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Calcul de Remblais et Déblais

Calcul de Remblais et Déblais en Terrassement

Calcul de Remblais et Déblais en Terrassement

Contexte : Le terrassement, fondation de tout projet de construction.

Le terrassement est l'ensemble des opérations de modification du relief d'un terrain, consistant à déplacer des quantités importantes de matériaux (sols, roches). C'est une étape préliminaire indispensable à la quasi-totalité des projets de génie civil : routes, voies ferrées, plateformes de bâtiments, barrages... Une gestion précise des mouvements de terres, en équilibrant les déblaisVolume de terre excavé d'un terrain. C'est la matière que l'on enlève pour atteindre le niveau du projet. (terres excavées) et les remblaisVolume de terre apporté pour combler un creux ou surélever un terrain jusqu'au niveau du projet. (terres apportées), est la clé d'un projet économique et respectueux de l'environnement. Cet exercice vous guidera dans le calcul des volumes, la gestion des matériaux et l'estimation des coûts d'un projet de terrassement complexe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le travail quotidien d'un projeteur ou d'un conducteur de travaux en BTP. À partir de plans topographiques (ici, un profil en traversCoupe verticale du terrain perpendiculaire à l'axe du projet (par exemple, l'axe d'une route). Elle permet de visualiser le relief existant et le projet fini.), nous allons quantifier la matière, optimiser son mouvement, planifier les moyens (engins) et chiffrer l'opération. C'est un parfait mélange de géométrie, de logistique et de calcul économique.

Objectifs Pédagogiques

  • Interpréter un profil en travers et calculer des coordonnées à partir de pentes.
  • Calculer les aires de déblai et de remblai par décomposition en formes géométriques simples.
  • Appliquer le concept de foisonnementAugmentation du volume des terres après excavation, due à la décompaction. Un mètre cube en place peut devenir 1,25 m³ une fois remué. Ce coefficient est crucial pour le transport. pour calculer les volumes à transporter.
  • Établir un bilan des mouvements de terres (déficit ou excédent).
  • Calculer le rendementQuantité de travail (par exemple, m³ de terre déplacés) qu'un engin ou une équipe peut réaliser par unité de temps (heure, jour). d'un atelier d'engins (pelle, camion) et estimer la durée d'un chantier.
  • Réaliser une estimation budgétaire complète d'une opération de terrassement.

Données de l'étude

Une plateforme industrielle de 200 m de long doit être construite en nivelant un terrain naturel. Le projet requiert une plateforme horizontale à une altitude de 10.00 m. Le profil en travers type du terrain naturel est défini par les points et pentes ci-dessous.

Profil en travers du terrain
14m 12m 10m 8m 6m Projet Z=10.00m A (0, 12) B (20, 12) C (x_c, z_c) D (x_d, 6) E (60, z_e) Pente = -3/2 Pente = 1/2 DÉBLAI REMBLAI
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur du projet \(L_{\text{proj}}\) 200 \(\text{m}\)
Coefficient de foisonnement \(C_f\) 1.25 sans
Capacité godet pelle \(C_{\text{pelle}}\) 1.5 \(\text{m}^3\)
Temps de cycle pelle \(T_{\text{pelle}}\) 25 \(\text{s}\)
Capacité benne camion \(C_{\text{camion}}\) 12 \(\text{m}^3\)
Temps de rotation camion \(T_{\text{camion}}\) 12 \(\text{min}\)
Coût horaire (Pelle + Carburant) \(Coût_{\text{pelle}}\) 145 \(\text{€/h}\)
Coût horaire (Camion + Carburant) \(Coût_{\text{camion}}\) 110 \(\text{€/h}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées complètes des points C, D et E du terrain naturel.
  2. Calculer l'aire de la section de déblai et l'aire de la section de remblai.
  3. Calculer les volumes totaux (déblai foisonné, remblai en place) et déterminer le bilan des matériaux.
  4. Calculer le rendement de l'atelier (1 pelle, 2 camions) et la durée du chantier.
  5. Calculer le coût total de l'opération de terrassement (incluant 15% pour l'entretien).

Les bases du calcul de Terrassement

Avant de résoudre l'exercice, rappelons quelques principes fondamentaux.

1. Calcul d'Aires par Décomposition :
Un profil complexe est rarement une forme géométrique simple. La méthode consiste à le décomposer en figures élémentaires (triangles, rectangles, trapèzes) dont les aires sont faciles à calculer. L'aire totale (de déblai ou de remblai) est simplement la somme des aires de ces figures. La ligne de projet (la future plateforme) sert de référence pour séparer les zones à creuser (déblai) de celles à combler (remblai).

2. Le Foisonnement des Sols :
Lorsqu'on excave un sol, on brise sa structure compacte. Des vides apparaissent, et son volume augmente. Le coefficient de foisonnement \(C_f\) (supérieur à 1) quantifie ce phénomène. Un volume \(V_{\text{en place}}\) devient un volume \(V_{\text{foisonné}} = V_{\text{en place}} \times C_f\). C'est ce volume foisonné qu'il faut transporter. À l'inverse, pour créer un remblai de volume \(V_{\text{remblai}}\), il faudra un volume foisonné plus grand qui sera ensuite compacté.

3. Rendement des Engins :
Le rendement d'un atelier de terrassement est dicté par l'engin le plus lent, qui crée un goulot d'étranglement. On calcule le débit de chaque composant (la pelle qui charge, les camions qui transportent) et on retient le plus faible. \[ \text{Rendement Pelle (m}^3\text{/h)} = \frac{\text{Capacité Godet} \times 3600}{\text{Temps de Cycle (s)}} \] \[ \text{Rendement Camion (m}^3\text{/h)} = \frac{\text{Capacité Benne} \times 60}{\text{Temps de Rotation (min)}} \] Le rendement réel de l'atelier est le minimum de ces deux valeurs.

Correction : Calcul de Remblais et Déblais en Terrassement

Question 1 : Calculer les coordonnées des points

Principe (le concept physique)

La géométrie du profil est définie par des points et des pentes. Une pente est un rapport de dénivelé (déplacement vertical, \(\Delta Z\)) sur une distance horizontale (\(\Delta X\)). En connaissant un point de départ, une pente et une condition d'arrivée (soit une altitude, soit une distance horizontale), on peut déterminer les coordonnées du point d'arrivée par une simple application de la trigonométrie et de l'algèbre linéaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La définition d'une droite dans un plan cartésien est au cœur de ce calcul. L'équation d'une droite passant par un point \((X_0, Z_0)\) avec une pente \(p\) est \(Z - Z_0 = p \cdot (X - X_0)\). En isolant soit \(X\), soit \(Z\), on peut trouver la coordonnée manquante si l'autre est connue. C'est l'application directe de la géométrie analytique aux problèmes de topographie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes un géomètre sur le terrain. Vous partez d'un point connu (B), vous visez avec un niveau pour suivre une pente donnée (-3/2), et vous vous arrêtez lorsque vous atteignez une certaine altitude (6m). Ce calcul est la traduction mathématique de cette opération de terrain. C'est la base pour transformer un plan en réalité.

Normes (la référence réglementaire)

Les levés topographiques et les implantations de projets de BTP sont régis par des normes de précision. En France, les classes de précision (par exemple, classe A pour les projets très précis) définissent les tolérances acceptables pour les coordonnées des points. Les calculs doivent être menés avec une précision suffisante pour respecter ces tolérances.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La relation fondamentale est :

\[ \text{pente} = \frac{\Delta Z}{\Delta X} = \frac{Z_{\text{fin}} - Z_{\text{debut}}}{X_{\text{fin}} - X_{\text{debut}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profil est une succession de segments de droite parfaits. En réalité, le terrain est plus complexe, mais cette modélisation est une simplification standard et efficace pour les calculs de volumes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Point B : \( (X_B, Z_B) = (20, 12) \)
  • Pente BC : \(p_{BC} = -3/2 = -1.5\)
  • Altitude de C et D : \(Z_C = Z_D = 6 \, \text{m}\)
  • Abscisse de D : \(X_D = X_C + 10 \, \text{m}\)
  • Pente DE : \(p_{DE} = 1/2 = 0.5\)
  • Abscisse de E : \(X_E = 60 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs de calcul, isolez toujours l'inconnue dans la formule avant de remplacer par les valeurs numériques. Et faites un rapide calcul mental pour vérifier l'ordre de grandeur : pour une pente de -1.5, la distance horizontale doit être plus petite que la distance verticale. Ici, pour descendre de 6m, il faut avancer de 4m (6 / 1.5), ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)
Profil avec inconnues à déterminer
B(20,12)C(Xc?, 6)D(Xd?, 6)E(60, Ze?)Pente -3/2Pente 1/2
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Coordonnées de C :

\[ p_{BC} = \frac{Z_C - Z_B}{X_C - X_B} \Rightarrow X_C = X_B + \frac{Z_C - Z_B}{p_{BC}} \]
\[ \begin{aligned} X_C &= 20 + \frac{6 - 12}{-1.5} \\ &= 20 + \frac{-6}{-1.5} \\ &= 20 + 4 \\ &= 24 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Coordonnées de D :

\[ \begin{aligned} X_D &= X_C + 10 \\ &= 24 + 10 \\ &= 34 \, \text{m} \end{aligned} \]

3. Coordonnées de E :

\[ Z_E = Z_D + p_{DE} \cdot (X_E - X_D) \]
\[ \begin{aligned} Z_E &= 6 + 0.5 \cdot (60 - 34) \\ &= 6 + 0.5 \cdot 26 \\ &= 6 + 13 \\ &= 19 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil avec coordonnées calculées
B(20,12)C(24, 6)D(34, 6)E(60, 19)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La définition complète de la géométrie du terrain est la première étape indispensable. Sans ces coordonnées précises, tout calcul d'aire et de volume serait impossible. On a maintenant un modèle numérique exact du profil du sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est le signe des pentes. Une pente descendante est négative (\(\Delta Z\) est négatif pour un \(\Delta X\) positif). Une erreur de signe peut inverser un déblai en remblai. Vérifiez toujours la cohérence du résultat avec le schéma visuel.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La pente est le rapport de la variation verticale sur la variation horizontale (\(\Delta Z / \Delta X\)).
  • L'équation d'une droite permet de trouver une coordonnée si l'autre est connue.
  • La rigueur dans les signes et les calculs est primordiale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels modernes de CAO/DAO (comme AutoCAD Civil 3D) automatisent entièrement ces calculs. Le projeteur dessine le terrain naturel et la ligne de projet, et le logiciel génère instantanément les coordonnées, les aires, les volumes et même des visualisations 3D du projet final.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le terrain n'est pas une ligne droite ?

En réalité, les profils de terrain sont souvent courbes. Pour les calculs, on les approxime par une succession de petits segments de droite. Plus les segments sont courts, plus l'approximation est précise. C'est le principe de la modélisation numérique de terrain (MNT).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coordonnées des points sont : C(24, 6), D(34, 6) et E(60, 19).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pente du segment DE était de 1/3 (plus faible), quelle serait la nouvelle altitude du point E (en m) ?

Question 2 : Calculer les aires de déblai et de remblai

Principe (le concept physique)

L'aire de déblai est la surface du terrain naturel située au-dessus de la ligne de projet (ici, Z=10m). L'aire de remblai est la surface située en dessous. On calcule ces aires en décomposant les polygones formés par le terrain et la ligne de projet en formes simples (trapèzes, triangles).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de calcul d'aire la plus robuste pour un polygone quelconque défini par les coordonnées de ses sommets est la "formule de laçage" (Shoelace formula). Elle consiste à faire la somme des produits en croix des coordonnées des sommets successifs. Pour des profils simples, la décomposition en trapèzes et triangles est plus intuitive et visuelle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le plus simple est de "hachurer" sur le schéma les différentes zones. Vous verrez apparaître naturellement des formes connues. Par exemple, la zone de déblai est un grand polygone. On peut le voir comme un rectangle et un triangle. La zone de remblai est composée d'un rectangle et de deux triangles. L'important est de ne laisser aucun "trou" et de ne pas compter deux fois la même surface.

Normes (la référence réglementaire)

Les métrés de terrassement sont un élément contractuel des marchés de travaux. Les méthodes de calcul des surfaces et volumes (par exemple, méthode des profils en travers) sont souvent spécifiées dans le CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) pour éviter tout litige lors du paiement des travaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules des aires de base :

\[ A_{\text{rectangle}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la ligne de projet est parfaitement horizontale à Z=10m. Les calculs sont faits dans le plan 2D du profil en travers.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coordonnées des points A, B, C, D, E.
  • Altitude de la plateforme projet : \(Z_{\text{projet}} = 10 \, \text{m}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver les points d'intersection entre le terrain et la ligne de projet, utilisez la formule de la question 1 en fixant Z à 10m. Ces points sont les "frontières" entre déblai et remblai et sont essentiels pour définir les bases de vos triangles et trapèzes.

Schéma (Avant les calculs)
Zones à calculer, avec points d'intersection à trouver
Aire Déblai = ?Aire Remblai = ?I2 ?I3 ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Point d'intersection \(I_2\) entre BC et la ligne de projet (Z=10) :

\[\begin{aligned} X_{I2} &= X_B + \frac{Z_{I2} - Z_B}{p_{BC}} \\ &= 20 + \frac{10 - 12}{-1.5} \\ &\approx 21.33 \, \text{m} \end{aligned}\]

2. Aire de Déblai (un rectangle + un triangle) :

\[\begin{aligned} A_{\text{déblai, rect}} &= (X_B - X_A) \times (Z_B - 10) \\ &= (20-0) \times (12-10) \\ &= 40 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A_{\text{déblai, tri}} &= \frac{(X_{I2} - X_B) \times (Z_B - 10)}{2} \\ &= \frac{(21.33-20) \times (12-10)}{2} \\ &= 1.33 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A_{\text{déblai}} &= A_{\text{déblai, rect}} + A_{\text{déblai, tri}} \\ &= 40 + 1.33 \\ &= 41.33 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]

3. Point d'intersection \(I_3\) entre DE et la ligne de projet (Z=10) :

\[\begin{aligned} X_{I3} &= X_D + \frac{Z_{I3} - Z_D}{p_{DE}} \\ &= 34 + \frac{10 - 6}{0.5} \\ &= 34 + 8 \\ &= 42 \, \text{m} \end{aligned}\]

4. Aire de Remblai (un triangle + un rectangle + un triangle) :

\[\begin{aligned} A_{\text{remblai, tri1}} &= \frac{(X_C - X_{I2}) \times (10 - Z_C)}{2} \\ &= \frac{(24 - 21.33) \times (10-6)}{2} \\ &= 5.34 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A_{\text{remblai, rect}} &= (X_D - X_C) \times (10 - Z_C) \\ &= (34-24) \times (10-6) \\ &= 40 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A_{\text{remblai, tri2}} &= \frac{(X_{I3} - X_D) \times (10 - Z_D)}{2} \\ &= \frac{(42-34) \times (10-6)}{2} \\ &= 16 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A_{\text{remblai}} &= A_{\text{remblai, tri1}} + A_{\text{remblai, rect}} + A_{\text{remblai, tri2}} \\ &= 5.34 + 40 + 16 \\ &= 61.34 \, \text{m}^2 \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Aires calculées avec décomposition visible
A = 41.33 m²A = 61.34 m²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'aire de remblai (61.34 m²) est supérieure à l'aire de déblai (41.33 m²). Cela signifie que pour chaque mètre de projet, nous aurons besoin de plus de matériaux que nous n'en excavons. Ce profil est "déficitaire", ce qui confirme ce que les volumes nous diront plus tard.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est de mal décomposer la surface, en oubliant une petite zone ou en la comptant deux fois. Une autre est de se tromper dans les dimensions des formes (par exemple, prendre une hauteur ou une base incorrecte). Chaque calcul d'aire doit être vérifié attentivement par rapport au schéma.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Identifier la ligne de projet (Z=10m) comme la référence.
  • Tout ce qui est au-dessus est du déblai, tout ce qui est en dessous est du remblai.
  • Décomposer les surfaces complexes en triangles, rectangles et trapèzes.
  • Calculer les coordonnées des points d'intersection pour définir les limites des formes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les projets linéaires très longs (routes, canaux), on utilise un "diagramme des masses" (ou épure de Lalanne) qui représente le volume cumulé de déblai/remblai le long du projet. Cet outil visuel permet d'optimiser les mouvements de terre pour minimiser les distances de transport.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la ligne de projet n'est pas horizontale ?

Si la ligne de projet est en pente (cas d'une route avec une pente de 3%), les calculs sont similaires, mais les "hauteurs" des formes géométriques ne sont plus de simples différences d'altitude. Elles doivent être calculées par rapport à l'équation de la droite de la ligne de projet. Les logiciels de CAO gèrent cela automatiquement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section de déblai est de 41.33 m² et celle de remblai est de 61.34 m².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la plateforme était à une altitude de 11m, l'aire de déblai augmenterait ou diminuerait-elle ?

Question 3 : Calculer les volumes et le bilan des matériaux

Principe (le concept physique)

En supposant que le profil en travers est constant sur toute la longueur du projet, le volume est simplement l'aire de la section multipliée par la longueur. Le volume de déblai doit être "foisonné" pour connaître le volume réel à transporter. Le bilan compare le volume de déblai disponible (en considérant qu'il peut être compacté pour le remblai) au volume de remblai nécessaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des profils en travers consiste à calculer les aires sur plusieurs profils le long du projet, puis à estimer le volume entre deux profils en faisant la moyenne des aires multipliée par la distance. Notre exercice est un cas simplifié où l'aire est constante. Le concept de foisonnement est lié à la densité des sols : un sol en place a une densité sèche \(\gamma_d\), tandis qu'un sol remué a une densité apparente plus faible.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de ne pas mélanger les volumes "en place" (dans le sol) et les volumes "foisonnés" (dans le camion). Les calculs de bilan (équilibre déblai/remblai) se font toujours avec les volumes en place. Les calculs de transport (nombre de camions, durée) se font toujours avec les volumes foisonnés.

Normes (la référence réglementaire)

Le coefficient de foisonnement n'est pas une valeur fixe. Il dépend de la nature du sol (argile, sable, roche...). Des essais en laboratoire (comme l'essai Proctor) permettent de le déterminer précisément. Les normes géotechniques (comme l'Eurocode 7) fournissent des plages de valeurs typiques pour différents types de sols.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules de base :

\[ V_{\text{en place}} = A_{\text{section}} \times L_{\text{projet}} \]
\[ V_{\text{foisonné}} = V_{\text{en place}} \times C_f \]
\[ \text{Bilan} = V_{\text{déblai, place}} - V_{\text{remblai, place}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profil en travers est parfaitement constant sur les 200m du projet. On suppose également que le coefficient de foisonnement est constant pour tous les matériaux excavés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Aire de déblai : \(A_{\text{déblai}} = 41.33 \, \text{m}^2\)
  • Aire de remblai : \(A_{\text{remblai}} = 61.34 \, \text{m}^2\)
  • Longueur du projet : \(L_{\text{proj}} = 200 \, \text{m}\)
  • Coefficient de foisonnement : \(C_f = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de calculer les volumes, regardez les aires. Si \(A_{\text{remblai}} > A_{\text{déblai}}\), vous savez déjà que le bilan sera négatif (déficit). Cela vous donne un moyen rapide de vérifier la cohérence de votre résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Extrusion du profil pour former le volume à calculer
A_déblaiA_remblaiL = 200mVolume = Aire x L
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Volume de déblai en place :

\[ \begin{aligned} V_{\text{déblai, place}} &= A_{\text{déblai}} \times L_{\text{proj}} \\ &= 41.33 \, \text{m}^2 \times 200 \, \text{m} \\ &= 8266 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

2. Volume de déblai à transporter (foisonné) :

\[ \begin{aligned} V_{\text{déblai, foisonné}} &= V_{\text{déblai, place}} \times C_f \\ &= 8266 \times 1.25 \\ &= 10332.5 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

3. Volume de remblai en place nécessaire :

\[ \begin{aligned} V_{\text{remblai, place}} &= A_{\text{remblai}} \times L_{\text{proj}} \\ &= 61.34 \, \text{m}^2 \times 200 \, \text{m} \\ &= 12268 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

4. Bilan des matériaux :

\[ \begin{aligned} \text{Bilan} &= V_{\text{déblai, place}} - V_{\text{remblai, place}} \\ &= 8266 - 12268 \\ &= -4002 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Mouvements de Terres
Déblai (place)8266 m³Remblai (place)12268 m³→Déficit-4002 m³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le bilan est négatif, ce qui signifie qu'il y a un déficit de matériaux. Les déblais du chantier ne suffiront pas à combler les remblais. Il faudra donc prévoir un apport de 4002 m³ de matériaux extérieurs, ce qui aura un impact significatif sur le coût et la logistique du projet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais faire un bilan en comparant un volume foisonné et un volume en place. C'est comme comparer des pommes et des oranges. Le bilan doit toujours se faire "en place" pour savoir si la quantité de matière extraite est suffisante pour combler les vides, indépendamment de son volume pendant le transport.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Volume = Aire × Longueur (pour un profil constant).
  • Le volume à transporter est le volume de déblai foisonné.
  • Le bilan des terres (déficit/excédent) se calcule avec les volumes en place.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'objectif "zéro déchet" s'applique aussi au BTP. Un projet de terrassement idéal est "équilibré", c'est-à-dire que le volume de déblai est exactement égal au volume de remblai nécessaire. Les ingénieurs ajustent souvent l'altitude de la ligne de projet de quelques centimètres pour se rapprocher de cet équilibre et minimiser les transports et les coûts.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si les matériaux de déblai sont de mauvaise qualité ?

Si les sols excavés (déblais) ne sont pas aptes à être utilisés en remblai (par exemple, s'ils sont trop argileux ou pollués), ils doivent être évacués en décharge. Le bilan est alors encore plus déficitaire : il faut non seulement apporter 100% des matériaux de remblai, mais aussi payer pour évacuer tous les déblais. C'est le pire scénario économique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume de déblai foisonné à extraire est de 10332.5 m³. Le volume de remblai nécessaire est de 12268 m³. Il y a un déficit de 4002 m³ de matériaux.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le coefficient de foisonnement était de 1.40 (sol plus rocheux), quel serait le nouveau volume foisonné à transporter (en m³) ?

Question 4 : Calculer le rendement et la durée du chantier

Principe (le concept physique)

La productivité du chantier est limitée par le maillon le plus faible de la chaîne logistique : soit la pelle ne charge pas assez vite, soit les camions ne transportent pas assez vite. On calcule le débit théorique de chaque partie et on retient le plus faible pour déterminer le rendement réel de l'atelier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce problème est une application de la "théorie des contraintes" (ou théorie des goulots d'étranglement). Pour améliorer la performance globale d'un système (ici, le chantier), il faut identifier et renforcer le maillon le plus faible. Augmenter la capacité d'un maillon non limitant (par exemple, prendre une pelle plus grosse alors que les camions sont déjà saturés) n'aura aucun effet sur la productivité globale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un calcul d'équilibre. La pelle doit attendre les camions, ou les camions font la queue devant la pelle. L'objectif est de dimensionner l'atelier (nombre de camions par pelle) pour que les temps d'attente soient minimaux. Ici, on voit que la pelle (216 m³/h) est beaucoup plus rapide que les deux camions (120 m³/h). La pelle passera donc une partie de son temps à attendre.

Normes (la référence réglementaire)

Les cadences et rendements des engins de chantier sont des données de référence fournies par les constructeurs (Caterpillar, Volvo, etc.). Cependant, ces valeurs sont théoriques. Les manuels de conduite de travaux et les bases de prix (comme Batiprix) fournissent des rendements pratiques, ajustés en fonction des conditions de chantier (type de sol, météo, expérience du chauffeur).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules de rendement :

\[ R_{\text{atelier}} = \min(R_{\text{pelle}}, R_{\text{camions}}) \]
\[ \text{Durée} = \frac{\text{Volume total à déplacer}}{\text{Rendement de l'atelier}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose des conditions de travail continues sur une base de 8 heures par jour. On néglige les temps de démarrage, d'arrêt et les pannes. Le rendement est considéré constant tout au long du chantier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Capacité pelle : \(C_{\text{pelle}} = 1.5 \, \text{m}^3\)
  • Temps de cycle pelle : \(T_{\text{pelle}} = 25 \, \text{s}\)
  • Capacité camion : \(C_{\text{camion}} = 12 \, \text{m}^3\)
  • Temps de rotation camion : \(T_{\text{camion}} = 12 \, \text{min}\)
  • Nombre de camions : 2
  • Volume à déplacer : \(V_{\text{déblai, foisonné}} = 10332.5 \, \text{m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour savoir combien de camions il faudrait pour équilibrer la pelle, divisez le rendement de la pelle par le rendement d'un camion : \(216 / 60 \approx 3.6\). Il faudrait donc idéalement 3 ou 4 camions pour que la pelle travaille en continu. Avec seulement 2 camions, on sait immédiatement que ce sont eux qui limiteront la production.

Schéma (Avant les calculs)
Flux de production du chantier et identification du goulot d'étranglement
PelleRendement à calculer2 CamionsRendement à calculerQuel est le maillon faible ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Rendement théorique de la pelle :

\[ \begin{aligned} R_{\text{pelle}} &= \frac{C_{\text{pelle}} \times 3600}{T_{\text{pelle}}} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m}^3 \times 3600}{25 \, \text{s}} \\ &= 216 \, \text{m}^3\text{/h} \end{aligned} \]

2. Rendement théorique des 2 camions :

\[ \begin{aligned} R_{\text{camions}} &= 2 \times \frac{C_{\text{camion}} \times 60}{T_{\text{camion}}} \\ &= 2 \times \frac{12 \, \text{m}^3 \times 60}{12 \, \text{min}} \\ &= 120 \, \text{m}^3\text{/h} \end{aligned} \]

3. Rendement de l'atelier :

\[ \begin{aligned} R_{\text{atelier}} &= \min(R_{\text{pelle}}, R_{\text{camions}}) \\ &= \min(216, 120) \\ &= 120 \, \text{m}^3\text{/h} \end{aligned} \]

4. Durée du chantier :

\[ \begin{aligned} \text{Durée (heures)} &= \frac{V_{\text{déblai, foisonné}}}{R_{\text{atelier}}} \\ &= \frac{10332.5 \, \text{m}^3}{120 \, \text{m}^3\text{/h}} \\ &\approx 86.1 \, \text{h} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Durée (jours)} &= \frac{86.1 \, \text{h}}{8 \, \text{h/jour}} \\ &\approx 10.76 \Rightarrow 11 \, \text{jours} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Rendement de l'atelier et goulot identifié
Pelle216 m³/h2 Camions120 m³/hRendement final = 120 m³/h
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le chantier durera 11 jours. Pendant ce temps, les camions fonctionneront à plein régime, mais la pelle sera sous-utilisée, en attente pendant environ 44% du temps (\((216-120)/216\)). Économiquement, il pourrait être plus judicieux de louer une pelle plus petite et moins chère, ou d'ajouter un troisième camion pour mieux équilibrer l'atelier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas additionner les rendements ! Le rendement global n'est jamais la somme des rendements individuels. C'est toujours le minimum des capacités de chaque étape du processus. C'est une règle fondamentale de la gestion de production.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Calculer le rendement de chaque type d'engin séparément.
  • Le rendement de l'atelier est le minimum des rendements calculés.
  • La durée du chantier dépend du volume total à déplacer et du rendement de l'atelier.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes GPS de haute précision sont maintenant installés sur les pelles et les bulldozers. Ils permettent à l'opérateur de voir en temps réel sur un écran en cabine le profil du projet et la position de son godet. Ce "guidage d'engin" permet d'atteindre les niveaux de projet avec une précision centimétrique, réduisant les erreurs et augmentant le rendement.

FAQ (pour lever les doutes)
Le temps de rotation des camions inclut quoi ?

Le temps de rotation (ou cycle) d'un camion inclut tout : le temps de chargement sous la pelle, le trajet aller jusqu'au dépôt, le temps de vidage, le trajet retour, et les temps d'attente et de manœuvre. C'est une mesure globale de la durée d'un aller-retour complet.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement de l'atelier est de 120 m³/h. La durée estimée du chantier est de 11 jours.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on ajoutait un 3ème camion, quel serait le nouveau rendement de l'atelier (en m³/h) ?

Question 5 : Calculer le coût total du terrassement

Principe (le concept physique)

Le coût total est la somme des coûts de fonctionnement des engins (location + carburant) pendant toute la durée du chantier, à laquelle on ajoute un pourcentage pour l'entretien et la maintenance préventive.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'estimation des coûts en BTP se décompose en plusieurs postes : les déboursés secs (matériaux, main d'œuvre, matériel), les frais de chantier (encadrement, installations), les frais généraux (structure de l'entreprise) et la marge. Notre calcul se concentre sur les déboursés secs liés au matériel, qui est souvent le poste le plus important en terrassement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce calcul montre le lien direct entre la productivité et le coût. Chaque heure gagnée sur le chantier représente une économie directe de 365€. C'est pourquoi l'optimisation des rendements (en équilibrant bien l'atelier pelle/camions) est un enjeu majeur pour la rentabilité d'un projet de terrassement.

Normes (la référence réglementaire)

Les coûts horaires des engins sont basés sur des catalogues de prix (par exemple, le "Prix Bleu" de la FNTP en France) qui prennent en compte l'amortissement de l'engin, les frais financiers, les assurances, et une estimation des coûts de maintenance et de réparation sur sa durée de vie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules de coût :

\[ \text{Coût}_{\text{fonct}} = \text{Coût}_{\text{horaire, atelier}} \times \text{Durée}_{\text{heures}} \]
\[ \text{Coût}_{\text{total}} = \text{Coût}_{\text{fonct}} \times (1 + \% \text{entretien}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les coûts horaires sont constants et que le pourcentage d'entretien couvre toutes les dépenses annexes liées au matériel. Ce calcul ne prend pas en compte le coût de la main d'œuvre (chauffeurs), ni le coût d'achat et de transport des matériaux d'apport.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coût horaire pelle : 145 €/h
  • Coût horaire camion : 110 €/h
  • Nombre de camions : 2
  • Durée du chantier : 86.1 heures
  • Pourcentage entretien : 15%
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, on peut calculer un "prix au mètre cube". Coût total / Volume déplacé = 36140.5 € / 10332.5 m³ ≈ 3.50 €/m³. Ce ratio permet de chiffrer très rapidement d'autres projets similaires en multipliant simplement le volume par ce prix unitaire.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Coût Total à calculer
Coût Total = ?Coût Fonctionnement = ?15%Durée x Coût Horaire
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Coût horaire de l'atelier (1 pelle + 2 camions) :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{horaire}} &= \text{Coût}_{\text{pelle}} + (2 \times \text{Coût}_{\text{camion}}) \\ &= 145 \, \text{€/h} + (2 \times 110 \, \text{€/h}) \\ &= 145 + 220 \\ &= 365 \, \text{€/h} \end{aligned} \]

2. Coût total de fonctionnement :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{fonct}} &= \text{Coût}_{\text{horaire}} \times \text{Durée (heures)} \\ &= 365 \, \text{€/h} \times 86.1 \, \text{h} \\ &\approx 31426.5 \, \text{€} \end{aligned} \]

3. Coût de l'entretien (15%) :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{entretien}} &= \text{Coût}_{\text{fonct}} \times 0.15 \\ &= 31426.5 \times 0.15 \\ &\approx 4714 \, \text{€} \end{aligned} \]

4. Coût total du terrassement :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{total}} &= \text{Coût}_{\text{fonct}} + \text{Coût}_{\text{entretien}} \\ &= 31426.5 + 4714 \\ &= 36140.5 \, \text{€} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition du Coût Total calculé
Coût Total ≈ 36 141 €Fonctionnement: 31 427 €4 714 €
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coût calculé de 36 140.5 € ne couvre que le mouvement de terres interne au site. Le déficit de 4002 m³ de matériaux représente un coût supplémentaire majeur (achat, transport) qui doit être ajouté pour obtenir le budget final du projet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier de postes de coût. Ce calcul est simplifié. Un chiffrage réel inclurait la main d'œuvre, les frais de transport des engins jusqu'au chantier, le coût de l'apport ou de l'évacuation des matériaux, les frais de géomètre, etc. Ce résultat est une première estimation, pas un devis final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coût de fonctionnement dépend directement de la durée du chantier.
  • Calculer le coût horaire de l'ensemble de l'atelier (tous les engins).
  • Ne pas oublier d'ajouter les pourcentages pour frais annexes (entretien, etc.).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les contrats de terrassement sont souvent payés au "mètre cube". L'entreprise est payée sur la base des volumes théoriques calculés à partir des plans (le "cubé"), et non sur le nombre d'heures passées. C'est pourquoi il est vital pour elle d'optimiser ses rendements pour être rentable.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment estime-t-on le coût d'apport des matériaux manquants ?

Le coût d'apport se décompose en : 1) le prix d'achat du matériau en carrière (par exemple, 10 €/m³), 2) le coût du transport depuis la carrière jusqu'au chantier (qui dépend de la distance et du coût horaire des camions), et 3) le coût de mise en œuvre (réglage, compactage). Ce poste peut facilement doubler le budget initial.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coût total pour le mouvement de terres du chantier est d'environ 36 140.5 €.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le coût horaire du carburant pour les camions doublait (passant de 30 à 60 €/h), quel serait le nouveau coût total du chantier (en €) ?

Outil Interactif : Paramètres du Chantier

Modifiez les paramètres du chantier pour voir leur influence sur la durée et le coût.

Paramètres d'Entrée
200 m
1.25
2
Résultats Clés
Durée du Chantier (jours) -
Coût Total (€) -
Bilan Matériaux (m³) -

Le Saviez-Vous ?

Le plus grand projet de terrassement de l'histoire est la construction du canal de Panama. Entre les efforts français et américains, plus de 200 millions de mètres cubes de terre et de roche ont été excavés, un volume qui serait suffisant pour construire une réplique de la Grande Muraille de Chine de Paris à Pékin.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment gère-t-on un excédent de matériaux ?

Un excédent de déblais doit être évacué du site. Cela engendre des coûts de transport et de mise en décharge (dépôt autorisé). Les terres peuvent parfois être vendues à d'autres chantiers en déficit, mais la gestion des terres non-utilisées est une contrainte logistique et environnementale majeure.

Le rendement calculé est-il toujours atteint en réalité ?

Non, le rendement calculé est théorique. En pratique, un "coefficient d'efficience" (souvent autour de 0.75-0.85) est appliqué pour tenir compte des aléas : pannes, météo, temps d'attente, pauses, etc. La durée réelle du chantier est donc souvent plus longue que l'estimation purement mathématique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un sol a un coefficient de foisonnement de 1.20. Pour réaliser un remblai compacté de 100 m³, quel volume de ce sol (mesuré dans la benne du camion) faut-il apporter ?

2. Sur un chantier, la pelle peut charger 150 m³/h et les 3 camions peuvent transporter 120 m³/h au total. Pour augmenter la productivité, il faut en priorité...

Déblai
Action d'enlever des terres pour abaisser le niveau d'un sol. Le volume de terre enlevé est aussi appelé "déblai".
Remblai
Action d'ajouter des terres pour surélever le niveau d'un sol. Le volume de terre ajouté est aussi appelé "remblai".
Foisonnement
Augmentation du volume apparent des terres après leur extraction, due à la création de vides. Un coefficient de 1.25 signifie que 1m³ de terre en place occupera 1.25m³ une fois excavé.
Profil en travers
Coupe verticale du terrain, perpendiculaire à l'axe principal du projet (ex: axe d'une route), montrant le terrain naturel et la ligne du projet fini.
Calcul de Remblais et Déblais en Terrassement

D’autres exercices de terrassement :

3 Commentaires
    • Nivykuri obède
      Nivykuri obède sur 11 février 2025 à 20h28

      Ouï

      Réponse
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