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Dimensionnement d’un mur à ossature bois

Dimensionnement d’un Mur à Ossature Bois (Génie Civil)

Dimensionnement d’un Mur à Ossature Bois

Contexte : L'ossature bois, une solution durable et performante.

La construction à ossature bois est une méthode de plus en plus prisée pour sa rapidité d'exécution, ses performances thermiques et son faible impact environnemental. Le dimensionnement de ses éléments porteurs, comme les montants verticaux d'un mur, est une étape cruciale qui garantit la sécurité et la durabilité de l'ouvrage. Cet exercice se concentre sur la vérification d'un montant de mur soumis à la fois à une charge verticale (poids de la toiture et des planchers) et à une charge horizontale (pression du vent). Nous appliquerons les principes de l'Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) qui régit la conception, le calcul et le dimensionnement des structures en bois. Elle définit les règles de sécurité, les propriétés des matériaux et les méthodes de vérification., la norme de référence pour les structures en bois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un cas de "flexion composée". L'élément est sollicité simultanément en compression et en flexion. Il ne suffit pas de vérifier chaque sollicitation séparément ; il faut vérifier leur interaction. C'est un cas de dimensionnement très courant pour les poteaux, les montants de mur ou les fermes de charpente.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges de calcul (pondérées) à partir des charges caractéristiques.
  • Déterminer les contraintes de compression et de flexion dans un montant.
  • Comprendre et calculer la résistance du bois en tenant compte des coefficients de modification.
  • Vérifier la stabilité d'un élément comprimé vis-à-vis du risque de flambementPhénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale. Au lieu de simplement s'écraser, l'élément a tendance à se courber brusquement sur le côté..
  • Appliquer la formule d'interaction de l'Eurocode 5 pour la flexion composée.

Données de l'étude

On étudie un montant vertical d'un mur extérieur d'une maison à ossature bois. Ce montant est considéré comme articulé à ses deux extrémités (plancher et plafond). Il est soumis aux charges de la toiture et du plancher, ainsi qu'à la pression du vent.

Schéma du Montant et des Charges
N_d q_d H = 2.7 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du montant \(H\) 2.7 \(\text{m}\)
Section du montant (b x h) - 45 x 145 \(\text{mm}\)
Entraxe des montants \(e\) 0.60 \(\text{m}\)
Charge verticale permanente \(G_k\) 3.0 \(\text{kN}\)
Charge verticale d'exploitation \(Q_k\) 1.5 \(\text{kN}\)
Pression caractéristique du vent \(q_{w,k}\) 0.5 \(\text{kN/m}^2\)
Classe de service - 2 -
Classe de bois - C24 -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de compression de calcul \(N_d\).
  2. Calculer la charge linéique de vent de calcul \(q_d\).
  3. Vérifier la résistance du montant en compression simple.
  4. Vérifier la résistance du montant en flexion simple due au vent.
  5. Vérifier la stabilité du montant sous l'effet combiné de la compression et de la flexion (flambement).

Les bases du calcul bois (Eurocode 5)

Avant la correction, voici quelques concepts clés pour le dimensionnement du bois.

1. Valeurs de calcul vs. Valeurs caractéristiques :
Les charges données (Gk, Qk, qwk) sont "caractéristiques" (valeur statistique). Pour le calcul, on utilise des charges de "calcul" (ou pondérées) en appliquant des coefficients de sécurité : \(Charge_d = \gamma \cdot Charge_k\). Typiquement, \(\gamma_G=1.35\) pour les charges permanentes et \(\gamma_Q=1.5\) pour les variables. De même, la résistance du matériau est divisée par un coefficient \(\gamma_M\).

2. Le coefficient k_mod :
La résistance du bois dépend de la durée de la charge et de l'humidité. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) ajuste la résistance caractéristique. Pour une charge de vent (courte durée) en classe de service 2 (milieu humide), \(k_{\text{mod}}\) vaut 0.9. Pour les charges permanentes, il serait plus faible.

3. La vérification au flambement (flexion composée) :
Un poteau élancé peut flamber sous compression. La flexion due au vent aggrave ce risque. L'Eurocode 5 propose une formule d'interaction qui combine les taux de travail en compression et en flexion. La formule générale est : \[ \left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \cdot f_{c,0,d}} \right) + \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} \leq 1 \] Où \(k_{c,z}\) est un coefficient qui réduit la résistance en compression pour tenir compte du risque de flambement.

Correction : Dimensionnement d’un Mur à Ossature Bois

Question 1 : Calculer l'effort normal de compression de calcul (Nd)

Principe (le concept physique)

L'effort normal de calcul \(N_d\) est la charge verticale maximale que le montant doit pouvoir supporter en toute sécurité. On l'obtient en majorant les charges caractéristiques (permanentes Gk et d'exploitation Qk) par des coefficients de sécurité (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)). Cette pondération garantit une marge de sécurité contre les surcharges imprévues et les incertitudes sur les charges réelles.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul relève des "États Limites Ultimes" (ELU). Un ELU correspond à la ruine ou à une déformation excessive de la structure. Les coefficients \(\gamma\) sont définis dans l'Eurocode 0 (Bases de calcul des structures) et sont calibrés pour assurer un niveau de fiabilité cible pour la structure sur sa durée de vie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux coefficients de sécurité comme à une "assurance". On "sur-estime" volontairement les charges pour être certain que même dans les pires conditions (plus de neige que prévu, matériaux un peu moins résistants), la structure tiendra. Le coefficient est plus grand pour les charges variables (1.5) car elles sont plus incertaines que les charges permanentes (1.35).

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charges est définie par la formule 6.10 de la norme EN 1990 (Eurocode 0). Pour les bâtiments, la formule simplifiée \(1.35G_k + 1.5Q_k\) est la plus couramment utilisée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La combinaison de charges à l'État Limite Ultime (ELU) pour les charges de bâtiment est :

\[ N_d = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge d'exploitation \(Q_k\) est la charge variable de base. S'il y avait plusieurs charges variables (neige, etc.), la combinaison serait plus complexe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente, \(G_k = 3.0 \, \text{kN}\)
  • Charge d'exploitation, \(Q_k = 1.5 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut parfois utiliser une pondération globale approchée de 1.4 ou 1.5 sur la somme des charges, mais la méthode réglementaire est de pondérer chaque type de charge séparément, ce qui est plus précis.

Schéma (Avant les calculs)
Origine des Charges sur le Montant
Charges CaractéristiquesGk = 3.0Qk = 1.5Nd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de pondération. Il est pratique de garder les unités en kN pour le moment.

\[ \begin{aligned} N_d &= 1.35 \cdot (3.0 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (1.5 \, \text{kN}) \\ &= 4.05 \, \text{kN} + 2.25 \, \text{kN} \\ &= 6.30 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de Calcul Résultante
Nd = 6.3 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de calcul de 6.3 kN représente la descente de charge "ultime" que ce montant doit reprendre. C'est cette valeur, et non la somme des charges caractéristiques (4.5 kN), qui sera utilisée pour toutes les vérifications de résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de pondérer les charges ou d'utiliser les mauvais coefficients. Chaque type de charge (permanente, exploitation, neige, vent) a son propre coefficient \(\gamma_Q\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours distinguer charges caractéristiques (\(k\)) et charges de calcul (\(d\)).
  • Les calculs de résistance se font avec les charges de calcul.
  • La combinaison de base est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En plus des ELU (États Limites Ultimes) pour la résistance, les ingénieurs vérifient aussi les ELS (États Limites de Service). Ces calculs, faits avec des charges non pondérées, servent à vérifier le confort et l'aspect, par exemple en limitant la flèche d'un plancher pour éviter une sensation de souplesse.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le vent n'est-il pas inclus dans cette combinaison ?

L'Eurocode définit plusieurs combinaisons de charges. Celle-ci est la combinaison de base sans charge variable d'accompagnement. Quand le vent est la charge de base, la combinaison devient \(1.35 G_k + 1.5 Q_{w,k} + 1.5 \cdot \psi_0 \cdot Q_k\), où \(\psi_0\) est un facteur de simultanéité. Pour simplifier, l'exercice traite les effets séparément avant de les combiner dans la formule d'interaction.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal de compression de calcul est de 6.30 kN (soit 6300 N).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_k\) était de 4.0 kN, quel serait le nouvel effort \(N_d\) en kN ?

Question 2 : Calculer la charge linéique de vent de calcul (qd)

Principe (le concept physique)

La pression du vent (\(q_{w,k}\)) s'exerce sur toute la surface du mur. Chaque montant vertical reprend la charge de vent appliquée sur une "bande de chargement" correspondant à son entraxe. On transforme donc une pression (en kN/m²) en une charge linéique (en kN/m) en multipliant par cet entraxe. Ensuite, on pondère cette charge pour obtenir la valeur de calcul \(q_d\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La détermination de la pression du vent sur une façade est un processus complexe défini dans l'Eurocode 1-4. Elle dépend de la "vitesse de référence du vent" de la région, de la hauteur du bâtiment, de la rugosité du terrain (ville, campagne, bord de mer) et de coefficients de pression aérodynamique (\(c_p\)). La valeur de 0.5 kN/m² donnée ici est une simplification de ce calcul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez le mur comme une série de petites poutres verticales (les montants) posées côte à côte. Chacune doit supporter le vent qui souffle sur la moitié du panneau de chaque côté. C'est pourquoi la largeur de la "voile" que chaque montant doit retenir est égale à son entraxe.

Normes (la référence réglementaire)

La transformation d'une charge surfacique en charge linéique est une application de base de la statique. La pondération par \(\gamma_Q = 1.5\) est issue de l'Eurocode 0 pour les actions variables comme le vent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge linéique caractéristique :

\[ q_{w,k,\text{lin}} = q_{w,k} \cdot e \]

2. Charge linéique de calcul :

\[ q_d = 1.5 \cdot q_{w,k,\text{lin}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pression du vent est uniforme sur toute la hauteur du mur. En réalité, elle augmente légèrement avec l'altitude.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pression du vent, \(q_{w,k} = 0.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe des montants, \(e = 0.6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Si la pression est en kN/m² et l'entraxe en m, le résultat est en kN/m. Pour les calculs de flexion, il faudra souvent convertir en N/mm. L'astuce : 1 kN/m = 1 N/mm.

Schéma (Avant les calculs)
Transformation de la Pression du Vent
Vue de dessus du murEntraxe e = 0.6mBande de chargement
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge linéique caractéristique :

\[ \begin{aligned} q_{w,k,\text{lin}} &= q_{w,k} \cdot e \\ &= 0.5 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.6 \, \text{m} \\ &= 0.3 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge linéique de calcul :

\[ \begin{aligned} q_d &= 1.5 \cdot q_{w,k,\text{lin}} \\ &= 1.5 \cdot 0.3 \, \text{kN/m} \\ &= 0.45 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge Linéique sur le Montant
qd = 0.45 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le montant est donc soumis à une charge horizontale de 0.45 kN (45 kg) par mètre de hauteur. C'est cette charge qui va le faire fléchir entre le plancher et le plafond.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de multiplier par l'entraxe. Une erreur fréquente est d'appliquer directement la pression surfacique au calcul de flexion, ce qui est incorrect. Il faut aussi faire attention aux unités (kN/m² vs N/mm²).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La pression du vent (surfacique) est transformée en charge linéique sur les montants.
  • La largeur de reprise est l'entraxe des montants.
  • Le vent est une charge variable, donc pondérée par \(\gamma_Q = 1.5\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La pression du vent n'est pas toujours une "pression". Sur la façade au vent, c'est une pression, mais sur les façades latérales et la façade sous le vent, c'est une "dépression" (succion) qui tend à arracher le parement. Les calculs doivent tenir compte de ces deux effets.

FAQ (pour lever les doutes)
L'entraxe est-il toujours de 60 cm ?

C'est une valeur très courante car elle correspond à la largeur standard des panneaux d'isolant et des plaques de parement (plâtre, OSB). Cependant, pour des murs très hauts ou très chargés, l'ingénieur peut décider de réduire l'entraxe (ex: 40 cm) pour augmenter le nombre de montants et mieux répartir les charges.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge linéique de vent de calcul est de 0.45 kN/m (soit 450 N/m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe était de 40 cm (0.4 m), quelle serait la nouvelle charge \(q_d\) en kN/m ?

Question 3 : Vérifier la résistance en compression simple

Principe (le concept physique)

On vérifie que la contrainte de compression (\(\sigma_c\)) générée par l'effort normal \(N_d\) est inférieure à la résistance en compression du bois (\(f_c\)). La contrainte est simplement la force divisée par l'aire de la section. La résistance du bois est tirée des tables pour la classe C24, puis ajustée avec le coefficient \(k_{\text{mod}}\) et les coefficients de sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance \(f_{c,0,k}\) est la résistance "caractéristique" à la compression parallèle au fil du bois. Le bois est un matériau anisotrope : sa résistance est bien plus élevée dans le sens des fibres que perpendiculairement. La classe C24 indique un bois résineux avec une résistance caractéristique à la flexion de 24 MPa.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette première vérification est simple mais essentielle. Elle nous assure que le montant ne s'écraserait pas, même s'il n'y avait pas de risque de flambement. C'est une vérification de la "section" elle-même, indépendamment de la hauteur du montant.

Normes (la référence réglementaire)

Les propriétés des classes de résistance du bois (comme C24) sont données dans la norme EN 338. La formule de vérification \(\sigma_d \le f_d\) est le principe de base de tous les calculs de résistance aux ELU selon les Eurocodes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte de compression :

\[ \sigma_{c,0,d} = \frac{N_d}{A} \quad \text{avec} \quad A = b \cdot h \]

2. Résistance de calcul en compression :

\[ f_{c,0,d} = k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{c,0,k}}{\gamma_M} \]

3. Critère de vérification :

\[ \sigma_{c,0,d} \leq f_{c,0,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On ne considère pas encore le flambement. Cette vérification est purement une comparaison de la contrainte de section à la résistance du matériau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_d = 6300 \, \text{N}\) (de Q1)
  • Section : \(b = 45 \, \text{mm}\), \(h = 145 \, \text{mm}\)
  • Pour bois C24 : \(f_{c,0,k} = 21 \, \text{MPa}\)
  • Pour vent (courte durée) + classe de service 2 : \(k_{\text{mod}} = 0.9\)
  • Coefficient partiel pour le bois : \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Travaillez en N et mm. La force en N, les dimensions en mm. La contrainte calculée (\(N/mm^2\)) sera alors directement en MPa, ce qui est pratique pour la comparer à la résistance du matériau, toujours donnée en MPa.

Schéma (Avant les calculs)
Contrainte de Compression sur la Section
A = ?Nd = 6300 Nσ_c = N_d/A
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Aire de la section :

\[ \begin{aligned} A &= b \cdot h \\ &= 45 \, \text{mm} \cdot 145 \, \text{mm} \\ &= 6525 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Contrainte de calcul :

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,0,d} &= \frac{N_d}{A} \\ &= \frac{6300 \, \text{N}}{6525 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 0.97 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Résistance de calcul :

\[ \begin{aligned} f_{c,0,d} &= k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{c,0,k}}{\gamma_M} \\ &= 0.9 \cdot \frac{21 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.54 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification : \(0.97 \, \text{MPa} \leq 14.54 \, \text{MPa} \). La condition est vérifiée.

Schéma (Après les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
σ_c=0.97Résistance f_c,d=14.54 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le "taux de travail" en compression simple est de \(0.97 / 14.54 \approx 0.067\), soit seulement 6.7%. Cela signifie que la section est très largement surdimensionnée pour la seule compression. C'est normal, car la section est souvent dictée par d'autres critères (stabilité au flambement, isolation, etc.).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'appliquer le coefficient \(k_{\text{mod}}\) et de diviser par \(\gamma_M\). Utiliser la résistance caractéristique brute \(f_{c,0,k}\) conduirait à une surestimation dangereuse de la capacité du montant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de compression est \(\sigma = N/A\).
  • La résistance de calcul est \(f_d = k_{\text{mod}} \cdot f_k / \gamma_M\).
  • La vérification est \(\sigma_d \le f_d\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les bois de forte section ou le bois lamellé-collé, un coefficient de hauteur \(k_h\) peut être appliqué pour tenir compte du fait qu'une plus grande pièce a une probabilité plus élevée de contenir un défaut. Ce coefficient réduit légèrement la résistance en flexion pour les poutres de plus de 150 mm de hauteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie "C24" ?

"C" désigne les bois résineux (conifères). "24" correspond à la valeur de sa résistance caractéristique à la flexion en MPa. C'est l'une des classes de bois de structure les plus courantes en Europe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de compression (0.97 MPa) est bien inférieure à la résistance de calcul (14.54 MPa). Le montant résiste à la compression simple.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le bois était de classe C18 (\(f_{c,0,k} = 18\) MPa), quelle serait la nouvelle résistance de calcul \(f_{c,0,d}\) en MPa ?

Question 4 : Vérifier la résistance en flexion simple

Principe (le concept physique)

On vérifie que la contrainte de flexion (\(\sigma_m\)) générée par le vent (\(q_d\)) est inférieure à la résistance en flexion du bois (\(f_m\)). Le moment fléchissant maximal pour une charge répartie sur une poutre bi-articulée est \(qL^2/8\). La contrainte est ensuite calculée avec le module de flexion de la section \(W_y\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de flexion (ou module d'inertie) \(W\) est une propriété géométrique qui combine l'inertie \(I\) et la distance à la fibre la plus éloignée \(v\) (\(W=I/v\)). Il simplifie le calcul de la contrainte maximale en \(\sigma_{\text{max}} = M/W\). Pour une section rectangulaire, \(W = bh^2/6\). C'est une valeur très utilisée dans les formulaires de pré-dimensionnement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La logique est exactement la même que pour la compression : on compare ce que la structure "subit" (la contrainte \(\sigma_d\)) avec ce qu'elle "peut supporter" (la résistance \(f_d\)). L'art de l'ingénieur est de calculer correctement ces deux termes pour chaque type de sollicitation.

Normes (la référence réglementaire)

La formule du moment \(qL^2/8\) est un résultat standard de la Résistance des Matériaux pour une poutre sur deux appuis. Les valeurs de résistance en flexion (\(f_{m,k}\)) pour les classes de bois sont données dans la norme EN 338.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Moment de calcul :

\[ M_{y,d} = \frac{q_d \cdot H^2}{8} \]

2. Contrainte de flexion :

\[ \sigma_{m,y,d} = \frac{M_{y,d}}{W_y} \quad \text{avec} \quad W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

3. Résistance de calcul en flexion :

\[ f_{m,y,d} = k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M} \]

4. Critère :

\[ \sigma_{m,y,d} \leq f_{m,y,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le montant est considéré comme parfaitement articulé en tête et en pied, ce qui correspond au modèle de la poutre sur deux appuis simples.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q_d = 0.45 \, \text{N/mm}\) (de Q2, converti)
  • \(H = 2700 \, \text{mm}\)
  • Pour bois C24 : \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.9\), \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du module de flexion \(W_y\) est une étape clé. Une fois que vous l'avez, le calcul de la contrainte est très direct. Mémorisez la formule \(bh^2/6\) pour les sections rectangulaires, elle est extrêmement fréquente.

Schéma (Avant les calculs)
Moment et Contrainte de Flexion
M_max = qL²/8σ_m = M_max/W_y
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Moment de calcul :

\[ \begin{aligned} M_{y,d} &= \frac{q_d \cdot H^2}{8} \\ &= \frac{0.45 \, \text{N/mm} \cdot (2700 \, \text{mm})^2}{8} \\ &\approx 410063 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

2. Module de flexion :

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{b \cdot h^2}{6} \\ &= \frac{45 \, \text{mm} \cdot (145 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= 157781 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

3. Contrainte de flexion :

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,y,d} &= \frac{M_{y,d}}{W_y} \\ &= \frac{410063 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{157781 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 2.60 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Résistance de calcul :

\[ \begin{aligned} f_{m,y,d} &= k_{\text{mod}} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M} \\ &= 0.9 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 16.62 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

5. Vérification : \(2.60 \, \text{MPa} \leq 16.62 \, \text{MPa}\). La condition est vérifiée.

Schéma (Après les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance en Flexion
σ_m=2.60Résistance f_m,d=16.62 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le taux de travail en flexion est de \(2.60 / 16.62 \approx 0.156\), soit 15.6%. Comme pour la compression, la section est largement suffisante pour la flexion seule. La question clé est de savoir si elle résistera à la combinaison des deux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la flexion biaxiale ! Ici, le vent ne souffle que dans une direction (flexion autour de l'axe fort y-y). Si le montant était un poteau au milieu d'un bâtiment, il pourrait y avoir de la flexion autour des deux axes (y-y et z-z), ce qui nécessiterait des vérifications supplémentaires.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment max pour une charge répartie est \(qL^2/8\).
  • La contrainte de flexion est \(\sigma = M/W\).
  • Le module de flexion d'un rectangle est \(W = bh^2/6\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en I en acier, la quasi-totalité du moment de flexion est reprise par les contraintes de traction et de compression dans les semelles (les barres horizontales). L'âme (la barre verticale) sert principalement à reprendre l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la résistance en flexion (24 MPa) est-elle supérieure à celle en compression (21 MPa) ?

C'est une particularité du bois. En flexion, seule une petite partie des fibres (les plus extrêmes) atteint la contrainte maximale. Le reste de la section est moins sollicité. Le matériau peut donc supporter une contrainte maximale apparente plus élevée qu'en compression pure, où toutes les fibres sont sollicitées uniformément.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion (2.60 MPa) est bien inférieure à la résistance de calcul (16.62 MPa). Le montant résiste à la flexion simple.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur du montant \(H\) était de 3.0 m (3000 mm), quelle serait la nouvelle contrainte de flexion \(\sigma_{m,y,d}\) en MPa ?

Question 5 : Vérifier la stabilité (interaction compression + flexion)

Principe (le concept physique)

C'est la vérification ultime. On combine les "taux de travail" de la compression et de la flexion. Pour la compression, on tient compte du risque de flambement en réduisant la résistance par un facteur \(k_c\). Ce facteur dépend de l'élancement de la pièce (son rapport hauteur/épaisseur). La somme des taux de travail doit être inférieure à 1 pour que le dimensionnement soit validé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du coefficient de flambement \(k_c\) est basé sur la théorie d'Euler pour les poteaux. L'Eurocode 5 utilise une version modifiée qui prend en compte les imperfections initiales du bois (légère courbure, défauts). L'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) est un nombre sans dimension qui compare l'élancement réel de la pièce à un élancement de référence. Plus il est élevé, plus le risque de flambement est grand et plus \(k_c\) sera petit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous appuyez sur une règle en plastique. Au début, elle résiste. Mais si vous appuyez assez fort, elle va brusquement se courber sur le côté : c'est le flambement. Maintenant, imaginez que vous la courbez déjà un peu avec votre autre main (simulant le vent) avant d'appuyer. Elle flambera beaucoup plus facilement. La formule d'interaction quantifie cet effet combiné.

Normes (la référence réglementaire)

La formule d'interaction est donnée à la section 6.3.3 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). Il existe deux formules, une pour chaque direction de flambement. Ici, nous vérifions le flambement dans le plan du mur (flexion autour de l'axe faible z-z) combiné à la flexion due au vent (autour de l'axe fort y-y).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Élancement relatif :

\[ \lambda_{\text{rel},z} = \frac{\lambda_z}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} \quad \text{avec} \quad \lambda_z = \frac{L_{\text{ef}}}{i_z} \]

2. Facteurs de flambement :

\[ k_z = 0.5 \cdot (1 + \beta_c(\lambda_{\text{rel},z} - 0.3) + \lambda_{\text{rel},z}^2) \]
\[ k_{c,z} = \frac{1}{k_z + \sqrt{k_z^2 - \lambda_{\text{rel},z}^2}} \]

3. Formule d'interaction :

\[ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \cdot f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} \leq 1 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le montant n'est pas maintenu contre le flambement hors de son plan (par des entretoises ou un panneau de contreventement), ce qui est un cas défavorable mais prudent. La longueur de flambement est donc égale à la hauteur totale du montant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contraintes et résistances des Q3 & Q4
  • Pour bois C24 : \(E_{0,05} = 7400 \, \text{MPa}\)
  • Pour bois massif : \(\beta_c = 0.2\)
  • Longueur de flambement \(L_{\text{ef}} = H = 2700 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de \(k_{c,z}\) est long. Dans la pratique, les ingénieurs utilisent des logiciels ou des tableurs qui le font automatiquement. Pour une vérification manuelle, soyez très méthodique et faites attention aux carrés et racines carrées. Une petite erreur sur \(\lambda_{\text{rel}}\) aura un grand impact sur le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de l'Interaction
Domaine de StabilitéFlexionCompressionZone SûreNotre point ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Rayon de giration (\(i_z\)) :

\[ \begin{aligned} i_z &= \frac{b}{\sqrt{12}} \\ &= \frac{45 \, \text{mm}}{\sqrt{12}} \\ &\approx 13.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Élancement mécanique (\(\lambda_z\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_z &= \frac{L_{\text{ef}}}{i_z} \\ &= \frac{2700 \, \text{mm}}{13.0 \, \text{mm}} \\ &\approx 207.7 \end{aligned} \]

3. Élancement relatif (\(\lambda_{\text{rel},z}\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{\lambda_z}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} \\ &= \frac{207.7}{\pi} \sqrt{\frac{21 \, \text{MPa}}{7400 \, \text{MPa}}} \\ &\approx 3.52 \end{aligned} \]

4. Facteur intermédiaire (\(k_z\)) :

\[ \begin{aligned} k_z &= 0.5 \cdot (1 + \beta_c(\lambda_{\text{rel},z} - 0.3) + \lambda_{\text{rel},z}^2) \\ &= 0.5 \cdot (1 + 0.2(3.52 - 0.3) + 3.52^2) \\ &\approx 7.02 \end{aligned} \]

5. Facteur de réduction de flambement (\(k_{c,z}\)) :

\[ \begin{aligned} k_{c,z} &= \frac{1}{k_z + \sqrt{k_z^2 - \lambda_{\text{rel},z}^2}} \\ &= \frac{1}{7.02 + \sqrt{7.02^2 - 3.52^2}} \\ &\approx 0.076 \end{aligned} \]

6. Vérification de l'interaction :

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \cdot f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} &= \frac{0.97}{0.076 \cdot 14.54} + \frac{2.60}{16.62} \\ &= 0.878 + 0.156 \\ &= 1.034 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Point de Calcul
Domaine de StabilitéFlexion (0.156)Compression (0.878)Hors Zone ! (1.034)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est \(1.034\), ce qui est légèrement supérieur à 1. Strictement parlant, le montant n'est pas conforme. L'instabilité due au flambement (terme de compression) est prépondérante (0.878). Pour que le design soit acceptable, il faudrait soit utiliser une section de bois plus épaisse (ex: 60x145), soit réduire l'entraxe pour diminuer la charge de vent, soit ajouter des entretoises anti-flambement à mi-hauteur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur est de ne pas faire cette vérification d'interaction et de se contenter des vérifications simples en compression et flexion. Un élément peut très bien passer les deux premières vérifications séparément mais échouer à la vérification combinée, comme c'est le cas ici.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flexion composée (compression + flexion) est un cas de charge critique.
  • Le risque de flambement réduit considérablement la résistance en compression (\(k_c\)).
  • La formule d'interaction combine les taux de travail et la somme doit être \(\le 1\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet qui aggrave le flambement sous l'effet de la flexion est appelé "effet du second ordre". La charge axiale \(N_d\) agissant sur la poutre déjà déformée par le vent crée un moment supplémentaire (\(M_{II} = N_d \cdot f\)) qui augmente la déformation, qui à son tour augmente le moment, etc. La formule d'interaction est une manière simplifiée de prendre en compte cet effet.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le mur était contreventé par un panneau OSB ?

Si un panneau structural (comme de l'OSB) est cloué sur les montants, il empêche le flambement dans le plan du mur. La longueur de flambement \(L_{\text{ef}}\) autour de l'axe faible deviendrait nulle. Il faudrait alors vérifier le flambement hors du plan (autour de l'axe fort), mais comme la section est beaucoup plus rigide dans cette direction (\(h=145\) mm), le risque est quasi nul. Le panneau OSB est donc crucial pour la stabilité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le critère d'interaction donne 1.034 > 1.0. Le montant n'est pas stable au flambement et doit être redimensionné.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant le simulateur ci-dessous, trouvez l'épaisseur minimale (b) en mm pour que la valeur d'interaction soit juste inférieure à 1.0.

Outil Interactif : Stabilité du Montant

Modifiez les charges et la géométrie pour voir leur influence sur la stabilité du montant.

Paramètres d'Entrée
6.3 kN
0.50 kN/m²
45 mm
Résultats Clés
Taux de travail (Compression) -
Taux de travail (Flexion) -
Valeur d'Interaction (≤ 1.0) -

Le Saviez-Vous ?

Le plus haut bâtiment à structure bois du monde est la tour Mjøstårnet en Norvège. Culminant à 85.4 mètres, ses 18 étages sont entièrement construits en bois lamellé-collé et en bois lamellé-croisé (CLT), démontrant l'incroyable potentiel du bois comme matériau de construction pour les structures de grande hauteur.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la "classe de service" ?

La classe de service (1, 2 ou 3) définit l'environnement d'humidité dans lequel le bois sera utilisé. La classe 1 correspond à un intérieur chauffé et sec. La classe 2, utilisée ici, correspond à une structure sous abri mais non chauffée, où l'humidité peut être plus élevée (charpentes, murs extérieurs protégés). La classe 3 est pour l'extérieur. L'humidité affecte la résistance du bois, d'où son importance dans le calcul.

Pourquoi le flambement se produit-il autour de l'axe faible ?

Un élément fléchira toujours dans la direction où il est le plus facile de le plier, c'est-à-dire autour de son axe d'inertie le plus faible. Pour notre section de 45x145 mm, il est beaucoup plus facile de la faire plier dans la direction de son épaisseur de 45 mm que dans celle de sa hauteur de 145 mm. C'est pourquoi on calcule l'élancement avec le rayon de giration \(i_z\) (autour de l'axe z-z, l'axe faible).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour améliorer significativement la résistance au flambement d'un montant, la meilleure solution est...

2. Si le mur était situé dans un intérieur sec (Classe de Service 1), le coefficient k_mod serait plus élevé. Quel en serait l'impact ?

Eurocode 5
Norme européenne (EN 1995) qui régit la conception, le calcul et le dimensionnement des structures en bois. Elle définit les règles de sécurité, les propriétés des matériaux et les méthodes de vérification.
Flambement
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale. Au lieu de simplement s'écraser, l'élément a tendance à se courber brusquement sur le côté, provoquant une rupture prématurée.
k_mod
Coefficient de modification qui ajuste la résistance caractéristique du bois pour tenir compte de la classe de service (humidité) et de la durée d'application de la charge (permanente, vent, neige, etc.).
Dimensionnement d’un Mur à Ossature Bois

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