Études de cas pratique

EGC

Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

Calcul du Facteur de Friction de Darcy-Weisbach

Calcul du Facteur de Friction de Darcy-Weisbach

Comprendre les Pertes de Charge dues à la Friction

Lorsqu'un fluide s'écoule dans une conduite, une partie de son énergie est dissipée à cause du frottement entre le fluide et les parois de la conduite, ainsi que par les frottements internes au sein du fluide (viscosité). Ces pertes d'énergie, appelées pertes de charge linéaires, sont quantifiées à l'aide de l'équation de Darcy-Weisbach, qui utilise un coefficient adimensionnel appelé facteur de friction de Darcy (\(f\)). La détermination de ce facteur est cruciale pour le dimensionnement des systèmes de tuyauterie et le calcul des pompes nécessaires. Il dépend du régime d'écoulement (laminaire ou turbulent, caractérisé par le nombre de Reynolds) et de la rugosité relative de la conduite.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule en régime permanent dans une conduite circulaire en acier commercial.

Caractéristiques de la conduite et de l'écoulement :

Paramètre Valeur Symbole
Fluide Eau à 20°C -
Diamètre intérieur du tuyau 150 \(\text{mm}\) \(D\)
Débit volumique 0.05 \(\text{m}^3\text{/s}\) \(Q\)
Rugosité absolue de l'acier commercial 0.045 \(\text{mm}\) \(\varepsilon\)
Masse volumique de l'eau à 20°C 998 \(\text{kg/m}^3\) \(\rho\)
Viscosité dynamique de l'eau à 20°C 1.002 \(\times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\) \(\mu\)

Hypothèses : L'écoulement est en régime permanent et pleinement développé.

Schéma : Écoulement dans une conduite avec rugosité
Q, v D Conduite avec rugosité \(\varepsilon\)

Schéma d'un écoulement d'eau dans une conduite circulaire avec indication de la rugosité des parois.

Questions à traiter

  1. Convertir le diamètre \(D\) et la rugosité absolue \(\varepsilon\) en mètres.
  2. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) du tuyau en \(\text{m}^2\).
  3. Calculer la vitesse moyenne (\(v\)) de l'eau dans le tuyau en \(\text{m/s}\).
  4. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
  5. Calculer la rugosité relative (\(\varepsilon/D\)).
  6. En utilisant l'équation de Colebrook-White par itérations, calculer le facteur de friction de Darcy (\(f\)). Commencer avec une estimation initiale de \(f_0 = 0.0166\).

Correction : Calcul du Facteur de Friction de Darcy-Weisbach

Question 1 : Conversion des unités

Principe :

Il est essentiel de travailler avec des unités cohérentes dans les calculs. Le diamètre et la rugosité sont donnés en millimètres et doivent être convertis en mètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre intérieur du tuyau (\(D\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Rugosité absolue (\(\varepsilon\)) : \(0.045 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D &= 150 \, \text{mm} \times 10^{-3} \, \text{m/mm} \\ &= 0.150 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \varepsilon &= 0.045 \, \text{mm} \times 10^{-3} \, \text{m/mm} \\ &= 0.000045 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(D = 0.150 \, \text{m}\) et \(\varepsilon = 0.000045 \, \text{m}\).

Question 2 : Aire de la section transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.150 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{0.0706858 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.017671 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la section transversale est \(A \approx 0.01767 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Vitesse moyenne (\(v\)) de l'eau

Principe :

La vitesse moyenne est obtenue par \(v = Q / A\), où \(Q\) est le débit volumique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v = \frac{Q}{A}\]
Données spécifiques :
  • Débit volumique (\(Q\)) : \(0.05 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Aire (\(A\)) : \(\approx 0.017671 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \frac{0.05 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.017671 \, \text{m}^2} \\ &\approx 2.8293 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse moyenne de l'eau est \(v \approx 2.83 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds caractérise le régime d'écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent). Il est donné par \(Re = (\rho v D) / \mu\), ou \(Re = (v D) / \nu\), où \(\nu = \mu / \rho\) est la viscosité cinématique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{\rho v D}{\mu}\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse (\(v\)) : \(\approx 2.8293 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{998 \, \text{kg/m}^3 \times 2.8293 \, \text{m/s} \times 0.150 \, \text{m}}{1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{423.52971 \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}}{1.002 \times 10^{-3} \, \text{kg/(m} \cdot \text{s)}} \\ &\approx 422684 \end{aligned} \]

Puisque \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Résultat Question 4 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 422684\).

Question 5 : Rugosité relative (\(\varepsilon/D\))

Principe :

La rugosité relative est le rapport entre la rugosité absolue des parois du tuyau et son diamètre intérieur. C'est un paramètre adimensionnel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{\varepsilon}{D}\]
Données spécifiques :
  • Rugosité absolue (\(\varepsilon\)) : \(0.000045 \, \text{m}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.000045 \, \text{m}}{0.150 \, \text{m}} \\ &= 0.0003 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La rugosité relative est \(\varepsilon/D = 0.0003\).

Question 6 : Facteur de friction de Darcy (\(f\)) par itérations (Colebrook-White)

Principe :

Pour un écoulement turbulent, le facteur de friction \(f\) est donné par l'équation de Colebrook-White, qui est une équation implicite. Cela signifie que \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation et qu'une solution directe n'est pas possible. On utilise donc une méthode itérative pour trouver \(f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}} \right)\]

Nous allons réarranger cette équation pour une méthode itérative de point fixe sur \(f\): \[f_{\text{nouveau}} = \frac{0.25}{\left[ -2 \log_{10}\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f_{\text{ancien}}}} \right) \right]^2}\]

Données spécifiques :
  • Rugosité relative (\(\varepsilon/D\)) : \(0.0003\)
  • Nombre de Reynolds (\(Re\)) : \(\approx 422684\)
  • Estimation initiale (\(f_0\)) : \(0.0166\) (valeur proche de celle obtenue par Swamee-Jain ou une autre approximation explicite)
Calcul par itérations :

Itération 0 : \(f_0 = 0.0166\)

Calcul de \(\sqrt{f_0}\) :

\[ \sqrt{f_0} = \sqrt{0.0166} \approx 0.12884 \]

Itération 1 : Calcul de \(f_1\)

\[ \begin{aligned} \text{Terme A} &= \frac{\varepsilon/D}{3.7} = \frac{0.0003}{3.7} \approx 0.00008108 \\ \text{Terme B}_0 &= \frac{2.51}{Re\sqrt{f_0}} = \frac{2.51}{422684 \times 0.12884} \approx \frac{2.51}{54461.7} \approx 0.000046087 \\ \log_{10}(\text{Terme A} + \text{Terme B}_0) &= \log_{10}(0.00008108 + 0.000046087) \\ &= \log_{10}(0.000127167) \approx -3.8956 \\ \left[ -2 \log_{10}(\dots) \right]^2 &\approx [-2 \times (-3.8956)]^2 \approx (7.7912)^2 \approx 60.7028 \\ f_1 &= \frac{0.25}{60.7028} \approx 0.016473 \end{aligned} \]

Itération 2 : Calcul de \(f_2\) (en utilisant \(f_1 \approx 0.016473\))

\[ \sqrt{f_1} = \sqrt{0.016473} \approx 0.128347 \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme B}_1 &= \frac{2.51}{Re\sqrt{f_1}} = \frac{2.51}{422684 \times 0.128347} \approx \frac{2.51}{54251.8} \approx 0.000046265 \\ \log_{10}(\text{Terme A} + \text{Terme B}_1) &= \log_{10}(0.00008108 + 0.000046265) \\ &= \log_{10}(0.000127345) \approx -3.8950 \\ \left[ -2 \log_{10}(\dots) \right]^2 &\approx [-2 \times (-3.8950)]^2 \approx (7.7900)^2 \approx 60.6841 \\ f_2 &= \frac{0.25}{60.6841} \approx 0.016479 \end{aligned} \]

Itération 3 : Calcul de \(f_3\) (en utilisant \(f_2 \approx 0.016479\))

\[ \sqrt{f_2} = \sqrt{0.016479} \approx 0.128370 \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme B}_2 &= \frac{2.51}{Re\sqrt{f_2}} = \frac{2.51}{422684 \times 0.128370} \approx \frac{2.51}{54260.5} \approx 0.000046255 \\ \log_{10}(\text{Terme A} + \text{Terme B}_2) &= \log_{10}(0.00008108 + 0.000046255) \\ &= \log_{10}(0.000127335) \approx -3.8950 \\ \left[ -2 \log_{10}(\dots) \right]^2 &\approx [-2 \times (-3.8950)]^2 \approx (7.7900)^2 \approx 60.6841 \\ f_3 &= \frac{0.25}{60.6841} \approx 0.016479 \end{aligned} \]

La valeur de \(f\) converge rapidement. On peut considérer \(f \approx 0.01648\).

Résultat Question 6 : Le facteur de friction de Darcy, calculé par itérations avec l'équation de Colebrook-White, est \(f \approx 0.01648\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la rugosité absolue \(\varepsilon\) du tuyau augmente (toutes autres choses égales), le facteur de friction \(f\) pour un écoulement turbulent :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le facteur de friction de Darcy-Weisbach est utilisé pour calculer :

2. Le nombre de Reynolds (\(Re\)) permet de distinguer :

3. Pour un écoulement laminaire dans un tuyau circulaire lisse (\(Re < 2300\)), le facteur de friction \(f\) est donné par :

Glossaire

Facteur de Friction de Darcy (\(f\))
Coefficient adimensionnel utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach pour décrire les pertes de charge dues à la friction dans un écoulement en conduite. Il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre adimensionnel qui caractérise le type d'écoulement d'un fluide (laminaire ou turbulent). Il représente le rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses.
Rugosité Absolue (\(\varepsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure d'une conduite. Unité : longueur (ex: mm, m).
Rugosité Relative (\(\varepsilon/D\))
Rapport adimensionnel de la rugosité absolue au diamètre intérieur de la conduite.
Équation de Darcy-Weisbach
Équation empirique utilisée pour calculer les pertes de charge linéaires dans une conduite : \(h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}\).
Équation de Colebrook-White
Formule implicite largement utilisée pour calculer le facteur de friction de Darcy pour un écoulement turbulent dans les conduites. Elle nécessite une solution itérative ou l'utilisation d'approximations explicites (comme l'équation de Swamee-Jain).
Écoulement Laminaire
Régime d'écoulement caractérisé par des trajectoires de fluide lisses et parallèles, généralement observé à de faibles nombres de Reynolds (typiquement \(Re < 2300\) pour les conduites circulaires).
Écoulement Turbulent
Régime d'écoulement chaotique et désordonné, avec des fluctuations de vitesse et des tourbillons, généralement observé à des nombres de Reynolds élevés (typiquement \(Re > 4000\) pour les conduites circulaires).
Calcul du Facteur de Friction - Application

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