Forces exercées par l’eau sur les portes

Exercice : Forces Hydrostatiques sur une Vanne

Calcul des Forces hydrostatiques exercées par l’eau sur les portes

Contexte : L'hydrostatique et les ouvrages de retenue.

Le calcul des forces exercées par les fluides au repos est un pilier de l'ingénierie hydraulique et du génie civil. Chaque barrage, écluse, réservoir ou canalisation doit être conçu pour résister en toute sécurité à la poussée de l'eau. Cet exercice se concentre sur un cas fondamental : la détermination de la poussée hydrostatiqueForce résultante exercée par un fluide au repos sur une surface. sur une vanne rectangulaire verticale, ainsi que la localisation de son point d'application, le centre de pousséePoint d'application de la force de pression résultante sur une surface..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser la distribution de pression de l'eau, à intégrer ces pressions pour trouver la force totale, et à calculer le point précis où cette force s'applique, une compétence essentielle pour le dimensionnement des structures hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le concept de pression hydrostatique.
Calculer la force résultante (poussée) sur une surface plane verticale.
Déterminer la position du centre de poussée.
Appliquer ces calculs à un problème d'ingénierie concret.

Données de l'étude

On étudie une vanne rectangulaire verticale utilisée pour réguler le niveau d'eau dans un canal. La vanne est articulée à son sommet et maintenue fermée par une butée à sa base.

Schéma de la vanne et du niveau d'eau

Caractéristique	Symbole	Valeur
Hauteur de la vanne	\(h\)	2 m
Largeur de la vanne	\(b\)	3 m
Profondeur du sommet de la vanne	\(h_1\)	1 m
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000 kg/m³
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81 m/s²

Questions à traiter

Calculer la pression hydrostatique au sommet (point A) et à la base (point B) de la vanne.
Tracer le diagramme de distribution des pressions sur la vanne.
Déterminer la force résultante de la poussée hydrostatique \(F\) exercée par l'eau.
Calculer la position verticale du centre de poussée \(y_P\) par rapport à la surface libre.

Les bases de l'Hydrostatique sur les Surfaces Planes

Lorsqu'une surface est submergée dans un fluide au repos, elle est soumise à des forces de pression. La pression hydrostatique en un point dépend de la profondeur et des propriétés du fluide.

1. Pression Hydrostatique
La pression en un point d'un fluide au repos augmente linéairement avec la profondeur \(z\). Elle est donnée par la loi de l'hydrostatique : \[ p = \rho \cdot g \cdot z \] Où \(z\) est la profondeur du point par rapport à la surface libre.

2. Force Résultante (Poussée)
La force résultante sur une surface plane est égale à la pression au centre de gravité (centroïde) de la surface, \(p_G\), multipliée par l'aire de la surface, \(A\). \[ F = p_G \cdot A = (\rho \cdot g \cdot y_G) \cdot A \] Où \(y_G\) est la profondeur du centre de gravité de la surface.

3. Centre de Poussée
Le centre de poussée (\(y_P\)) est le point d'application de la force résultante. Il est toujours situé plus bas que le centre de gravité (\(y_G\)) pour une surface non horizontale. Sa position est donnée par : \[ y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G \cdot A} \] Où \(I_G\) est le moment d'inertie de la surface par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité. Pour un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\), \(I_G = \frac{b \cdot h^3}{12}\).

Correction : Calcul des Forces hydrostatiques exercées par l’eau sur les portes

Question 1 : Calcul des pressions au sommet et à la base

Principe

Le concept physique clé ici est que la pression dans un fluide au repos (hydrostatique) augmente avec la profondeur. Cette pression est due au poids de la colonne de fluide située au-dessus du point de mesure. Elle s'exerce perpendiculairement à toute surface.

Mini-Cours

La relation fondamentale de l'hydrostatique stipule que pour un fluide de masse volumique \(\rho\) constante, la différence de pression entre deux points est proportionnelle à la différence de hauteur verticale entre eux. En prenant la surface libre comme référence (pression relative nulle), la pression \(p\) à une profondeur \(z\) est \(p = \rho g z\).

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus commune est de mal définir le point de départ. Ancrez toujours votre raisonnement à la surface libre de l'eau. C'est votre "niveau zéro" pour toutes les mesures de profondeur.

Normes

Ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la mécanique des fluides, universellement reconnus et intégrés dans toutes les normes de conception d'ouvrages hydrauliques, comme la série des normes Eurocodes (notamment l'Eurocode 7 pour le calcul géotechnique qui traite des actions de l'eau).

Formule(s)

L'outil mathématique unique pour cette question est la loi de l'hydrostatique :

p = \rho \cdot g \cdot z

Hypothèses

Pour que cette formule soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :

L'eau est un fluide incompressible (\(\rho\) est constant).
L'eau est au repos (statique).
La pression à la surface libre est la pression atmosphérique, que nous utilisons comme pression de référence (pression relative = 0).

Donnée(s)

Nous extrayons les chiffres pertinents de l'énoncé pour chaque point.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur du sommet (A)	\(z_A\)	1	m
Profondeur de la base (B)	\(z_B\)	1 + 2 = 3	m
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	kg/m³
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Pour une vérification rapide, souvenez-vous qu'une colonne d'eau de 10 mètres exerce une pression d'environ 1 bar (ou 100 kPa). Donc, à 1 m de profondeur, on s'attend à environ 0.1 bar, soit 10 kPa. Nos 9.81 kPa sont tout à fait cohérents.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons les points A et B et leurs profondeurs respectives.

Profondeurs des points A et B

Calcul(s)

Pression au sommet (point A)

\begin{aligned} p_A &= \rho \cdot g \cdot z_A \\ &= 1000 \, \text{kg/m³} \times 9.81 \, \text{m/s²} \times 1 \, \text{m} \\ &= 9810 \, \text{N/m²} \\ &= 9810 \, \text{Pa} \end{aligned}

Pression à la base (point B)

\begin{aligned} p_B &= \rho \cdot g \cdot z_B \\ &= 1000 \, \text{kg/m³} \times 9.81 \, \text{m/s²} \times 3 \, \text{m} \\ &= 29430 \, \text{N/m²} \\ &= 29430 \, \text{Pa} \end{aligned}

Réflexions

Le résultat confirme que la pression à 3 m de profondeur est exactement trois fois celle à 1 m. Cette relation linéaire est fondamentale et sera la base de la construction du diagramme de pression.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La masse volumique doit être en kg/m³, g en m/s², et la profondeur en m. Le résultat sera alors en Pascals (N/m²). Une erreur fréquente est de mélanger des unités, par exemple des cm et des m.

Points à retenir

Concept Clé : La pression hydrostatique est directement proportionnelle à la profondeur.
Formule Essentielle : \( p = \rho g z \).
Point de Vigilance : Toujours mesurer la profondeur \(z\) verticalement depuis la surface libre.

Le saviez-vous ?

Le principe de l'augmentation de la pression avec la profondeur explique pourquoi les sous-marins doivent avoir des coques extrêmement résistantes et pourquoi les barrages sont beaucoup plus épais à leur base qu'à leur sommet.

FAQ

Résultat Final

La pression au sommet de la vanne est de 9.81 kPa et à la base de 29.43 kPa.

A vous de jouer

Si le canal contenait de l'eau de mer (\(\rho \approx 1025 \, \text{kg/m³}\)), quelle serait la pression à la base (point B) ?

Question 2 : Diagramme de distribution des pressions

Principe

Puisque la pression varie linéairement avec la profondeur et que la vanne est une surface verticale, on peut représenter la magnitude de la pression à chaque point de la vanne par un diagramme. Ce diagramme aura une forme géométrique simple.

Mini-Cours

La représentation graphique de la pression sur une surface est un outil puissant. Pour une surface plane verticale, la distribution de pression est toujours trapézoïdale (ou triangulaire si le sommet de la surface est au niveau de la surface libre). L'aire de ce diagramme de pression, multipliée par la largeur de la surface, donne la force totale.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours dessiner ce diagramme. Il vous aide à visualiser le problème, à éviter les erreurs conceptuelles et sert de base intuitive pour comprendre d'où viennent la force résultante et le centre de poussée.

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons de la vanne en place, avec les points A et B identifiés.

Vanne avant tracé des pressions

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul numérique pour cette question, il s'agit d'une construction graphique basée sur les résultats de la question 1. On trace un axe vertical représentant la hauteur de la vanne. Perpendiculairement à cet axe, on reporte des vecteurs dont la longueur est proportionnelle à la pression : un vecteur de longueur 9.81 unités au sommet, et un de 29.43 unités à la base. On relie ensuite les extrémités de ces vecteurs par une droite.

Schéma (Après les calculs)

Voici le diagramme de pression finalisé.

Diagramme de Pression sur la Vanne

Réflexions

La forme trapézoïdale montre clairement que la partie inférieure de la vanne est soumise à des forces de pression bien plus importantes que la partie supérieure. C'est cette distribution non uniforme qui explique pourquoi le centre de poussée n'est pas au centre géométrique.

Points à retenir

La distribution de pression sur une surface verticale immergée est toujours linéaire, résultant en un diagramme de charge trapézoïdal ou triangulaire.

Résultat Final

Le diagramme de pression est un trapèze dont la petite base (au sommet) vaut 9.81 kPa et la grande base (en bas) vaut 29.43 kPa.

Question 3 : Calcul de la force résultante (poussée)

Principe

La force totale est la somme de toutes les petites forces de pression agissant sur la surface. Plutôt que de faire une intégrale complexe, on peut utiliser un raccourci puissant : la force résultante est simplement la pression au centre de gravité de la surface, multipliée par l'aire totale de la surface.

Mini-Cours

Le centre de gravité (ou centroïde) d'une forme géométrique est son point d'équilibre. Pour un rectangle de hauteur \(h\), il se situe à \(h/2\) de sa base. La profondeur \(y_G\) de ce point par rapport à la surface libre est la profondeur "moyenne" de la surface, et la pression \(p_G\) à cette profondeur est la pression "moyenne" agissant sur la vanne.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas le centre de gravité de la surface (un point purement géométrique) avec le centre de poussée (le point d'application de la force). Le calcul du premier est une étape intermédiaire pour trouver la force, qui nous servira ensuite à trouver le second.

Formule(s)

Formule de la force résultante

F = p_G \cdot A = (\rho \cdot g \cdot y_G) \cdot (b \cdot h)

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. Nous supposons de plus que la vanne est parfaitement plane et rectangulaire.

Donnée(s)

Nous réutilisons les données de base et calculons les valeurs géométriques intermédiaires.

Paramètre	Symbole	Calcul	Valeur
Aire de la vanne	A	\(3 \times 2\)	6 m²
Profondeur du C.G.	\(y_G\)	\(1 + 2/2\)	2 m

Astuces

Une autre façon de voir le calcul est de trouver l'aire du trapèze du diagramme de pression et de la multiplier par la largeur de la vanne : \( F = \frac{p_A + p_B}{2} \times h \times b = \frac{9810 + 29430}{2} \times 2 \times 3 = 117720 \) N. C'est une excellente méthode de vérification.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise le diagramme de pression dont on cherche à calculer l'effet global (la force F).

Diagramme de Pression et Force Résultante F

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pression au centre de gravité (p_G)

\begin{aligned} p_G &= \rho \cdot g \cdot y_G \\ &= 1000 \times 9.81 \times 2 \\ &= 19620 \, \text{Pa} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la force résultante (F)

\begin{aligned} F &= p_G \times A \\ &= 19620 \, \text{N/m²} \times 6 \, \text{m²} \\ &= 117720 \, \text{N} \\ &\Rightarrow F = 117.72 \, \text{kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La charge de pression trapézoïdale est maintenant remplacée par une force unique équivalente.

Force Résultante F appliquée à la vanne

Réflexions

Une force de 117.72 kN équivaut au poids d'une masse d'environ 12 tonnes. C'est une force considérable que la structure de la vanne, son articulation et sa butée doivent être capables de supporter en toute sécurité.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser la profondeur du bas de la vanne ou une autre valeur incorrecte à la place de la profondeur du centre de gravité \(y_G\). La force est bien liée à la pression *moyenne*, qui se trouve au centroïde.

Points à retenir

Concept Clé : Force = Pression au centre de gravité × Aire.
Démarche : 1. Trouver l'aire A. 2. Trouver la profondeur du C.G., y_G. 3. Calculer F.

Le saviez-vous ?

Le célèbre "tonneau de Pascal" est une expérience qui illustre ce principe. Pascal a montré qu'il pouvait faire éclater un tonneau solide et rempli d'eau simplement en ajoutant une petite quantité d'eau dans un long et fin tube vertical fixé au-dessus. La grande hauteur d'eau dans le tube, même avec un faible volume, créait une pression énorme à la base, générant une force suffisante pour rompre le tonneau.

FAQ

Résultat Final

La force hydrostatique résultante exercée sur la vanne est de 117.72 kN.

A vous de jouer

Si la vanne faisait 4 m de large au lieu de 3, quelle serait la nouvelle force résultante ?

Question 4 : Calcul de la position du centre de poussée

Principe

La force de poussée n'est pas appliquée au centre géométrique de la vanne car la pression est plus forte en bas qu'en haut. Le centre de poussée est le "barycentre" du diagramme de pression. Son calcul fait intervenir le moment d'inertie de la surface, qui caractérise la répartition de l'aire par rapport à son centre.

Mini-Cours

Le terme \(\frac{I_G}{y_G \cdot A}\) dans la formule représente l'écart vertical entre le centre de gravité \(y_G\) et le centre de poussée \(y_P\). Cet écart diminue lorsque la profondeur d'immersion \(y_G\) augmente. Pour une vanne très profonde, le centre de poussée se rapproche du centre de gravité.

Remarque Pédagogique

La position du centre de poussée est fondamentale. Si vous devez calculer le moment de la force hydrostatique par rapport à un pivot (comme l'articulation de notre vanne), vous devez utiliser la distance entre le pivot et le centre de poussée, et non le centre de gravité.

Formule(s)

Formule du centre de poussée

y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G \cdot A}

Formule du moment d'inertie d'un rectangle

I_G = \frac{b \cdot h^3}{12}

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs géométriques déjà calculées et nous calculons le moment d'inertie.

Paramètre	Symbole	Valeur
Profondeur du C.G.	\(y_G\)	2 m
Aire de la vanne	A	6 m²
Largeur de la vanne	b	3 m
Hauteur de la vanne	h	2 m

Astuces

Pour un rectangle vertical, l'écart \(y_P - y_G\) est égal à \(h^2 / (12 y_G)\). C'est une formule simplifiée utile à connaître. Dans notre cas : \(2^2 / (12 \times 2) = 4 / 24 = 1/6 \approx 0.167\) m. Cela confirme notre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Nous savons où se trouve le centre de gravité G. Nous cherchons la position exacte du point d'application P de la force F.

Recherche du Centre de Poussée P

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du moment d'inertie (I_G)

\begin{aligned} I_G &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{3 \, \text{m} \times (2 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{24}{12} \\ &= 2 \, \text{m}^4 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la position du centre de poussée (y_P)

\begin{aligned} y_P &= y_G + \frac{I_G}{y_G \cdot A} \\ &= 2 \, \text{m} + \frac{2 \, \text{m}^4}{2 \, \text{m} \times 6 \, \text{m²}} \\ &= 2 + \frac{2}{12} \\ &= 2 + 0.1667 \\ &= 2.167 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisons la position finale de la force F sur la vanne, appliquée au point P.

Position du Centre de Gravité et du Centre de Poussée

Réflexions

Le fait que le centre de poussée soit 16.7 cm sous le centre géométrique est crucial. Par exemple, pour calculer la force requise sur la butée en bas de la vanne pour la maintenir fermée, on ferait la somme des moments par rapport à l'articulation en haut. Le bras de levier de la force F serait \(y_P - h_1 = 2.167 - 1 = 1.167\) m, et non 1 m.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est le calcul du moment d'inertie. Assurez-vous d'utiliser la bonne formule (\(bh^3/12\) pour un rectangle) et que l'axe de référence est bien l'axe horizontal passant par le centre de gravité de la surface, et non un autre point.

Points à retenir

Concept Clé : Le centre de poussée est toujours plus bas que le centre de gravité pour une surface verticale.
Formule Essentielle : \( y_P = y_G + I_G / (y_G A) \).
Application : Utiliser \(y_P\) pour tous les calculs de moments.

Le saviez-vous ?

En conception navale, la position du centre de poussée (appelé centre de carène) par rapport au centre de gravité du navire est un facteur déterminant de la stabilité du bateau. Un bon équilibre assure que le navire se redresse de lui-même après avoir été incliné par une vague.

FAQ

Résultat Final

Le centre de poussée est situé à une profondeur de 2.167 m par rapport à la surface libre de l'eau.

A vous de jouer

Si le sommet de la vanne était au niveau de la surface libre (\(h_1 = 0\)), quelle serait la nouvelle position du centre de poussée \(y_P\) ? (Indice: \(y_G\) change !)

Outil Interactif : Simulateur de Poussée Hydrostatique

Utilisez cet outil pour explorer comment la force hydrostatique et la position du centre de poussée varient en fonction de la hauteur d'eau et de la largeur de la vanne. La hauteur de la vanne reste fixée à 2 m.

Paramètres d'Entrée

Profondeur du sommet de la vanne (h₁) 1.0 m

Largeur de la vanne (b) 3.0 m

Résultats Clés

Force Résultante (F) - kN

Profondeur Centre de Poussée (y_P) - m

Glossaire

Pression Hydrostatique: La pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide au-dessus de ce point. Elle se mesure en Pascals (Pa).
Poussée Hydrostatique: La force résultante exercée par un fluide au repos sur une surface (plane ou courbe). C'est l'intégrale des forces de pression sur toute la surface.
Centre de Gravité (ou Centroïde): Le point géométrique moyen d'un objet ou d'une surface. Pour une surface homogène, c'est le point d'équilibre.
Centre de Poussée: Le point d'application de la force de poussée hydrostatique. C'est le barycentre du diagramme de pression.
Moment d'Inertie: Une propriété géométrique d'une surface qui décrit comment ses points sont répartis par rapport à un axe. Il quantifie la résistance de la surface à la flexion.

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