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Calcul du Volume de Béton d’un Escalier

Exercice : Calcul du Volume de Béton d’un Escalier Droit

Calcul du Volume de Béton d’un Escalier Droit

Contexte : Coffrage et coulage d'un escalier en béton armé.

Calculer avec précision le volume de béton nécessaire pour un ouvrage est une compétence fondamentale sur un chantier. Une sous-estimation entraîne des arrêts de travail et des coûts de livraison supplémentaires, tandis qu'une sur-estimation génère du gaspillage et des problèmes de gestion des déchets. Cet exercice porte sur le calcul du volume d'un escalier droit en béton, un ouvrage courant mais dont la géométrie complexe demande de la méthode.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer une forme complexe (un escalier) en volumes géométriques simples (prismes, pavés) afin d'en calculer le volume total de manière rigoureuse.

Objectifs Pédagogiques

  • Décomposer un escalier en éléments géométriques simples.
  • Calculer le volume de la partie inclinée (la paillasseDalle inclinée en béton armé qui forme la sous-face et la structure portante d'un escalier. et les marches).
  • Calculer le volume de la partie horizontale (le palierPlateforme horizontale qui interrompt une volée d'escalier ou qui dessert un étage. d'arrivée).
  • Déterminer le volume total de béton à commander.

Données de l'étude

On doit réaliser le coffrage et le coulage d'un escalier droit en béton armé reliant deux niveaux. L'escalier comprend une volée de marches et un palier d'arrivée.

Schéma de l'escalier à réaliser
H = 2.30 m Reculement = 3.30 m Palier = 1.00 m
Vue 3D de l'Escalier en Béton
Nom du Paramètre Description Valeur Unité
Hauteur totale (H) Hauteur de sol à sol fini 2.30 m
Nombre de marches (n) Nombre de hauteurs 14 unités
Reculement de la volée Projection au sol de la partie inclinée 3.30 m
Longueur du palier Longueur du palier d'arrivée 1.00 m
Largeur de l'escalier Largeur de la volée et du palier 1.20 m
Épaisseur paillasse Épaisseur de la dalle inclinée 15 cm

Questions à traiter

  1. Calculer le volume de la partie inclinée de l'escalier (paillasse + marches).
  2. Calculer le volume du palier d'arrivée.
  3. Calculer le volume total de béton à commander pour l'ensemble de l'ouvrage.

Les bases du Calcul de Volume

Pour calculer le volume d'un objet complexe comme un escalier, la stratégie consiste à le décomposer en formes géométriques simples dont on sait calculer le volume (pavés, prismes, cylindres...).

1. Volume d'un Prisme Droit
Le volume d'un prisme droit est obtenu en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur (ou sa longueur). La base peut être n'importe quel polygone (rectangle, triangle, etc.). \[ V_{\text{prisme}} = \text{Aire de la base} \times \text{Longueur} \]

2. Décomposition de l'Escalier
Un escalier droit peut être vu comme la somme de deux volumes simples :
- La partie inclinée (volée) : un prisme dont la base est un triangle rectangle (pour les marches) posé sur un parallélogramme (pour la paillasse).
- Le palier : un simple pavé droit (parallélépipède rectangle).

Correction : Calcul du Volume de Béton d’un Escalier Droit

Question 1 : Calculer le volume de la partie inclinée de l'escalier.

Principe

On calcule la surface de la section transversale (le profil) de la volée, puis on la multiplie par la largeur de l'escalier. Cette surface de profil se décompose en deux parties : un grand triangle rectangle formé par l'ensemble des marches, et un parallélogramme pour la paillasse en dessous.

Mini-Cours

Aire d'un triangle rectangle : L'aire d'un triangle rectangle est simplement la moitié du produit de ses deux côtés adjacents à l'angle droit. Pour la volée de l'escalier, ces côtés sont la hauteur totale (H) et le reculement (E). L'aire des marches est donc (H x E) / 2.

Remarque Pédagogique

La méthode la plus simple est de voir la volée comme un prisme. Imaginez que vous "tranchez" l'escalier sur le côté. La surface de cette tranche est l'aire de la base de notre prisme. Le volume est cette surface multipliée par la largeur de l'escalier.

Normes

Le DTU 21 "Exécution des ouvrages en béton" spécifie les règles de mise en œuvre du béton, y compris les tolérances de coffrage qui peuvent légèrement influencer le volume réel coulé.

Formule(s)

Formule de l'aire du profil :

\[ A_{\text{profil}} = \left( \frac{H \times E}{2} \right) + (L_{\text{paillasse}} \times e_{\text{paillasse}}) \]

Formule du volume de la volée :

\[ V_{\text{volée}} = A_{\text{profil}} \times \text{largeur} \]
Hypothèses
  • L'épaisseur de la paillasse est constante.
  • Le profil des marches forme un triangle rectangle parfait.
Donnée(s)

  • Hauteur totale (H) : 2.30 m

  • Reculement (E) : 3.30 m

  • Épaisseur paillasse (e) : 15 cm = 0.15 m

  • Largeur escalier : 1.20 m

Astuces

Pour calculer la longueur de la paillasse (l'hypoténuse), utilisez le théorème de Pythagore : L = √(H² + E²). C'est plus précis que de l'estimer.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du profil de la volée
Triangle des marchesParallélogramme (Paillasse)
Calcul(s)

Calcul de la longueur de la paillasse (Pythagore) :

\[ \begin{aligned} L_{\text{paillasse}} &= \sqrt{H^2 + E^2} \\ &= \sqrt{(2.30 \text{ m})^2 + (3.30 \text{ m})^2} \\ &= \sqrt{5.29 \text{ m²} + 10.89 \text{ m²}} \\ &= \sqrt{16.18 \text{ m²}} \\ &\approx 4.02 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire du profil :

\[ \begin{aligned} A_{\text{profil}} &= \left( \frac{H \times E}{2} \right) + (L_{\text{paillasse}} \times e) \\ &= \left( \frac{2.30 \text{ m} \times 3.30 \text{ m}}{2} \right) + (4.02 \text{ m} \times 0.15 \text{ m}) \\ &= 3.795 \text{ m²} + 0.603 \text{ m²} \\ &= 4.398 \text{ m²} \end{aligned} \]

Calcul du volume de la volée :

\[ \begin{aligned} V_{\text{volée}} &= A_{\text{profil}} \times \text{largeur} \\ &= 4.398 \text{ m²} \times 1.20 \text{ m} \\ &= 5.2776 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume de la volée
5.28 m³
Réflexions

Ce volume de 5.28 m³ représente la plus grande partie du béton nécessaire. C'est une quantité importante qui nécessitera probablement une livraison par camion-toupie. La précision de ce calcul est essentielle pour la commande.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de calculer le volume de la paillasse et de ne compter que le volume du triangle des marches. La paillasse représente une part significative du volume total.

Points à retenir

Le volume de la volée est l'aire de son profil (triangle des marches + paillasse) multipliée par sa largeur.

Le saviez-vous ?

Le béton armé a été inventé au milieu du XIXe siècle, notamment par Joseph Monier, un jardinier français qui cherchait à fabriquer des bacs à fleurs plus solides en enrobant une armature métallique de ciment.

FAQ
Cette méthode est-elle précise ?

Oui, c'est la méthode standard utilisée dans les bureaux d'études. Elle est très précise. La seule simplification est qu'elle ne tient pas compte du volume des armatures en acier, mais ce volume est négligeable par rapport à celui du béton.

Résultat Final
\[ V_{\text{volée}} \approx 5.28 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si la largeur de l'escalier était de 1.00 m au lieu de 1.20 m, quel serait le nouveau volume de la volée ?

Question 2 : Calculer le volume du palier d'arrivée.

Principe

Le palier d'arrivée est une simple dalle en béton de forme rectangulaire. Son volume est donc celui d'un pavé droit (parallélépipède rectangle), calculé en multipliant ses trois dimensions : longueur, largeur et épaisseur.

Mini-Cours

Volume d'un pavé droit : C'est l'une des formules de volume les plus fondamentales en géométrie. Pour tout objet de cette forme, le volume est simplement le produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur (ou épaisseur).

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que l'épaisseur du palier est la même que celle de la paillasse pour une continuité structurelle, sauf indication contraire sur les plans.

Normes

Le DTU 21 s'applique également ici. Les dimensions des paliers sont aussi réglementées pour l'accessibilité, notamment dans les bâtiments publics, où ils doivent permettre le retournement d'un fauteuil roulant.

Formule(s)

Formule du volume d'un pavé droit :

\[ V_{\text{palier}} = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{épaisseur} \]
Hypothèses

  • Le palier est parfaitement rectangulaire.

  • Son épaisseur est constante et égale à celle de la paillasse.

Donnée(s)

  • Longueur palier : 1.00 m

  • Largeur escalier : 1.20 m

  • Épaisseur : 15 cm = 0.15 m

Astuces

Pour ce calcul simple, vous pouvez multiplier les deux premières dimensions pour obtenir la surface (1.00 x 1.20 = 1.20 m²), puis multiplier cette surface par l'épaisseur.

Schéma (Avant les calculs)
Géométrie du palier
1.00 m1.20 me=0.15m
Calcul(s)

Calcul du volume du palier :

\[ \begin{aligned} V_{\text{palier}} &= 1.00 \text{ m} \times 1.20 \text{ m} \times 0.15 \text{ m} \\ &= 1.20 \text{ m²} \times 0.15 \text{ m} \\ &= 0.18 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume du palier
0.18 m³
Réflexions

Le volume du palier est relativement faible par rapport à celui de la volée. Cependant, il ne doit pas être oublié car il représente tout de même près de 200 litres de béton.

Points de vigilance

Vérifiez bien que toutes les unités sont en mètres avant de multiplier. L'erreur la plus courante est de multiplier des mètres par des centimètres, ce qui donne un résultat complètement faux.

Points à retenir

Le volume d'un palier rectangulaire est simplement Longueur × largeur × épaisseur.

Le saviez-vous ?

Un "palier de repos" est un palier intermédiaire dans une longue volée d'escalier. Il est obligatoire dans les lieux publics si la volée dépasse 25 marches.

FAQ
Et si le palier n'est pas rectangulaire ?

La méthode reste la même : on calcule l'aire de la forme du palier (par exemple un quart de cercle pour un palier d'angle) et on la multiplie par son épaisseur.

Résultat Final
\[ V_{\text{palier}} = 0.18 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si le palier faisait 1.50 m de long au lieu de 1.00 m, quel serait son volume ?

Question 3 : Calculer le volume total de béton à commander.

Principe

Le volume total de béton est simplement la somme des volumes de toutes les parties de l'ouvrage. Ici, il s'agit d'additionner le volume de la volée (paillasse + marches) et le volume du palier.

Mini-Cours

Métré par décomposition : Cette méthode, qui consiste à additionner les volumes d'éléments simples, est la base de tout métré de gros œuvre. Que ce soit pour une fondation, un mur ou une poutre, on décompose toujours la structure en volumes élémentaires avant de les sommer.

Remarque Pédagogique

Lors d'une commande de béton prêt à l'emploi (BPE), on arrondit toujours le volume total à la hausse, généralement au 0.5 m³ supérieur. Il vaut mieux avoir un léger surplus que de devoir recommander un complément.

Normes

Les centrales à béton garantissent la conformité du béton livré (classe de résistance, fluidité, etc.) selon la norme NF EN 206-1. Le volume commandé doit correspondre au volume calculé, majoré d'une marge de sécurité.

Formule(s)

Formule du volume total :

\[ V_{\text{total}} = V_{\text{volée}} + V_{\text{palier}} \]
Hypothèses

  • On ne prévoit pas de marge de sécurité supplémentaire à ce stade du calcul (elle sera ajoutée lors de la commande).

Donnée(s)

  • Volume de la volée : 5.28 m³

  • Volume du palier : 0.18 m³

Astuces

Pour vérifier votre ordre de grandeur, un escalier standard dans une maison contient généralement entre 1 et 2 m³ de béton. Notre résultat est plus élevé car il s'agit d'un escalier large et long. La cohérence du résultat est un bon indicateur.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des volumes
V VoléeV Palier+
Calcul(s)

Calcul du volume total :

\[ \begin{aligned} V_{\text{total}} &= V_{\text{volée}} + V_{\text{palier}} \\ &= 5.2776 \text{ m³} + 0.18 \text{ m³} \\ &= 5.4576 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume total de béton
5.46 m³de béton
Réflexions

Le volume total calculé est de 5.46 m³. Pour la commande, on arrondirait à 5.5 m³ ou même 6.0 m³ pour inclure une marge de sécurité pour les pertes lors du coulage et le remplissage de la pompe.

Points de vigilance

Assurez-vous d'avoir additionné tous les composants. Pour des escaliers plus complexes (avec plusieurs volées et paliers intermédiaires), il est crucial de bien lister tous les volumes partiels avant de faire la somme finale.

Points à retenir

Le volume total est la somme des volumes de chaque partie géométrique simple qui compose l'ouvrage.

Le saviez-vous ?

Le béton est le deuxième matériau le plus consommé au monde après l'eau. Chaque année, plus de 10 milliards de mètres cubes de béton sont produits, soit près de 1.5 m³ pour chaque personne sur Terre.

FAQ
Doit-on déduire le volume des aciers d'armature ?

Non. Le volume occupé par les barres d'acier est très faible par rapport au volume total de béton (généralement moins de 1%). Il est considéré comme négligeable dans les calculs de métré courants.

Résultat Final
\[ V_{\text{total}} \approx 5.46 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si le volume de la volée était de 4.50 m³ et celui du palier de 0.25 m³, quel serait le volume total ?

Outil Interactif : Simulateur de Volume

Utilisez cet outil pour voir comment la largeur de l'escalier et l'épaisseur de la paillasse influencent le volume total de béton nécessaire.

Paramètres d'Entrée
1.2 m
15 cm
Résultats Clés
Volume Volée (m³) -
Volume Palier (m³) -
Volume Total (m³) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour calculer le volume de la partie inclinée (volée), on multiplie l'aire de son profil par :

2. Le volume de la paillasse se calcule en utilisant la géométrie :

Paillasse
Dalle inclinée en béton armé qui forme la sous-face et la structure portante d'un escalier.
Palier
Plateforme horizontale qui interrompt une volée d'escalier ou qui dessert un étage.
Volume
Mesure de l'espace occupé par un objet en trois dimensions, exprimé en mètres cubes (m³).
Prisme
Solide géométrique dont les deux bases sont des polygones parallèles et superposables, et dont les autres faces (faces latérales) sont des parallélogrammes.
Calcul du Volume de Béton d’un Escalier Droit

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