Études de cas pratique

EGC

Analyse énergétique d’un système mécanique

Analyse Énergétique d’un Système Mécanique

Analyse Énergétique d’un Système Mécanique

Comprendre l'Analyse Énergétique d’un Système Mécanique

L'analyse énergétique des systèmes mécaniques est une approche puissante pour étudier leur mouvement et leur comportement. Elle repose sur les concepts d'énergie cinétique (énergie due au mouvement), d'énergie potentielle (énergie stockée due à la position ou à la configuration), et de travail des forces (transfert d'énergie par l'action d'une force). Le principe de conservation de l'énergie mécanique stipule que, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale (somme des énergies cinétique et potentielle) d'un système isolé reste constante. Le théorème de l'énergie cinétique, plus général, relie la variation d'énergie cinétique d'un système au travail total effectué par toutes les forces (conservatives et non conservatives) agissant sur lui. Ces principes permettent de résoudre des problèmes de dynamique sans avoir à déterminer explicitement les accélérations.

Données de l'étude

On étudie un bloc de masse \(m\) qui glisse le long d'un plan incliné d'un angle \(\theta\) par rapport à l'horizontale, puis comprime un ressort. On s'intéresse à la phase de compression du ressort jusqu'à l'arrêt momentané du bloc.

Caractéristiques du système :

  • Masse du bloc (\(m\)) : \(5 \, \text{kg}\)
  • Angle d'inclinaison du plan (\(\theta\)) : \(30^\circ\)
  • Le bloc est lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur \(h_0\) au-dessus du point de contact initial avec le ressort. La distance parcourue sur le plan incliné avant de toucher le ressort est \(d_0\). Pour simplifier, on donne la vitesse du bloc juste avant qu'il ne touche le ressort : \(v_0 = 3 \, \text{m/s}\).
  • Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(500 \, \text{N/m}\)
  • Coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan incliné (\(\mu_c\)) : \(0.15\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèse : Le ressort est initialement au repos (non comprimé, non étiré) lorsque le bloc le touche. On cherche la compression maximale du ressort.

Schéma : Bloc sur Plan Incliné avec Ressort
Plan Incliné \(\theta = 30^\circ\) Bloc (m) \(v_0\) Ressort (k) Compression max (x) P N Ff Analyse Énergétique d'un Bloc sur Plan Incliné avec Ressort

Un bloc glisse sur un plan incliné et vient comprimer un ressort.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie cinétique initiale du bloc (\(E_{c0}\)) juste avant qu'il ne touche le ressort.
  2. Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle du bloc (\(E_{pg}\)) en fonction de sa compression \(x\) du ressort, en prenant comme référence d'altitude le point de contact initial avec le ressort non comprimé.
  3. Exprimer l'énergie potentielle élastique stockée dans le ressort (\(E_{pe}\)) en fonction de sa compression \(x\).
  4. Calculer la force normale (\(N\)) exercée par le plan sur le bloc.
  5. Calculer la force de frottement cinétique (\(F_f\)) agissant sur le bloc pendant qu'il comprime le ressort.
  6. Calculer le travail (\(W_f\)) effectué par la force de frottement pendant que le ressort est comprimé d'une distance \(x\).
  7. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique (ou le principe de conservation de l'énergie mécanique en incluant le travail des forces non conservatives), établir une équation reliant l'énergie cinétique initiale, les variations d'énergies potentielles, et le travail des frottements lorsque le bloc atteint sa compression maximale (\(x_{\text{max}}\)) du ressort (vitesse finale nulle).
  8. Résoudre l'équation pour trouver la compression maximale \(x_{\text{max}}\) du ressort. (Cela mènera à une équation du second degré en \(x_{\text{max}}\)).

Correction : Analyse Énergétique d’un Système Mécanique

Question 1 : Énergie cinétique initiale du bloc (\(E_{c0}\))

Principe :

L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) se déplaçant à une vitesse \(v\) est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c0} = \frac{1}{2} m v_0^2\]
Données spécifiques :
  • Masse du bloc (\(m\)) : \(5 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale avant contact avec le ressort (\(v_0\)) : \(3 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c0} &= \frac{1}{2} \times 5 \, \text{kg} \times (3 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 5 \, \text{kg} \times 9 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ &= 2.5 \times 9 \, \text{J} \\ &= 22.5 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie cinétique initiale du bloc est \(E_{c0} = 22.5 \, \text{J}\).

Question 2 : Énergie potentielle gravitationnelle (\(E_{pg}\)) en fonction de \(x\)

Principe :

Lorsque le ressort est comprimé d'une distance \(x\), le bloc descend d'une hauteur verticale supplémentaire \(\Delta h = x \sin(\theta)\) par rapport à sa position de contact initial avec le ressort. Si l'on prend le niveau de contact initial comme référence (\(h_{\text{ref}}=0\)), alors la nouvelle altitude est \(h_x = -x \sin(\theta)\). L'énergie potentielle gravitationnelle est \(E_{pg} = mgh_x\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{pg}(x) = mg(-x \sin(\theta)) = -mgx \sin(\theta)\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(5 \, \text{kg}\)
  • Accélération gravitationnelle (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Angle d'inclinaison (\(\theta\)) : \(30^\circ\) (\(\sin(30^\circ) = 0.5\))
Expression :
\[ \begin{aligned} E_{pg}(x) &= -(5 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times x \times \sin(30^\circ) \\ &= -49.05 \times x \times 0.5 \, \text{J} \\ &= -24.525 x \, \text{J} \quad (\text{où } x \text{ est en mètres}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie potentielle gravitationnelle du bloc en fonction de la compression \(x\) est \(E_{pg}(x) = -24.525x \, \text{J}\).

Question 3 : Énergie potentielle élastique (\(E_{pe}\)) en fonction de \(x\)

Principe :

L'énergie potentielle élastique stockée dans un ressort de constante de raideur \(k\) comprimé (ou étiré) d'une distance \(x\) par rapport à sa position d'équilibre est \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{pe}(x) = \frac{1}{2} k x^2\]
Données spécifiques :
  • Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(500 \, \text{N/m}\)
Expression :
\[ \begin{aligned} E_{pe}(x) &= \frac{1}{2} \times (500 \, \text{N/m}) \times x^2 \\ &= 250 x^2 \, \text{J} \quad (\text{où } x \text{ est en mètres}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie potentielle élastique stockée dans le ressort est \(E_{pe}(x) = 250x^2 \, \text{J}\).

Question 4 : Force normale (\(N\))

Principe :

La force normale est la composante de la force de contact perpendiculaire au plan incliné. Elle équilibre la composante du poids perpendiculaire au plan. \(N = mg \cos(\theta)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N = mg \cos(\theta)\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(5 \, \text{kg}\)
  • Accélération gravitationnelle (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Angle d'inclinaison (\(\theta\)) : \(30^\circ\) (\(\cos(30^\circ) \approx 0.866\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} N &= (5 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times \cos(30^\circ) \\ &\approx 49.05 \, \text{N} \times 0.866025 \\ &\approx 42.478 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force normale exercée par le plan sur le bloc est \(N \approx 42.48 \, \text{N}\).

Question 5 : Force de frottement cinétique (\(F_f\))

Principe :

La force de frottement cinétique est proportionnelle à la force normale et au coefficient de frottement cinétique. \(F_f = \mu_c N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_f = \mu_c N\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de frottement cinétique (\(\mu_c\)) : \(0.15\)
  • Force normale (\(N\)) : \(\approx 42.478 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_f &= 0.15 \times 42.478 \, \text{N} \\ &\approx 6.3717 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La force de frottement cinétique est \(F_f \approx 6.37 \, \text{N}\).

Question 6 : Travail de la force de frottement (\(W_f\)) pendant la compression \(x\)

Principe :

Le travail d'une force constante est le produit de la force par le déplacement dans la direction de la force. Ici, la force de frottement s'oppose au mouvement, donc son travail est négatif. \(W_f = -F_f \cdot x\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_f(x) = -F_f \cdot x\]
Données spécifiques :
  • Force de frottement (\(F_f\)) : \(\approx 6.3717 \, \text{N}\)
Expression :
\[ W_f(x) \approx -6.3717 x \, \text{J} \quad (\text{où } x \text{ est en mètres}) \]
Résultat Question 6 : Le travail effectué par la force de frottement est \(W_f(x) \approx -6.372x \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le coefficient de frottement \(\mu_c\) était nul, le travail de la force de frottement serait :

Question 7 : Équation énergétique pour la compression maximale \(x_{\text{max}}\)

Principe :

On applique le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant où le bloc touche le ressort (vitesse \(v_0\)) et l'instant où le ressort atteint sa compression maximale \(x_{\text{max}}\) (vitesse finale \(v_f = 0\)). La variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées (poids, force du ressort, force de frottement). \(\Delta E_c = W_{\text{poids}} + W_{\text{ressort}} + W_{\text{frottement}}\). Alternativement, \(E_{c,f} - E_{c,i} = -\Delta E_{pg} - \Delta E_{pe} + W_{f,\text{non_cons}}\). Ici, \(E_{c,f} = 0\). L'énergie potentielle gravitationnelle initiale (au contact du ressort) est \(E_{pg,i} = 0\) (par choix de référence). L'énergie potentielle élastique initiale est \(E_{pe,i} = 0\). Donc : \(0 - E_{c0} = (E_{pg}(x_{\text{max}}) - 0) + (E_{pe}(x_{\text{max}}) - 0) + W_f(x_{\text{max}})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c,\text{finale}} - E_{c,\text{initiale}} = W_{\text{forces_non_conservatives}} + W_{\text{forces_conservatives}}\] \[0 - E_{c0} = W_f(x_{\text{max}}) - (E_{pe}(x_{\text{max}}) - E_{pe,0}) - (E_{pg}(x_{\text{max}}) - E_{pg,0})\]

Avec \(E_{pe,0}=0\) et \(E_{pg,0}=0\) (référence au point de contact initial).

\[-E_{c0} = W_f(x_{\text{max}}) - E_{pe}(x_{\text{max}}) - E_{pg}(x_{\text{max}})\] \[E_{c0} + E_{pg}(x_{\text{max}}) + E_{pe}(x_{\text{max}}) + W_f(x_{\text{max}}) = 0 \quad (\text{Attention aux signes de } E_{pg} \text{ et } W_f)\]

Plus correctement, en considérant la variation d'énergie :

\[\Delta E_c + \Delta E_{pg} + \Delta E_{pe} = W_f\] \[(0 - E_{c0}) + (E_{pg}(x_{\text{max}}) - 0) + (E_{pe}(x_{\text{max}}) - 0) = W_f(x_{\text{max}})\] \[-E_{c0} - mgx_{\text{max}}\sin(\theta) + \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 = -F_f x_{\text{max}}\]
Équation :
\[-22.5 - (24.525 x_{\text{max}}) + (250 x_{\text{max}}^2) = -6.3717 x_{\text{max}}\] \[250 x_{\text{max}}^2 - 24.525 x_{\text{max}} + 6.3717 x_{\text{max}} - 22.5 = 0\] \[250 x_{\text{max}}^2 - 18.1533 x_{\text{max}} - 22.5 = 0\]
Résultat Question 7 : L'équation énergétique à résoudre est \(250 x_{\text{max}}^2 - 18.1533 x_{\text{max}} - 22.5 = 0\).

Question 8 : Résolution pour la compression maximale \(x_{\text{max}}\)

Principe :

On résout l'équation quadratique \(ax^2 + bx + c = 0\) obtenue à la question précédente, où \(a=250\), \(b=-18.1533\), \(c=-22.5\). La solution physiquement acceptable (positive) donnera \(x_{\text{max}}\).

Formule(s) utilisée(s) (Solution d'une équation quadratique) :
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Calcul du discriminant (\(\Delta_{\text{disc}}\)) :
\[ \begin{aligned} \Delta_{\text{disc}} &= b^2 - 4ac \\ &= (-18.1533)^2 - 4 \times (250) \times (-22.5) \\ &\approx 329.5426 - (-22500) \\ &= 329.5426 + 22500 \\ &= 22829.5426 \\ \sqrt{\Delta_{\text{disc}}} &\approx \sqrt{22829.5426} \approx 151.09448 \end{aligned} \]
Calcul de \(x_{\text{max}}\) :
\[ \begin{aligned} x_{\text{max}} &= \frac{-(-18.1533) \pm 151.09448}{2 \times 250} \\ &= \frac{18.1533 \pm 151.09448}{500} \end{aligned} \]

Deux solutions possibles :

\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{18.1533 + 151.09448}{500} = \frac{169.24778}{500} \approx 0.33849 \, \text{m} \\ x_2 &= \frac{18.1533 - 151.09448}{500} = \frac{-132.94118}{500} \approx -0.26588 \, \text{m} \end{aligned} \]

La compression \(x_{\text{max}}\) doit être une valeur positive. Donc, on retient \(x_1\).

Résultat Question 8 : La compression maximale du ressort est \(x_{\text{max}} \approx 0.338 \, \text{m}\) (ou \(33.8 \, \text{cm}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la constante de raideur du ressort \(k\) était plus grande, la compression maximale \(x_{\text{max}}\) (pour la même énergie cinétique initiale et les mêmes frottements) serait probablement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie cinétique d'un corps dépend de :

2. Le travail d'une force de frottement est généralement :

3. L'énergie potentielle élastique d'un ressort est maximale lorsque :

Glossaire

Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle est proportionnelle à sa masse et au carré de sa vitesse.
Énergie Potentielle Gravitationnelle (\(E_{pg}\))
Énergie qu'un corps possède en raison de sa position dans un champ de gravité. Elle dépend de sa masse, de l'accélération gravitationnelle et de son altitude par rapport à un niveau de référence.
Énergie Potentielle Élastique (\(E_{pe}\))
Énergie stockée dans un corps élastique (comme un ressort) lorsqu'il est déformé (comprimé ou étiré).
Travail d'une Force (\(W\))
Transfert d'énergie qui se produit lorsqu'une force déplace son point d'application. Si la force est constante et le déplacement rectiligne, \(W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)\).
Force Conservative
Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des positions initiale et finale (ex: poids, force élastique). Elle dérive d'une énergie potentielle.
Force Non Conservative
Force dont le travail dépend du chemin suivi (ex: force de frottement). Elle dissipe généralement l'énergie mécanique en chaleur.
Théorème de l'Énergie Cinétique
Stipule que la variation de l'énergie cinétique d'un corps entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces (conservatives et non conservatives) qui lui sont appliquées entre ces deux instants.
Conservation de l'Énergie Mécanique
Si seules des forces conservatives travaillent sur un système isolé, son énergie mécanique totale (somme des énergies cinétique et potentielle) reste constante.
Force Normale (\(N\))
Composante de la force de contact exercée par une surface sur un objet, perpendiculaire à cette surface.
Force de Frottement (\(F_f\))
Force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact.
Constante de Raideur (\(k\))
Mesure de la rigidité d'un ressort. C'est la force nécessaire pour étirer ou comprimer le ressort d'une unité de longueur. Unité : N/m.
Analyse Énergétique d’un Système Mécanique - Exercice d'Application

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