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Calcul de la pente entre deux points

Exercice : Calcul de la pente entre deux points

Calcul de la pente entre deux points

Contexte : La pente topographiqueLa pente exprime l'inclinaison d'un terrain. C'est un rapport entre le dénivelé (différence d'altitude) et la distance horizontale, souvent exprimé en pourcentage (%)..

En aménagement du territoire, en génie civil ou en agriculture, le calcul de la pente est une opération courante et essentielle. Il permet de concevoir des routes avec une inclinaison sécuritaire, de planifier l'écoulement des eaux de pluie, d'évaluer les risques de glissement de terrain ou simplement de comprendre le relief d'une parcelle. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de la pente entre deux points dont les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) sont connues.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la pente entre deux points à partir de leurs coordonnées et altitudes, une compétence fondamentale pour tout technicien ou ingénieur travaillant avec le relief terrestre.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la définition de la pente topographique.
  • Calculer le déniveléDifférence d'altitude (distance verticale) entre deux points. Se note souvent ΔZ. entre deux points.
  • Calculer la distance horizontaleDistance entre deux points projetée sur un plan horizontal. Se note souvent DH. à partir de coordonnées cartésiennes.
  • Appliquer la formule de la pente et exprimer le résultat en pourcentage.

Données de l'étude

Un géomètre-topographe a effectué un levé sur le terrain et a déterminé les coordonnées de deux points de référence, A et B, pour un futur projet routier.

Représentation schématique du terrain
A (Zₐ) B (Zₑ) Distance Horizontale (DH) Dénivelé (ΔZ)
Point Coordonnée X (m) Coordonnée Y (m) Altitude Z (m)
A 150.00 200.00 125.00
B 350.00 320.00 137.00

Questions à traiter

  1. Calculer le dénivelé (ΔZ) entre le point A et le point B.
  2. Calculer la distance horizontale (DH) entre les points A et B.
  3. En déduire la pente (P) du terrain entre A et B, exprimée en pourcentage (%).

Les bases du calcul de pente

1. Le Dénivelé (ΔZ)
Le dénivelé représente la différence d'altitude, c'est-à-dire la distance verticale, entre deux points. Il se calcule par une simple soustraction des altitudes. \[ \Delta Z = Z_B - Z_A \]

2. La Distance Horizontale (DH)
C'est la distance entre deux points projetée sur un plan parfaitement horizontal. On l'obtient grâce au théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées X et Y. \[ DH = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]

3. La Pente (P)
La pente est le rapport entre la distance verticale (dénivelé) et la distance horizontale. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100. \[ P (\text{%}) = \left( \frac{\Delta Z}{DH} \right) \times 100 \]

Correction : Calcul de la pente entre deux points

Question 1 : Calculer le dénivelé (ΔZ) entre le point A et le point B.

Principe

Le dénivelé correspond à la variation d'altitude entre le point d'arrivée (B) et le point de départ (A). C'est la composante purement verticale du déplacement. Une valeur positive indique une montée, tandis qu'une valeur négative indique une descente.

Mini-Cours

L'altitude (Z) est une coordonnée qui mesure la hauteur d'un point par rapport à une surface de référence, le plus souvent le niveau moyen de la mer (le géoïde). En France, le système de référence officiel est le Nivellement Général de la France (NGF-IGN69 ou IGN78).

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours calculer le dénivelé comme "Altitude du point final - Altitude du point initial". Le signe du résultat vous donnera immédiatement le sens de la pente, ce qui est une information cruciale.

Normes

Le calcul du dénivelé est un principe géométrique de base. Il n'est pas régi par une norme de calcul en soi, mais les méthodes de mesure des altitudes sur le terrain (nivellement direct, GPS) sont, elles, soumises à des normes strictes de précision.

Formule(s)
\[ \Delta Z = Z_B - Z_A \]
Hypothèses

L'unique hypothèse est que les altitudes des points A et B sont exprimées dans le même système de référence altimétrique. Un mélange de systèmes mènerait à un résultat erroné.

Donnée(s)

D'après le tableau de l'énoncé, nous extrayons les altitudes pertinentes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point A\(Z_A\)125.00m
Altitude du point B\(Z_B\)137.00m
Astuces

Pour des chiffres simples comme ceux-ci, une soustraction mentale rapide permet de vérifier l'ordre de grandeur avant de poser le calcul final. (137 - 125 est facile à estimer).

Schéma (Avant les calculs)
Représentation sur un axe vertical
Z+Zₐ = 125mZₑ = 137m
Calcul(s)

On applique la formule en remplaçant les symboles par leurs valeurs numériques.

\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 137.00 \text{ m} - 125.00 \text{ m} \\ &= 12.00 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Dénivelé Calculé
A (125m)B (137m)ΔZ = +12.00 m
Réflexions

Le résultat est positif (+12.00 m). Cela signifie qu'il y a une élévation de 12 mètres en allant du point A vers le point B. Le terrain monte.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les termes (\(Z_A - Z_B\)), ce qui donnerait un signe incorrect. Assurez-vous également que les unités sont identiques avant de soustraire.

Points à retenir

Le dénivelé est la différence d'altitude. Sa formule est \(\Delta Z = Z_{\text{final}} - Z_{\text{initial}}\). Son signe indique le sens de la pente (montée ou descente).

Le saviez-vous ?

Le point le plus haut de France métropolitaine est le sommet du Mont Blanc, avec une altitude officielle de 4807.81 m (mesure de 2021). Cette altitude varie légèrement en fonction de l'enneigement.

FAQ
Que se passe-t-il si le dénivelé est négatif ?

Un dénivelé négatif signifie simplement que le point d'arrivée est plus bas que le point de départ. Le terrain est donc en descente.

Résultat Final
Le dénivelé entre les points A et B est de 12.00 mètres.
A vous de jouer

Calculez le dénivelé si \(Z_A = 210.5 \text{ m}\) et \(Z_B = 198.2 \text{ m}\).

Question 2 : Calculer la distance horizontale (DH) entre les points A et B.

Principe

La distance horizontale est la distance "à vol d'oiseau" si le terrain était plat, c'est-à-dire la distance que l'on mesurerait sur une carte. On l'obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans le plan (X, Y).

Mini-Cours

Les coordonnées (X, Y) sont des coordonnées cartésiennes planes. Elles permettent de localiser un point sur une surface plane (une carte). La distance entre deux points \((X_A, Y_A)\) et \((X_B, Y_B)\) dans ce plan est donnée par la formule issue du théorème de Pythagore, où les côtés du triangle rectangle sont les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de calcul, il est conseillé de calculer d'abord les écarts \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) séparément, avant de les élever au carré et de les additionner sous la racine.

Normes

Ce calcul est une application directe de la géométrie euclidienne. Les coordonnées elles-mêmes sont généralement exprimées dans un système de projection cartographique normalisé, comme le système Lambert 93 pour la France métropolitaine.

Formule(s)
\[ DH = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]
Hypothèses

On suppose que les points sont suffisamment proches pour que la courbure de la Terre soit négligeable. Pour des distances de quelques kilomètres, cette approximation est tout à fait valide.

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées planimétriques des points A et B.

PointX (m)Y (m)
A150.00200.00
B350.00320.00
Astuces

Avant de prendre la racine carrée, vérifiez que le nombre obtenu (la somme des carrés) est bien positif. Une valeur négative indiquerait une erreur de calcul (un carré est toujours positif).

Schéma (Avant les calculs)
Projection dans le plan (X,Y)
XYABΔXΔY
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des écarts en X et Y

\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_B - X_A \\ &= 350.00 \text{ m} - 150.00 \text{ m} \\ &= 200.00 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y &= Y_B - Y_A \\ &= 320.00 \text{ m} - 200.00 \text{ m} \\ &= 120.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Application du théorème de Pythagore

\[ \begin{aligned} DH &= \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2} \\ &= \sqrt{(200.00 \text{ m})^2 + (120.00 \text{ m})^2} \\ &= \sqrt{40000 \text{ m}^2 + 14400 \text{ m}^2} \\ &= \sqrt{54400 \text{ m}^2} \\ &\approx 233.238 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Distance Horizontale
XYAB200.00 m120.00 mDH = 233.24 m
Réflexions

La distance horizontale de 233.24 m est la distance qui sépare les projections des points A et B sur une carte. Elle est toujours inférieure ou égale à la distance réelle parcourue sur le terrain.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier d'élever au carré les différences de coordonnées ou d'oublier de prendre la racine carrée à la fin. Une autre erreur est de ne pas inclure les parenthèses correctement sur la calculatrice.

Points à retenir

La distance horizontale est la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées en X et Y. C'est l'hypoténuse du triangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

Le saviez-vous ?

Le système de projection officiel en France, le Lambert 93, est une projection "conforme", ce qui signifie qu'elle conserve les angles. Cela la rend idéale pour les calculs de topographie et de navigation sur de courtes distances.

FAQ
Cette distance est-elle la distance réelle que je marcherais sur le terrain ?

Non, c'est la distance projetée à plat. La distance réelle, qui suit la pente du terrain, sera toujours légèrement plus grande. On peut la calculer avec Pythagore en 3D : \(D_{\text{réelle}} = \sqrt{DH^2 + \Delta Z^2}\).

Résultat Final
La distance horizontale entre les points A et B est d'environ 233.24 mètres.
A vous de jouer

Calculez la distance horizontale pour \(A(10, 20)\) et \(B(50, 80)\).

Question 3 : En déduire la pente (P) du terrain entre A et B, exprimée en pourcentage (%).

Principe

La pente est le rapport de l'élévation verticale (le dénivelé) sur le parcours horizontal (la distance horizontale). Elle quantifie l'inclinaison du segment reliant les deux points.

Mini-Cours

La pente peut être exprimée de plusieurs manières :
• En pourcentage (%) : C'est le dénivelé pour 100 unités de distance horizontale. C'est la méthode la plus courante en aménagement.
• En degrés (°) : C'est l'angle que fait le terrain avec l'horizontale. On l'obtient avec la fonction arc tangente : \(\alpha = \arctan(\frac{\Delta Z}{DH})\).
• En ratio (m/m) : C'est le rapport direct \(\frac{\Delta Z}{DH}\), sans multiplication par 100.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous toujours que le dénivelé et la distance horizontale sont dans la même unité (par exemple, en mètres) avant de faire la division. C'est une condition indispensable pour que le rapport soit correct.

Normes

Les pentes sont très réglementées. Par exemple, la pente maximale pour une rampe d'accès pour personne à mobilité réduite est de 5% (avec des paliers). Les pentes des routes ou des voies ferrées sont également limitées pour des raisons de sécurité et de performance des véhicules.

Formule(s)
\[ P (\text{%}) = \frac{\Delta Z}{DH} \times 100 \]
Hypothèses

On suppose que la pente est constante et uniforme entre les points A et B. En réalité, un terrain naturel présente des ondulations, mais ce calcul nous donne la pente moyenne du segment.

Donnée(s)

Pour ce calcul, nous utilisons le dénivelé et la distance horizontale, dont les valeurs ont été déterminées dans les étapes précédentes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé\(\Delta Z\)12.00m
Distance Horizontale\(DH\)233.238m
Astuces

Pour une estimation rapide, une pente de 1% correspond à 1m de dénivelé sur 100m. Ici, on a 12m sur ~230m, soit environ 6m sur ~115m. Le résultat sera donc un peu supérieur à 5%.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de la Pente
DH = 233.24 mΔZ = 12.00 mPente (%) ?
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} P (\text{%}) &= \frac{12.00 \text{ m}}{233.238 \text{ m}} \times 100 \\ &\approx 0.05145 \times 100 \\ &\approx 5.15 \text{ %} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Pente
DH = 233.24 mΔZ = 12.00 mPente ≈ 5.15 %
Réflexions

Une pente de 5.15 % est considérée comme une pente faible à modérée. Elle est tout à fait compatible avec la plupart des projets d'aménagement, comme la construction d'une route ou d'une habitation.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier le rapport par 100 pour obtenir un pourcentage. Un résultat de 0.05145 est le ratio, pas la pente en %.

Points à retenir

La pente en pourcentage est le rapport entre la variation verticale et la distance horizontale, multiplié par 100. C'est une mesure fondamentale pour décrire le relief.

Le saviez-vous ?

Certaines routes de montagne, comme dans les Alpes ou les Pyrénées, peuvent atteindre des pentes de plus de 15% par endroit, ce qui représente un défi majeur pour les cyclistes et certains véhicules.

FAQ
Comment convertir cette pente en degrés ?

On utilise la fonction arc tangente du ratio : \(\alpha = \arctan(0.05145)\). Cela donne un angle d'environ 2.95 degrés.

Résultat Final
La pente du terrain entre A et B est d'environ 5.15 %.
A vous de jouer

Si l'altitude du point B était de 145 m au lieu de 137 m, quelle serait la nouvelle pente en % ? (La distance horizontale reste 233.24 m)

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez les curseurs pour faire varier le dénivelé et la distance horizontale, et observez l'impact direct sur la pente en pourcentage. Le graphique illustre la relation entre le dénivelé et la pente pour la distance horizontale sélectionnée.

Paramètres d'Entrée
12 m
230 m
Résultats Clés
Pente Calculée (%) -
Angle (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une pente de 100 % correspond à un angle de :

2. Si le point A est à 50 m d'altitude et le point B à 42 m, le dénivelé de A vers B est de :

3. Pour calculer la pente, on divise le dénivelé par :

Pente Topographique
Mesure de l'inclinaison d'un terrain. Elle est définie par le rapport de la différence d'altitude (dénivelé) à la distance horizontale entre deux points. Elle est souvent exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°).
Dénivelé (ΔZ)
Différence de hauteur, ou d'altitude, entre deux points. C'est la composante verticale de la distance qui les sépare.
Distance Horizontale (DH)
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance que l'on lirait sur une carte.
Calcul de la pente entre deux points

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