Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

Comprendre l'Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

L'analyse de la réponse sismique d'un bâtiment est une étape cruciale en ingénierie parasismique. Elle vise à évaluer comment une structure se comportera sous l'effet d'un tremblement de terre. Pour des structures simples, on peut modéliser le bâtiment comme un système à un degré de liberté (SDOF), caractérisé par sa masse, sa raideur et son amortissement. La connaissance de ces paramètres permet de déterminer les caractéristiques dynamiques fondamentales du bâtiment, telles que sa période propre et sa pulsation propre. Ces grandeurs sont ensuite utilisées pour estimer les efforts et les déplacements que la structure subira lors d'un séisme, souvent à l'aide d'un spectre de réponse qui représente l'intensité du mouvement sismique en fonction de la période de la structure.

Données de l'étude

On considère un bâtiment modélisé comme un système à un degré de liberté (SDOF).

Caractéristiques du bâtiment :

  • Masse sismique du bâtiment (\(m\)) : \(500 \, \text{tonnes} = 500 \times 10^3 \, \text{kg}\)
  • Raideur latérale totale du bâtiment (\(k\)) : \(200 \times 10^6 \, \text{N/m}\)
  • Pourcentage d'amortissement critique (\(\xi\)) : \(5\% = 0.05\)

Données sismiques (pour la dernière question) :

  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Accélération spectrale de calcul pour la période propre du bâtiment (\(S_a(T_n)\)) : On supposera que pour la période \(T_n\) calculée, \(S_a(T_n) = 0.25g\).
Schéma Simplifié d'un Bâtiment Modélisé en SDOF
Sol Raideur, k Masse, m Amort., c ü_g(t) u(t)

Modèle SDOF d'un bâtiment soumis à un mouvement sismique du sol.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) du bâtiment.
  2. Calculer la période propre non amortie (\(T_n\)) du bâtiment.
  3. Calculer le coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{cr}}\)).
  4. Calculer le coefficient d'amortissement visqueux (\(c\)).
  5. Calculer la force sismique de base (\(F_b\)) en considérant l'accélération spectrale donnée \(S_a(T_n) = 0.25g\).

Correction : Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment

Question 1 : Pulsation Propre Non Amortie (\(\omega_n\))

Principe :

La pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) d'un système à un degré de liberté est une mesure de la rapidité avec laquelle le système oscille naturellement en l'absence d'amortissement. Elle dépend de la masse (\(m\)) et de la raideur (\(k\)) du système.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(500 \times 10^3 \, \text{kg}\)
  • Raideur (\(k\)) : \(200 \times 10^6 \, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega_n &= \sqrt{\frac{200 \times 10^6 \, \text{N/m}}{500 \times 10^3 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{200000 \times 10^3 \, \text{N/m}}{500 \times 10^3 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{400 \, \text{s}^{-2}} \\ &= 20 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation propre non amortie est \(\omega_n = 20 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Période Propre Non Amortie (\(T_n\))

Principe :

La période propre non amortie (\(T_n\)) est le temps nécessaire au système pour effectuer une oscillation complète en l'absence d'amortissement. Elle est l'inverse de la fréquence propre et est liée à la pulsation propre non amortie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_n = \frac{2\pi}{\omega_n}\]
Données spécifiques :
  • Pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) : \(20 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_n &= \frac{2\pi}{20 \, \text{rad/s}} \\ &\approx \frac{6.28318}{20} \, \text{s} \\ &\approx 0.314159 \, \text{s} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(0.314 \, \text{s}\).

Résultat Question 2 : La période propre non amortie est \(T_n \approx 0.314 \, \text{s}\).

Question 3 : Coefficient d'Amortissement Critique (\(c_{\text{cr}}\))

Principe :

Le coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{cr}}\)) est la valeur minimale d'amortissement pour laquelle le système revient à sa position d'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. Il dépend de la masse et de la pulsation propre non amortie (ou de la masse et de la raideur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[c_{\text{cr}} = 2 m \omega_n \quad \text{ou} \quad c_{\text{cr}} = 2 \sqrt{mk}\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(500 \times 10^3 \, \text{kg}\)
  • Pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) : \(20 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c_{\text{cr}} &= 2 \times (500 \times 10^3 \, \text{kg}) \times (20 \, \text{rad/s}) \\ &= 2 \times 500000 \times 20 \, \text{kg/s} \\ &= 20\,000\,000 \, \text{Ns/m} \quad (\text{ou } \text{kg/s}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le coefficient d'amortissement critique est \(c_{\text{cr}} = 20 \times 10^6 \, \text{Ns/m}\).

Question 4 : Coefficient d'Amortissement Visqueux (\(c\))

Principe :

Le coefficient d'amortissement visqueux (\(c\)) du bâtiment est lié au pourcentage d'amortissement critique (\(\xi\)) et au coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{cr}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = \xi \times c_{\text{cr}}\]
Données spécifiques :
  • Pourcentage d'amortissement critique (\(\xi\)) : \(0.05\)
  • Coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{cr}}\)) : \(20 \times 10^6 \, \text{Ns/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c &= 0.05 \times (20 \times 10^6 \, \text{Ns/m}) \\ &= 1\,000\,000 \, \text{Ns/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient d'amortissement visqueux est \(c = 1 \times 10^6 \, \text{Ns/m}\).

Question 5 : Force Sismique de Base (\(F_b\))

Principe :

La force sismique de base (\(F_b\)) est une estimation de la force latérale totale qu'un séisme exerce à la base du bâtiment. Elle est calculée en multipliant la masse sismique du bâtiment par l'accélération spectrale de calcul (\(S_a(T_n)\)) correspondant à la période propre du bâtiment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_b = m \times S_a(T_n)\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(500 \times 10^3 \, \text{kg}\)
  • Accélération spectrale (\(S_a(T_n)\)) : \(0.25g = 0.25 \times 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul de \(S_a(T_n)\) :
\[ \begin{aligned} S_a(T_n) &= 0.25 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 2.4525 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Calcul de \(F_b\) :
\[ \begin{aligned} F_b &= (500 \times 10^3 \, \text{kg}) \times (2.4525 \, \text{m/s}^2) \\ &= 500000 \times 2.4525 \, \text{N} \\ &= 1\,226\,250 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN : \(F_b = 1226.25 \, \text{kN}\)

Résultat Question 5 : La force sismique de base est \(F_b \approx 1226.25 \, \text{kN}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La période propre (\(T_n\)) d'un bâtiment représente :

2. Si la masse (\(m\)) d'un bâtiment augmente et que sa raideur (\(k\)) reste constante, sa période propre (\(T_n\)) :

3. L'amortissement dans un bâtiment a pour effet principal de :

Glossaire

Réponse Sismique
Comportement d'une structure (déplacements, vitesses, accélérations, efforts internes) lorsqu'elle est soumise à un mouvement sismique du sol.
Système à Un Degré de Liberté (SDOF)
Modèle simplifié d'une structure où son mouvement est décrit par une seule coordonnée (généralement le déplacement horizontal de sa masse principale).
Masse Sismique (\(m\))
Masse de la structure qui participe au mouvement dynamique lors d'un séisme.
Raideur Latérale (\(k\))
Résistance de la structure à la déformation latérale. Une raideur élevée signifie que la structure est plus rigide.
Amortissement (\(c\), \(\xi\))
Propriété d'une structure à dissiper l'énergie vibratoire. L'amortissement visqueux (\(c\)) est souvent exprimé en pourcentage de l'amortissement critique (\(\xi\)).
Pulsation Propre Non Amortie (\(\omega_n\))
Vitesse angulaire naturelle d'oscillation du système en l'absence d'amortissement, exprimée en radians par seconde (rad/s).
Période Propre Non Amortie (\(T_n\))
Temps (en secondes) nécessaire pour que le système effectue une oscillation complète en l'absence d'amortissement. \(T_n = 2\pi/\omega_n\).
Coefficient d'Amortissement Critique (\(c_{\text{cr}}\))
Niveau d'amortissement au-delà duquel le système ne présente plus d'oscillations libres et revient le plus rapidement possible à l'équilibre.
Accélération Spectrale (\(S_a(T_n)\))
Valeur maximale de l'accélération absolue d'un oscillateur simple (SDOF) ayant une période \(T_n\) et un certain amortissement, lorsqu'il est soumis à un mouvement sismique donné. Elle est lue sur un spectre de réponse.
Force Sismique de Base (\(F_b\))
Force horizontale totale équivalente à la base de la structure, utilisée pour le dimensionnement sismique. Elle est souvent calculée en multipliant la masse sismique par l'accélération spectrale.
Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment - Exercice d'Application

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