Études de cas pratique

EGC

Calcul du Degré d’Hyperstaticité

Calcul du Degré d’Hyperstaticité en RDM

Comprendre le Calcul du Degré d’Hyperstaticité en RDM

En Résistance Des Matériaux (RDM), le degré d'hyperstaticité (\(h\)) d'une structure indique le nombre d'inconnues (réactions d'appui ou efforts internes) qui ne peuvent pas être déterminées par les seules équations de la statique. Une structure est dite isostatique si \(h=0\), hyperstatique si \(h > 0\), et hypostatique (ou mécanisme) si \(h < 0\).

La connaissance du degré d'hyperstaticité est fondamentale car elle conditionne la méthode de résolution pour déterminer les efforts et les déformations dans la structure. Les structures hyperstatiques nécessitent des équations supplémentaires basées sur la compatibilité des déformations.

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Identifier les types d'appuis et les réactions associées.
  • Compter le nombre d'inconnues de liaison et le nombre d'équations d'équilibre.
  • Calculer le degré d'hyperstaticité pour différentes structures planes (poutres, portiques, treillis).

Données de l'Exercice

Calculez le degré d'hyperstaticité \(h\) pour les structures planes suivantes.

Structure 1 : Poutre Continue
A B C Poutre sur 3 appuis
Structure 2 : Portique Simple
A D BC B C Portique Encastré
Structure 3 : Treillis Simple
A B C Treillis Triangulaire

Questions à Traiter

  1. Calculer le degré d'hyperstaticité de la Poutre Continue (Structure 1).
  2. Calculer le degré d'hyperstaticité du Portique Simple (Structure 2).
  3. Calculer le degré d'hyperstaticité du Treillis Simple (Structure 3).

Correction : Calcul du Degré d’Hyperstaticité en RDM

Question 1 : Degré d'hyperstaticité de la Poutre Continue (Structure 1)

Principe :

Pour une poutre plane, le degré d'hyperstaticité \(h\) peut être calculé par la formule \(h = r - n_e - n_l\), où \(r\) est le nombre de composantes de réaction d'appui inconnues, \(n_e\) est le nombre d'équations d'équilibre de la statique (3 pour un problème plan), et \(n_l\) est le nombre de liaisons internes (rotules) qui libèrent des degrés de liaison (ici, \(n_l=0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h = r - 3 - n_l \]
Données de la Structure 1 :
  • Appui A : Appui simple (ou rotule), 2 réactions inconnues (\(R_{Ax}, R_{Ay}\)).
  • Appui B : Appui à rouleau, 1 réaction inconnue (\(R_{By}\)).
  • Appui C : Appui à rouleau, 1 réaction inconnue (\(R_{Cy}\)).
  • Nombre total de réactions inconnues (\(r\)) : \(2 + 1 + 1 = 4\).
  • Nombre de liaisons internes (rotules dans la poutre) (\(n_l\)) : \(0\).
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= 4 - 3 - 0 \\ &= 1 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La poutre continue est hyperstatique de degré \(h = 1\).

Quiz Intermédiaire (Q1) : Si l'appui A était un encastrement, le degré d'hyperstaticité de la poutre :

Question 2 : Degré d'hyperstaticité du Portique Simple (Structure 2)

Principe :

Pour un portique plan, une formule générale est \(h = (3m + r) - (3j + n_l)\), où \(m\) est le nombre de barres, \(r\) le nombre de réactions d'appui, \(j\) le nombre de nœuds, et \(n_l\) le nombre de liaisons internes (rotules). Ici, les liaisons aux nœuds B et C sont rigides, donc \(n_l=0\) pour ces liaisons internes entre barres.

Alternativement, on peut utiliser la formule \(h = h_e + h_i\), où \(h_e = r - 3\) est l'hyperstaticité externe et \(h_i = 3L\) pour un portique à nœuds rigides, \(L\) étant le nombre de mailles fermées indépendantes.

Formule(s) utilisée(s) :

Méthode 1 : \(h = (3m + r) - 3j\)

Méthode 2 : \(h_e = r - 3\) et \(h_i = 3L\), puis \(h = h_e + h_i\)

Données de la Structure 2 :
  • Nombre de barres (\(m\)) : 3 (AB, BC, CD).
  • Nombre de nœuds (\(j\)) : 4 (A, B, C, D).
  • Appui A : Encastrement, 3 réactions inconnues (\(R_{Ax}, R_{Ay}, M_A\)).
  • Appui D : Encastrement, 3 réactions inconnues (\(R_{Dx}, R_{Dy}, M_D\)).
  • Nombre total de réactions inconnues (\(r\)) : \(3 + 3 = 6\).
  • Nombre de mailles fermées (\(L\)) : 1.
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} h &= (3 \times 3 + 6) - (3 \times 4) \\ &= (9 + 6) - 12 \\ &= 15 - 12 \\ &= 3 \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2) :
\[ \begin{aligned} h_e &= r - 3 = 6 - 3 = 3 \\ h_i &= 3L = 3 \times 1 = 3 \\ h &= h_e + h_i = 3 + 3 = 6 \quad \text{(Attention: cette méthode est parfois interprétée différemment. La première est plus directe ici.)} \end{aligned} \]

La formule \(h = 3L - n_l\) (où \(n_l\) est le nombre de liaisons simples dans les mailles) est aussi utilisée pour l'hyperstaticité interne. Pour un portique rendu isostatique extérieurement (par exemple en le transformant en console à partir de A, on supprime 3 réactions en D), il reste 1 maille. L'hyperstaticité interne serait \(3 \times 1 = 3\). L'hyperstaticité externe est \(r-3 = 6-3=3\). Donc \(h = 3\). La formule \(h = (3m + r) - 3j\) est la plus fiable pour les portiques plans à nœuds rigides.

Résultat Question 2 : Le portique simple est hyperstatique de degré \(h = 3\).

Quiz Intermédiaire (Q2) : Si le nœud B du portique était une rotule (liaison interne), le degré d'hyperstaticité :

Question 3 : Degré d'hyperstaticité du Treillis Simple (Structure 3)

Principe :

Pour un treillis plan (structure articulée où les efforts sont uniquement normaux dans les barres), le degré d'hyperstaticité \(h\) est calculé par la formule \(h = b + r - 2j\), où \(b\) est le nombre de barres, \(r\) est le nombre de composantes de réaction d'appui, et \(j\) est le nombre de nœuds (articulations).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h = b + r - 2j \]
Données de la Structure 3 :
  • Nombre de barres (\(b\)) : 3 (AB, AC, BC).
  • Nombre de nœuds (\(j\)) : 3 (A, B, C).
  • Appui A : Appui simple (rotule), 2 réactions inconnues (\(R_{Ax}, R_{Ay}\)).
  • Appui B : Appui à rouleau, 1 réaction inconnue (\(R_{By}\)).
  • Nombre total de réactions inconnues (\(r\)) : \(2 + 1 = 3\).
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= 3 + 3 - (2 \times 3) \\ &= 6 - 6 \\ &= 0 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le treillis simple est isostatique (\(h = 0\)).

Quiz Intermédiaire (Q3) : Si on ajoutait une barre diagonale au treillis (entre C et le milieu de AB, créant un nouveau nœud), le degré d'hyperstaticité :

Quiz Récapitulatif

1. Une structure est dite isostatique si son degré d'hyperstaticité \(h\) est :

2. Un appui encastré dans un problème plan introduit combien de réactions inconnues ?

3. Pour résoudre une structure hyperstatique, les équations de la statique :

Glossaire

Degré d'Hyperstaticité (\(h\))
Nombre d'inconnues surabondantes par rapport aux équations d'équilibre de la statique disponibles pour analyser une structure. Il indique la complexité de la résolution des efforts internes et des réactions.
Structure Isostatique
Structure pour laquelle le nombre d'inconnues (réactions et efforts internes) est exactement égal au nombre d'équations d'équilibre statique indépendantes. \(h=0\).
Structure Hyperstatique
Structure possédant plus d'inconnues de liaison (externes ou internes) que d'équations d'équilibre statique. \(h > 0\). Sa résolution nécessite des équations supplémentaires (compatibilité des déformations).
Structure Hypostatique (Mécanisme)
Structure possédant moins d'inconnues de liaison que d'équations d'équilibre, ou dont les liaisons sont mal disposées, la rendant instable sous certaines charges. \(h < 0\).
Réactions d'Appui
Forces et moments exercés par les appuis sur la structure pour la maintenir en équilibre.
Liaison Interne (Rotule)
Articulation entre deux barres d'une structure qui permet une rotation relative mais transmet les efforts normaux et tranchants (pas de moment).
Nœud (Joint)
Point de connexion entre plusieurs barres ou éléments d'une structure.
Barre (Membre)
Élément structural rectiligne d'une poutre, d'un portique ou d'un treillis.
Treillis (Système Articulé)
Structure composée de barres droites assemblées par des articulations (nœuds), conçue pour supporter des charges principalement par des efforts axiaux (traction ou compression) dans ses barres.
Portique
Structure plane composée de poteaux et de traverses assemblés par des liaisons rigides ou articulées.
Exercice : Calcul du Degré d’Hyperstaticité en RDM - Application Pratique

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