Analyse de la Réponse Sismique d'un Bâtiment

Contexte : L'Ingénierie SismiqueBranche du génie civil qui conçoit et analyse les structures pour résister aux tremblements de terre..

L'objectif de l'ingénierie sismique est de concevoir des bâtiments capables de résister aux secousses sismiques sans s'effondrer, assurant ainsi la sécurité des occupants. Pour cela, les ingénieurs doivent estimer les forces qu'un séisme pourrait exercer sur une structure. Cet exercice vous guidera à travers les étapes fondamentales de l'analyse sismique pour un bâtiment simple, en utilisant la méthode des forces latérales équivalentes préconisée par la norme Eurocode 8La norme européenne pour le calcul des structures pour leur résistance aux séismes..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un bâtiment comme un système simple, à déterminer ses caractéristiques dynamiques et à utiliser un spectre de réponse pour calculer les efforts sismiques de conception.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer la période fondamentale de vibration d'un bâtiment.
Utiliser un spectre de réponse réglementaire (Eurocode 8) pour obtenir l'accélération spectrale.
Calculer l'effort sismique global (effort tranchant à la base) agissant sur la structure.

Données de l'étude

On étudie un portique simple en béton armé représentant un bâtiment d'un étage. On cherche à déterminer l'effort sismique à appliquer pour son dimensionnement selon l'Eurocode 8.

Fiche Technique du Bâtiment

Caractéristique	Valeur
Usage du bâtiment	Bureaux
Classe d'importance	II (Coefficient \(\gamma_{\text{I}} = 1.0\))
Zone de sismicité (France)	Zone 4 (\(a_{\text{gR}} = 3.0 \, \text{m/s}^2\))
Classe de sol	C (Sol meuble)

Modèle à 1 Degré de Liberté

Paramètre	Description	Symbole	Valeur
Masse sismique	Masse de l'étage	\(m\)	50 tonnes
Raideur latérale	Raideur combinée des poteaux	\(k\)	25 000 kN/m

Questions à traiter

Calculer la pulsation propre \(\omega\) (en rad/s) et la période fondamentale \(T\) (en s) du bâtiment.
Déterminer les paramètres du spectre de réponse élastique pour le site (\(S\), \(T_{\text{B}}\), \(T_{\text{C}}\), \(T_{\text{D}}\)).
Calculer l'accélération spectrale élastique \(S_{\text{e}}(T)\) correspondant à la période du bâtiment.
Déterminer l'effort tranchant à la base \(F_{\text{b}}\) en utilisant l'approche élastique.
Estimer le déplacement élastique maximal au sommet du bâtiment, \(d_{\text{e}}\).

Dynamique des Structures et Eurocode 8

Pour analyser la réponse d'un bâtiment à un séisme, on le modélise souvent comme un oscillateur simple, ou système à un degré de liberté (SDOF). Ce système est caractérisé par sa masse \(m\), sa raideur \(k\) (sa résistance à la déformation) et son amortissement (dissipation d'énergie).

1. Période Fondamentale de Vibration
Chaque structure a une tendance naturelle à osciller à une certaine fréquence, appelée fréquence propre. L'inverse de cette fréquence est la période fondamentale \(T\). C'est le temps nécessaire pour que la structure effectue une oscillation complète. Une structure "souple" a une longue période, tandis qu'une structure "rigide" a une courte période. \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

2. Spectre de Réponse Élastique
Un séisme est un mouvement complexe. Plutôt que de faire une analyse pour chaque séisme possible, les normes comme l'Eurocode 8 fournissent un "spectre de réponse". Ce graphique donne l'accélération maximale qu'un oscillateur simple subirait en fonction de sa période T. En connaissant la période de notre bâtiment, on peut lire directement sur ce spectre l'accélération sismique à utiliser pour les calculs.

Correction : Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

Question 1 : Calculer la pulsation propre \(\omega\) et la période fondamentale \(T\).

Principe

La première étape de toute analyse dynamique est de déterminer les caractéristiques vibratoires de la structure. La pulsation propre \(\omega\) et la période fondamentale \(T\) décrivent la manière dont le bâtiment "veut" osciller naturellement. Elles dépendent uniquement de sa masse (son inertie) et de sa raideur (sa capacité à résister à la déformation).

Mini-Cours

Toute structure peut être modélisée comme un système masse-ressort. La masse (\(m\)) représente le poids du bâtiment. La raideur (\(k\)) représente la résistance combinée des éléments structurels (poteaux, murs) au mouvement horizontal. La pulsation propre (\(\omega\)) est une mesure de la vitesse d'oscillation en radians par seconde. La période (\(T\)), plus intuitive, est le temps en secondes pour un aller-retour complet. Un bâtiment lourd et flexible aura une longue période, tandis qu'un bâtiment léger et rigide aura une période courte.

Remarque Pédagogique

Essayez d'imaginer la structure comme une règle que vous tenez au bord d'une table. Si la règle est courte (rigide), elle vibre très vite (période courte). Si elle est longue (flexible), elle oscille lentement (période longue). C'est exactement le même concept pour un bâtiment.

Normes

Le calcul de la période est basé sur les principes fondamentaux de la dynamique des structures. Les normes comme l'Eurocode 8 proposent des formules empiriques simplifiées pour estimer \(T\), mais le calcul direct à partir de la masse et de la raideur reste la méthode la plus fondamentale et la plus précise si ces paramètres sont bien connus.

Formule(s)

Pulsation propre

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Période fondamentale

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes, typiques d'un modèle simple :

Le bâtiment se comporte comme un système à 1 degré de liberté (SDOF).
Toute la masse est concentrée au niveau du plancher (masse concentrée).
La raideur des poteaux est constante et ils sont considérés sans masse.
Le comportement du matériau est linéaire-élastique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse sismique	\(m\)	50	tonnes
Raideur latérale	\(k\)	25 000	kN/m

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, rappelez-vous qu'une formule simplifiée de l'Eurocode 8 pour les portiques en béton est \(T \approx 0.075 \cdot H^{3/4}\), où H est la hauteur. Pour un étage (environ 3m), on obtiendrait \(T \approx 0.075 \cdot 3^{0.75} \approx 0.17\) s. Notre calcul, plus précis, donne une valeur un peu plus élevée, ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Modèle Masse-Ressort

Calcul(s)

Conversion de la masse en kg

\begin{aligned} m &= 50 \text{ tonnes} \\ &= 50 \times 1000 \text{ kg} \\ &= 50000 \text{ kg} \end{aligned}

Conversion de la raideur en N/m

\begin{aligned} k &= 25000 \text{ kN/m} \\ &= 25000 \times 1000 \text{ N/m} \\ &= 25 \times 10^6 \text{ N/m} \end{aligned}

Calcul de la pulsation propre

\begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{25 \times 10^6 \text{ N/m}}{50000 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{500} \\ &\approx 22.36 \text{ rad/s} \end{aligned}

Calcul de la période fondamentale

\begin{aligned} T &= \frac{2\pi}{22.36 \text{ rad/s}} \\ &\approx 0.281 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Mode de Vibration Fondamental

Réflexions

Une période de 0.28 s est relativement courte, ce qui est caractéristique d'un bâtiment bas et donc rigide. Cette valeur est cruciale car c'est elle qui va nous permettre de "cibler" la bonne valeur d'accélération sismique dans l'étape suivante.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est l'incohérence des unités. Les formules de dynamique exigent l'utilisation du Système International (kg, N, m, s). Pensez à convertir toutes vos données avant de commencer les calculs.

Points à retenir

Pour cette question, retenez les points essentiels :

La période \(T\) augmente avec la masse \(m\).
La période \(T\) diminue avec la raideur \(k\).
Les formules de base sont \(\omega = \sqrt{k/m}\) et \(T = 2\pi/\omega\).

Le saviez-vous ?

Le phénomène de résonance, qui a causé l'effondrement spectaculaire du pont de Tacoma en 1940, se produit lorsque la période d'une excitation externe (ici, le vent) coïncide avec la période propre de la structure. C'est pour éviter ce phénomène avec les séismes que l'analyse modale est si fondamentale.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

La pulsation propre du bâtiment est \(\omega \approx 22.36 \text{ rad/s}\) et sa période fondamentale est \(T \approx 0.28 \text{ s}\).

A vous de jouer

Si le bâtiment était deux fois plus lourd (m=100 tonnes) mais avec la même raideur, quelle serait sa nouvelle période ?

Question 2 : Déterminer les paramètres du spectre de réponse pour le site.

Principe

La réponse d'un bâtiment dépend fortement du type de sol sur lequel il est construit. Un sol meuble peut amplifier les ondes sismiques. L'Eurocode 8 définit différentes classes de sol (de A à E) et fournit des paramètres (\(S, T_{\text{B}}, T_{\text{C}}, T_{\text{D}}\)) qui façonnent le spectre de réponse pour un site donné.

Mini-Cours

Un séisme arrivant à la base d'un bâtiment est d'abord filtré et potentiellement amplifié par les couches de sol locales. Les sols rocheux (Classe A) transmettent les ondes quasi directement, tandis que les sols meubles (Classes C, D, E) peuvent entrer en résonance et amplifier considérablement les mouvements, en particulier pour les ondes à plus longues périodes. Les paramètres du spectre définissent la forme de cette amplification en fonction de la période.

Remarque Pédagogique

Ceci souligne l'importance capitale de l'étude géotechnique sur un site de construction. Deux bâtiments identiques construits sur des sols différents peuvent avoir des comportements sismiques radicalement opposés. L'ingénieur structurel dépend entièrement de l'expertise du géotechnicien pour cette étape.

Normes

Les valeurs sont extraites des tableaux 3.2 et 3.3 de l'Eurocode 8 (EN 1998-1). Conformément à l'annexe nationale française, le spectre de type 1 est utilisé pour la France métropolitaine.

Formule(s)

Il n'y a pas de formule à ce stade. Il s'agit d'une lecture directe de valeurs dans un tableau normatif en fonction de la classe de sol.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la classe de sol, fournie dans l'énoncé.

Classe de sol : C

Schéma (Avant les calculs)

Amplification par le site

Les valeurs sont issues des tableaux suivants de l'EN 1998-1. Pour la France métropolitaine, on utilise généralement le Spectre de Type 1.

Tableau 3.2 - Spectre de Type 1
Classe de sol	\(S\)	\(T_{\text{B}}\) (s)	\(T_{\text{C}}\) (s)	\(T_{\text{D}}\) (s)
A	1.00	0.15	0.40	2.0
B	1.20	0.15	0.50	2.0
C	1.15	0.20	0.60	2.0
D	1.35	0.20	0.80	2.0
E	1.40	0.15	0.50	2.0

Tableau 3.3 - Spectre de Type 2
Classe de sol	\(S\)	\(T_{\text{B}}\) (s)	\(T_{\text{C}}\) (s)	\(T_{\text{D}}\) (s)
A	1.00	0.05	0.25	1.2
B	1.35	0.05	0.35	1.2
C	1.50	0.10	0.40	1.2
D	1.80	0.10	0.55	1.2
E	1.60	0.05	0.35	1.2

Réflexions

Pour une classe de sol C (sol meuble), nous nous attendons à une amplification des ondes sismiques par rapport à un sol rocheux (Classe A). Les valeurs des périodes \(T_{\text{B}}, T_{\text{C}}, T_{\text{D}}\) définissent les "coins" du spectre de réponse.

Paramètre	Description	Valeur (Sol C)
\(S\)	Coefficient de sol	1.15
\(T_{\text{B}}\)	Limite inférieure de la période du palier d'accélération constante	0.20 s
\(T_{\text{C}}\)	Limite supérieure de la période du palier d'accélération constante	0.60 s
\(T_{\text{D}}\)	Période définissant le début de la branche à déplacement constant	2.0 s

Points de vigilance

Assurez-vous de bien utiliser le bon "Type" de spectre (Type 1 ou Type 2). Pour la France métropolitaine, le Type 1 est quasi-systématiquement utilisé. Utiliser le mauvais type de spectre peut mener à un sous-dimensionnement ou surdimensionnement de la structure.

Points à retenir

Ce qu'il faut retenir :

La classe de sol est une donnée d'entrée FONDAMENTALE.
Les paramètres S, TB, TC, TD définissent la forme du spectre de calcul.
Un sol meuble (C, D, E) amplifie davantage le signal sismique qu'un sol rocheux (A).

Résultat Final

Pour un sol de classe C, les paramètres du spectre de réponse selon l'Eurocode 8 sont : \(S=1.15\), \(T_{\text{B}}=0.20 \text{ s}\), \(T_{\text{C}}=0.60 \text{ s}\), et \(T_{\text{D}}=2.0 \text{ s}\).

A vous de jouer

Quels seraient les paramètres S et TC pour un sol très dense de classe B ? (Consultez les tables de l'EC8 si besoin)

Question 3 : Calculer l'accélération spectrale élastique \(S_{\text{e}}(T)\).

Principe

Maintenant que nous connaissons la période \(T\) du bâtiment et les caractéristiques du spectre pour le site, nous pouvons déterminer l'accélération maximale que le bâtiment subirait s'il se comportait de manière purement élastique. Il suffit de "lire" la valeur sur le spectre de réponse à la période \(T\) de notre structure.

Mini-Cours

L'accélération spectrale \(S_{\text{e}}(T)\) est l'accélération maximale subie par un oscillateur à 1 degré de liberté ayant une période \(T\) et un amortissement de 5%. C'est une valeur de calcul qui intègre l'aléa sismique de la zone (\(a_{\text{g}}\)), l'effet du sol (\(S\)) et un facteur d'amplification dynamique (le "2.5" sur le plateau).

Remarque Pédagogique

Le spectre est une enveloppe. Il ne représente pas un séisme particulier, mais plutôt l'effet "le plus défavorable" de tous les séismes plausibles sur le site, pour chaque période. En utilisant cette enveloppe, on s'assure que le bâtiment est protégé contre une large gamme de tremblements de terre possibles.

Normes

La procédure et les formules pour le calcul du spectre de réponse élastique sont définies à la section 3.2.2.2 de l'Eurocode 8 (EN 1998-1).

Formule(s)

Comme notre période \(T=0.28 \text{ s}\) est comprise entre \(T_{\text{B}}=0.20 \text{ s}\) et \(T_{\text{C}}=0.60 \text{ s}\), nous sommes sur le plateau du spectre. La formule est :

S_{\text{e}}(T) = a_{\text{g}} \cdot S \cdot \eta \cdot 2.5 \quad \text{pour } T_{\text{B}} \le T \le T_{\text{C}}

Hypothèses

Le calcul se base sur un amortissement visqueux équivalent de 5%, valeur standard pour les bâtiments en béton armé ou en acier. Le coefficient de correction d'amortissement \(\eta\) est donc pris égal à 1.0.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Accélération de référence au rocher	\(a_{\text{gR}}\)	3.0	m/s²
Coefficient d'importance	\(\gamma_{\text{I}}\)	1.0	-
Coefficient de sol	\(S\)	1.15	-
Période du bâtiment	\(T\)	0.281	s
Période de contrôle	\(T_{\text{B}}\)	0.20	s
Période de contrôle	\(T_{\text{C}}\)	0.60	s
Coefficient d'amortissement	\(\eta\)	1.0	-

Astuces

Pour la plupart des bâtiments courants (jusqu'à une dizaine d'étages), leur période fondamentale tombe souvent sur le plateau du spectre (\(T_{\text{B}} < T < T_{\text{C}}\)). La formule de calcul de \(S_{\text{e}}(T)\) est donc très souvent la même, ce qui simplifie les pré-dimensionnements.

Schéma (Avant les calculs)

Forme du Spectre de Réponse Élastique (Eurocode 8)

Calcul(s)

Calcul de l'accélération de calcul au rocher \(a_{\text{g}}\)

\begin{aligned} a_{\text{g}} &= \gamma_{\text{I}} \cdot a_{\text{gR}} \\ &= 1.0 \times 3.0 \text{ m/s}^2 \\ &= 3.0 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

Calcul de l'accélération spectrale \(S_{\text{e}}(T)\)

Puisque \(T_{\text{B}} (0.2\text{s}) \le T (0.28\text{s}) \le T_{\text{C}} (0.6\text{s})\), on applique la formule du plateau :

\begin{aligned} S_{\text{e}}(0.28 \text{ s}) &= 3.0 \times 1.15 \times 1.0 \times 2.5 \\ &= 8.625 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

Réflexions

Une accélération de 8.625 m/s² est très significative. Elle correspond à environ 88% de l'accélération de la pesanteur (\(g \approx 9.81\) m/s²). Cela signifie que pendant le séisme, le bâtiment doit pouvoir résister à une force horizontale équivalente à 88% de son propre poids. Cela met en évidence la sévérité des efforts sismiques.

Points de vigilance

La principale erreur est de ne pas vérifier dans quelle branche du spectre on se situe (\(T < T_{\text{B}}\), \(T_{\text{B}} \le T \le T_{\text{C}}\), etc.) et d'appliquer la mauvaise formule. Vérifiez toujours la position de votre période \(T\) par rapport à \(T_{\text{B}}, T_{\text{C}}\) et \(T_{\text{D}}\).

Points à retenir

L'essentiel à mémoriser est la structure du calcul :

Calculer \(a_{\text{g}} = \gamma_{\text{I}} \cdot a_{\text{gR}}\).
Identifier la bonne classe de sol et les paramètres S, TB, TC, TD.
Comparer \(T\) à TB et TC pour choisir la bonne formule.
Calculer \(S_{\text{e}}(T)\).

Le saviez-vous ?

Le concept de spectre de réponse, qui simplifie énormément l'analyse sismique, a été développé dans les années 1930 par l'ingénieur et physicien Maurice Anthony Biot, bien avant l'avènement des ordinateurs puissants.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

L'accélération spectrale élastique à considérer pour le bâtiment est \(S_{\text{e}}(T) = 8.625 \text{ m/s}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait l'accélération spectrale pour un bâtiment beaucoup plus souple avec une période \(T = 1.0\) s sur le même site ?

Question 4 : Déterminer l'effort tranchant à la base \(F_{\text{b}}\).

Principe

L'effort tranchant à la base est la force sismique horizontale totale qui agit à la base de la structure. Il est obtenu en appliquant la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)). La masse est celle du bâtiment et l'accélération est celle que nous venons de déterminer à partir du spectre de réponse.

Mini-Cours

Cette force \(F_{\text{b}}\) représente la résultante de toutes les forces d'inertie qui se développent dans le bâtiment en réponse à l'accélération du sol. C'est l'effort total que la structure doit être capable de transmettre depuis sa base jusqu'à ses fondations. Pour un bâtiment à plusieurs étages, cette force est ensuite distribuée verticalement entre les différents niveaux.

Remarque Pédagogique

Pour visualiser cet effort, imaginez que vous êtes dans un bus qui freine brusquement. La force qui vous pousse en avant est une force d'inertie, équivalente à votre masse multipliée par la décélération du bus. Le bâtiment subit un phénomène similaire, mais horizontalement.

Normes

La formule de l'effort tranchant à la base est donnée à la section 4.3.3.2.2 (1) de l'Eurocode 8, équation (4.5).

Formule(s)

F_{\text{b}} = S_{\text{e}}(T) \cdot m \cdot \lambda

Où \(\lambda\) est un facteur de correction (\(\lambda=0.85\) pour les bâtiments de plus de 2 étages, \(\lambda=1.0\) sinon). Dans notre cas, \(\lambda = 1.0\).

Hypothèses

On suppose que le mode de vibration fondamental est prédominant, ce qui justifie l'utilisation de la masse totale du bâtiment. Le facteur \(\lambda\) est pris égal à 1.0 car le bâtiment a moins de 3 étages.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Accélération spectrale	\(S_{\text{e}}(T)\)	8.625	m/s²
Masse sismique	\(m\)	50 000	kg

Astuces

Un moyen rapide de juger de l'intensité de l'effort sismique est de le comparer au poids du bâtiment \(P = m \cdot g\). Le rapport \(F_{\text{b}}/P = S_{\text{e}}(T)/g\) est appelé coefficient sismique. Ici, \(8.625 / 9.81 \approx 0.88\), soit 88%. C'est une valeur très élevée qui justifie une conception parasismique soignée.

Schéma (Avant les calculs)

Effort Tranchant à la Base

Calcul(s)

Calcul de l'effort tranchant à la base

\begin{aligned} F_{\text{b}} &= 8.625 \text{ m/s}^2 \times 50000 \text{ kg} \\ &= 431250 \text{ N} \\ &= 431.25 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de l'Effort Tranchant

Réflexions

Cette force de 431.25 kN représente l'effort horizontal maximal que le séisme de calcul applique à la structure. C'est cette force qui doit être reprise par les fondations et transmise au sol. La structure (poteaux, poutres) doit être dimensionnée pour y résister.

Points de vigilance

Ceci est l'effort élastique. Les normes parasismiques modernes comme l'EC8 autorisent les bâtiments à se déformer au-delà de leur limite élastique (comportement ductile). L'effort de dimensionnement sera donc cette force \(F_{\text{b}}\) divisée par un "coefficient de comportement" q, ce qui permet de concevoir des structures plus économiques.

Points à retenir

La formule fondamentale à retenir est la loi de Newton adaptée à la dynamique sismique : \(F_{\text{b}} = m \cdot S_{\text{e}}(T)\). L'effort est le produit de l'inertie (masse) et de l'excitation (accélération spectrale).

Le saviez-vous ?

Les premières réglementations sismiques obligatoires aux États-Unis sont apparues en Californie avec le "Field Act" après le tremblement de terre de Long Beach en 1933, qui avait causé des dommages importants à de nombreuses écoles.

FAQ

Des questions ?

Résultat Final

L'effort tranchant élastique à la base du bâtiment est \(F_{\text{b}} = 431.25 \text{ kN}\).

A vous de jouer

Avec la même accélération (\(S_{\text{e}}=8.625\) m/s²), quel serait l'effort tranchant pour un bâtiment de 200 tonnes ?

Question 5 : Estimer le déplacement élastique maximal au sommet, \(d_{\text{e}}\).

Principe

Le déplacement d'un oscillateur est directement lié à l'accélération qu'il subit et à sa pulsation propre. Connaissant l'accélération spectrale \(S_{\text{e}}(T)\) et la pulsation \(\omega\), on peut en déduire le déplacement maximal au sommet du bâtiment.

Mini-Cours

En dynamique, l'accélération, la vitesse et le déplacement d'un mouvement sinusoïdal sont liés par la pulsation \(\omega\). Le déplacement est l'amplitude du mouvement, l'accélération est l'amplitude multipliée par \(\omega^2\). La relation inverse nous permet donc de retrouver le déplacement à partir de l'accélération. Ce déplacement est crucial pour vérifier que le bâtiment ne se déforme pas excessivement, ce qui pourrait endommager les éléments non-structuraux (cloisons, façades, etc.).

Remarque Pédagogique

La maîtrise des déplacements est aussi, voire plus importante que la maîtrise des efforts. Un bâtiment peut très bien résister (ne pas s'effondrer) mais subir des déplacements si importants que toutes les fenêtres se brisent et les cloisons tombent, le rendant inutilisable et dangereux pour ses occupants.

Normes

Le calcul du déplacement est une conséquence des principes de la dynamique. L'Eurocode 8 (section 4.3.4) impose ensuite des limitations sur les "déplacements inter-étages" pour limiter les dommages.

Formule(s)

La relation entre l'accélération spectrale (\(S_{\text{e}}\)), le déplacement spectral (\(S_{\text{d}}\)) et la pulsation propre (\(\omega\)) est :

S_{\text{e}}(T) = \omega^2 \cdot S_{\text{d}}(T) \Rightarrow d_{\text{e}} = S_{\text{d}}(T) = \frac{S_{\text{e}}(T)}{\omega^2}

Hypothèses

Le calcul suppose que la relation dynamique \(S_{\text{e}} = \omega^2 S_{\text{d}}\) est valide, ce qui est le cas pour un oscillateur simple en régime sinusoïdal, une approximation utilisée par le spectre de réponse.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Accélération spectrale	\(S_{\text{e}}(T)\)	8.625	m/s²
Pulsation propre	\(\omega\)	22.36	rad/s

Astuces

Une autre façon de trouver le déplacement est d'utiliser la loi de Hooke pour un ressort : \(F = k \cdot d\). Donc, \(d_{\text{e}} = F_{\text{b}} / k\). En utilisant \(F_{\text{b}} = 431250\) N et \(k = 25 \times 10^6\) N/m, on trouve \(d_{\text{e}} = 431250 / 25000000 = 0.01725\) m. C'est une excellente façon de vérifier la cohérence de vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)

Déplacement au Sommet

Calcul(s)

Calcul du déplacement élastique

\begin{aligned} d_{\text{e}} &= \frac{8.625 \text{ m/s}^2}{(22.36 \text{ rad/s})^2} \\ &= \frac{8.625}{500} \text{ m} \\ &= 0.01725 \text{ m} \\ &= 17.25 \text{ mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Déformée Élastique

Réflexions

Ce déplacement de 17.25 mm est le déplacement élastique. En pratique, pour le dimensionnement, on s'intéresse au déplacement inélastique (qui prend en compte la ductilité de la structure), qui sera plus grand. Cependant, ce calcul est une première étape cruciale pour les vérifications de service et de limitation des dommages.

Points de vigilance

Ne pas confondre le déplacement élastique \(d_{\text{e}}\) avec le déplacement de calcul \(d_{\text{s}}\), qui est utilisé pour les vérifications réglementaires. Le déplacement de calcul est obtenu en multipliant \(d_{\text{e}}\) par le coefficient de comportement q: \(d_{\text{s}} = q \cdot d_{\text{e}}\).

Points à retenir

Retenez les deux façons équivalentes de calculer le déplacement :

À partir de la dynamique : \(d_{\text{e}} = S_{\text{e}}(T) / \omega^2\)
À partir de la statique : \(d_{\text{e}} = F_{\text{b}} / k\)

Le saviez-vous ?

Les gratte-ciels modernes dans les zones très sismiques, comme la Taipei 101, intègrent des systèmes sophistiqués pour contrôler les déplacements. La Taipei 101 utilise un "amortisseur à masse accordée" (Tuned Mass Damper), une boule d'acier de 660 tonnes suspendue au sommet qui se balance à l'opposé du mouvement du bâtiment pour dissiper l'énergie et réduire les oscillations.

FAQ

Une question récurrente.

Résultat Final

Le déplacement élastique maximal au sommet du bâtiment est estimé à \(d_{\text{e}} = 17.25 \text{ mm}\).

A vous de jouer

En utilisant l'astuce \(d_e = F_b / k\), quel serait le déplacement si l'effort à la base était de 500 kN (avec k = 25 000 kN/m) ?

Outil Interactif : Simulateur Sismique

Utilisez les curseurs pour modifier la masse et la raideur du bâtiment et observez en temps réel comment sa période et l'effort sismique résultant sont affectés. Le point rouge sur le graphique indique la position de votre bâtiment sur le spectre de réponse du site.

Paramètres du Bâtiment

Masse du bâtiment (m) 50 tonnes

Raideur latérale (k) 25000 kN/m

Résultats Clés

Période Fondamentale (T) - s

Effort Tranchant à la Base (Fb) - kN

Période Fondamentale (T): Temps en secondes nécessaire pour qu'une structure effectue un cycle complet d'oscillation libre. C'est la caractéristique dynamique la plus importante d'un bâtiment.
Spectre de Réponse: Graphique qui représente la réponse maximale (en accélération, vitesse ou déplacement) d'un ensemble d'oscillateurs simples à un mouvement sismique donné, en fonction de leur période et de leur amortissement.
Eurocode 8: Norme européenne (EN 1998) qui définit les règles de conception et de construction des bâtiments et des ouvrages de génie civil en zone sismique.
Raideur (k): Mesure de la résistance d'un élément structurel à la déformation. Une raideur élevée signifie qu'une grande force est nécessaire pour produire une petite déformation.