Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’axe neutre en RDM

Calcul de l’Axe Neutre en RDM

Calcul de l’Axe Neutre en RDM

Comprendre le Calcul de l’Axe Neutre en RDM

L'axe neutre (ou fibre neutre) d'une section de poutre soumise à la flexion simple est la ligne où la contrainte normale de flexion est nulle. Pour un matériau homogène et un comportement élastique linéaire, l'axe neutre passe par le centre de gravité (centroïde) de la section transversale. La détermination précise de sa position est une étape fondamentale pour le calcul des contraintes de flexion et la vérification de la résistance de la poutre.

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Décomposer une section complexe (en T) en formes géométriques simples.
  • Calculer l'aire de chaque forme élémentaire.
  • Déterminer les coordonnées du centre de gravité de chaque forme élémentaire par rapport à un système d'axes de référence.
  • Calculer les moments statiques de chaque forme par rapport aux axes de référence.
  • Déterminer les coordonnées du centre de gravité (position de l'axe neutre) de la section composée.

Données de l'Exercice

On considère une section en T, symétrique par rapport à l'axe vertical. Les dimensions sont données en millimètres.

Dimensions de la section en T :

  • Largeur de la semelle (partie horizontale supérieure, \(B_1\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la semelle (\(h_1\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'âme (partie verticale, \(H_2\)) : \(180 \, \text{mm}\) (mesurée depuis le dessous de la semelle jusqu'à la base de l'âme)
  • Épaisseur de l'âme (\(b_2\)) : \(15 \, \text{mm}\)

On choisira un système d'axes avec l'origine à la base de l'âme, sur son axe de symétrie vertical. L'axe des \(x\) sera horizontal (le long de la base de l'âme) et l'axe des \(y\) sera vertical et ascendant.

Schéma de la Section en T
y x (base) O B1=150 h1=20 H2=180 b2=15 Section en T (mm)

Questions à Traiter

  1. Décomposer la section en T en deux rectangles simples : la semelle (Rectangle 1) et l'âme (Rectangle 2).
  2. Calculer l'aire \(A_1\) de la semelle et déterminer les coordonnées de son centre de gravité \(G_1(x_1, y_1)\) par rapport à l'origine O (base de l'âme, sur son axe de symétrie).
  3. Calculer l'aire \(A_2\) de l'âme et déterminer les coordonnées de son centre de gravité \(G_2(x_2, y_2)\) par rapport à l'origine O.
  4. Calculer l'aire totale \(A_{tot}\) de la section en T.
  5. Calculer le moment statique de la semelle par rapport à l'axe des x (\(S_{x1} = A_1 \cdot y_1\)).
  6. Calculer le moment statique de l'âme par rapport à l'axe des x (\(S_{x2} = A_2 \cdot y_2\)).
  7. Calculer le moment statique total de la section en T par rapport à l'axe des x (\(S_{x,tot}\)).
  8. Déterminer la position de l'axe neutre (ordonnée du centre de gravité \(y_G\)) de la section en T par rapport à la base de l'âme.
  9. Quelle est la position de l'axe neutre par rapport au sommet de la semelle ?

Correction : Calcul de l’Axe Neutre en RDM

Question 1 : Décomposition de la section

La section en T est décomposée en :

  • Rectangle 1 : La semelle (partie horizontale supérieure).
  • Rectangle 2 : L'âme (partie verticale).

Question 2 : Aire et centre de gravité de la semelle (Rectangle 1)

Principe :

L'aire d'un rectangle est \(Base \times Hauteur\). Le centre de gravité d'un rectangle est au centre de ses diagonales. L'origine O est à la base de l'âme, sur son axe de symétrie. L'axe y est vertical ascendant.

Données de la semelle (Rectangle 1) :
  • Largeur \(B_1 = 150 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur \(h_1 = 20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'âme \(H_2 = 180 \, \text{mm}\)
Calculs :
\[ A_1 = B_1 \times h_1 = 150 \, \text{mm} \times 20 \, \text{mm} = 3000 \, \text{mm}^2 \] \[ x_1 = 0 \, \text{mm} \quad (\text{car la section est symétrique et l'axe y est l'axe de symétrie}) \] \[ y_1 = H_2 + \frac{h_1}{2} = 180 \, \text{mm} + \frac{20 \, \text{mm}}{2} = 180 \, \text{mm} + 10 \, \text{mm} = 190 \, \text{mm} \]
Résultat Question 2 :
  • Aire de la semelle \(A_1 = 3000 \, \text{mm}^2\)
  • Coordonnées du centre de gravité \(G_1(0 \, \text{mm} ; 190 \, \text{mm})\)

Question 3 : Aire et centre de gravité de l'âme (Rectangle 2)

Principe :

Similaire à la semelle, l'origine O est à la base de l'âme.

Données de l'âme (Rectangle 2) :
  • Hauteur \(H_2 = 180 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur \(b_2 = 15 \, \text{mm}\)
Calculs :
\[ A_2 = b_2 \times H_2 = 15 \, \text{mm} \times 180 \, \text{mm} = 2700 \, \text{mm}^2 \] \[ x_2 = 0 \, \text{mm} \quad (\text{l'âme est centrée sur l'axe y}) \] \[ y_2 = \frac{H_2}{2} = \frac{180 \, \text{mm}}{2} = 90 \, \text{mm} \]
Résultat Question 3 :
  • Aire de l'âme \(A_2 = 2700 \, \text{mm}^2\)
  • Coordonnées du centre de gravité \(G_2(0 \, \text{mm} ; 90 \, \text{mm})\)

Question 4 : Aire totale \(A_{tot}\) de la section en T

Principe :

L'aire totale est la somme des aires des deux rectangles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{tot} = A_1 + A_2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{tot} &= 3000 \, \text{mm}^2 + 2700 \, \text{mm}^2 \\ &= 5700 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'aire totale de la section en T est \(A_{tot} = 5700 \, \text{mm}^2\).

Question 5 : Moment statique de la semelle par rapport à l'axe x (\(S_{x1}\))

Principe :

Le moment statique d'une aire par rapport à un axe est le produit de cette aire par la distance de son centre de gravité à cet axe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{x1} = A_1 \cdot y_1 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{x1} &= 3000 \, \text{mm}^2 \times 190 \, \text{mm} \\ &= 570000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment statique de la semelle par rapport à l'axe x est \(S_{x1} = 570000 \, \text{mm}^3\).

Question 6 : Moment statique de l'âme par rapport à l'axe x (\(S_{x2}\))

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{x2} = A_2 \cdot y_2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{x2} &= 2700 \, \text{mm}^2 \times 90 \, \text{mm} \\ &= 243000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le moment statique de l'âme par rapport à l'axe x est \(S_{x2} = 243000 \, \text{mm}^3\).

Question 7 : Moment statique total (\(S_{x,tot}\)) par rapport à l'axe x

Principe :

Le moment statique total est la somme des moments statiques des formes élémentaires.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{x,tot} = S_{x1} + S_{x2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{x,tot} &= 570000 \, \text{mm}^3 + 243000 \, \text{mm}^3 \\ &= 813000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le moment statique total de la section par rapport à l'axe x est \(S_{x,tot} = 813000 \, \text{mm}^3\).

Question 8 : Position de l'axe neutre (\(y_G\)) par rapport à la base de l'âme

Principe :

L'ordonnée du centre de gravité \(y_G\) (position de l'axe neutre horizontal) est le moment statique total par rapport à l'axe x divisé par l'aire totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_G = \frac{S_{x,tot}}{A_{tot}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{813000 \, \text{mm}^3}{5700 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 142.63 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La position de l'axe neutre est à \(y_G \approx 142.63 \, \text{mm}\) de la base de l'âme.

Quiz Intermédiaire (Q8) : Si l'épaisseur de la semelle (\(h_1\)) augmentait, la position de l'axe neutre \(y_G\) (mesurée depuis la base de l'âme) :

Question 9 : Position de l'axe neutre par rapport au sommet de la semelle

Principe :

La hauteur totale de la section en T est \(H_{tot} = H_2 + h_1\). La distance de l'axe neutre au sommet est \(H_{tot} - y_G\).

Calcul :
\[ H_{tot} = H_2 + h_1 = 180 \, \text{mm} + 20 \, \text{mm} = 200 \, \text{mm} \] \[ \text{Distance du sommet} = H_{tot} - y_G = 200 \, \text{mm} - 142.63 \, \text{mm} \approx 57.37 \, \text{mm} \]
Résultat Question 9 : L'axe neutre se situe à environ \(57.37 \, \text{mm}\) du sommet de la semelle.

Quiz Récapitulatif

1. L'axe neutre d'une section soumise à la flexion simple passe toujours par :

2. Le moment statique d'une aire par rapport à un axe est nul si :

3. Pour une section en T symétrique par rapport à l'axe vertical, où se situe l'abscisse \(x_G\) du centre de gravité ?

Glossaire

Axe Neutre (ou Fibre Neutre)
Dans une poutre soumise à la flexion, ligne de la section transversale où la contrainte normale de flexion est nulle. Pour un matériau homogène et élastique linéaire, il passe par le centre de gravité de la section.
Centre de Gravité (Centroïde)
Point géométrique d'une section représentant le point moyen de toutes les parties de cette section. Pour une section homogène, c'est aussi le centre de masse.
Moment Statique (d'une aire)
Produit de l'aire d'une section par la distance de son centre de gravité à un axe de référence donné. Unité : \(\text{mm}^3\), \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\).
Section Composée
Section transversale d'une poutre formée par l'assemblage de plusieurs formes géométriques simples (ex: section en T, en I).
Semelle (d'une section en T ou I)
Partie horizontale (généralement la plus large) d'une section en T ou en I.
Âme (d'une section en T ou I)
Partie verticale reliant les semelles (pour un I) ou la semelle à la base (pour un T).
Exercice : Calcul de l’Axe Neutre en RDM - Application Pratique

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