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Dimensionnement d’un Contreventement en Bois

Dimensionnement d’un Contreventement en Bois

Dimensionnement d’un Contreventement en Bois

Contexte : La Stabilité des Structures Bois face au Vent.

Dans la construction de bâtiments, en particulier pour les structures à ossature bois, la reprise des efforts horizontaux (dus principalement au vent et aux séismes) est un enjeu majeur de stabilité. Les portiques formés par les poteaux et les poutres sont souvent peu rigides horizontalement. Pour éviter leur déformation excessive, on met en place des systèmes de contreventementDispositif constructif (barres, panneaux) destiné à assurer la stabilité d'une structure en reprenant les efforts horizontaux et en empêchant les déformations.. La solution la plus courante est l'ajout de barres diagonales qui travaillent en traction ou en compression. Cet exercice vous propose de dimensionner une telle diagonale en bois, soumise à un effort de compression dû au vent, en vérifiant sa résistance au phénomène d'instabilité appelé le flambement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une problématique fondamentale de la conception de structures : la stabilité d'ensemble. Nous allons transformer une charge de surface (la pression du vent) en un effort ponctuel dans un élément de structure (la diagonale), puis vérifier que cet élément est capable de supporter cet effort sans flamber. C'est une démarche essentielle pour tout ingénieur structure, qui doit garantir que le bâtiment est stable dans toutes les directions.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la force du vent agissant sur une paroi de bâtiment.
  • Déterminer l'effort de compression dans une diagonale de contreventement par la statique.
  • Calculer l'élancement d'une barre comprimée en bois.
  • Vérifier la stabilité au flambement d'un élément en bois selon l'Eurocode 5.
  • Se familiariser avec les notions de classes de service et de coefficients de sécurité en construction bois.

Données de l'étude

On étudie un portique en bois de grande hauteur, situé dans une halle industrielle. Pour assurer sa stabilité dans le plan, un contreventement en croix de Saint-André est mis en place. On considère que seule la diagonale comprimée travaille. Le portique est soumis à un effort de vent horizontal. Les données du projet sont les suivantes :

Schéma du Portique de Contreventement
H = 7.0 m L = 5.0 m F_vent Diagonale Comprimée
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du portique \(H\) 7.0 \(\text{m}\)
Largeur du portique \(L\) 5.0 \(\text{m}\)
Force horizontale du vent \(F_{\text{vent}}\) 25 \(\text{kN}\)
Section de la diagonale \(b \times h\) 80 x 180 \(\text{mm}\)
Classe du bois Bois Lamellé-Collé GL24h -
Classe de service 1 (intérieur chauffé) -

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la diagonale et l'angle \(\alpha\) qu'elle forme avec l'horizontale.
  2. Déterminer l'effort normal de compression de calcul \(N_{c,d}\) dans la diagonale.
  3. Calculer l'élancement \(\lambda_y\) de la diagonale par rapport à son axe faible.
  4. Vérifier la stabilité au flambement de la diagonale selon l'Eurocode 5.

Les bases du Contreventement Bois

Avant de commencer la correction, rappelons quelques concepts essentiels pour le dimensionnement au flambement.

1. L'Effort dans la Diagonale :
En supposant les barres articulées, l'effort horizontal du vent est entièrement repris par la diagonale comprimée. Par simple trigonométrie à l'un des nœuds supérieurs, on peut relier la force du vent \(F_{\text{vent}}\) à l'effort axial \(N_d\) dans la barre : \[ N_d = \frac{F_{\text{vent}}}{\cos(\alpha)} \] où \(\alpha\) est l'angle de la diagonale avec l'horizontale.

2. Le Flambement :
Le flambement est un phénomène d'instabilité qui affecte les pièces longues et minces soumises à de la compression. Au lieu de s'écraser, la pièce se déforme brusquement de manière transversale. La capacité d'une pièce à résister au flambement dépend de son élancementRapport entre la longueur de flambement d'un poteau et son rayon de giration. Un grand élancement signifie que l'élément est susceptible de flamber., noté \(\lambda\), qui est le rapport entre sa longueur efficace et son "épaisseur" (caractérisée par le rayon de giration).

3. La Vérification selon l'Eurocode 5 :
La norme EC5 propose une méthode pour vérifier la stabilité. On calcule un élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) qui compare l'élancement de la pièce à celui d'une pièce de référence. À partir de là, on détermine un coefficient de réduction pour le flambement, \(k_c\), qui minare la résistance en compression du bois. La condition à vérifier est : \[ \sigma_{c,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d} \] où \(\sigma_{c,d}\) est la contrainte de compression appliquée et \(f_{c,0,d}\) est la résistance en compression du matériau.

Correction : Dimensionnement d’un Contreventement en Bois

Question 1 : Calculer la géométrie de la diagonale

Principe (le concept physique)

La première étape de tout calcul de structure est de définir précisément sa géométrie. Ici, la diagonale forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la hauteur H et la largeur L du portique. Nous utilisons le théorème de Pythagore pour trouver sa longueur et les relations trigonométriques de base pour trouver son angle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le théorème de Pythagore (\(a^2 + b^2 = c^2\)) est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle. En ingénierie, il est constamment utilisé pour déterminer les longueurs d'éléments obliques, comme les contreventements, les haubans ou les fermes de toiture. La trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) permet ensuite de décomposer les forces et les déplacements dans différentes directions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une échelle appuyée contre un mur. La hauteur du mur (H) et la distance du pied de l'échelle au mur (L) sont les deux côtés d'un triangle rectangle. La longueur de l'échelle est l'hypoténuse. Cet exercice revient simplement à calculer la longueur de l'échelle et son angle d'inclinaison. C'est un réflexe de base en mécanique.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme spécifique pour le calcul de la géométrie, car il s'agit de mathématiques pures. Cependant, toutes les normes de construction (y compris l'Eurocode) supposent que la géométrie du modèle de calcul correspond précisément à la réalité de la structure construite. Les dimensions utilisées doivent être les dimensions réelles des axes neutres des éléments.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Théorème de Pythagore et définition de la tangente :

\[ L_{\text{diag}} = \sqrt{H^2 + L^2} \]
\[ \tan(\alpha) = \frac{H}{L} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{H}{L}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le portique est parfaitement rectangulaire et que les diagonales relient précisément les coins (nœuds théoriques parfaits).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur du portique, \(H = 7.0 \, \text{m}\)
  • Largeur du portique, \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de calculer, vérifiez l'ordre de grandeur. L'hypoténuse est toujours le côté le plus long. Le résultat pour \(L_{\text{diag}}\) doit donc être supérieur à H (7.0 m) et L (5.0 m). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle Géométrique du Contreventement
H=7.0mL=5.0mL_diag = ?α = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la longueur de la diagonale :

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{7.0^2 + 5.0^2} \\ &= \sqrt{49 + 25} \\ &= \sqrt{74} \\ &\approx 8.60 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'angle \(\alpha\) :

\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan\left(\frac{7.0}{5.0}\right) \\ &= \arctan(1.4) \\ &\approx 54.46^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Géométrie Calculée
L_diag = 8.60 mα = 54.5°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs, la longueur et l'angle, sont fondamentales. La longueur sera utilisée pour le calcul du flambement (plus la barre est longue, plus elle est sensible au flambement). L'angle est crucial pour déterminer comment la force horizontale du vent se transforme en un effort de compression le long de la barre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians" ou "grades" pour le calcul de l'arc tangente. Une erreur ici fausserait complètement le calcul de l'effort à l'étape suivante.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La géométrie est la première étape de tout calcul de structure.
  • Utiliser Pythagore pour les longueurs et la trigonométrie pour les angles.
  • Ces valeurs géométriques conditionnent tous les calculs de forces et de stabilité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les charpentes traditionnelles en bois (colombages) sont un excellent exemple de l'utilisation intuitive de la triangulation pour la stabilité. Les pièces de bois obliques ne sont pas là pour la décoration, mais bien pour créer des triangles indéformables qui contreventent la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si le portique n'était pas rectangulaire (trapézoïdal) ?

Les calculs seraient un peu plus complexes. On ne pourrait plus utiliser directement le théorème de Pythagore. Il faudrait utiliser des relations trigonométriques plus avancées comme la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi) pour trouver la longueur de la diagonale et les angles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La diagonale a une longueur de 8.60 m et forme un angle de 54.46° avec l'horizontale.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le portique avait une hauteur de 6.0 m pour la même largeur de 5.0 m, quelle serait la nouvelle longueur de la diagonale (en m) ?

Question 2 : Déterminer l'effort de compression de calcul

Principe (le concept physique)

L'effort de compression dans la diagonale est l'effort qu'elle doit reprendre pour équilibrer la poussée du vent. En isolant le nœud supérieur du portique, on voit que la composante horizontale de la force dans la diagonale doit être égale à la force du vent. C'est une application directe du principe fondamental de la statique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le principe fondamental de la statique stipule que pour qu'un corps soit en équilibre, la somme vectorielle de toutes les forces qui s'exercent sur lui doit être nulle (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)). En projetant cette équation sur les axes horizontal (x) et vertical (y), on obtient deux équations scalaires (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)). C'est ce qu'on appelle l'équilibre d'un nœud, une méthode de base pour résoudre les efforts dans les structures en treillis.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous tirez un chariot avec une corde. Si vous tirez la corde horizontalement, toute votre force sert à faire avancer le chariot. Si vous tirez avec une corde inclinée vers le haut, seule une partie de votre force (la composante horizontale) fait avancer le chariot, l'autre partie le soulève inutilement. Ici, c'est l'inverse : la force du vent est horizontale, et la diagonale doit fournir un effort plus grand pour générer une composante horizontale suffisante.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 0 définit les bases du calcul des structures et les combinaisons d'actions. Ici, la force du vent est une action variable. Pour un calcul à l'État Limite Ultime (ELU), on utiliserait des coefficients de sécurité sur les charges. L'énoncé nous donne directement la force de calcul \(F_{\text{vent}} = 25 \, \text{kN}\), que l'on peut supposer être déjà pondérée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre horizontal du nœud supérieur :

\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow F_{\text{vent}} - N_{c,d} \cdot \cos(\alpha) = 0 \]
\[ N_{c,d} = \frac{F_{\text{vent}}}{\cos(\alpha)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les assemblages aux extrémités de la diagonale sont des articulations parfaites (rotules), qui ne transmettent donc pas de moment. On néglige également l'action de la seconde diagonale (celle qui serait tendue), une hypothèse courante et sécuritaire pour la vérification de l'élément comprimé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force du vent, \(F_{\text{vent}} = 25 \, \text{kN}\)
  • Angle de la diagonale, \(\alpha = 54.46^\circ\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque l'angle \(\alpha\) est supérieur à 45°, le cosinus sera inférieur à 0.707. On sait donc que l'effort dans la barre sera au moins \(1/0.707 \approx 1.4\) fois plus grand que la force du vent. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur du résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre du Nœud Supérieur
F_ventN_cd = ?V_poteau
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} N_{c,d} &= \frac{25 \, \text{kN}}{\cos(54.46^\circ)} \\ &= \frac{25}{0.581} \\ &\approx 43.01 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Effort Calculé dans la Diagonale
F=25kNN=43.01kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort dans la diagonale (43 kN, soit environ 4.3 tonnes) est significativement plus élevé que la force du vent elle-même (25 kN). C'est un résultat normal : plus la diagonale est "verticale" (angle \(\alpha\) élevé), plus l'effort nécessaire pour reprendre une poussée horizontale est grand. C'est pour cela que les contreventements sont idéalement inclinés autour de 45°.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser cosinus et sinus. Le cosinus est utilisé car nous projetons la force de la diagonale sur l'axe horizontal pour équilibrer la force du vent. Une inversion conduirait à un effort erroné et à un dimensionnement incorrect.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'effort dans une diagonale se trouve par l'équilibre statique d'un nœud.
  • La force dans la diagonale est (presque) toujours supérieure à la force horizontale qu'elle reprend.
  • L'angle de la diagonale est un paramètre de conception crucial pour l'efficacité du contreventement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les contreventements en "Croix de Saint-André", si les deux diagonales sont actives, elles se répartissent l'effort. La diagonale comprimée prend un effort Nc et la tendue un effort Nt. L'équilibre horizontal devient alors \( (Nc+Nt) \cdot \cos(\alpha) = F_{vent} \). Le calcul est plus complexe mais permet d'optimiser les sections.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'hypothèse de ne considérer que la diagonale comprimée est-elle sécuritaire ?

Parce que le mode de ruine le plus fragile et le plus complexe à calculer pour une barre élancée est le flambement, qui n'affecte que la compression. En attribuant tout l'effort à la barre comprimée, on la vérifie pour le cas le plus défavorable possible, garantissant ainsi la sécurité de l'ensemble.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal de compression de calcul dans la diagonale est de 43.01 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la force du vent était de 35 kN, quel serait le nouvel effort de compression (en kN) ?

Question 3 : Calculer l'élancement de la diagonale

Principe (le concept physique)

L'élancement \(\lambda\) est le critère qui mesure la "sveltesse" d'un élément comprimé. Il compare sa longueur de flambement (la distance entre deux points qui l'empêchent de se déplacer latéralement) à sa capacité à résister à la flexion (son rayon de giration, qui dépend du moment quadratique). Un élément long et fin aura un grand élancement et sera sensible au flambement. Le flambement se produira toujours dans la direction où la pièce est la plus "faible", c'est-à-dire autour de l'axe ayant le plus petit rayon de giration (et donc le plus petit moment quadratique).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le rayon de giration \(i = \sqrt{I/A}\) peut être vu comme la distance à l'axe à laquelle on pourrait concentrer toute l'aire de la section pour obtenir le même moment quadratique. C'est une mesure de l'efficacité de la forme de la section à résister au flambement. Pour une même aire, une section en I aura un rayon de giration beaucoup plus grand qu'une section carrée, car sa matière est répartie plus loin de son centre de gravité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez une règle plate. Essayez de la comprimer par ses extrémités. Elle va immédiatement se tordre dans sa direction la plus fine. C'est le flambement autour de l'axe faible. Si vous essayez de la faire flamber dans sa direction la plus "épaisse", c'est beaucoup plus difficile. Le calcul de l'élancement sert à quantifier cette différence et à toujours vérifier la stabilité dans le cas le plus défavorable.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (Annexe Nationale française) recommande de limiter l'élancement des pièces comprimées. Par exemple, pour les éléments de contreventement, il est souvent conseillé de ne pas dépasser un élancement de 200, bien que des valeurs supérieures puissent être justifiées par le calcul. Notre valeur de 186.2 est donc très élevée et proche des limites usuelles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'élancement est défini par :

\[ \lambda_y = \frac{l_k}{i_y} \]

Avec la longueur de flambement \(l_k = \beta \cdot L_{\text{diag}}\) (on prendra \(\beta=1.0\) pour une barre articulée aux deux bouts) et le rayon de giration \(i_y = \sqrt{I_y / A}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la barre est parfaitement rectiligne, que le matériau est homogène et que les liaisons aux extrémités sont des rotules parfaites dans toutes les directions, ce qui conduit à une longueur de flambement \(l_k\) égale à la longueur géométrique de la barre \(L_{\text{diag}}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section de la diagonale, \(b \times h = 80 \times 180 \, \text{mm}\)
  • Longueur de la diagonale, \(L_{\text{diag}} = 8.60 \, \text{m} = 8600 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une section rectangulaire, le rayon de giration se simplifie en \(i = b / \sqrt{12}\). Vous pouvez calculer \(80 / \sqrt{12} \approx 23.09\) mm directement. C'est plus rapide que de calculer l'aire et le moment quadratique séparément.

Schéma (Avant les calculs)
Section et Axe Faible de Flambement
Axe faible yh=180b=80Flambement
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des propriétés de la section (le flambement se produit autour de l'axe faible, donc l'axe y, où la dimension est b=80mm) :

\[ \begin{aligned} A &= b \cdot h \\ &= 80 \cdot 180 \\ &= 14400 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{h \cdot b^3}{12} \\ &= \frac{180 \cdot 80^3}{12} \\ &= 7680000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul du rayon de giration :

\[ \begin{aligned} i_y &= \sqrt{\frac{I_y}{A}} \\ &= \sqrt{\frac{7680000}{14400}} \\ &\approx 23.09 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de l'élancement (avec \(l_k = L_{\text{diag}}\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_y &= \frac{l_k}{i_y} \\ &= \frac{8600}{23.09} \\ &\approx 186.2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Élancement Calculé
λ_y = 186.2
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un élancement de 186.2 est une valeur très élevée qui signale un risque de flambement majeur. La barre est très "svelte" par rapport à sa longueur. On peut s'attendre à ce que sa résistance effective en compression soit très fortement réduite par rapport à la résistance intrinsèque du matériau. La vérification à l'étape 4 confirmera probablement que la section est insuffisante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper d'axe pour le calcul du moment quadratique. Il faut toujours identifier l'axe faible, celui autour duquel la pièce va flamber. Pour une section rectangulaire, c'est l'axe parallèle à la plus grande dimension, et le moment quadratique se calcule avec la plus petite dimension au cube.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement \(\lambda\) mesure la sveltesse d'une barre comprimée.
  • Il se calcule toujours par rapport à l'axe faible de la section.
  • Une valeur d'élancement élevée (> 150) indique un fort risque de flambement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poteaux très longs, comme les mâts d'éclairage ou les pylônes, on utilise souvent des sections tubulaires (circulaires ou carrées). Pour une même quantité de matière (même aire), un tube a un rayon de giration beaucoup plus grand qu'une section pleine, ce qui le rend bien plus résistant au flambement.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la barre est bloquée au milieu dans une direction ?

Si un support intermédiaire empêche la barre de se déplacer dans la direction faible (par exemple, un autre élément de charpente fixé en son milieu), alors la longueur de flambement \(l_k\) dans cette direction est divisée par deux. L'élancement est donc divisé par deux, ce qui augmente considérablement la stabilité de la barre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement de la diagonale par rapport à son axe faible est de 186.2.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on choisissait une section plus large de 100x180 mm, quel serait le nouvel élancement ?

Question 4 : Vérifier la stabilité au flambement

Principe (le concept physique)

Cette dernière étape consiste à comparer la contrainte de compression agissant sur la barre à sa résistance, mais en réduisant cette dernière pour tenir compte du risque de flambement. Plus l'élancement est grand, plus la réduction (via le coefficient \(k_c\)) sera sévère. Si la contrainte appliquée reste inférieure à la résistance réduite, la barre est considérée comme stable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de l'Eurocode 5 est une approche semi-empirique basée sur la courbe de flambement d'Euler, mais modifiée pour prendre en compte les imperfections réelles des matériaux et de la géométrie (bois pas parfaitement droit, charges légèrement excentrées, etc.). Le facteur \(\beta_c\) représente ces imperfections. L'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) normalise l'élancement de la barre par rapport à la limite élastique et au module d'élasticité du matériau, permettant une approche unifiée pour différents matériaux.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le coefficient \(k_c\) est comme un "malus" de performance. Une barre courte et trapue a un \(k_c\) proche de 1, elle peut donc utiliser presque 100% de sa résistance à la compression. Notre barre, très élancée, a un \(k_c\) de 0.107. Cela signifie qu'elle perd presque 90% de sa capacité à cause du risque de flambement ! Elle se "pliera" bien avant que le matériau ne s'écrase.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul est tirée de l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1). Les propriétés du bois GL24h sont : \(f_{c,0,k} = 24 \, \text{MPa}\) et \(E_{0,05} = 9.6 \, \text{GPa}\). Pour une classe de service 1 et une action de vent (court terme), le coefficient de modification est \(k_{\text{mod}} = 0.9\). Le coefficient partiel de sécurité sur le matériau est \(\gamma_M = 1.3\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La vérification est : \(\sigma_{c,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d}\). On calcule successivement :

\[ f_{c,0,d} = k_{\text{mod}} \frac{f_{c,0,k}}{\gamma_M} \]
\[ \lambda_{\text{rel,y}} = \frac{\lambda_y}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} \]
\[ k_y = 0.5 \left(1 + \beta_c (\lambda_{\text{rel,y}} - 0.3) + \lambda_{\text{rel,y}}^2\right) \]
\[ k_c = \frac{1}{k_y + \sqrt{k_y^2 - \lambda_{\text{rel,y}}^2}} \]

Pour le bois massif et lamellé-collé, le facteur d'imperfection est \(\beta_c = 0.2\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique le modèle de calcul de l'Eurocode 5, en supposant que toutes ses conditions d'application sont remplies (qualité du matériau, conditions de mise en œuvre, etc.).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de compression, \(N_{c,d} = 43010 \, \text{N}\)
  • Aire de la section, \(A = 14400 \, \text{mm}^2\)
  • Élancement, \(\lambda_y = 186.2\)
  • Propriétés du matériau : \(f_{c,0,k}=24\) MPa, \(E_{0,05}=9600\) MPa, \(k_{\text{mod}}=0.9\), \(\gamma_M=1.3\), \(\beta_c=0.2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de \(k_c\) est long. En pratique, les ingénieurs utilisent des tableaux ou des logiciels qui donnent directement \(k_c\) en fonction de l'élancement \(\lambda\). Pour un calcul manuel, il est crucial de ne pas faire d'erreur d'arrondi dans les étapes intermédiaires, car elles peuvent avoir un impact important sur le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Courbe de Flambement de l'Eurocode 5
Élancement relatif λ_relCoeff. de réduction k_c1.0Notre barre ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte et résistance de calcul :

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,d} &= \frac{N_{c,d}}{A} \\ &= \frac{43010 \, \text{N}}{14400 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 2.99 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{c,0,d} &= k_{\text{mod}} \frac{f_{c,0,k}}{\gamma_M} \\ &= 0.9 \cdot \frac{24}{1.3} \\ &\approx 16.62 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Éancement relatif :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel,y}} &= \frac{186.2}{\pi} \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} \\ &= \frac{186.2}{\pi} \sqrt{\frac{24}{9600}} \\ &= 59.27 \cdot 0.05 \\ &= 2.96 \end{aligned} \]

3. Facteurs intermédiaires :

\[ \begin{aligned} k_y &= 0.5 \left(1 + \beta_c (\lambda_{\text{rel,y}} - 0.3) + \lambda_{\text{rel,y}}^2\right) \\ &= 0.5 \left(1 + 0.2 (2.96 - 0.3) + 2.96^2\right) \\ &\approx 5.15 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k_c &= \frac{1}{k_y + \sqrt{k_y^2 - \lambda_{\text{rel,y}}^2}} \\ &= \frac{1}{5.15 + \sqrt{5.15^2 - 2.96^2}} \\ &\approx 0.107 \end{aligned} \]

4. Vérification finale :

\[ \sigma_{c,d} \le k_c \cdot f_{c,0,d} \]
\[ 2.99 \, \text{MPa} \le 0.107 \cdot 16.62 \, \text{MPa} \]
\[ 2.99 \, \text{MPa} > 1.78 \, \text{MPa} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur la Courbe de Flambement
Élancement relatif λ_relContrainte σ (MPa)f_cd=16.6λ_rel=2.96σ_adm=1.78σ_d=2.99 (NON OK)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de stabilité n'est pas respectée (2.99 > 1.78). La contrainte appliquée est presque deux fois supérieure à la contrainte de flambement admissible. Cela signifie que la diagonale choisie (80x180 mm) est beaucoup trop élancée pour sa longueur et l'effort qu'elle doit reprendre. Elle risquerait de flamber sous l'effet du vent de calcul. L'ingénieur doit donc redimensionner cet élément, en augmentant sa section (par exemple en augmentant la largeur 'b' à 100 ou 120 mm) pour réduire son élancement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur serait d'oublier de faire la vérification au flambement et de se contenter de comparer la contrainte de compression (2.99 MPa) à la résistance du matériau (16.62 MPa). On conclurait à tort que la barre est très sûre, alors qu'en réalité, elle est instable. Pour un élément comprimé, la vérification au flambement est presque toujours l'étape la plus importante.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La stabilité au flambement est la vérification clé pour les éléments comprimés.
  • La résistance est réduite par un coefficient \(k_c\) qui dépend de l'élancement.
  • La vérification finale est \(\sigma_{\text{appliquée}} \le \sigma_{\text{admissible\_flambement}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le pont de Québec s'est effondré deux fois durant sa construction au début du 20ème siècle, en grande partie à cause de phénomènes de flambement mal anticipés dans les gigantesques membrures comprimées en acier. Ces catastrophes ont grandement fait progresser la recherche et la compréhension de l'instabilité des structures.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre \(f_{c,0,k}\) et \(f_{c,0,d}\) ?

\(f_{c,0,k}\) est la résistance "caractéristique" du matériau. C'est une valeur statistique (quantile 5%) donnée par les normes. \(f_{c,0,d}\) est la résistance "de calcul" (design). On l'obtient en divisant la valeur caractéristique par un coefficient de sécurité (\(\gamma_M\)) et en la multipliant par des facteurs de correction (\(k_{\text{mod}}\)) qui tiennent compte de la durée de la charge et de l'humidité. C'est cette valeur de calcul que l'on utilise pour les vérifications.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification au flambement n'est pas satisfaite (2.99 MPa > 1.78 MPa). La section de la diagonale est insuffisante.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour que la vérification passe tout juste (\(\sigma_{c,d} = \sigma_{\text{adm}}\)), quel devrait être le coefficient de flambement \(k_c\) minimal requis ?

Outil Interactif : Stabilité au Flambement

Modifiez les paramètres de la diagonale pour voir leur influence sur la sécurité au flambement.

Paramètres d'Entrée
25 kN
7.0 m
80 mm
Résultats Clés
Élancement (\(\lambda_y\)) -
Taux de travail (\(\sigma_{c,d} / \sigma_{\text{adm}}\)) -
Stabilité -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé, utilisé dans cet exercice, est un matériau d'ingénierie inventé au début du 20ème siècle. Il permet de fabriquer des pièces de bois de très grandes dimensions et de formes complexes (arcs, poutres courbes) impossibles à réaliser avec du bois massif. Les plus grandes structures en bois du monde, comme le Mjøstårnet en Norvège (plus haut bâtiment en bois du monde), utilisent massivement cette technologie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne considère-t-on que la diagonale comprimée ?

Dans un système en croix de Saint-André, les diagonales sont souvent des éléments élancés. Sous un effort de traction, elles travaillent très bien. En revanche, sous un effort de compression, elles risquent de flamber et de perdre toute leur rigidité. L'hypothèse simplificatrice et sécuritaire consiste donc à considérer que seule la diagonale tendue travaille (si elles sont très fines) ou que seule la comprimée travaille (si elles sont plus robustes et que le flambement est le mode de ruine principal à vérifier).

Qu'est-ce que la "longueur de flambement" ?

C'est la longueur effective de la barre qui participe au flambement. Pour une barre parfaitement articulée à ses deux extrémités (comme on le suppose ici), la longueur de flambement est égale à sa longueur réelle. Si les extrémités étaient encastrées, la barre serait mieux tenue et sa longueur de flambement serait réduite (0.5 fois sa longueur), la rendant beaucoup plus stable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour améliorer la résistance au flambement d'une barre en bois de section 80x180mm, il est plus efficace de...

2. Si la force du vent double, la contrainte de compression dans la diagonale...

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité d'une structure soumise à un effort de compression, qui se manifeste par une déformation transversale importante et soudaine. C'est le mode de ruine principal des éléments élancés.
Élancement
Nombre sans dimension qui caractérise la "sveltesse" d'une pièce comprimée. Il est le rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration de la section.
Eurocode 5
Norme européenne (EN 1995) qui régit la conception et le calcul des structures en bois. Elle définit les méthodes de calcul, les propriétés des matériaux et les exigences de sécurité.
Dimensionnement d’un Contreventement en Bois

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