Calcul de l’axe neutre en RDM

Calcul de l’Axe Neutre d’une Section en T en RdM

Calcul de l'Axe Neutre et de l'Inertie d'une Section en T

Contexte : La clé de la flexion.

En flexion, toutes les contraintes ne sont pas égales. Il existe une ligne à l'intérieur d'une poutre où la contrainte est nulle : c'est l'axe neutreL'axe passant par le centre de gravité géométrique de la section droite d'une poutre. En flexion pure, les fibres situées sur cet axe ne sont ni tendues, ni comprimées.. Sa position, qui coïncide avec le centre de gravité de la section, est fondamentale pour calculer la distribution des contraintes et la résistance de la poutre. Cet exercice vous guide pour trouver cet axe pour une section en T, une forme très courante en génie civil (poutres, dalles nervurées).

Remarque Pédagogique : La méthode consiste à décomposer une forme complexe en formes simples (ici, des rectangles), à trouver le centre de gravité de chaque forme, puis à les combiner pour trouver le centre de gravité global. Nous étendrons l'exercice au calcul du moment d'inertieUne propriété géométrique qui quantifie la résistance d'une section à la flexion. Plus l'inertie est grande, plus la poutre est rigide., une étape indispensable pour les calculs de contraintes et de déformées.

Objectifs Pédagogiques

Décomposer une section composée en formes géométriques simples.
Calculer l'aire et la position du centre de gravité de chaque forme simple.
Appliquer la formule du barycentre pour déterminer la position de l'axe neutre (Y_G).
Calculer le moment d'inertie de chaque forme simple par rapport à son propre centre.
Appliquer le théorème de HuygensAussi appelé "théorème des axes parallèles", il permet de calculer le moment d'inertie d'une section par rapport à un axe parallèle à son axe centroïdal. La formule est I = I_G + A*d². pour trouver le moment d'inertie total de la section composée.

Données de l'étude

On étudie la section en T en béton armé ci-dessous. Toutes les dimensions sont en millimètres (mm).

Schéma de la section en T

Questions à traiter

Décomposer la section en deux rectangles simples (semelle et âme) et calculer leurs aires respectives A₁ et A₂, ainsi que la position de leurs centres de gravité y₁ et y₂.
Calculer la position Y_G de l'axe neutre de la section complète.
Calculer le moment d'inertie de la section complète par rapport à son axe neutre horizontal.

Correction : Calcul de l'Axe Neutre et de l'Inertie d'une Section en T

Question 1 : Aires et Centres de Gravité Locaux

Principe (le concept physique)

Mini-Cours :

Une section composée est une forme géométrique constituée de plusieurs formes simples assemblées. Pour analyser ses propriétés, on utilise une stratégie de "diviser pour régner" : on la décompose en figures élémentaires (rectangles, triangles, cercles) dont les propriétés géométriques (aire, position du centre de gravité) sont connues ou faciles à calculer.

Justifications :

Cette décomposition est la première étape indispensable car il n'existe pas de formule directe pour trouver le centre de gravité d'une forme arbitraire comme un "T". En la ramenant à des rectangles, on peut utiliser des formules connues et les combiner pour obtenir le résultat global.

Hypothèses et Données

Hypothèses :

Pour ce calcul purement géométrique, on suppose que la section est un solide indéformable et que sa matière est homogène. Le repère de calcul est défini avec l'axe X horizontal passant par la base de la section (y=0) et l'axe Y vertical passant par l'axe de symétrie de la section.

Donnée(s) :

Les dimensions sont extraites du schéma de l'énoncé :

Semelle (Rect. 1) : b = 300 mm, h_f = 50 mm
Âme (Rect. 2) : b_w = 40 mm, h_w = 250 mm

Méthodologie

Astuces :

Pour éviter les erreurs, il est très utile d'organiser les données et les calculs intermédiaires dans un tableau. De plus, toujours choisir un repère de référence clair (ici, la base de la section) et s'y tenir pour toutes les mesures de position (y_i).

Points de vigilance :

L'erreur la plus fréquente est de mal définir la position du centre de gravité d'une forme par rapport au repère global. Par exemple, le centre du rectangle du haut (la semelle) n'est pas à h_f/2 de la base, mais bien à h_w + h_f/2.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire d'un rectangle :

A_{\text{rectangle}} = \text{base} \times \text{hauteur}

Position du centre de gravité d'un rectangle :

y_{G, \text{rectangle}} = \text{position de sa base} + \frac{\text{hauteur}}{2}

Application

Schéma (Avant les calculs) : Décomposition de la section

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de la semelle (A₁) :

\begin{aligned} A_1 &= b \times h_f \\ &= 300 \times 50 \\ &= 15000 \, \text{mm}^2 \end{aligned}

Calcul de la position du centre de gravité de la semelle (y₁) :

\begin{aligned} y_1 &= h_w + \frac{h_f}{2} \\ &= 250 + \frac{50}{2} \\ &= 275 \, \text{mm} \end{aligned}

Calcul de l'aire de l'âme (A₂) :

\begin{aligned} A_2 &= b_w \times h_w \\ &= 40 \times 250 \\ &= 10000 \, \text{mm}^2 \end{aligned}

Calcul de la position du centre de gravité de l'âme (y₂) :

\begin{aligned} y_2 &= \frac{h_w}{2} \\ &= \frac{250}{2} \\ &= 125 \, \text{mm} \end{aligned}

Résultat Final (Q1) : A₁=15000 mm², y₁=275 mm ; A₂=10000 mm², y₂=125 mm.

Question 2 : Position de l'Axe Neutre (Y_G)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours :

Le centre de gravité (ou centroïde) d'une section est le point d'application de la "résultante" des aires. Sa position est calculée comme un barycentre : une moyenne des positions des centres de gravité locaux (y_i), pondérée par l'aire (A_i) de chaque forme simple. La ligne horizontale passant par ce point est l'axe neutre de la section.

Réflexions :

Intuitivement, le centre de gravité global sera "attiré" par la forme qui a la plus grande aire. Ici, la semelle (A₁=15000) est plus grande que l'âme (A₂=10000), donc on s'attend à ce que Y_G soit plus proche de y₁ (275 mm) que de y₂ (125 mm).

Méthodologie

Formule du barycentre des aires :

Y_G = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2}

Points de vigilance :

Assurez-vous de bien sommer TOUTES les aires au dénominateur. Oublier une aire est une erreur fréquente. Vérifiez aussi que le résultat final de Y_G est bien compris entre la plus petite et la plus grande des valeurs de y_i.

Application

Calcul de la position de l'axe neutre (Y_G) :

\begin{aligned} Y_G &= \frac{(15000 \times 275) + (10000 \times 125)}{15000 + 10000} \\ &= \frac{4125000 + 1250000}{25000} \\ &= \frac{5375000}{25000} \\ &= 215 \, \text{mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Position de l'Axe Neutre

Résultat Final (Q2) : L'axe neutre est situé à une hauteur de \(Y_G = 215 \, \text{mm}\) par rapport à la base de la section.

Question 3 : Moment d'Inertie Total (I_G)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) mesure la capacité d'une section à résister à la flexion. Il dépend non seulement de la quantité de matière (l'aire), mais surtout de la manière dont cette matière est répartie par rapport à l'axe de flexion (l'axe neutre). Plus la matière est éloignée de l'axe, plus l'inertie est grande. C'est pourquoi les poutres en "I" sont si efficaces.

Justifications :

On ne peut pas simplement additionner les inerties des rectangles (I_G1 + I_G2) car elles sont calculées par rapport à leurs axes locaux (G1 et G2), et non par rapport à l'axe global G. Le théorème de Huygens est la formule qui permet de "transporter" l'inertie d'un point à un autre.

Méthodologie

Remarque Pédagogique :

Le terme de transport A_id_i² est souvent prépondérant. Cela signifie que l'éloignement d'une forme par rapport à l'axe neutre contribue souvent plus à la rigidité que la forme propre de cette forme. C'est le principe fondamental derrière les poutres en I ou en H.

Points de vigilance :

L'erreur la plus grave et la plus commune est d'oublier de mettre la distance 'd' au carré. Une autre erreur est de mal calculer 'd' : c'est toujours la distance entre le centre de gravité global Y_G et le centre de gravité local y_i.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à son centre de gravité :

I_{G, \text{rectangle}} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}^3}{12}

Théorème de Huygens (ou des axes parallèles) :

I_{\text{Total}} = \sum (I_{G_i} + A_i d_i^2) \quad \text{avec} \quad d_i = |Y_G - y_i|

Application

Calcul de l'inertie locale de la semelle (I_G1) :

\begin{aligned} I_{G1} &= \frac{300 \times 50^3}{12} \\ &= 3,125,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Calcul de l'inertie locale de l'âme (I_G2) :

\begin{aligned} I_{G2} &= \frac{40 \times 250^3}{12} \\ &= 52,083,333 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Calcul de la distance de transport pour la semelle (d₁) :

\begin{aligned} d_1 &= |Y_G - y_1| \\ &= |215 - 275| \\ &= 60 \, \text{mm} \end{aligned}

Calcul de la distance de transport pour l'âme (d₂) :

\begin{aligned} d_2 &= |Y_G - y_2| \\ &= |215 - 125| \\ &= 90 \, \text{mm} \end{aligned}

Calcul de l'inertie totale par application de Huygens (I_G) :

\begin{aligned} I_G &= (I_{G1} + A_1 d_1^2) + (I_{G2} + A_2 d_2^2) \\ &= (3.125 \cdot 10^6 + 15000 \cdot 60^2) + (52.083 \cdot 10^6 + 10000 \cdot 90^2) \\ &= (3.125 \cdot 10^6 + 54 \cdot 10^6) + (52.083 \cdot 10^6 + 81 \cdot 10^6) \\ &= 57.125 \cdot 10^6 + 133.083 \cdot 10^6 \\ &= 190.208 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Réflexions :

Notez que le terme de transport de l'âme (A₂d₂² = 81·10⁶) est plus grand que son inertie propre (I_G2 = 52·10⁶). Cela confirme l'importance de ce terme. De plus, la hauteur étant au cube dans la formule de l'inertie, l'âme (plus haute) a une inertie propre bien supérieure à la semelle, même avec une aire plus faible.

Résultat Final (Q3) : Le moment d'inertie de la section en T par rapport à son axe neutre est \(I_G \approx 1.90 \times 10^8 \, \text{mm}^4\).

Pour aller plus loin

À vous de jouer :

Pour vérifier votre compréhension, calculez l'inertie de la semelle seule (Rectangle 1) par rapport à l'axe neutre global G. Vous devez calculer : \(I_{G1} + A_1 d_1^2\).

Le saviez-vous ? (La culture de l'ingénieur)

Le terme \(h^3\) dans la formule de l'inertie explique pourquoi les poutres sont presque toujours posées "debout" et non "à plat". Une poutre de 10x20 cm posée debout a une inertie proportionnelle à \(10 \times 20^3 = 80000\). La même poutre posée à plat a une inertie proportionnelle à \(20 \times 10^3 = 20000\). Elle est 4 fois plus rigide en flexion lorsqu'elle est debout !

Mini Fiche Mémo : Calcul de l'Axe Neutre et de l'Inertie

Étape	Action	Formule Clé
1. Décomposer	Diviser la section en formes simples (rectangles, cercles...).	-
2. Aires & Centres Locaux	Calculer l'aire A_i et la position y_i de chaque forme.	\(A_{\text{rect}} = b \times h\)
3. Axe Neutre Global	Calculer le barycentre des aires.	\(Y_G = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}\)
4. Inerties Locales	Calculer l'inertie I_Gi de chaque forme simple.	\(I_{G, \text{rect}} = \frac{bh^3}{12}\)
5. Inertie Globale	Transporter les inerties avec le théorème de Huygens.	\(I_G = \sum (I_{G_i} + A_i d_i^2)\)

Outil Interactif : Influence de la Géométrie

Modifiez la largeur de la semelle (b) pour voir comment l'axe neutre se déplace.

Paramètres d'Entrée

Largeur de la semelle b (mm) 300 mm

Résultats des Propriétés

Aire Totale (mm²)-

Position Y_G (mm)-

Le Saviez-Vous ?

Dans une poutre en béton armé, on place les aciers principaux du côté tendu. En flexion simple, c'est le côté opposé à la zone comprimée par rapport à l'axe neutre. Pour une poutre en T supportant une dalle, l'axe neutre est souvent dans la semelle, ce qui signifie que toute l'âme est tendue et que les aciers sont donc placés en bas.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'axe neutre est-il si important ?

C'est le point de référence pour le calcul des contraintes de flexion. La contrainte est maximale dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre et nulle sur l'axe lui-même. Sans connaître sa position, impossible de vérifier la résistance d'une poutre.

Le théorème de Huygens est-il toujours nécessaire ?

Oui, toujours, pour les sections composées. On ne peut additionner les moments d'inertie que s'ils sont calculés par rapport au même axe. Le théorème de Huygens est la méthode qui permet de "déplacer" l'inertie d'une sous-section vers l'axe neutre global de la section entière avant de les sommer.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la largeur de la semelle (la partie haute du T), où se déplace l'axe neutre ?

Vers le haut
Vers le bas
Il ne bouge pas

2. Le terme \(A_i d_i^2\) dans le théorème de Huygens représente :

L'inertie propre de la forme simple.
Une correction due à la forme de la section.
L'inertie due au transport de l'axe.

Axe Neutre: L'axe passant par le centre de gravité géométrique de la section droite d'une poutre. En flexion, les contraintes normales y sont nulles.
Moment d'Inertie: Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. On le note souvent I ou J.
Théorème de Huygens: Théorème des axes parallèles qui permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, à partir de l'inertie par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de gravité.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la section en T

Questions à traiter

Correction : Calcul de l'Axe Neutre et de l'Inertie d'une Section en T

Question 1 : Aires et Centres de Gravité Locaux

Principe (le concept physique)

Hypothèses et Données

Méthodologie

Formule(s) (l'outil mathématique)

Application

Schéma (Avant les calculs) : Décomposition de la section

Calcul(s) (l'application numérique)

Question 2 : Position de l'Axe Neutre (YG)

Principe (le concept physique)

Méthodologie

Application

Schéma (Après les calculs) : Position de l'Axe Neutre

Question 3 : Moment d'Inertie Total (IG)

Principe (le concept physique)

Méthodologie

Formule(s) (l'outil mathématique)

Application

Pour aller plus loin

Mini Fiche Mémo : Calcul de l'Axe Neutre et de l'Inertie

Outil Interactif : Influence de la Géométrie

Paramètres d'Entrée

Résultats des Propriétés

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

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Question 2 : Position de l'Axe Neutre (Y_G)

Question 3 : Moment d'Inertie Total (I_G)