertes de charge) qui se produisent lorsque le fluide se déplace. Ces pertes de charge sont dues aux frottements du fluide sur les parois de la conduite (pertes linéaires) et aux singularités (coudes, vannes, élargissements, etc. - pertes singulières). L'équation de Bernoulli généralisée est l'outil fondamental pour ces analyses.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule d'un réservoir A vers un réservoir B à travers une conduite horizontale en acier.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau à 15°C
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(999.1 \, \text{kg/m}^3\)
  • Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) : \(1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(200 \, \text{m}\)
  • Rugosité absolue de la conduite en acier (\(\epsilon\)) : \(0.045 \, \text{mm}\)
  • Différence de niveau d'eau entre les réservoirs A et B (\(H = z_A - z_B\)) : \(5 \, \text{m}\)
  • Pression à la surface libre des deux réservoirs : Pression atmosphérique (\(p_A = p_B = p_{atm}\))
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses :

  • Les vitesses à la surface libre des réservoirs sont négligeables (\(V_A \approx 0, V_B \approx 0\)).
  • Les pertes de charge singulières (entrée, sortie) sont négligées pour simplifier cet exercice (focus sur les pertes linéaires).
  • L'écoulement est permanent.
On utilisera l'équation de Colebrook-White pour déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(f\), ou le diagramme de Moody (pour référence). L'équation de Colebrook-White est : \(\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right)\). Elle nécessite une résolution itérative. Pour cet exercice, on pourra admettre une valeur de \(f\) après une ou deux itérations ou utiliser une approximation si le calcul itératif est trop complexe pour le format. Alternativement, pour un régime turbulent établi, on peut utiliser des approximations comme celle de Swamee-Jain : \(f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2}\)

Schéma : Écoulement entre deux réservoirs
{/* Réservoir A */} {/* Niveau d'eau A */} Réservoir A zA {/* Réservoir B */} {/* Niveau d'eau B */} Réservoir B zB {/* Conduite */} L, D, ε {/* Ligne de référence pour l'altitude */} Niveau de référence (z=0) {/* Différence de niveau H */} H Écoulement par gravité entre deux réservoirs

Schéma d'un écoulement d'eau entre deux réservoirs via une conduite horizontale.

Questions à traiter

  1. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  2. En supposant une vitesse d'écoulement initiale \(V = 1.5 \, \text{m/s}\) pour commencer les itérations (ou pour une première estimation) :
    1. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)).
    2. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (\(f\)) en utilisant l'approximation de Swamee-Jain.
  3. Calculer les pertes de charge linéaires (\(h_f\)) dans la conduite en fonction de la vitesse \(V\) et du coefficient \(f\).
  4. Appliquer l'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des réservoirs A et B pour établir une relation entre \(H\), \(V\) et \(f\).
  5. En utilisant la valeur de \(f\) estimée à la question 2b, calculer la vitesse réelle d'écoulement \(V\) dans la conduite.
  6. Recalculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) et le coefficient \(f\) avec cette nouvelle vitesse. Commenter la convergence. (Une seule itération de recalcul suffira pour cet exercice).
  7. Calculer le débit volumique (\(Q\)) dans la conduite.

Correction : Analyse de l’Écoulement dans une Conduite

Question 1 : Calcul de la Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))

Principe :

La rugosité relative est un paramètre adimensionnel qui compare la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne de la conduite à son diamètre intérieur. Elle influence le coefficient de perte de charge linéaire, surtout en régime turbulent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Rugosité relative} = \frac{\epsilon}{D}\]
Données spécifiques (avec conversion d'unités) :
  • Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.045 \, \text{mm} = 0.045 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.045 \times 10^{-3} \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} \\ &= 0.00045 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La rugosité relative de la conduite est \(\epsilon/D = 0.00045\).

Question 2 : Estimation Initiale de \(Re\) et \(f\) (avec \(V = 1.5 \, \text{m/s}\))

Principe (2a) : Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) permet de caractériser le régime d'écoulement (laminaire, transitoire, turbulent).

Formule(s) utilisée(s) (2a) :
\[Re = \frac{V D}{\nu}\]
Données spécifiques (2a) :
  • Vitesse supposée (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul (2a) :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.5 \, \text{m/s} \times 0.1 \, \text{m}}{1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.15}{1.139 \times 10^{-6}} \\ &\approx 131694.47 \end{aligned} \]

Puisque \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Principe (2b) : Coefficient de Perte de Charge Linéaire \(f\) (Swamee-Jain)

L'équation de Swamee-Jain est une approximation explicite de l'équation de Colebrook-White pour les écoulements turbulents.

Formule(s) utilisée(s) (2b) :
\[f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2}\]
Données spécifiques (2b) :
  • \(\epsilon/D = 0.00045\)
  • \(Re \approx 131694.47\)
Calcul (2b) :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon/D}{3.7} &= \frac{0.00045}{3.7} \approx 0.0001216 \\ Re^{0.9} &= (131694.47)^{0.9} \approx 43533.65 \\ \frac{5.74}{Re^{0.9}} &= \frac{5.74}{43533.65} \approx 0.0001318 \\ \log_{10} \left( 0.0001216 + 0.0001318 \right) &= \log_{10} (0.0002534) \approx -3.596 \\ f &= \frac{0.25}{(-3.596)^2} \\ &= \frac{0.25}{12.9312} \\ &\approx 0.01933 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Pour une vitesse initiale \(V = 1.5 \, \text{m/s}\) :
  • Nombre de Reynolds \(Re \approx 131694\) (régime turbulent).
  • Coefficient de perte de charge linéaire \(f \approx 0.01933\).

Question 3 : Calcul des Pertes de Charge Linéaires (\(h_f\))

Principe :

Les pertes de charge linéaires (\(h_f\)) dans une conduite sont calculées à l'aide de la formule de Darcy-Weisbach.

Formule(s) utilisée(s) :
\[h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\]
Données spécifiques (en fonction de \(V\) et \(f\)) :
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(200 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Expression de \(h_f\) :
\[ \begin{aligned} h_f &= f \frac{200 \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} \frac{V^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= f \times 2000 \times \frac{V^2}{19.62} \\ &\approx 101.937 f V^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'expression des pertes de charge linéaires est \(h_f \approx 101.937 f V^2\).

Question 4 : Application de l'Équation de Bernoulli Généralisée

Principe :

L'équation de Bernoulli généralisée entre deux points 1 et 2 d'une ligne de courant s'écrit, en incluant les pertes de charge totales \(\Delta H_{1 \rightarrow 2}\) : \[ \frac{p_1}{\rho g} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + \Delta H_{1 \rightarrow 2} \] Ici, les points A et B sont les surfaces libres des réservoirs. Les pertes de charge sont uniquement linéaires (\(h_f\)) selon les hypothèses.

Application entre les surfaces A et B :

\[ \frac{p_A}{\rho g} + z_A + \frac{V_A^2}{2g} = \frac{p_B}{\rho g} + z_B + \frac{V_B^2}{2g} + h_f \] Avec \(p_A = p_B = p_{atm}\), \(V_A \approx 0\), \(V_B \approx 0\).

\[ \begin{aligned} \frac{p_{atm}}{\rho g} + z_A + 0 &= \frac{p_{atm}}{\rho g} + z_B + 0 + h_f \\ z_A - z_B &= h_f \\ H &= h_f \end{aligned} \]

En remplaçant \(h_f\) par son expression :

\[H = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\]
Résultat Question 4 : La relation issue de l'équation de Bernoulli est \(H = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'équation de Bernoulli exprime la conservation de :

Question 5 : Calcul de la Vitesse Réelle d'Écoulement \(V\)

Principe :

En utilisant la relation \(H = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\) et la valeur de \(f\) estimée, on peut isoler et calculer \(V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = \sqrt{\frac{2gH D}{f L}}\]
Données spécifiques :
  • \(H = 5 \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(D = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(L = 200 \, \text{m}\)
  • \(f \approx 0.01933\) (estimé à la question 2b)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= \sqrt{\frac{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5 \, \text{m} \times 0.1 \, \text{m}}{0.01933 \times 200 \, \text{m}}} \\ &= \sqrt{\frac{9.81}{3.866}} \\ &= \sqrt{2.5375} \\ &\approx 1.5929 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse réelle d'écoulement calculée est \(V \approx 1.593 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Recalcul de \(Re\) et \(f\) (Itération)

Principe :

Avec la nouvelle vitesse \(V \approx 1.593 \, \text{m/s}\), on recalcule le nombre de Reynolds, puis le coefficient de perte de charge \(f\) pour vérifier la convergence par rapport à l'estimation initiale.

Calcul du nouveau \(Re\) :
  • Nouvelle vitesse (\(V\)) : \(1.593 \, \text{m/s}\)
  • \(D = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(\nu = 1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
\[ \begin{aligned} Re_{new} &= \frac{1.593 \, \text{m/s} \times 0.1 \, \text{m}}{1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.1593}{1.139 \times 10^{-6}} \\ &\approx 139859.5 \end{aligned} \]
Calcul du nouveau \(f\) (Swamee-Jain) :
  • \(\epsilon/D = 0.00045\)
  • \(Re_{new} \approx 139859.5\)
\[ \begin{aligned} Re_{new}^{0.9} &= (139859.5)^{0.9} \approx 45968.8 \\ \frac{5.74}{Re_{new}^{0.9}} &= \frac{5.74}{45968.8} \approx 0.00012487 \\ \log_{10} \left( \frac{0.00045}{3.7} + 0.00012487 \right) &= \log_{10} (0.00012162 + 0.00012487) \\ &= \log_{10} (0.00024649) \approx -3.608 \\ f_{new} &= \frac{0.25}{(-3.608)^2} \\ &= \frac{0.25}{13.0176} \\ &\approx 0.019205 \end{aligned} \]
Commentaire sur la convergence :

La vitesse initiale supposée était \(V = 1.5 \, \text{m/s}\), donnant \(f \approx 0.01933\). La vitesse calculée est \(V \approx 1.593 \, \text{m/s}\), donnant \(f_{new} \approx 0.01921\). La valeur de \(f\) a légèrement changé (de 0.01933 à 0.01921). La vitesse a également changé (de 1.5 m/s à 1.593 m/s). Pour une plus grande précision, on pourrait continuer les itérations jusqu'à ce que les valeurs de \(V\) et \(f\) ne changent plus de manière significative. Pour cet exercice, cette itération suffit.

Résultat Question 6 :
  • Nouveau Nombre de Reynolds \(Re_{new} \approx 139860\).
  • Nouveau Coefficient de perte de charge linéaire \(f_{new} \approx 0.01921\).
La convergence est bonne après une itération.

Question 7 : Calcul du Débit Volumique (\(Q\))

Principe :

Le débit volumique (\(Q\)) est le produit de l'aire de la section de la conduite par la vitesse moyenne de l'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A \cdot V\]

Où \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Données spécifiques (avec la vitesse itérée) :
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
  • Vitesse (\(V\)) : \(1.593 \, \text{m/s}\) (issue de la question 5, ou on pourrait utiliser une vitesse issue d'une seconde itération si on l'avait faite)
Calcul de l'aire \(A\) :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Calcul du débit \(Q\) :
\[ \begin{aligned} Q &= (0.007854 \, \text{m}^2) \times (1.593 \, \text{m/s}) \\ &\approx 0.01251 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion en L/s : \(0.01251 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 \, \text{L/m}^3 = 12.51 \, \text{L/s}\).

Résultat Question 7 : Le débit volumique dans la conduite est \(Q \approx 0.01251 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit \(12.51 \, \text{L/s}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la rugosité de la conduite augmente, le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) pour un écoulement turbulent tend généralement à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La formule de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer :

2. L'équation de Colebrook-White est utilisée pour déterminer :

3. Dans l'équation de Bernoulli généralisée appliquée entre deux points d'un écoulement réel, le terme de pertes de charge représente :

Glossaire

Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre adimensionnel caractérisant le régime d'écoulement d'un fluide. \(Re = VD/\nu\).
Pertes de Charge Linéaires (\(h_f\))
Pertes d'énergie par unité de poids de fluide dues au frottement du fluide contre les parois internes de la conduite sur une certaine longueur.
Coefficient de Perte de Charge Linéaire (\(f\))
Coefficient adimensionnel (facteur de frottement de Darcy) qui dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite. Utilisé dans la formule de Darcy-Weisbach.
Formule de Darcy-Weisbach
Équation empirique utilisée pour calculer les pertes de charge linéaires dans une conduite : \(h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\).
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface interne d'une conduite.
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport entre la rugosité absolue et le diamètre intérieur de la conduite.
Équation de Bernoulli Généralisée
Extension de l'équation de Bernoulli qui tient compte des pertes d'énergie (pertes de charge) et des apports d'énergie (pompes) ou des retraits d'énergie (turbines) dans un écoulement de fluide réel.
Équation de Colebrook-White
Équation implicite utilisée pour calculer le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) pour les écoulements turbulents dans les conduites, couvrant toute la plage de régimes (lisse, transitoire, rugueux).
Diagramme de Moody
Graphique qui représente le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) en fonction du nombre de Reynolds \(Re\) et de la rugosité relative \(\epsilon/D\).
Analyse de l’Écoulement dans une Conduite - Exercice d'Application

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