Convection dans un salon résidentiel

Exercice: Convection Thermique dans un Salon

Étude de la Convection Thermique dans un Salon Résidentiel

Contexte : Le chauffage d'une pièce par convection naturelleMouvement d'un fluide (comme l'air) causé par des différences de densité dues à des variations de température. L'air chaud, moins dense, monte, et l'air froid, plus dense, descend..

En thermique du bâtiment, comprendre les transferts de chaleur est essentiel pour assurer le confort des occupants et optimiser l'efficacité énergétique. L'un des modes de transfert prédominants à l'intérieur d'une pièce est la convection. Cet exercice se concentre sur le calcul des déperditions thermiques d'un radiateur dans un salon, un phénomène piloté par la convection naturelle. Nous analyserons comment l'air chauffé par le radiateur se déplace et cède sa chaleur à l'environnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application de concepts fondamentaux de la mécanique des fluides et des transferts thermiques (nombres de Rayleigh, Nusselt) à un cas pratique et concret de l'ingénierie du bâtiment.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le coefficient de transfert thermique par convection (h).
Déterminer le flux de chaleur et la puissance thermique perdue par une surface.
Comprendre l'influence de l'écart de température sur les pertes convectives.
Visualiser et interpréter une boucle de convection dans une pièce.

Données de l'étude

On étudie un salon dont un mur est équipé d'un radiateur à eau chaude. L'objectif est de quantifier la chaleur transmise à l'air ambiant par ce radiateur via la convection naturelle.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Dimensions du radiateur (Hauteur x Largeur)	0.6 m x 1.5 m
Température de surface du radiateur	50 °C
Température de l'air ambiant du salon	20 °C

Schéma de la situation étudiée

Propriété de l'air (à 35°C)	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	\(\rho\)	1.145	\(\text{kg/m}^3\)
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.655 \times 10^{-5}\)	\(\text{m}^2\text{/s}\)
Conductivité thermique	\(\lambda\)	0.0262	\(\text{W/(m·K)}\)
Nombre de Prandtl	\(Pr\)	0.71	-
Coefficient de dilatation thermique	\(\beta\)	\(3.25 \times 10^{-3}\)	\(\text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

Calculer le nombre de Rayleigh (\(Ra\)) pour l'écoulement de l'air le long du radiateur.
En utilisant la corrélation simplifiée pour une plaque verticale, déterminer le nombre de Nusselt (\(Nu\)).
En déduire le coefficient de transfert thermique par convection (\(h\)).
Calculer la puissance thermique totale (\(\Phi\)) perdue par le radiateur par convection.
Décrire qualitativement le mouvement de l'air (boucle de convection) généré dans le salon.

Les bases sur la Convection Naturelle

La convection naturelle est un transfert de chaleur qui implique le mouvement d'un fluide (ici, l'air) provoqué par des variations de sa masse volumique, elles-mêmes dues à des changements de température. L'air chauffé devient moins dense et monte, tandis que l'air plus froid, plus dense, descend, créant ainsi un courant de convection.

1. Nombres Adimensionnels Clés
Pour caractériser ce phénomène, on utilise des nombres sans dimension :

Nombre de Grashof (\(Gr\)): Compare les forces de flottabilité (moteur de la convection) aux forces visqueuses (qui freinent le mouvement).
Nombre de Rayleigh (\(Ra\)): Produit de Grashof et Prandtl, il indique si l'écoulement est laminaire ou turbulent. \( Ra = Gr \cdot Pr \).
Nombre de Nusselt (\(Nu\)): Rapport entre le transfert de chaleur par convection et le transfert par conduction. Il permet de calculer le coefficient d'échange \(h\).

2. Loi de Refroidissement de Newton
La puissance thermique (\(\Phi\)) échangée par convection entre une surface et un fluide est donnée par : \[ \Phi = h \cdot S \cdot (T_{\text{p}} - T_{\infty}) \] Où \(h\) est le coefficient d'échange par convection, \(S\) la surface d'échange, \(T_{\text{p}}\) la température de la paroi et \(T_{\infty}\) la température du fluide loin de la paroi.

Correction : Convection Thermique dans un Salon Résidentiel

Question 1 : Calculer le nombre de Rayleigh (\(Ra\))

Principe

Le nombre de Rayleigh est crucial car il nous renseigne sur le régime de l'écoulement convectif. Un \(Ra\) faible indique un écoulement laminaire (calme et régulier), tandis qu'un \(Ra\) élevé (\(> 10^9\)) signale un écoulement turbulent (agité et chaotique). Ce nombre va conditionner le choix de la formule pour calculer le transfert de chaleur.

Mini-Cours

Le nombre de Rayleigh (\(Ra\)) est le produit de deux autres nombres adimensionnels : le nombre de Grashof (\(Gr\)), qui représente le rapport des forces de flottabilité sur les forces visqueuses, et le nombre de Prandtl (\(Pr\)), qui lie la diffusivité de quantité de mouvement à la diffusivité thermique. Ensemble, ils décrivent complètement le phénomène de convection naturelle.

Remarque Pédagogique

La première étape dans tout problème de convection naturelle est presque toujours le calcul du nombre de Rayleigh. C'est le diagnostic qui oriente toute la suite de la résolution. Prenez l'habitude de le calculer avec soin.

Normes

Bien que ce calcul soit fondamental, les normes thermiques du bâtiment (comme la RE2020 en France ou les standards ISO) fournissent souvent des coefficients d'échange convectif forfaitaires pour des situations standards afin de simplifier les calculs réglementaires. L'approche détaillée ici est celle de l'ingénieur thermicien pour une étude précise.

Formule(s)

Formule du nombre de Rayleigh

Ra_L = \frac{g \cdot \beta \cdot (T_{\text{p}} - T_{\infty}) \cdot L^3}{\nu^2} \cdot Pr

Hypothèses

On considère le radiateur comme une plaque plane verticale. Les propriétés de l'air sont évaluées à la température de film, \(T_f = (T_{\text{p}} + T_{\infty})/2 = (50+20)/2 = 35^\circ \text{C}\).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs suivantes pour le calcul :

\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(\beta = 3.25 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}\)
\(T_{\text{p}} = 50 \, ^\circ \text{C}\), \(T_{\infty} = 20 \, ^\circ \text{C}\) \(\Rightarrow (T_{\text{p}} - T_{\infty}) = 30 \, \text{K}\)
\(L = 0.6 \, \text{m}\)
\(\nu = 1.655 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\text{/s}\)
\(Pr = 0.71\)

Astuces

Pour un gaz parfait comme l'air, on peut estimer \(\beta \approx 1/T_f\) avec \(T_f\) en Kelvin. Ici, \(T_f = 35 + 273.15 = 308.15 \, \text{K}\). Donc \(\beta \approx 1/308.15 \approx 3.245 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}\), ce qui est très proche de la valeur fournie. C'est une bonne vérification rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Dimensions et températures pour le calcul

Calcul(s)

Calcul du nombre de Rayleigh

\begin{aligned} Ra_L &= \frac{9.81 \cdot (3.25 \times 10^{-3}) \cdot (30) \cdot (0.6)^3}{(1.655 \times 10^{-5})^2} \cdot 0.71 \\ &= \frac{0.207}{2.739 \times 10^{-10}} \cdot 0.71 \\ &= (7.56 \times 10^8) \cdot 0.71 \\ &\approx 5.37 \times 10^8 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du régime d'écoulement

Réflexions

La valeur du nombre de Rayleigh (\(5.37 \times 10^8\)) est inférieure à \(10^9\). Cela indique que le régime d'écoulement de l'air le long du radiateur est principalement laminaire. Cette information est essentielle pour choisir la bonne corrélation de Nusselt à l'étape suivante.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier que la longueur caractéristique \(L\) est à la puissance 3, ce qui rend le calcul très sensible à cette dimension. Une petite erreur sur L aura un impact énorme sur Ra. Assurez-vous aussi que toutes les unités sont cohérentes (Système International).

Points à retenir

À retenir : Le nombre de Rayleigh est le critère de départ pour analyser la convection naturelle. Il combine les effets de la flottabilité, de la viscosité et de la diffusivité thermique pour déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent.

Le saviez-vous ?

Le nombre de Rayleigh porte le nom de Lord Rayleigh, un physicien britannique qui a fait d'importantes contributions à la dynamique des fluides, à l'optique et à l'acoustique. Il a reçu le prix Nobel de physique en 1904 pour sa découverte de l'argon.

FAQ

Résultat Final

Le nombre de Rayleigh est d'environ \(5.37 \times 10^8\).

A vous de jouer

Que deviendrait le nombre de Rayleigh si on utilisait un radiateur deux fois plus haut (L=1.2m), toutes choses égales par ailleurs ?

Question 2 : Déterminer le nombre de Nusselt (\(Nu\))

Principe

Le nombre de Nusselt représente l'amélioration du transfert de chaleur par convection par rapport à la conduction pure. Une fois \(Ra\) connu, on peut utiliser des corrélations empiriques (formules issues de l'expérience) pour trouver \(Nu\).

Mini-Cours

Les corrélations de Nusselt sont des formules empiriques qui lient le nombre de Nusselt au nombre de Rayleigh (et parfois de Prandtl). Elles dépendent fortement de la géométrie (plaque verticale, cylindre horizontal, etc.) et du régime d'écoulement (laminaire/turbulent). Pour une même géométrie, il existe différentes formules selon la plage de validité du nombre de Rayleigh.

Remarque Pédagogique

Voyez les corrélations comme des "recettes" développées en laboratoire. Notre travail d'ingénieur est de choisir la bonne recette (la bonne formule) en fonction des ingrédients (géométrie, régime d'écoulement identifié par Ra).

Normes

Les manuels de transfert de chaleur (comme le "Fundamentals of Heat and Mass Transfer" d'Incropera & DeWitt) sont les références principales pour trouver la corrélation de Nusselt la plus adaptée à une géométrie et un régime d'écoulement donnés.

Formule(s)

Corrélation de Nusselt pour plaque verticale laminaire

Nu_L = 0.59 \cdot Ra_L^{1/4}

Hypothèses

Nous nous basons sur le résultat de la question 1, qui a montré que l'écoulement est dans le domaine laminaire (\(10^4 < Ra_L < 10^9\)), ce qui valide l'utilisation de cette formule.

Donnée(s)

La seule donnée d'entrée pour cette question est le résultat de la précédente :

\(Ra_L \approx 5.37 \times 10^8\)

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre Rayleigh et Nusselt

Calcul(s)

Calcul du nombre de Nusselt

\begin{aligned} Nu_L &= 0.59 \cdot (5.37 \times 10^8)^{1/4} \\ &= 0.59 \cdot (152.16) \\ &\approx 89.77 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Rapport Convection / Conduction

Réflexions

Un Nusselt de ~90 signifie que le transfert de chaleur par convection est 90 fois plus efficace que si l'air était immobile et que la chaleur se propageait uniquement par conduction. Cela montre bien l'importance du mouvement de l'air dans le transfert thermique.

Points de vigilance

Le choix de la corrélation pour \(Nu\) est critique. Utiliser une formule pour régime turbulent alors que l'écoulement est laminaire conduirait à une surestimation importante du transfert de chaleur. Il faut toujours vérifier le domaine de validité de la formule par rapport à la valeur de \(Ra\).

Points à retenir

À retenir : Le nombre de Nusselt est un pont entre la dynamique des fluides (via Ra) et le transfert de chaleur concret (via h). C'est une mesure de l'efficacité de la convection.

Le saviez-vous ?

Ernst Nusselt était un ingénieur allemand pionnier dans le domaine du transfert de chaleur. Il a introduit ce nombre adimensionnel en 1915 pour simplifier l'étude de la convection.

FAQ

Résultat Final

Le nombre de Nusselt est d'environ 89.77.

A vous de jouer

En utilisant la même formule, quel serait le Nusselt si le Rayleigh était de \(1 \times 10^7\) ?

Question 3 : En déduire le coefficient de transfert par convection (\(h\))

Principe

Le coefficient de convection \(h\) est la clé pour quantifier l'échange de chaleur. Il dépend de la nature du fluide, de la géométrie de la surface et des conditions de l'écoulement. Le nombre de Nusselt nous permet de le calculer directement.

Mini-Cours

\(h\), aussi appelé coefficient d'échange thermique surfacique, représente la quantité de chaleur transférée par unité de surface, par unité de temps, et par degré d'écart de température entre la surface et le fluide. Son unité, le \(\text{W/(m}^2\text{·K)}\), reflète bien cette définition.

Remarque Pédagogique

C'est ici que l'on passe des nombres adimensionnels théoriques (\(Ra, Nu\)) à une grandeur physique tangible et utilisable par l'ingénieur (\(h\)). C'est le but final des étapes précédentes.

Formule(s)

Formule du coefficient de convection h

h = \frac{Nu_L \cdot \lambda}{L}

Hypothèses

Les hypothèses restent les mêmes que précédemment : plaque plane verticale, propriétés de l'air à la température de film.

Donnée(s)

Nous utilisons les données suivantes :

\(Nu_L \approx 89.77\)
\(\lambda = 0.0262 \, \text{W/(m·K)}\)
\(L = 0.6 \, \text{m}\)

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres pour le calcul de h

Calcul(s)

Calcul du coefficient de convection h

\begin{aligned} h &= \frac{89.77 \cdot 0.0262}{0.6} \\ &\approx 3.92 \, \text{W/(m}^2\text{·K)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de h

Réflexions

Un coefficient de convection de \(3.92 \, \text{W/(m}^2\text{·K)}\) est une valeur typique pour de la convection naturelle dans l'air. À titre de comparaison, en convection forcée (avec un ventilateur), ce coefficient pourrait être 10 à 100 fois plus élevé. Pour l'eau liquide, il serait encore bien plus grand.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la conductivité thermique du fluide \(\lambda\) [\(\text{W/(m·K)}\)] avec le coefficient de convection \(h\) [\(\text{W/(m}^2\text{·K)}\)]. Leurs unités sont proches mais ils représentent des phénomènes différents (conduction vs. convection).

Points à retenir

À retenir : La formule \(h = (Nu \cdot \lambda) / L\) est le passage obligé pour transformer le nombre de Nusselt en un coefficient de convection utilisable pour les calculs de puissance.

Résultat Final

Le coefficient de transfert thermique par convection est \(h \approx 3.92 \, \text{W/(m}^2\text{·K)}\).

A vous de jouer

Si le fluide était différent et que sa conductivité \(\lambda\) était de \(0.05 \, \text{W/(m·K)}\), que deviendrait \(h\) (avec le même Nu) ?

Question 4 : Calculer la puissance thermique totale (\(\Phi\))

Principe

Maintenant que nous avons le coefficient d'échange \(h\), nous pouvons calculer la quantité totale de chaleur (en Watts) que le radiateur transfère à l'air par unité de temps, en utilisant la loi de refroidissement de Newton.

Mini-Cours

La loi de refroidissement de Newton est une loi phénoménologique qui postule que le taux de perte de chaleur d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et son environnement. Le coefficient de proportionnalité est le produit \(h \cdot S\).

Formule(s)

Loi de refroidissement de Newton

\Phi = h \cdot S \cdot (T_{\text{p}} - T_{\infty})

Donnée(s)

Nous utilisons les données suivantes :

\(h \approx 3.92 \, \text{W/(m}^2\text{·K)}\)
\(\text{Hauteur} = 0.6 \, \text{m}\)
\(\text{Largeur} = 1.5 \, \text{m}\)
\((T_{\text{p}} - T_{\infty}) = 30 \, \text{K}\)

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres pour le calcul de la puissance

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surface S

\begin{aligned} S &= \text{Hauteur} \times \text{Largeur} \\ &= 0.6 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 0.9 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance \(\Phi\)

\begin{aligned} \Phi &= h \cdot S \cdot (T_{\text{p}} - T_{\infty}) \\ &= 3.92 \cdot 0.9 \cdot 30 \\ &\approx 105.8 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Flux de chaleur émis par le radiateur

Réflexions

Une puissance de \(106 \, \text{W}\) représente l'énergie émise par le radiateur uniquement par convection. En réalité, un radiateur émet aussi de la chaleur par rayonnement (souvent autant, voire plus). La puissance totale du radiateur serait donc la somme des puissances convective et radiative.

Points à retenir

À retenir : La puissance thermique est le résultat final recherché. Elle dépend de trois facteurs : l'efficacité de l'échange (\(h\)), la taille de la surface d'échange (\(S\)), et la différence de température (\(\Delta T\)), qui est le "moteur" du transfert.

Le saviez-vous ?

Le terme "radiateur" est un peu trompeur. Les anciens radiateurs en fonte transmettaient une grande partie de leur chaleur par rayonnement. Les "convecteurs" modernes, eux, sont conçus pour maximiser le transfert par convection en faisant circuler l'air à travers des ailettes.

Résultat Final

La puissance thermique perdue par le radiateur par convection est d'environ \(106 \, \text{W}\).

A vous de jouer

Si la température du radiateur était augmentée à 60°C (l'air restant à 20°C), quelle serait la nouvelle puissance émise ? (Considérez h constant pour simplifier).

Question 5 : Décrire la boucle de convection

Principe

Le chauffage d'un côté de la pièce et le refroidissement de l'autre (par exemple, près d'une fenêtre froide) créent un mouvement d'air continu. Comprendre cette boucle est fondamental pour le placement des émetteurs de chaleur et pour le confort thermique.

Remarque Pédagogique

Visualiser ce mouvement de l'air invisible est une compétence clé du thermicien. Cela permet d'anticiper les zones de confort et d'inconfort (courants d'air, zones froides) dans une pièce.

Schéma

Boucle de Convection dans le Salon

Réflexions

L'air en contact avec le radiateur chaud se réchauffe. Sa masse volumique diminue, et par l'effet de la poussée d'Archimède, il s'élève vers le plafond. Arrivé au plafond, il se déplace horizontalement. S'il rencontre une surface froide (comme une fenêtre ou un mur extérieur), il cède sa chaleur, se refroidit, et sa masse volumique augmente. Devenu plus lourd, il redescend le long du mur froid. Une fois au sol, il est aspiré de nouveau vers le radiateur, fermant ainsi la boucle. Ce mouvement lent et continu assure la distribution de la chaleur dans toute la pièce.

Points de vigilance

Cette boucle peut créer une sensation de "paroi froide" près de la fenêtre et de "courant d'air" au niveau des pieds, même si la température moyenne de la pièce est correcte. C'est un facteur d'inconfort important à considérer en conception.

Points à retenir

À retenir : La convection naturelle crée un thermosiphon dans la pièce : l'air chaud monte, se déplace, se refroidit, redescend, et recommence. C'est le principal mécanisme de distribution de la chaleur d'un radiateur.

FAQ

Outil Interactif : Simulateur de Déperditions

Utilisez cet outil pour visualiser comment la température du radiateur et la température extérieure (influant sur la température de la fenêtre) modifient la puissance perdue par convection.

Paramètres d'Entrée

Température du radiateur (°C) 50 °C

Température de l'air ambiant (°C) 20 °C

Résultats Clés

Coefficient de convection h (W/m²·K) -

Puissance convective \(\Phi\) (W) -

Convection Naturelle: Mouvement d'un fluide causé par des différences de densité dues à des variations de température, entraînant un transfert de chaleur.
Nombre de Rayleigh (Ra): Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement en convection naturelle (laminaire ou turbulent).
Nombre de Nusselt (Nu): Nombre adimensionnel qui représente l'efficacité du transfert de chaleur par convection par rapport à la conduction pure.
Coefficient de Convection (h): Quantifie l'intensité du transfert de chaleur entre une surface et un fluide par convection. Unité : \(\text{W/(m}^2\text{·K)}\).

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