Études de cas pratique

EGC

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Comprendre le Cercle de Mohr

Le cercle de Mohr est une construction graphique bidimensionnelle qui permet de visualiser l'état de contrainte plane en un point. Il offre une méthode élégante pour déterminer les contraintes principales, la contrainte de cisaillement maximale, ainsi que les contraintes agissant sur n'importe quel plan incliné par rapport à un système d'axes de référence. C'est un outil fondamental en mécanique des milieux continus et en résistance des matériaux pour l'analyse des structures.

Cet exercice se concentre sur l'application du cercle de Mohr à un état de contrainte plane donné.

Données de l'étude

Un point dans un matériau sollicité est soumis à l'état de contrainte plane suivant par rapport à un repère (x, y) :

  • Contrainte normale selon x (\(\sigma_x\)) : \(+80 \, \text{MPa}\) (Traction)
  • Contrainte normale selon y (\(\sigma_y\)) : \(-40 \, \text{MPa}\) (Compression)
  • Contrainte de cisaillement (\(\tau_{xy}\)) : \(+30 \, \text{MPa}\) (Convention : positif si elle tend à faire tourner l'élément dans le sens anti-horaire sur la face x positive)
Schéma de l'État de Contrainte Plane
{/* */} {/* */} σₓ σₓ {/* */} σᵧ σᵧ {/* */} τₓᵧ {/* */} τᵧₓ {/* */} {/* */} {/* */} x y

Élément soumis à un état de contrainte plane. Convention de cisaillement : \(\tau_{xy}\) positif sur la face x+ est dirigé vers y+.

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées du centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr.
  2. Déterminer graphiquement (par construction ou esquisse du cercle de Mohr) et par calcul les contraintes principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\)).
  3. Calculer l'angle \(2\theta_p\) que fait le diamètre passant par les contraintes principales avec l'axe horizontal (\(\sigma\)) sur le cercle de Mohr. En déduire l'orientation (\(\theta_p\)) des plans principaux par rapport à l'axe x de l'élément.
  4. Déterminer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) et la contrainte normale moyenne (\(\sigma_{moy}\)) agissant sur les plans de cisaillement maximal.
  5. Calculer les contraintes normale (\(\sigma_{x'}\)) et tangentielle (\(\tau_{x'y'}\)) agissant sur un plan dont la normale fait un angle \(\theta = +30^\circ\) (sens anti-horaire) avec l'axe x.

Correction : Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Question 1 : Centre (C) et Rayon (R) du Cercle de Mohr

Principe :

Le centre du cercle de Mohr est situé sur l'axe des contraintes normales (\(\sigma\)) à une abscisse \(C = \sigma_{moy} = (\sigma_x + \sigma_y)/2\). Le rayon \(R\) est calculé à partir des contraintes données.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \] \[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_x = +80 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = +30 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= \frac{80 + (-40)}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{\left(\frac{80 - (-40)}{2}\right)^2 + (30)^2} \\ &= \sqrt{\left(\frac{120}{2}\right)^2 + 900} \\ &= \sqrt{(60)^2 + 900} \\ &= \sqrt{3600 + 900} \\ &= \sqrt{4500} \\ &\approx 67.082 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
Centre du cercle de Mohr : \(C = 20 \, \text{MPa}\).
Rayon du cercle de Mohr : \(R \approx 67.08 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Contraintes principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\))

Principe :

Les contraintes principales sont les contraintes normales maximales et minimales. Sur le cercle de Mohr, elles correspondent aux intersections du cercle avec l'axe \(\sigma\). \(\sigma_1 = C + R\) et \(\sigma_2 = C - R\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= C + R \\ &= 20 + 67.082 \\ &\approx 87.082 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= C - R \\ &= 20 - 67.082 \\ &\approx -47.082 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Esquisse du Cercle de Mohr
{/* */} {/* */} σ (MPa) {/* */} τ (MPa) O {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} X (80, 30) {/* */} Y (-40, -30) {/* */} C (20) {/* */} {/* */} σ₁ (87.1) {/* */} σ₂ (-47.1) {/* */} {/* */} τₘₐₓ (67.1)

Esquisse du cercle de Mohr. Les points X(\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) et Y(\(\sigma_y, -\tau_{xy}\)) définissent un diamètre.

Résultat Question 2 :
Contrainte principale maximale : \(\sigma_1 \approx 87.08 \, \text{MPa}\).
Contrainte principale minimale : \(\sigma_2 \approx -47.08 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Orientation des plans principaux (\(\theta_p\))

Principe :

L'angle \(2\theta_p\) sur le cercle de Mohr est l'angle entre le diamètre XY (représentant l'état initial) et l'axe \(\sigma\). \(\tan(2\theta_p) = \frac{\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)/2}\). L'angle \(\theta_p\) est l'angle entre l'axe x physique et la direction de la contrainte principale \(\sigma_1\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(2\theta_p) &= \frac{\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)/2} \\ &= \frac{30}{(80 - (-40))/2} \\ &= \frac{30}{120/2} = \frac{30}{60} = 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\theta_p &= \arctan(0.5) \\ &\approx 26.565^\circ \end{aligned} \]
\[ \theta_p \approx \frac{26.565^\circ}{2} \approx 13.28^\circ \]

Cet angle \(\theta_p\) est mesuré à partir de l'axe x vers la direction de \(\sigma_1\). Sur le cercle de Mohr, le point X (\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) est à (80, 30). Pour atteindre \(\sigma_1\) (87.08, 0) depuis X, on tourne dans le sens anti-horaire d'un angle \(2\theta_p\). Donc, sur l'élément physique, on tourne de \(\theta_p\) dans le même sens (anti-horaire) pour trouver le plan où agit \(\sigma_1\).

Résultat Question 3 : L'orientation des plans principaux est \(\theta_p \approx 13.28^\circ\) (rotation anti-horaire de l'axe x vers le plan de \(\sigma_1\)). L'autre plan principal (où agit \(\sigma_2\)) est à \(\theta_p + 90^\circ\).

Question 4 : Contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) et \(\sigma_{moy}\)

Principe :

La contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) est égale au rayon \(R\) du cercle de Mohr. Les plans sur lesquels agit \(\tau_{max}\) sont orientés à \(45^\circ\) par rapport aux plans principaux. La contrainte normale sur ces plans est \(C = \sigma_{moy}\).

Calcul :
\[ \tau_{max} = R \approx 67.08 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{moy} = C = 20 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 4 :
Contrainte de cisaillement maximale : \(\tau_{max} \approx 67.08 \, \text{MPa}\).
Contrainte normale sur les plans de cisaillement maximal : \(\sigma_{moy} = 20 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Contraintes sur un plan incliné (\(\sigma_{x'}\), \(\tau_{x'y'}\) à \(\theta = +30^\circ\))

Principe :

Sur le cercle de Mohr, une rotation d'un angle \(\theta\) sur l'élément physique correspond à une rotation d'un angle \(2\theta\) sur le cercle, dans le même sens. On part du point X (\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) et on tourne de \(2\theta = 60^\circ\) (anti-horaire) pour trouver le point X'(\(\sigma_{x'}, \tau_{x'y'}\)).

Formules de transformation des contraintes :

\[ \sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta) \] \[ \tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta) \]

Avec \(\theta = +30^\circ\), donc \(2\theta = +60^\circ\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} &= C = 20 \, \text{MPa} \\ \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} &= \frac{80 - (-40)}{2} = 60 \, \text{MPa} \\ \sin(60^\circ) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \\ \cos(60^\circ) &= \frac{1}{2} = 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{x'} &= 20 + 60 \cos(60^\circ) + 30 \sin(60^\circ) \\ &= 20 + 60(0.5) + 30(0.866) \\ &= 20 + 30 + 25.98 \\ &= 75.98 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \tau_{x'y'} &= -60 \sin(60^\circ) + 30 \cos(60^\circ) \\ &= -60(0.866) + 30(0.5) \\ &= -51.96 + 15 \\ &= -36.96 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Sur un plan incliné à \(\theta = +30^\circ\) :
Contrainte normale : \(\sigma_{x'} \approx 75.98 \, \text{MPa}\).
Contrainte de cisaillement : \(\tau_{x'y'} \approx -36.96 \, \text{MPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les contraintes principales agissent sur des plans où la contrainte de cisaillement est :

2. Le rayon du cercle de Mohr représente :

3. Si \(\sigma_x = 50\) MPa, \(\sigma_y = -10\) MPa, le centre C du cercle de Mohr est à :

Glossaire

État de Contrainte Plane
Situation où les contraintes agissent uniquement dans un plan (par exemple, le plan x-y), la contrainte normale à ce plan (\(\sigma_z\)) et les contraintes de cisaillement associées (\(\tau_{xz}, \tau_{yz}\)) étant nulles ou négligeables.
Cercle de Mohr
Représentation graphique de l'état de contrainte plane en un point, permettant de déterminer les contraintes sur n'importe quel plan passant par ce point.
Contraintes Normales (\(\sigma_x, \sigma_y\))
Composantes de la contrainte agissant perpendiculairement à une surface.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau_{xy}\))
Composante de la contrainte agissant tangentiellement à une surface.
Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2\))
Valeurs extrêmes (maximale et minimale) des contraintes normales en un point. Elles agissent sur les plans principaux où les contraintes de cisaillement sont nulles.
Plans Principaux
Plans sur lesquels les contraintes de cisaillement sont nulles et les contraintes normales sont maximales ou minimales (contraintes principales).
Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))
Valeur maximale de la contrainte de cisaillement en un point. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr.
Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr en RDM - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *